2024七年级数学上专题09 几何图形初步章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

2024七年级数学上册第六章平面图形认识（一）章末重难点题型汇编

考点6与中点有关的长度计算—一------考点1几何图形

考点7与角平分线有关的角度计算--------\/一-

------考点2基本概念

考点8与螃有关的角度计算-----------■!［日片珍加E3—------考点3余角导卜角定义

考点9与几何有关的规律问题---------------/\7,一

------考点4钟面上的角度问题

考点10线段上的动点问题-----------考虑5尺规作图

【考点1几何图形】

【方法点拨】掌握几何图形相关概念是解决此类问题的关键.

【例1］下面的几何体中，属于棱柱的有（）

0S0A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-1］如图，左面的平面图形绕轴旋转一周,可以得到的立体图形是（）

1.AmJJ

【变式1-2】图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②.则下列图形

中，是图②的表面展开图的是()

【考点2基本概念】

【方法点拨】知识点1：线段

像.长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段.线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可

以测量的.线段有两种表示方法：

(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以48为端点的线段，可记作“线段4歹或“线

段段”;

(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段也可记作1线段a”.

知识点2：射线

将线段向一个方向无限延长就得到了射线.射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量

的.

射线的表示法：

两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线,

点0是端点，点4是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线0A.

注意：

①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面.

②端点相同的射线不L定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线

③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸珀方向相同.

知识点3：直线

将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的.

直线的两种表示方法：

(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.

il

AA

(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直

线BA.

【例2】下列说法中正确的个数是()

①线段AB和射线AB都是直线的一部分；

②直线AB和直线BA是同一条直线；

③射线AB和射线BA是同一条射线；

④把线段向一个方向无限延伸可.得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线.

A.1B.2C.3D.4

【变式2-1】下列说法正确的个数有()

①射线AB与射线BA表示同一条射线.

②若Nl+N2=180°,Zl+Z3=180°,则N2=N3.

③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线.

④连结两点的线段叫做两点之间的距离.

⑤40°50'—40.5°.

⑥互余且相等的两个角都是45°.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-21中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是度.

【变式4-31上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为

【考点5尺规作图】

【例5】已知：Na,N0,线段c.

求作：△A8C,使NA=a,Zfi=Zp,AB=c

（不写作法，保留作图痕迹）

C

••

【变式5-1】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：线段a，b,求作：线段48,使48=2b-a.

a

l]

b

I

【变式5-2]作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形

来.比如给定一个△ABC,可以这样来画：先作一条与相等的线段《夕，然后作NB'4'C=N

BAC,再作线段3U=4C,最后连结8'U,这样△△'B1C就和已知的△48。一模一样了.请你

根据上面的作法画一个与给定的三角形一模•样的三角形来.（请保留作图痕迹）

AB

给定的二角形你国的一角形

【变式5-3］如图，在同一平面内有四个点4B,C,D.

（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：

①作射线AC

②作直线BD,交射线AC于点。

③分别连接A8,AD.

（2）观察所作图形，我们能得到：40+0C=;DB-08=（空格处填写图中线段）

D

・

・

B

【考点6与中点有关的长度计算】

【方法点拨】线段的中点

如图，点C在线段AB上且使线段AC,C8相等，这样的点C叫做线段A8的中点.

II

1cn

中点定义的推理步骤：

⑴「ACMCB（已知），

・••点C是线段A/3的中点（中点的定义）.

（2）丁点C是线段49的中点（己知），

:・AC=BC或AC=^AB或BC=^AB或AB=2AC或AB=28。（中点的定义）.

【例6】已知：点C在直线A8上，AC=8cm,8c=6cm,点M、N分别是AC、8c的中点，求线段MN的长.

【变式6-1】如图，线段48,C是线段48上一点，M是4B的中点，/V是47的中点.

（1）若4B=8cm,AC=3.2cm,求线段M/V的长;

（2）若BC=a,试用含Q的式子表示线段M/V的长.

