专题03 平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）-1

专题03平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法一、方法讲解1.奔驰定理：----解决面积比例问题，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故．2.三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．3.常见结论（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．为的内心．（2）外心：为的外心．（3）垂心：为的垂心．（4）重心：为的重心．4.三角形的四心与奔驰定理的关系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的内心：.(4)O是△ABC的外心：.二、重难点例题及变式类型一、奔驰定理例．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由，得，如图，分别是的中点，则，所以在线段上，且，得，设，则，所以，因为，，，所以，则，解得.故选：B【变式训练1】奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SCA．25 B．12 C．1【答案】D【解析】∵O为三角形ABC内一点，且满足OA+2∴OA∵S∴S△AOB故选：D．类型二、重心问题例．（1）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的.（选填：外心、内心、垂心、重心）【答案】重心【解析】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示：则，则，则，，又为非负实数，故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心.故答案为：重心.（2）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC重心，则=．【答案】4【解析】设BC的中点为D，连接AD,GD，由点G为△ABC的外心，可得GD⊥BC，由点O为△ABC重心，可得OD=故OG===1

故答案为：43（3）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，如图所示与的面积之比为根据三角形相似可知，则即由平行四边形法则得根据待定系数法有，则故选：D【变式训练1】已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点，D为边BC的中点．若AD=xAM+yAN(x,y∈A．32 B．23 C．2【答案】A【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得AOAD=2所以32AO=x因为M,O,N三点共线，可得23x+2故选：A．

【变式训练2】点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线OPA．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】A【解析】设BC的中点为点D，所以OB+则OP-若A,P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，若A,P,O,D四点不共线时，AP//OD，且AP=2OD，连结AD,OP，交于点G，如图，AGGD=APOD=2，即点G综上可知，OP经过△ABC的重心.故选：A.【变式训练3】如图所示，中为重心，过点，，，则．

【答案】3【解析】设根据题意，；，，，三点共线，则存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案为：3类型三、垂心问题例．（1）在△ABC中，若HA⋅HB=HB⋅HC=A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心【答案】D【解析】因为HA⋅HB=所以HB⊥CA，即点H在边同理可得：HA⊥所以点H为△ABC的三条高线的交点，即点H是△ABC的垂心.故选：D（2）已知在中，，点为的垂心，则=（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】延长交于点，因为，点为的垂心，所以为的中点，，所以，故选：D【变式训练1】已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若AB⋅AD=AC⋅AD，则直线A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】因为AB⋅AD=所以AD⊥CB，即直线AD一定经过三角形ABC的BC边上的高，即直线AD一定经过三角形ABC的垂心.故选：D.【变式训练2】已知的垂心为点，面积为15，且，则；若，则.【答案】305【解析】如图，

是的边上的高，则；设，因为，面积为15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因为，所以，.故答案为：30;5.类型四、内心问题例．在△ABC中，AB=2AC，动点M满足AM⋅(BC+AC)=0，则直线AMA．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】B【解析】延长AC，使得AC=CD，则BC+因为AM⋅(BC+因为AB=2AC，所以AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分∠BAC，直线AM一定经过△ABC的内心.故选：B.【变式训练1】设的内角，，的对边分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【解析】因为，所以，，即，，所以，．所以，，又，所以，，所以在的平分线上，在的平分线上，所以点是的内心．故选：C．【变式训练2】设O为△ABC的内心，AB=AC=13，BC=10，AO⃗=mAB⃗+nA．1336 B．1318 C．5【答案】B【解析】取BC的中点E，连AE，因为AB=AC=13，BC=10，所以AE⊥BC，AE=13所以△ABC的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径，因为S△ABC所以12所以12×12×10=1所以AO=AE-OE=12-10所以AO=又AE=12又已知AO=mAB+n所以m+n=13故选：B.【变式训练3】已知△ABC所在的平面上的动点P满足AP=|AB|AC+|AC|A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【解析】因为AP∴AP=|∴根据平行四边形法则知1|AC|而向量AP与1|∴P点的轨迹过△ABC的内心.故选：C．类型五、外心问题例．（1）已知点在所在平面内，满足，则点是的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】因为，即点到的距离相等，所以点是的外心.故选：A（2）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】B【解析】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，所以，，设，则，又是的外心，所以，所以.故选：B【变式训练1】为所在平面内一点，且满足，则是的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】依题意，，，，则，于是，所以是的外心.故选：B【变式训练2】已知O是△ABC的外心，AB+AC=2AO，OA=AB，则向量A．-14BC B．-2【答案】C【解析】由AB+AC=2AO，所以O是BC的中点，又则∠BAC=90∘，再由OA=则△ABO为正三角形，∠ACB=30角度一：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD=12BO=所以向量AC在向量BC上的投影向量等于DC=角度二：设BC=2，则AB=1，所以所以向量AC在向量BC上的投影向量等于AC⋅故选：C.【变式训练3】已知O为的外心，，则（

）A．8 B．10 C．12 D．1【答案】A【解析】如图，O为的外心，过作于因为，所以则.故选：A.类型六、奔驰定理与四心问题例．（1）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（

