2025年高考数学复习策略-以平面解析几何为例

研究高考试题把握高考脉络

——以平面解析几何为例平面解析几何内容分析平面解析几何高考试题研究一二平面解析几何内容分析一本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。内容包括:直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、*平面解析几何的形成与发展。【内容要求】平面解析几何属选择性必修课程主题二几何与代数部分内容，解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础。本主题将学习平面解析几何，通过建立坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应方程；用代数的方法研究它们的几何性质，体现数形结合的思想。一、平面解析几何内容分析直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)。⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。【内容要求】一、平面解析几何内容分析圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。【内容要求】一、平面解析几何内容分析圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、得到标准方程及简单几何性质。③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。【内容要求】一、平面解析几何内容分析一、平面解析几何内容分析圆锥曲线与方程是由《课程标准（实验稿）》课程文科选修1-1第二部分、理科选修2-1第二部分内容调整过来，要求基本与《课程标准（实验稿）》文科的要求一致，降低了理科选修2-1中的抛物线的要求，由了解圆锥曲线的简单应用修订为了解椭圆、抛物线的简单应用，删去了双曲线的简单应用。删除了：①能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；②结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。圆锥曲线与方程*平面解析几何的形成与发展收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。【内容要求】一、平面解析几何内容分析【课标要求】能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程:

根据具体问题情境的特点建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.1.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程①根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系;②根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；③根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路;④运用代数方法得到结论;⑤给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.2.能够根据不同的情境，建立平面直线的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题.解析几何研究的问题:①根据条件求曲线的方程:②根据曲线方程研究性质.【学业要求】一、平面解析几何内容分析平面解析几何高考试题研究二新高考Ⅰ卷知识点明细2020年2021年2022年2023年2024年单选955、6多选111111填空131414、161612解答2221212216分值2小1大22分3小1大27分3小1大27分3小1大27分2小1大25分二、平面解析几何高考试题研究二、平面解析几何高考试题研究题号2020年2021年2022年2023年单选题5椭圆定义与基本不等式椭圆的性质离心率6直线与圆、三角变换78多选题9(椭圆、圆、双曲线)曲线的方程1011直线与圆直线与抛物线12填空题13直线与抛物线14抛物线的方程圆与圆的位置关系1516椭圆的性质定义双曲线的性质离心率解答题21双曲线，斜率和为定值双曲线，斜率定值，三角形面积22椭圆，定点、定值问题抛物线，矩形周长（弦长）问题题号2024年单选题5678多选题91011曲线与方程填空题12双曲线性质离心率1314解答题16椭圆，三角形面积，求直线方程客观题——直线与圆的考查●研究命题考查意图---知道为什么考(一核)●研究命题选材特点---知道借什么考(四层)●研究命题题型特点---知道怎么样考(四翼)1.考查切线2.题目不给图3.直观想象能力4.作图能力二、平面解析几何高考试题研究客观题——圆锥曲线的考查直线与抛物线相交弦长椭圆焦半径乘积最大值二、平面解析几何高考试题研究二、平面解析几何高考试题研究客观题——圆锥曲线的考查求抛物线准线方程直线与抛物线综合二、平面解析几何高考试题研究直线与椭圆相交弦长椭圆方程离心率求参数客观题——圆锥曲线的考查二、平面解析几何高考试题研究客观题——圆锥曲线的考查双曲线焦点三角形求离心率双曲线定义及对称性求离心率