ANCMR

【变式6-2］如图，点C是线段43上，AC=10cm,CB=8cm,M,N分别是AC,8c的中点.

（1）求线段MN的长.

（2）若C为线段28上任一点，满足AC+CB=acm,其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？

（3）若C在线段48的延长线上，且满足4C-8C=acm,M,N仍分别为八C,8c的中点，你还能猜出

线段MN的长度吗？

（4）由此题你发现了怎样的规律？

AA/CNB

【变式6-3】已知：点M,N分别是线段AC,8c的中点.

（1）如图，点C在线段八B上，且AC=9cm,CB=6cm,求线段MN的长：

（2）若点C为线段48上任一点，且4C=acm,CB=bcm,用含有a,b的代数式表示线段M/V的长度.

（3）若点C在线段28的延长线上，且4C=acm,CB=bcm,请你画出图形，并且用含有a,b的代数式

表示线段M/V的长度.

AA/CyB

【考点7与角平分线有关的角度计算】

【方法点拨】角平分线：

（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线.

（2）若0C平分NAOB,则有①40C=N80C.@ZAOC=^ZAOB.（3）ZAOB=2ZAOC=2ZBOC.

【例7】如图，已知OM平分乙AOC,O/V平分N8OC,ZAOB=DO°,ZBOC=30°.

求：(1)N40C的度数:

(2)NMON的度数.

【变式7-1］如图，直线48、CD相交于点。，0E平分N8。。，^AOC=72Q,OFLCD,垂足为。，求:

(1)求N80E的度数.

【变式7-2］如图所示.

(1)已知/八。8=90°,N80C=30°,OM平分N40C,ON平分N8OC,求NMO/V的度数;

(2)ZAOB=a,N8OC=0,0M平分NAOC,ON平分NBOC,求NMO/V的大小.

【变式7-3】已知N4O8=a,过。作射线OC,OM平分NAOC,ON平分N8OC.

(1)如图，若a=120。，当。C在NAO8内部时，求NMON的度数；

(2)当OC在/AO8外部时，画出相应图形，求N'MO/V的度数(用含a的式子表示).

【考点8与旋转有关的角度计算】

【例8】。为直线八。上一点，以。为顶点作NCO£=90°,射线OF平分/40E.

(1)如图①，/40C与NDOE的数量关系为,NCO「和/。。£的数量关系为；

(2)若将NCOE绕点。旋转至图②的位置，OF依然平分NAOE请写出NCOF和NOOE之间的数量关

系，并说明理由；

(3)若将NCOE绕点。旋转至图③的位置，射线OF依然平分NAOE,请直接写出NCOF和NOOE之间

的数量关系.

【变式8-1】已知N408=：100°,ZCOD=40C,OE^^ZAOC,OF平分N8。。.(本题中的角均为大于0

3且小于等于180'的角).

(1)如图1,当。8、0c重合时，求/EOF的度数；

(2)当NCO。从图1所示位置绕点。顺时针旋转(0Vc<90)时，N4OE-NB。5的值是否为定俏？

若是定值，求出NAOE-N8OF的值；若不是，请说明理由.

(3)当NCOD从图1所示位置绕点。顺时针旋转〃。(0</1<180)时，满足N2OD+N£OF=6NCO。,

则n=.

【变式8-2】如图，点。为直线，8上一点，过点。作射线0C,使/8OC=110".将一直角三角板的直角

顶点放在点。处（NOMA/=30°）,一边0M在射线。8上，另一边ON在直线八8的下方.

（1）将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边0M在N8OC的内部，且恰好平分NBOC.求

N8CW的度数.

（2）将图1中的三角板绕点0以每秒5。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，

直线ON恰好平分锐角NAOC,则t的值为（直接写出结果）.

（3）将图1中的二角板绕点O顺时针旋转至图3,使OAZ在24OC的内部，请探究Z4OM与NNOC的数

量关系，并说明理由.

