高考数学精准复习专项大招13裂项相消法含答案或解析

大招13裂项相消法大招总结将数列中的通项进行拆分,然后重新组合,使之能消去一些项,以达到求和的目的,一般是一项拆成两项,消掉中间所有项,剩余首尾对称项。一般拆成形如:,或者的形式。常见裂项消形式：1.形如型:分母由两项相乘,两项之差是,就提出来。2.3.(此类题型可以用待定系数法处理)4.分母有理化型:5.6.!7.8.形如:型:9.形如:型:典型例题例1.(2021•新乡三模)数列的前20项和为()A.B.C.D.解：由,所以数列的前20项和为.故选B.例2.(2021•成都模拟)已知数列的前项和满足,记数列的前项和为,.则的值为()A.B.C.D.解,当时,有,又当时,也适合上式,,,故选C.例3.(2021•丙卷模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数.在数列中,记为不超过的最大整数,则称数列为的取整数列,设数列满足,记数列的前项和为,则数列的前1010项和为()A.B.C.D.解：根据题意,易知,则,则,所以数列的前1010项和，故选C.例4.(2021•5月份模拟)设数列的前项和为,若,则A.7

B.8

C.9

D.10解：若,所以.故选C.例5.(2021•山东模拟)已知等差数列的前项和为,公差为,当取最小值时,的值为（）

A.7

B.8

C.9

D.10解：,整理得,解得或(舍去),即,则,当时,数列单调递减,当时,数列单调递增,当时,;当时,,故当时,取最小值.故选B.例6.（2021•盐城三模）已知数列的通项公式为，则其前项和为（）A.B.C.D.解：,所以其前项和为.故选A.例7.(2020秋•江苏期中-多选题)已知数列的前项和为,数列的前项和为,则下列选项正确的是()A.B.C.D.解：由,两式相减整理得:,又,,故选项A正确,选项B错误;又,,故选项D正确;又在上单调递增,,故选项正确,故选ACD.例8.(2021•秦州区校级三模)已知公差不为零的等差数列满足,且成等比数列.(1)求的通项公式;(2)设为数列的前项和,求数列的前20项和.解：(1)设等差数列的公差为,由,得,又成等比数列,得,即,故,由(1)(2)得,所以;(2)由(1)可知,则,令的前项和为,则.例9.(2021•湖北开学)在(1),(2),(3)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.问题:已知等差数列的前项和为,,若数列满足,证明:数列的前项和.解：证明:选择(1),设数列的公差为,由,得,解得所以,又因为,所以,所以.选择(2),设数列的公差为,因为,所以,,又,解得,所以.又因为,所以,所以.选择(3),设数列的公差为,因为,即,又因为,所以,解得,所以,所以,又因为,所以,所以.例10.(2021春•九龙坡区校级月考)在(1);(2)；(3),三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.已知数列中,,(1)求;(2)若数列的前项和为,证明:.解：选(1):由可得:当时,,当时,,符合,所以当时,;选(2):由可得,即,又,所以是首项为2,公差为2的等差数列,所以,所以;选(3):由可得,即，又,所以是首项为4,公差为4的等差数列,所以,所以;(2)证明：由(1)得,所以,因为,所以,又因为随着的增大而增大,所以,综上.例11.(2021-梁园区校级模拟)已知等差数列的公差为,前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.解(1)因为,所以,即,整理得,又因为,所以,即,所以;(2)由(1)知,所以,所以.例2.(2021秋-安徽月考)已知数列的前项和为,首项为,且.(1)证明:为等差数列;(2)若的首项和公差均为1,求数列的前项和.解(1)证明:由题意得两式相减得从而再两式相减得又∴,于是为等差数列.(2)由(1)可得为等差数列,又.于是是.例13、(2021-朝阳区校级开学)已知是数列的前项和,满足.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.解(1)时,.时,,对于上式也成立,(2)待定系数法,令,∴∴.(例14.(2021-A卷模拟)已知数列的前项和为,满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.解(1)由,得,两式相减得,即,又当时,,解得,所以时以为首项,为公比的的等比数列,所以;所以;(2)由(1)可得,所以例15.(2021-市中区校级一模)已知等差数列的前项和为.(1)求的通项公式;（2）设数列满足,记数列的前项和,求.解(1)设等差数列的公差为.解得:,(2)设数列满足,时,,满足上式,因此.∴数列的前项和.时,例16.(2021-雨花区校级模拟)已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,求.(1)数列为等差数列.由得的公差.所以.(2)由(1)知,.所以,例17、正项数列的前项和满足:.(1)求数列的通项公式;(2)令,数列的前项和为,证明:对于,都有.由,得,由于是正项数列,所以.所以.时,时,适合上式.∴.(2)证明由得.