【命题意图】

试题以丝带的设计体现了数学美与设计美学的有机结合，体现了数学与实际问题的联系.试题考查曲线与方程内容中求曲线的方程以及根据方程研究曲线的性质.试题主要考查了学生类比迁移与自主探究的能力，逻辑推理与数学运算等核心素养，数形结合和化归与转化的数学思想.二、平面解析几何高考试题研究（2024年新高考1卷11题）1.四条曲线几乎年年都考，小题多以考查定义和性质为主，难点的小题往往是以垂直，平行，解三角或解平面几何的条件下考查巧解巧算的能力（小题小做）.2.大题的考查以直线与圆锥曲线位置关系为主的压轴题，双曲线、抛物线成为大题考查的载体和对象，三条曲线可能在大题中轮翻考查3.复习中应强化双曲线的注意点、易错点、易混点.客观题——圆锥曲线的考查二、平面解析几何高考试题研究开放设问方式，形式多变，综合性强，难度以中难为主.04着眼基本关系，立足基本图形，用坐标方法考查几何问题，考查学生的直观想象、逻辑推理、运算及创新能力.0302考察题型一般以“三小一大”为主，分值27分左右.01直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的考查全覆盖，直线与圆、圆与圆、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系成为高频考点.二、平面解析几何高考试题研究新高考Ⅰ卷解析几何——解答题考查2020年2021年2022年2023年2024年位置2221212216载体圆锥曲线椭圆双曲线双曲线抛物线椭圆考点定点定值弦长定值定值、三角形面积弦长问题三角形面积、直线二、平面解析几何高考试题研究近五年高考情况综述（能力立意）（素养导向）从考察思想的角度(学科思想)从考察知识的角度(核心知识)从考察能力的角度(关键能力)从学生问题的角度·基本概念不清晰、基本方法不熟练·运算能力、作图能力、推理能力等欠缺·目标意识、规范意识薄弱·定义·标准方程·几何性质·直线与曲线的位置关系·几何证明·直观想象能力·逻辑推理能力·运算求解能力·坐标思想-数形结合和转化思想·变换与不变量思想·函数与方程(待定系数)思想·分类与整合思想数学核心素养的具体体现案例一二、平面解析几何高考试题研究【命题意图】试题考查了椭圆的标准方程和基本量，考查了椭圆中的定点、定值问题；考查了学生运算求解能力，化归与转化思想，逻辑推理与直观想象等数学核心素养.二、平面解析几何高考试题研究——案例一二、平面解析几何高考试题研究——案例一1、主元思想，因式分解2、主元思想，求根公式3、短除法PQ1、在通性通法中培育学生运算求解能力；2、在方法优化中发展学生数学思维；点乘双根法

基本原理二、平面解析几何高考试题研究——案例一不足：平移操作多，容易出错二、平面解析几何高考试题研究——案例一二、平面解析几何高考试题研究——案例一

齐次化方法“手电筒”模型

齐次化方法证明二、平面解析几何高考试题研究——案例一

注：定值为A点处切线斜率的相反数二、平面解析几何高考试题研究——案例一

案例二二、平面解析几何高考试题研究

二、平面解析几何高考试题研究——案例二Q弦长|PB|为底A到直线PB距离为高弦长|AB|为底P到直线AB距离为高二、平面解析几何高考试题研究——案例二二、平面解析几何高考试题研究——案例二弦长|AP|为底B到直线AP距离为高二、平面解析几何高考试题研究——案例二试题溯源

椭圆（圆）上单动点问题考虑参数方程.试题设问的创新增加试题的区分度案例三二、平面解析几何高考试题研究2024年全国甲卷二、平面解析几何高考试题研究——案例三二、平面解析几何高考试题研究——案例三二、平面解析几何高考试题研究——案例三教材为源二、平面解析几何高考试题研究——案例三极点与极线、调和点列、调和线束的性质试题以极点与极线知识为背景，立意深远，内涵丰富，充分考查学生数学思维。以极点与极线知识为背景的试题在近年高考中屡见不鲜，今年的全国甲卷解析几何解答题与2023年全国乙卷解析几何解答题命题视角完全一致，都是从调和线束的等分性角度设计试题.因此，一线教师在高三复习备考过程中应该对历年高考试题重点关注、深入研究，既要知其然，还要知其所以然，挖其背景，溯其根源.二、平面解析几何高考试题研究——案例三回馈教学参考文章二、平面解析几何高考试题研究——案例三

注意：以上证明仅说明斜率为大于0的情况，实际对直线斜率的其它情况也是成立的，有兴趣的读者可尝试证明.

注：三直线斜率倒数成等差数列.

注：三直线斜率成等差数列.调和线束的性质3：一直线与调和线束中的某条线平行时，与其他三条线相交得到的三个点存在中点关系.

2022年和2023年全国乙卷解析几何解答题一脉相承，以极点极线知识为背景，考查定点问题.教师的解答既要以“接地气”的方式让学生接受，也要以更高的视角研究试题，发挥高考试题的潜在价值.

原创命题

参考文章案例四二、平面解析几何高考试题研究二、平面解析几何高考试题研究——案例四二、平面解析几何高考试题研究——案例四二、平面解析几何高考试题研究——案例四二、平面解析几何高考试题研究——案例四二、平面解析几何高考试题研究——案例四二、平面解析几何高考试题研究——案例四案例五二、平面解析几何高考试题研究二、平面解析几何高考试题研究——案例五二、平面解析几何高考试题研究——案例五二、平面解析几