【变式8-3】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点。按如图方式叠放在一起.

（1）如图（1）若N3OD=35°,求NAX的度数，若NAOC=135°,求N80。的度数.

（2）如图（2）若N40C=150。，求/B。。的度数.

（3）猜想N/OC与N8。。的数量关系，并结合图（1）说明理由.

（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的0。边与04边重合，然后绕点0按顺时针或逆时针方向任意

转动一个角度，当N4。。（0°<ZAOD<9O0）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直

接写出N40D角度所有可能的管，不用说明理由.

【考点9与几何有关的规律问题】

【例9】阅读表：

线段A8上的点数〃（包括图例线段总条数/V

48两点）

3U-■]3=2+1

ACB

41____।_i_i6=3+2+l

ACDB

5ACDEB10=4+3+2+1

6ACDEFB15=5+4+3+2+1

解答下列问题：

（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数〃（包括线段两个端点）有什么关系？

（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于48两地，中途停靠三个站点，如果任意两

站间的票价都不同，问：①有种不同的票价？②要准备种车票？（直接写答案）

【变式9-1］（1）试脸探索:

如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：

第（1）组最多可以画条直线；

第（2）组最多可以画条直线：

第（3）组最多可以画条直线.

（2）归纳结论：

如果平面上有〃（n>3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条.（作用含〃的

代数式表示）

（3）解决问题：

某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握次手；最后，每两个人

要互赠礼物留念，则共需件礼物.

（1）（2）（3）

【变式9-2】为了探究〃条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手.

（1）一条直线把平面分成2部分；

（2）两条直线最多可把平面分成4部分；

（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；

把上述探究的结果进行整理，列表分析：

直线条数把平面分成部分数写成和形式

121+1

241+1+2

371+1+2+3

4111+1+2+3+4

•••••••••

（1）当直线条数为5时;把平面最多分成部分，写成和的形式

（2）当直线为10条时，把平面最多分成部分；

（3）当直线为〃条时，把平面最多分成部分.（不必说明理由）

【变式9-3】观察下图，回答下列问题:

（1）在图①中有几个角？

（2）在图②中有几个角？

（3）在图③中有几个角？

（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有〃条射线，此时共有多少个角？

【考点10线段上的动点问题】

【例10］如图，线段A8=12cm,延长八8到点C,使8C=LB,点。是8c中点，点E是AD中点.

2

（1）根据题意，补全图形;

（2）求DE的长;

（3）若动点P从点4出发，以lcm/s的速度向点C运动，到达点C停止运动，点Q从点C出发，以2cm/s

的速度向点A运动，到达点4停止运动，若运动时间为ts,当t为何值时，PQ=3cm?

II

AR

2

【变式10-1］如图，已知数轴上点力表示的数为。，点。表示的数为b,且满足（aG）+|b-4|=0.

(1)写出。、b及48的距离:

a=b=AB=

(2)若动点P从点A出发，以每秒6个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点8出发，以每秒4

个单位长度向左匀速运动.

①若P、Q同时出发，问点P运动多少秒追上点Q?

②若M为AP的中点，/V为P8的中点，点P在运动过程中，线段MN是否发生变化？若变化，请说明理

由；若不变，请求出线段M/VII勺长.

备用图

【变式10-2］如图，线段48=24,动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线48运动，M为4P的中

点.

(1)出发多少秒后，PB=2AM

(2)当P在线段48上运动时，试说明28M-8P为定值.

(3)当P在48延长线上运动，N为8P的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不

变.选出一个正确的结论，并求其值.

■■■■

AMPB

【变式10-3］如图，点。为原点，4、8为数轴上两点，45=15,且0400=2.

（1）A、8对应的数分别为、：

（2）点4B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？

（3）点48以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点。以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在

常数m,使得44P+3OB-mOP为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由.

