高考数学精准复习专项大招4奔驰定理含答案或解析

大招4奔驰定理大招总结【奔驰定理】:若为内任意一点,有,则.证明:如图1,取点,使得,则,即为的重心, 同理. 即证明.与三角形“四心”的结合.(1)是的重心.(2)是的内心.(3)是的外心.(4)是的垂心.证明:如图为三角形的垂心,, 同理得.∴.定理的推广:若在外部,如图3,则:(1)当位于区域(1)所对应的两部分时:.(2)当位于区域(2)所对应的两部分时:.(3)当位于区域(3)所对应的两部分时:.典型例题例1.已知点是内部一点,且满足,则的面积之比依次为（）A.B.C.D.解：方法1:延长,使,如图所示:∵,即是的重心,故的面积相等,不妨令它们的面积均为1,则的面积为的面积为的面积为,故的面积之比依次为,故选.方法,由㚏驰定理得,,故选A.例2.已知是所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在内,则黄豆落在内的概率是（）A.B.C.D.解方法以、为邻边作平行四边形,则,得,由此可得,是边上的中线的中点,点到的距离等于到的距离的.将一粒黄豆随机撒在内,黄豆撒在内的㭠率为.故选C.方法,由奔驰定理得,黄豆落在内的概率为,故选C.例3.已知点是所在平面内一点,且满足,设的面积为,则的面积为（）A.B.C.D.解方法1:如图所示,设的中点分别为,由得:点在上,且到边的距离等于到边的距离的,则的面积为,故选D.方法,由奔驰定理得,:,则的面积为,故选D.例4.已知是的重心,且满足,求角_______.解方法是三角形的重忐,∴∴∵∴∴∴∵和不共线,∴∴∴∵∴.故选D.方法2:∵是重心,∴∴由正弦定理,由余弦定理,∵.（2021秋-湖南月考)设是内任意一点,表示的面积,,,定义,若是的重心,,则()A.点在内B.点在内C.点在内D.点与点重合解:方法1:由已知得中的三个坐标分别为分所得三个三角形的高与的的高的比值,∵,∴离线段的距离最近,故点在内.故选B.方法2:不妨设,根据奔驰定理重心公式可知 题千要求,所以点,必然在过且平行于的直线上,如右图,而,所以点必然在线段上且不包括2个端,点,所以点内部,选B.例6.(2021春-高新区校级月考)为等边三角形内一点,且满足,若与的面积之比为,则实数的值为A.B.1C.2D.3解方法1:取边的中点的中点,连接,作图如下,由可得,即,故点在中位线上,∵与的面积之比为与与的面积之比为,∵这两个三角形等高,∴面积之比等于底边长度之比,即,故点是上靠近点的三等分点,显然此时.故选.方法2:根据奔驰定理,得到例7.(2021秋-铅山县校级月考)已知点在内部,且,记的面积为的面积为,则的值为解方法,整理得:即:,则:点是边中线的中点,由于的面积为的面积为,则.故答案为:方法2:由得:所以例8.(2021秋-迎泽区校级月考)若点是所在平面内一点,且满足,则与的面积之比值为解方法1:如图,取的中点为,则,∵,∴∴.故答案为:..方法2:由得所以例9.(2021-连云港模拟)已知点为内一点,且(其中),:,则解方法1:连接交于,如下图所示:,,则又与共线,故又故答案为方法将变形得:得,所以例10.(2021-江苏四模)设为的垂心(三角形三条高的交点),且,则的值为解方法1:由题,为的垂心(三角形三条高的交点),,.同理,即.设,,,同理可求得,.故答案为:.方法2:,那么再根据向量和四心可以得到设,解得自我检测1.在所在的平面内有一点,如果,那么的面积与的面积之比是()A.B.C.D.答案：方法1:,即,可知向量方向相反,且模长是的3倍,即是的四等分点,设点到直线的距离为,故的面积与的面积之比为.故选A.方法2：,得,

.2.已知的外接圆半径为1,圆心为,且,则的面积为()A.B.C.D.答案：方法1:如图,;由得:,;(1)两边平方得:;同理(2)(3)两边分别平方得:,故选C.方法2:同理证明,则,由奔驰定理得,3.在中,为三角形所在平面内一点,且,则A.B.C.D.答案：方法1:由已知,在中,为三角形所在平面内一点,且,点在平行于的中位线上,且靠近边,从而有,有.故选B.方法2:,即,由奔驰定理得,,故选B.4.已知为的垂心,且,则角的值为答案方法1:,取的中点分别为,记,则,故,即,解得或(舍去),故,故答案为.方法2,设,则,又,,解得或(舍去),,故.5.已知点是内一点,且,则答案方法1:连接并延长,交于,则,即,故,则的面积与面积之比为.方法2:由得:,则由奔驰定理得:,所以6.已知点是内一点,,则A.2B.3C.4D.5答案方法1:如图所示,点是内部一点,满足,延长到点,以为邻边作平行四边形,连接分别交于点.则点是的重心.,不妨设,则,解得.故选C.方法2:因为所以.所以故选C.7.已知点是内一点,若,设,则和的值分别是()A.B.C.D.答案方法1:如图,根据题意不妨设的边,,建立如图坐标系,则的方程为,则,设点坐标为,点在三角形内,则到的距离,则根据,得,解得,由,得解得,.方法2:由得:即:因为所以故,选8.已知点是内一点,,且,则答案方法1:如图,延长到,使,延长到,使,连接,取中点,并连接,设交于,连接,则,且,即方法2:由题意易得,,因为,所以,故9.内一点满足,直线交于点,则()A.B.C.D.答案方法1:内一点满足,直线交于,令,则三点共线,三点共线,重合..故选A.方法2:因为,故,由图易知故2.10.已知是所在平面上的一点,若,(其中是所在平面内任意一点)则是的（)A.外心B.内心C.重心D.垂心答案方法由得,即.即.即.再设为的单位向量,为的单位向量,所以,所以.则说明在的角平分线上,同理可得也在