高考数学精准复习专项大招5焦半径公式含答案或解析

大招5焦半径公式大招总结圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径.对于椭圆和双曲线上的任意一点,都对应有两条焦半径,对于抛物线上任意一点,焦半径唯一存在.1.椭圆的焦半径公式(1)若Px0,y0为椭圆x(2)若Px0,y0为椭圆y2.双曲线的焦半径公式(1)若Px0,y0①当点P在双曲线的左支上时,PF②当点P在双曲线的右支上时,PF(2)若Px0,y0①当点P在双曲线的上支上时,PF②当点P在双曲线的下支上时,PF3.抛物线的焦半径公式(1)若Px0,y(2)若Px0,y(3)若Px0,y(4)若Px0,y接下来我们来看一下焦半径在具体圆锥曲线问题当中的运用,为了方便起见,本文只证明推导了椭圆的焦半径公式,剩下的按照同样的方法对可以得到对应的结论①代数方法设px0从而焦半径|而x∈[−a,a]②几何方法(利用第二定义)如图,F是椭圆的右焦点,直线l:x=a2c为椭圆准线,P为椭圆上任意一点过P作准线l典型例题例1.(2021·北京)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N,若|MF|=6,则点M的横坐标是解方法1:拋物线C:则焦点F(1,0),准线方程l为x过点M作ME⊥l,垂足为E,设则MF=所以x0+1=6,则所以点M的横坐标为5;点M在拋物线上,故y0所以y0=25所以S△故答案为:5;45方法2:焦半径公式p带入拋物线方程y2=4S例2.(2021春・海珠区期末)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点FA.0,22B.0,12解方法1:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=a2c−c=b方法2:焦半径公式设P点x0,y0解得x0=a2c+a−例3.(2021秋·鼓楼区校级期中)椭圆x212+y23=1的焦点为F1F2解方法1:根据题意,椭圆x212+则c=12−3=3又由线段PF2的中点在y轴上,则PF1与将P的坐标代入椭圆方程可得912+n23又由PF1+PF方法2:焦半径公式设P点x0,y0焦半径公式PPF2例4.以抛物线y2=2px(pA.相交B.相离C.相切D.不确定解方法1:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为p2,0,设点根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=−p2是等距离的,所以PF为直径的圆的半径为2故选C.方法2:焦半径公式设Px0PF中点为圆心,圆心横坐标x1=所以与y轴相切,选C例5.设F1,F2为椭圆C:x23+y解方法1:设F1,F2为椭圆C:x23+y2=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1所以M6点F2为直角三角形的直角顶点时,椭圆的右焦点F2(2,0),此时M方法2:焦半径公式设Mx0若M为直角顶点,勾股定理得到x若F2为直角顶点,勾股定理得到x0=2故答案为:例6.(2019全国高考3卷)已知F1、F2是椭圆x24解:由焦半径公式PF1=a−例7.设F为圆锥曲线的焦点,P是圆锥曲线上任意一点,则定义PF为圆锥曲线的焦半径.下列几个命题①平面内与两个定点F1②平面内与两个定点F1③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和对称轴相切⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切其中正确命题的序号是________.解：①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆,如果距离之和对于零点的距离,轨迹表示的是线段,不表示椭圆，所以①不正确;②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线,这个常数必须小于两点的距离,此时是双曲线,否则不正确,所以②不正确;③当定点位于定直线时,此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线,只有当点不在直线时,轨迹才是拋物线,所以③错误;④设椭圆的方程为x2作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2设PF中点为M,连结PF∴OM是△PFF'根据椭圆定义,可得|PF∴圆心距|OM即两圆的圆心距等于它们半径之差,因此,以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y⑤抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为则以PF为直径的圆的圆心是2x根据拋物线的定义|PF|与P到直线所以PF为直径的圆的半径为2x1+p4,因此以PF⑥设以实轴F1F2为直径的圆的圆心为O线段PF2为直径的圆的圆心为O2当P在双曲线左支上时,O1∵O当P在双曲线右支上时,O1∵∴两圆外切.故⑥正确故答案为:④⑤⑥.自我检测1.设F1,F2为椭圆C:x236+y解:设M(m,n),m,n由于M为C上一点且在第一象限,可得MF△MF1F2a即有6+23m=8,即m=3,可得M(3,故答案为:(3,152.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP解:如图,|AB由题意可得,a−不等式左边恒成立,则a2两边平方整理得:2e2+2e−1⩾0∴椭圆C的离心率的最小值为3−1故答案为3−13.双曲线x29−y216=1的两个焦点为F1、A.85B.165解:设点P(由双曲线x29−∵P∴y∴x代入双曲线方程x2∴25−∴y∴|y∴P到x轴的距离是16故选B.4.长为11的线段AB的两端点都在双曲线x29−y2A.75B.5110C.33解:由双曲线x29−y216=1可知,a=3,bm⩾310|AB|+故选B.5.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与A.m+n=mnB.解:抛物线的焦点F(1,0),准线x设y=k(x−1)设Ax1由抛物线定义可得|AF∴mmn=∴m故选A.6.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|A.34B.1C.54解:∵F是抛物线yF14,0设Ax根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=解得x1∴线段AB的中点横坐标为54∴线段AB的中点到y轴的距离为547.点Ax0,y0在双曲线x24解:a=2,c把Ax0,y0∴|∴2x故答案为:2.8.已知双曲线x216−y29=1的左,右焦点分别为F解:双曲线x216−右准线方程为x=在