丁o—L专题10七年级数学上册期末考试重难点题

型【举一反三】

【人教版】

宓字点1

号点1利用数轴判断符号

考点2有理数混合运算

考点3有关数轴的探宪典

七年级数学上册期末考试重难点题型

【考点1利用数轴判断符号】

【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、

绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数人判断即可.

［例1］（2018秋•宿松县期末）有理数小〃在数轴上的表示如图所示，则下列结论中:①时<0,②-心

-h,③〃+〃VO.®a-h<0,⑤〃V|杯正确的有（）

-J0~a>

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-1］（2018秋•西城区期末）如图，数轴上A,8两点对应的数分别是“和江对于以下四个式子：

02«-b；②a+b；③劭-间：④2其中值为负数的是（）

a

BA

-P00-3*

A.①②B.③④C.①③D.②®

【变式1・2】式018秋•九龙坡区校级期中)如图，数轴上A、I两点分别对应有理数纵b,则下列结论:①ab

<0；@a+b>0；③a-QI；@a12*-^2<0,其中正确的有()

BA

•।----------1।A

b-10a1

A.I个B.2个C.3个D.4个

【变式1-3](258秋•黄陂区期中)有理数〃、。、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①如c<。；②

-W-c|=k/-ch③Q-b)(b-c)(c-a)>0：@|a|<l-be,以上四个结论正确的有()个.

a|||blaci、

-101

A.4B.3C.2D.1

【考点2有理数混合运算】

【方法点拨】解决此类问题需熟变式掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，

有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.

【例2】(2019春•黄州区校级月考)计算:

135

(1)(——+--—)x36

6412

128

(2)(-3)2.2—x(——)+4+22x(—)

433

【变式2-1](2018秋•宝应县期末)计算：

(1)-15-[-1-(4-22X5)]

(2)-X2019

2

【变式2-2](2019春•沙坪坝区校级月考)计算：

4

(1)[(-2)x(--)+(-2)3]-345+(-27).

2019

(2)-I_(1__L+1)X(-24).

【变式2-3](2018秋•渝中区校级期末)有理数的计算：

、2232

(1)-1+(2-+1-)+(3——1-)

5353

2O,92

(2)_2+(-1)^^X[I2-(1)+^1

【考点3有关数轴的探究题】

【方法点拨】解次此类问题数形结合思想是关键.

【例3】（2018秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆号半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原

点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒兀个单位，大圆的运动速度为每秒2兀个

单位，

（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，

依次滚动的情况录如下（单位：秒）：

-1,+2,-4,-2,+3,+6

①第次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；

②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果

保留冗）

（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9兀,

求此时两圆与数轴重合的点所表示的数.

【变式3-1］（2018秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A,B两点对应的数分别-4,8.有一动点P从点A

出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第

三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动

（1）当运动到第2018次时，求点P所对应的有理数.

（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某•个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？

若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由.

A•20B•A

【变式3-2］（2018秋•淮阴区期中）已知在纸面上有一数轴（如图1）,折叠纸面.

（1）若1表示的点与-1表示的点重合，则-4表示的点与表示的点重合；

（2）若-2表示的点与8表示的点重合，回答以下问题：

©16表示的点与表示的点重合；

②如图2,若数轴上A、8两点之间的距离为2018（A在8的左侧），且A、8两点经折叠后重合，则A、

B两点表示的数分别是、.

（3）如图3,若相和表示的点。和点。经折叠后重合，现数轴上P、。两点之间的距离

为。（。在Q的左侧），且P、。两点经折叠后重合，求P、。两点表示的数分别是多少？（用含〃?，〃,

。的代数式表示）

2018

_________________人

I..................................'

