2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数（教师用书）教学实录新人教A版选修2-2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2024年9月15日上午第二节课

4.教学时数：1课时二、核心素养目标培养学生运用导数分析函数单调性的能力，提升数学建模与推理的能力，增强逻辑思维和抽象思维能力。通过本节课的学习，学生能够理解导数与函数单调性之间的关系，掌握判断函数单调区间的数学方法，并能够应用这一方法解决实际问题。同时，培养学生的数学应用意识，提高数学学习的自信心和成就感。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了函数的基本概念、函数的图像和性质，以及极限的基本概念。他们应该能够识别函数的增减性，并理解函数图像的基本特征。此外，学生可能已经接触过导数的初步概念，包括导数的定义和几何意义。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高一学生对数学的兴趣普遍较高，但个体差异较大。部分学生可能对数学有浓厚的兴趣，善于逻辑推理和抽象思维；而另一些学生可能对数学感到困惑，更倾向于具体和直观的学习方式。学生的能力水平参差不齐，部分学生可能在数学基础方面较为扎实，而有些学生可能对函数和导数等概念理解不够深入。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习导数时可能会遇到以下困难：一是对导数的概念理解不透彻，难以将导数的定义与实际应用联系起来；二是无法正确判断函数的单调性，尤其是在处理复合函数时；三是缺乏解决实际问题的能力，难以将导数的知识应用于解决具体问题。此外，学生的数学抽象思维能力不足也可能成为学习导数的障碍。四、教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过讲解导数的定义和单调性原理，引导学生深入理解概念。

2.设计小组讨论活动，让学生分析具体函数案例，共同探讨如何判断函数的单调区间。

3.利用多媒体教学，展示函数图像和导数变化的动态过程，帮助学生直观理解导数与函数单调性的关系。

4.安排实验环节，让学生通过计算导数来观察函数变化，增强实践操作能力。五、教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们已经学习了函数的基本性质，今天我们将探讨导数在研究函数中的应用，特别是函数的单调性问题。请大家回顾一下，什么是函数的单调性？它是如何影响函数图像的？

（学生）函数的单调性指的是函数在某区间内是单调递增还是单调递减。

（教师）很好，那么我们如何通过导数来判断函数的单调性呢？今天我们就来深入探讨这个问题。

二、新课讲授

1.导数的定义与性质

（教师）首先，我们回顾一下导数的定义。导数是函数在某一点处的瞬时变化率，它反映了函数在该点的变化趋势。

（学生）我明白了，导数就是函数在某一点处的切线斜率。

（教师）正确。接下来，我们来看导数的性质。导数具有连续性、可导性、可微性等性质，这些性质对于判断函数的单调性非常重要。

2.函数单调性与导数的关系

（教师）现在，我们来探讨函数单调性与导数之间的关系。首先，我们假设函数f(x)在区间(a,b)内可导。

（学生）好的，老师。

（教师）如果f'(x)>0在区间(a,b)内恒成立，那么函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增的；如果f'(x)<0在区间(a,b)内恒成立，那么函数f(x)在区间(a,b)内是单调递减的。

（学生）我明白了，导数大于零表示函数递增，小于零表示函数递减。

3.判断函数单调区间的步骤

（教师）那么，如何判断一个函数的单调区间呢？我们可以按照以下步骤进行：

（1）求出函数的导数f'(x)；

（2）找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0；

（3）根据f'(x)在零点两侧的符号，判断函数的单调性。

（学生）谢谢老师，这个步骤很清晰。

4.案例分析

（教师）下面，我们通过一个案例来实际操作一下。请看函数f(x)=x^3-3x^2+4，我们需要判断其在区间(-∞,+∞)内的单调性。

（学生）好的，老师。

（教师）首先，我们求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-6x。然后，我们找出f'(x)的零点，即解方程3x^2-6x=0。解得x=0或x=2。

（学生）解出来了，老师。

（教师）接下来，我们判断f'(x)在零点两侧的符号。当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。因此，函数f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增，在区间(0,2)内单调递减。

（学生）我明白了，老师。

三、课堂练习

1.请同学们独立完成以下练习题：

（1）判断函数f(x)=x^2-2x+1在区间(-∞,+∞)内的单调性；

（2）判断函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1在区间(-1,2)内的单调性。

2.学生完成练习后，教师巡视指导，解答学生的疑问。

四、课堂小结

（教师）今天我们学习了导数在研究函数中的应用，特别是函数的单调性问题。通过本节课的学习，我们掌握了判断函数单调区间的步骤，并能够运用导数解决实际问题。

（学生）谢谢老师，我学会了如何判断函数的单调性。

五、布置作业

1.请同学们完成课后练习题；

2.预习下一节课的内容，即导数在研究函数极值中的应用。

六、课后反思

1.教师对课堂情况进行总结，分析教学效果，找出不足之处，为今后的教学提供改进方向；

2.学生对课堂学习情况进行反思，总结学习心得，为今后的学习做好准备。六、拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《微积分学导论》：这本书可以作为高级数学学习的参考，其中详细介绍了导数的概念、性质和应用，对于想要深入了解导数的学生来说是一本很好的读物。

