高考数学精准复习专项大招3双半径单交线公式含答案或解析

大招3双半径单交线公式大招总结当平面ABC⊥平面BCD,△ABC和△则三棱锥A−BCD的外接球半径不管是柱体还是锥体,只要有两个平面垂直,就可以用此公式,此公式让立体几何平面化,即使没有空间想象力,也可以轻松搞定这一类外接球题型的半径,可以说是解决外接球的一大法宝,所以勇哥将此公式放在了本书的封面。在此也说明一下此公式的源头,最早是2018年初我的一位学生告诉我,我论证后,觉得确实没有漏洞，而且相当好用,于是我命名:双半径单交线公式。证明:如图,R典型例题例1.在三棱锥S−ABC中,∠ABC=90解方法1:∵∠ABC=90∘,SO⊥平面ABC,∴外接球的球心M在直线又R=MB=O∴外接球的表面积S=4πR方法2:由双半径单交线公式得,交线,,例2.(2017·深圳二模)已知三棱锥是直角三角形,其斜边平面,,则三棱锥的外接球的表面积为()A.B.C.D.解：如图所示,直角三角形的外接圆的圆心为中点,过作面的垂线,球心在该垂线上,过作球的弦的垂线,垂足为,则为中点,球半径棱锥的外接球的表面积为,故选D.法2:平面平面,设,直角三角形外接圆半径为斜边的一半外接圆半径,外接圆半径,交线,根据双半径单交线所以外接球的表面积为例3.如图,平面四边形中,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面.四面体顶点在同一个球面上,则该球的体积为。解：平面四边形中,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面.四面体顶点在同一个球面上,和都是直角三角形,的中点就是球心,所以,球的半径为;所以球的体积为:;故答案为.法2:双半径单交线公式例4.(2018-石家庄模拟)三棱锥的各顶点都在同一球面上,若,侧面为正三角形,且与底面垂直,则此球的表面积等于。解：方法三棱锥的各顶点都在同一球面上,若,,由可得:,则,所以的外接圆的半径为,侧面为正三角形,且与底面垂直,侧面为的高为.三棱锥的外接球的半径为:.此球的表面积.故答案为:.方法2:侧面底面中,,则,所以的外接圆的半径为,的外接圆的半径为,,此球的表面积.例5.(2021-咸阳二模)四面体中,和均为正三角形,且它们所在平面互相垂直,已知,则四面体外接球的表面积为()A.B.C.D.解：方法设三角形外接圆半径,圆心,球的半径,球心,取中点,由和均为正三角形,且它们所在平面互相垂直可得平面,过作平面的垂线,过作的平行线,两直线交于,则四边形为矩形,在上,,由正弦定理得,即,故,设,则所以,解得,则四面体外接球的表面积.故选.方法2:双半径单交线公式,交线,故选C.例6.(2021春-瑶海区月考)已知中,,平面外一点满足,则三棱锥的外接球的表面积是()A.B.C.D.解：方法1:解:如图所示,中,,斜边的中点为的外心,.,连接,则平面..设三棱锥的外接球的球心为点,则点在线段上.设球的半径为,则,解得.三棱锥的外接球的表面积.故选A.方法2:双半径单交线公式,交线,外接圆半径为,外接圆半径为,由勾股定理得,解得,根据公式.自我检测1.(2020-西安一模)已知是以为斜边的直角三角形,为平面外一点,且平面平面,则三棱锥外接球的表面积为。解答：方法1:由题意知的中点为外接圆的圆心,且平面平面.过作面的垂线,则垂线一定在面内.根据球的性质,球心一定在垂线上,球心一定在平面内,且球心也是外接圆的圆心.在中,由余弦定理得,由正弦定理得:,解得三棱锥的外接球的表面积.故答案为.方法2:双半径单交线公式,三角形外接圆的半径,三角形外接圆的半径,交线.2.(2020-珠海一模)在中,为外一点,满足,则三棱锥的外接球的半径为。解答：方法1:在中,,所以,为外一点,满足,则平面,球心为上一点,如图所示:所以:,设球的半径为,所以,解得:.故答案为:方法2:双半径单交线公式,三角形外接圆的半径,三角形外接圆的半径,交线.3.(2018-东莞市模拟)在三棱锥中,面面则三棱锥的外接球的表面积是。解答：如图,设中点为中点为,面面过作面的垂线,球心必在该垂线上,连接,则.在中,,,即三棱锥的外接球的半径为2,三棱锥的外接球的表面积.故答案为.法面面的外接圆的半径为的外接圆的半径为,外接球的表面积.4.(2021-道里区校级一模)已知四棱锥的底面是矩形,其中,平面平面,且直线与所成角的余弦值为,则四棱锥的外接球表面积为（）A.B.C.D.解答：方法1:如图,取的中点,连接,则平面平面,且平面平面平面平面,设四棱锥的外接球的球心为,连接,设,连接,则底面,直线与所成角的余弦值为,即,设,则,平面平面,且平面平面平面平面,则,又,,解得,可得,又四棱锥的外接球的半径满足:四棱锥的外接球表面积为.故选A.方法2:面面的外接圆的半径为的外接圆半径为,.外接球的表面积.5.(2021-桃城区校级模拟)在中,,顶点在以为直径的圆上,点在平面上的射影为的中点,,则其外接球的表面积为。A.B.C.D.解答：方法1:如图,顶点在以为直径的圆上,为的外心,又平面,且平面,可得平面平面,则的外心即为三棱锥外接球的球心.在中,由余弦定理可得,,设外接圆的半径为,则,得其外接球的表面积为.故选D.方法2:面面的外接圆的半径为的外接圆半径为,外接球的表面积.6.(2021春-宁江区校级月考)在四边形中,为等边三角形,将沿边折起,使得平面平面,则三棱锥外接球的表面积为()A.B.C.D.解答：方法1:如图,取中点,连接为等边三角形,,又平面平面,且平面平面平面平面,又是直角三角形,是三角形的外心,则等边三角形的外心为三棱锥外接球的球心,三棱锥外接球的半径三棱锥外接球的表面积为.故选D.方法2:面面的外接圆的半径为的外接圆半径,外接球的表面积.7.(2021-湖南模拟)已知点是等边外一点,且点在所在平面内的射影恰好在边上,若的边长为2,三棱锥的外接球体积为,则三棱锥体积的最大值为。解答：方法1:如图,点在过直线与平面垂直的球的小圆面的圆周上,当点在平面的射影为中点时,三棱锥体积最大,设等边三角形的中心为,三棱锥的四个顶点都在球上,球的体积为外接球的半径的边长为2,点在所在平面内的射影恰好在边上,设为,过作,垂足为,依题意可得,,又三棱锥体积的最大值为.方法2:面面的外接圆的半径为的外接圆半径为,外接球的表面积,得到,在中,,此时8.(2020秋-驻马店期末)已知平面图形为矩形,是以为顶点的等腰直角三角形,如图所示,将沿着翻折至,当四棱锥体积的最大值为,此时四棱锥外接球的表面积为()A.B.C.D.解答：方法1:当翻折至与平面垂直时,四棱锥的体积最大.因为平行四边形面积不变,四棱锥的高最大时,该几何体的体积最大,,则,取与交点,过点作一直线垂直于平面,取中点,过点作一直线垂直于平面,可知两直线交于点,所以就是四棱