即对于任意的,都有.例8.(2016秋-秀山县校级月考)已知等比数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意的,满足关系式.(1)求数列的通项公式;（2）设数列的通项公式是,求证对一切的正整数都有:.解(1)当时,有,(1)又,(2)(2)-(1)得,,即.又当时,,∴.比数列为等比数列,且公比.数列的通项公式;(2)证明:∵当时,正整数都有:.(例19.(2020-东城区校级模拟)已知数列满足:.(1)求;(2)求数列的通项公式;（3）设,若对恒成立,求实数的取值范围.解(2)由两边同减去1,得对上式取倒数,得,又则数列是以为首项,为公差的等差数列,(3)由(2)知,而又,则有又因对恒成立,则有即对恒成立设函数,则所以是单调递减,则当时,取得最大值为即所以实数的取值范围为.(例20)(2020春-天津月考)数列的前项和满足:,为正项数列;数列是首项为,公比为的等比数列.(I)求数列的通项公式;(II)令,数列的前项和,求.为正项数列;数列是首项为,公比为的等比数列.(I)求数列的通项公式;(II)令,数列的前项和,求.解:由,得,由于是正项数列,所以,于是,时,,综上,数列的通项公式,数列是等比数列,,所以;(II)因为,令的前项和为的前项和为,所以,,(1),(2)(1)-(2)得所以;因为,所以得,所以.例21（2020秋-渭城区期中)在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.(I)求数列的通项公式;(II)求证:.(III)设,求数列的前项和.解((I)解:由题意,数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,由等比数列的性质,序号的和相等,则项的乘积也相等知,又,∴(II)证明:∴(III)解:∴数列的前项和自我检测1.（2021春-武侯区校级期中）如图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边（包括两个端点）有个点,相应的图案中总的点数记为,则A.B.C.D.2.(2021春-昌江区校级期末)对于实数表示不超过的最大整数.已知数列的通项公式,前项和为,则A.223B.218C.173D.1683.(2021-万载县校级期末)设数列的前项和为,已知.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,若,求的值.4.(2021-兰州模拟)已知数列中(1)求数列的通项公式;(2)已知的前项和为,且对任意正整数,都有成立.求证:.5.(2021-浙江模拟)已知正项递增等比数列的首项为8,其前项和记为,且.(1)求数列的通项公式;（2）设数列满足,其前项和为,试求数列的前项和.6.(2021-香洲区校级模拟)已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为为其前项和,且满足.数列满足为数列的前项和.(1)求数列的通项公式;(2)求证:.7.(2020-山东模拟)在(1);(2);(3)是与的等比中项,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.已知为等差数列的前项和,若(1)求;(2)记,求数列的前项和.8.(2018-海淀区校级三模)设数列满足.(I)求及的通项公式;(II)求数列的前项和.9.(2016春-汇川区校级期中)已知数列的前项和;(1)求数列的通项公式;（2）设,求.10.(2020春-凉山州期末)为等差数列的前项和,已知.(1)求及;（2）设,数列的前项和为.证明:.11.(2021-让胡路区校级四模)已知数列的首项为,且.(I)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(II)若,求数列的前项和.12.(2021秋-湖北月考)已知数列为等差数列,其公差不为是与的等比中项.(1)求通项公式;(2)记,求数列的前项之和.13.(2021-菏泽二模)已知正项数列的首项,前项和为,且满足).(1)求数列的通项公式;（2）设数列前和为,求使得成立的的最大值.14.(2021-山东模拟)已知正项数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)在(1);(2);(3)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并求解.若,求的前项和.15.(2021春-莲花县校级月考)正项数列的前项和满足:.(1)求;(2)求数列的通项公式;(3)令,求数列的前项和.16.(2020秋•道里区校级期中)数列中,.(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为.求证:.17.(2018秋-天心区校级月考)设正项数列的前项和,且是与的等比中项,其中.(I)求数列的通项公式;(II)设,记数列的项和为,求证.18.(2021-肇庆一模)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,求;(3)设,证明:.19.(2020秋-雨湖区校级期中)已知