图2

a

/?八C"

0nm

图3

【变式3-3]（2018秋•海淀区校级期中）下面材料：已知点A、8在数轴上分别表示有理数人b,4、B两

点之间的距离表示为

当A、8两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,\AB\=\OB\=\b\=\a-b\

当4、8两点都不在原点时，

（1）如图2,点4、8都在原点的右边，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=b-a=\a-b\

（2）如图3,点A、8都在原点的左边，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-（-a）=a-b=\a-b\

（3）如图4,点A、B在原点的两边，|AB|=|Q4|+|OB|=|a|+|8|=a+（-b）=a-b=\a-b\

综上，数轴上A、8两点的距离|4B|=|々■引

回答下列问题：

（1）数轴上表示-2和-5两点之间的距离是：

（2）数轴上表示x和-1的两点A、4之间的距离是卜+1|,如果HB|=2,那么x为：

（3）当代数式|x+l|+h・2|取最小值时，相应的x的取值范围是.

asnb

BA0

ba0

图3

【考点4整式加减化简求值】

【方法点拨】整式加减化简求值的•般步骤：①去括号、合并同类项.；②代入求值.

【例4】（2018秋•蒙阴县期中）先化简，再求值:5a2b一国2b-2（2ab-/万）一4/]一3",其中a=-3,6=-2.

【变式4-1］（2018秋•朝阳区期中）先化简，再求值：已知d一2），-5=0,求3（/-2M-（f-6盯）一4），的

值.

【变式4-2］（2018秋•金堂县期中汜知A=3标+〃一5岫，4=2ab-3k+4a?,先求一笈+24,并求当〃=」，

2

〃=2时，-8+2A的值.

【变式4-3］（2018秋•杭州期中）化简求值：已知整式2/+&1-），+6与整式物［2-3x+5y-l的差不含x和

♦项,试求4（/+2bi-a2b）+3a2-2（4//+2a2b）的值.

【考点5代数式求值一整体代入法】

【方法点拨】整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为•个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时

可使复杂问题简单化.

【例5】（2019秋•锡山区校级期中）化简与求值：

（1）若〃?=-5,则代数式1加+|的值为：

5--------

（2）若/〃+〃=一5,则代数式2〃?+2/7+1的值为；

（3）若5〃，-3〃=-5,请仿照以上求代数式值的方法求出2（〃L〃）+4（2〃L〃）+2的值.

【变式5-1］（2019秋•余姚市期末）已知：2x-y=5,求-2（y-2工＞+3y-6犬的值.

【变式5-2］（2019秋•崇川区期末）已知当x=2,y=T时，or：+g〃_y+8=2018,求当x=-4,y=时,

式子3”—24〃v'+6的值.

【变式5・3】（2018秋•慈利县期中）先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题.

例：已知代数式6〉+4）?的值为2,求2y2+3），+7的值.

解：由6），+4y2=2得3〉+2/=|,所以2y?+3y+7=1+7=8.

问题：（1）己知代数式2/+3〃的值为6,求4+射_5的值：

2

（2）已知代数式14X+5-21X2的值为-2,求6/-4X+5的值.

【考点6列代数式】

【例6】（2018秋•淮阴区期中）如图所示

（1）用代数式表示长方形/WCD中阴影部分的面积；

（2）当a=10,。=4时，求其阴影部分的面积.（其中兀取3.14）

D

【变式6-1]（2018秋•甘井子区期中）如图（图中单位长度：求:

（1）阴影部分面积（用含x的代数式表示）；

（2）当x=£求阴影部分的面积g取3.14,结果精确到0.01）.

33

【变式6-2】（2018秋•南安市期末）福建省教育厅日前发布文件，从2019年开始，体育成绩将按一定的原

始分计入中考总分.某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材.学校准备在网上订购一

批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元.现有4、区两家

网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案.

A网店：买一个足球送一条跳绳；

8网店：足球和跳绳都按定价的90%付款.

已知要购买足球40个，跳绳x条乎＞40）

（1）若在A网店购买，需付款—元（用含x的代数式表示）.

若在8网店购买，需付款一元（用含x的代数式表示）.

（2）若x=100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？

（3）当x=100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？

【变式6-3]（2018秋•郑州期中）郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛

球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元.“双十一”期间4、

8两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案.