-《函数与导数》：这本书以函数和导数为核心，通过实例和习题讲解了导数在解决实际问题中的应用，适合想要提高数学应用能力的学生阅读。

-《数学分析》：这本书是数学分析的基础教材，其中包含了导数的定义、性质、极限和连续性等内容，对于有志于深入研究数学的学生来说是一本不可或缺的书籍。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试解决一些更复杂的函数单调性问题，例如含有参数的函数单调性判断。

-探究导数在经济学中的应用，如边际成本、边际收益等概念，以及如何利用导数分析市场供需关系。

-通过数学建模，将导数应用于实际问题中，如物理中的速度和加速度、生物中的种群增长等。

-研究导数在几何学中的应用，例如如何利用导数研究曲线的凹凸性。

-尝试证明一些关于导数的定理，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理，以加深对导数概念的理解。

3.知识点拓展：

-学习导数的运算规则，如导数的四则运算、复合函数的导数等。

-探究隐函数求导和参数方程求导的方法。

-研究导数的几何意义，如切线斜率、曲率等。

-学习洛必达法则和泰勒公式，了解它们在求极限中的应用。

-研究导数在微分方程中的应用，如一阶微分方程的求解。

4.实用性练习：

-设计一个实验，通过测量物体的运动轨迹，计算其速度和加速度，并利用导数进行分析。

-分析一个实际的经济数据集，使用导数来预测市场的未来趋势。

-利用导数分析一个物理系统，如弹簧振子的运动，并绘制速度-时间图和加速度-时间图。七、教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的表现整体良好，能够积极参与讨论，对于导数概念的理解和应用有较好的掌握。大部分学生能够准确判断函数的单调性，并在案例分析中提出自己的见解。然而，部分学生在面对复杂问题时，可能会出现思维混乱，需要进一步练习和指导。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够有效地合作，共同分析函数案例，并展示他们的讨论成果。学生们能够提出不同的解题思路，并互相学习。在展示过程中，学生们能够清晰地表达自己的观点，但部分学生在表达时缺乏逻辑性和条理性，需要加强口头表达能力的训练。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生对导数概念的理解和应用能力有了明显的提高。大部分学生能够正确判断函数的单调性，并能够运用导数解决实际问题。然而，部分学生在处理复合函数的单调性时，仍然存在困难，需要进一步巩固和练习。

4.学生自评与互评：

学生们对自己的学习进行了自评，大多数学生认为自己在本节课中有所收获，但也意识到自己在某些方面的不足。在互评环节，学生们能够客观地评价同伴的表现，并提出建设性的意见。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，教师评价与反馈如下：

-对于积极参与讨论的学生，给予表扬，鼓励他们继续保持；

-对于在小组讨论中表现出色的学生，给予肯定，并鼓励他们在全班面前分享自己的观点；

-对于在随堂测试中表现不佳的学生，教师将提供个别辅导，帮助他们理解和掌握相关知识点；

-对于在表达时缺乏逻辑性和条理性的学生，教师将提供写作和口头表达技巧的指导；

-对于在处理复合函数单调性时存在困难的学生，教师将设计针对性的练习题，帮助他们巩固知识点。

在今后的教学中，教师将关注以下几点：

-加强对导数概念的理解和应用的训练，提高学生的数学思维能力；

-通过案例分析和实际问题解决，培养学生的数学应用能力；

-关注学生的个体差异，提供个性化的教学和辅导；

-鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作和沟通能力；

-定期进行随堂测试，及时了解学生的学习情况，调整教学策略。八、内容逻辑关系①本文重点知识点：

-导数的定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数在该点的变化趋势。

-函数单调性的概念：函数在某一区间内单调递增或递减，即在该区间内，函数值随自变量的增加而增加或减少。

-导数与函数单调性的关系：若导数在区间内恒大于零，则函数在该区间内单调递增；若导数在区间内恒小于零，则函数在该区间内单调递减。

②关键词汇：

-瞬时变化率

-单调递增

-单调递减

-恒大于零

-恒小于零

③关键句子：

-导数是函数在某一点处的瞬时变化率。

-若导数在区间内恒大于零，则函数在该区间内单调递增。

-若导数在区间内恒小于零，则函数在该区间内单调递减。

①本文重点知识点：

-导数的性质：连续性、可导性、