A网店：买一副球拍送1个羽毛球；

4网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款.

已知要购买羽毛球拍3（）副，羽毛球工个*>30）:

（1）若在A网店购买，需付款—元（用含x的代数式表示）；若在8网店购买，需付款一元.（用含x的

代数式表示）；

（2）若丸=40时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？

（3）当x=40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？

【考点7解一元一次方程】

【方法点拨】一元一次方程解法的一般步骤：

化简方程------分数基本性质

去分母------同乘（不漏乘）最简公分母

去括号......注意符号变化

移项------变号（留下靠前）

合并同类项.....合并后符号

系数化为1--------除前面

【例7】（2019秋•安庆期中）解方程

（1）3x-5（x-2）=2；

（2）2x+lx-2—।

~3T.

【变式7-1]（2018秋•渭滨区期末）解方程

（1）x-2（x-4）=3（I-x）

⑵1-3xT=3+x

~~42~

【变式7-2]（2018秋•榆次区期末）解方程：

（1）x-2SZL=3

2

⑺-[_。・6-3一

近T=0.4

【变式7-3]（2019春•新泰市期中）解方程：

（1）x-3（x+I）-1=2A-

【考点8一元一次方程的应用】

【例8】（2018春•山西期中）果和商品八的零售价为每件IO（X）7t,为了适应市场竞争，商店先按零售价的

九折优惠，再让利2（）元销售，每件商品A仍可获利10%.

（1）商品A的进价为多少元？

（2）现有另一种商品8,其进价为每件500元，每件商品8也可获利8%,商品月和商品8共进货100

件，若要使这100件商品共获利6320元，则商品A,8需分别进货多少件？

【变式8-1］（2018秋•开福区校级期末）某厂接到长沙市一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、8两台

大型设备进行加工.如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用8型设各需要60天做完，为了同

学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制.

（1）两台设备同时加工，共需多少天才能完成？

（2）若两台设备同时加工30天后，8型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13

天.如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过计算说即理由.

【变式8・2】（2019春•南关区校级月考）4、I两地相距480切I,C地在A、8两地之间.一辆轿车以\00km/h

为速度从A地出发匀速行驶，前往3地.同时，一辆货车以8OQ“小的速度从〃地出发，匀速行驶，前

往A地.

（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；

（2）当两车相距1205时,求轿车行驶的时间;

（3）若轿车到达8地后，立刻以12（"〃?〃?的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔

为2.26求C地距离A地路程.

【变式8-3］（2019春•松江区期中）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生

产三种不同型号的电视机，出厂价分别为4种每台1500元，6种每台2100元，C种每台2500元.

（1）若家电商场同时购进A、8两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号

的电视机各多少台？

（2）若商场销售一台4种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电

视机可获利250元.该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时

获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？

【考点9一元一次方程之数轴动点问题】

【例9】（2019秋•江汉区期中）如图在以点。为原点的数轴上，点A表示的数是3,点B在原点的左侧，

且加=640（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点3之间的

距离记作A8）.

（1）8点表示的数是；

(2)若动点。从。点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后见=3P8?并

求出此时P点在数轴上对应的数；

(3)若动点、M、P、N分别同时从A、0、B出发，匀速向右运动，其速度分别为1个单位长度/秒、2

个单位长度/秒、4个单位长度/1秒，设运动时间为/秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的

时间.

B0A

'Q~3~

【变式9-1](2019秋•江岸区校级月考)已知数轴上的4、8两点分别对应数字〃、b,且〃、〃满足|4“-加+

(a-4)2=0

---------------------------------------------->

0

(1)直接写出。、b的值;

(2)。从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当B4=3P8时，求P运动的时间

和P表示的数；

(3)数轴上还有一点。对应的数为36,若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同

时点Q从点B出发.以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点尸运动到点C立即返回再沿数

轴向左运动当PQ=1()时，求P点时应的数.

【变式9-2](2019秋•雨花区校级月考)如图，在数轴上，点。为原点，点A表示的数为小点4表示的

数为〃，且人满足|a+g|+(b-6)2=0.

(1)A,8两点对应的数分别为。=h=

(2)若将数轴折叠，使得点4与点8重合.则原点。与数表示的点重合：

(3)若点A,8分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A,B两点相距2个单位长

度？

(4)若点A,B以(3)中的速度同时向右运动，同时点P从原点。以7个单位/秒的速度向右运动，设

运动时间为/秒，请问：在运动过程中，尸的值是否会发生变化？若变化，请用，表示这个

值：若不变.请求出这个定值.

ab

~AOB>

【变式9-3](2018秋•永新县期末)【新定义】：A、8、。为数轴上三点，若点。到4的距离是点C到3的

距离的3倍，我们就称点C是14,8】的幸运点.

【特例感知】

（1）如图1,点4表示的数为-1,点8表示的数为3.表示2的点。到点人的距离是3,到点4的距

离是1,那么点。是【A,B】的幸运点.

①【8,4】的幸运点表示的数是；

A.~1；8.0；C.1；。.2

②试说明A是【C,E】的幸运点.

（2）如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4,则【M,N】的幸运

点表示的数为.

一1112G]-a

-4-3-2-1012345

图1

IIMI,II11A

-4-3-2-1012345

图2

【拓展应用】

（3）如图3,4、B为数轴上两点，点A所表示的数为・20,点8所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁

P从点8出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当，为何值时，P、A和B三个点中恰

好有一个点为其余两点的幸运点？

/P——B

~^20640-.

（S3）

AP^—B

・・・A

-20040

（备用图）

A-B

・・・A

-20040

（备用图）

【考点10与中点有关的长度计算】

【方法点拨】线段的中点

如图，点C在线段43上且使线段AC,C3相等，这样的点。叫做线段48的史点j

<IcIn

中点定义的推理步骤：

（1）：AC=CB（已知）,

:.点C是线段A8的中点（中点的定义）.

（2）;点C是线段A8的中点（已知），

.・“C=AC或AC=^AB或BC=^AB或AB=?ACn^（中点的定义）.

【例10】（2019秋•洛宁县期末）己知：点C在直线A4上，AC=8c〃?，BC=6m,点、M、N分别是AC、BC

的中点，求线段MN的长.

【变式10-1】（2019秋•郑城县期末）如图，线段A3,C是线段A4上一点，"是A4的中点，N是AC的

中点.

（1）若A8=8c〃?，AC=3.2cm,求线段MN的长；

（2）若3c=〃，试用含〃的式子表示线段MN的长.

ANCMR

【变式10-2】（2019秋•永新县期末）如图,点C是线段AB上,AC=10cm,CB=8an,M,W分别是AC,

BC的中点.

（1）求线段MN的长.

（2）若C为线段43上任一点，满足AC+CB=ac〃?，其他条件不变，不用计算你猜出A/N的长度吗？

（3）若C在线段A3的延长线上，且满足AC-3C=ac,〃，M,N仍分别为AC,3。的中点，你还能猜

出线段MN的长度吗？

（4）由此题你发现了怎样的规律？

AMCNB

【变式10-3】（2019秋•榆社县期末）已知：点M,N分别是线段4C,8C的中点.

（1）如图，点C在线段相上，且4C=9cm,CB=6cm,求线段MN的长；

（2）若点C为线段A5上任一点，且CB=bcm,用含有a,〃的代数式表示线段MN的长度.

（3）若点C在线段A3的延长线上，且AC=ac〃?，CB=bcm,请你画出图形，并且用含有m的代数

式表示线段MN的长度.

AA/CyB

【考点11与角平分线有关的角度计算】

【方法点拨】角平分线：

（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线.

（2）若OC平分NAO8,则有①NAOC=N8OC②NAOC=g/AO8.（3）ZAOB=2ZAO