）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，为的外心，则D．若为的垂心，，则【答案】C【解析】对于A：取的中点D，连接，由，则，所以，所以A，M，D三点共线，且，设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为，则有，所以，即，故B正确；对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为，又，则有，所以，，，所以，故C错误；对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，由为的垂心，，则，又，则，，设，则，所以，即，所以，所以，故D正确．故选：C．（2）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则为的重心B．若，则C．若，，，则D．若为的垂心，则【答案】ABD【解析】对于A：如下图所示，假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，则有可知，若，可得，即B正确；对于C：由，可知，又，所以，由可得；所以，即C错误；对于D：由四边形内角和可知，，则，同理，因为O为的垂心，则，所以，同理得，，则，令，由，则，同理：，，综上，，根据奔驰定理得，即D正确.故选：ABD.【变式训练1】如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=A．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6【答案】A【解析】O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，因此，S△BOC同理S△BOC于是得tan∠BAC:又OA由“奔驰定理”有S即S△BOC:S故选：A.【变式训练2】在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的内心，且AO=λABA．910 B．710 C．8【答案】D【解析】先证明：引理（“奔驰”定理）如图1，O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC证明

如图3，延长AO，与BC边相交于点D，则BDDC记BDDC=λ，则BD=λ所以-1+λ又OD=-ODOA从而SA接下来证明定理3

O是△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC证明：设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则S△BOC根据引理得，O是△ABC的内心⇔aOA由AO=λAB+μ即1-λOA因为O为△ABC的内心，AB=2，AC=3，根据定理3，可知1-λ4=λ-μ3=μ2故选：D．【变式训练3】在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B【变式训练4】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA⃗+SB⋅

A．-63 B．-66【答案】B【解析】

如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E.由M为△ABC的垂心，3MA⃗+4得SA:S又S△ABC=SA+SB设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos所以cos∠BMD=所以cos∠AMB=故选：B.三、能力测试练1．已知在△ABC中，G为△ABC的重心，D为边BC中点，则（

）A．AB+ACC．AB⋅AC【答案】C【解析】在△ABC中，G为△ABC的重心，D为边BC中点，对于A，因为AB+对于B，因为AD=对于C，因为在△ABC中，D为边BC中点，则AB=所以AB⋅对于D，若AB⋅则AB-AC⋅AD=0又D为边BC中点，故AB=AC，这不一定成立，故D错误.故选：C．2．在△ABC中，AB=4,AC=6，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，AE=12EC，若AP=AD+A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因为AB=4,AC=6，且D为AB中点，AE=则AD=又因为AP=AD+即AP为菱形ADPE的对角线，所以AP平分∠BAC，即直线AP经过△ABC的内心故选：A.3．已知平面向量OA，OB满足OA=OB=2，OA⋅OB=-2，点D满足DA=2OD，A．-163 B．-83【答案】B【解析】由题意，OA=∵OA⋅OB=∴两向量夹角θ=2∵DA=2OD，以O为坐标原点,OA,垂直于OA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则O0,0,A2,0,B-1,3,设解得x=2∴D又E为△AOB的外心，∴∠AOE=12∠AOB=∴△AOE为等边三角形,∴E1,∴ED=∴OB⋅故选：B.4．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为A．23-8 B．-2 C．6【答案】A【解析】因为a=3，b=23，c=5所以cosB=因为O为△ABC的内心，设∠1=∠OBC,∠2=∠OBA，由题意∠1=∠2，则SA同理可得S所以根据“奔驰定理”有aOA所以aBA即BO=所以BO⋅=5故选：A．5．（多选）在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内的一点，AP=xAB+yA．若P为△ABC的重心，则x+y=12 B．若P为△ABCC．若P为△ABC的垂心，则x+y=716 D．若P为△ABC【答案】BCD【解析】在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为△ABC内的一点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,4)，B(-3,0)，C(3,0)，对于选项A：若P为△ABC的重心，则xP=0-3+33=0所以AP=(0,-若AP=xAB+y解得x=y=13，所以对于选项B：若P为△ABC的外心，其必在直线AO上，所以PB⋅对于选项C：若P为△ABC的垂心，其必在AO上，设P(0,m)，则CP⋅AB=(-3,m)⋅(-3,-4)=9-4m=0此时AP=(0,-若AP=xAB+y解得x=y=732，所以对于选项D：若P为△ABC的内心，设内切圆半径为r，则12×6×4=12×r×(5+5+6)此时AP=(0,-若AP=xAB+y解得x=y=516，所以故选：BCD．6.（多选）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（

）A．若OA⋅OB=OB⋅B．若AO=λABABsinBC．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCD．若OA⋅ABAB+CA【答案】BCD【解析】A选项，OA⋅OB-OB⋅OC=0同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，则点O为△ABC的垂心，A错误；B选项，过点A作AE⊥BC于点E，取BC的中点F，连接AF，则ABsinB=AE则AO=λ故点O在中线AF上，故向量一定经过△ABC的重心，B正确；C选项，如图，F,H分别为BC,AC的中点，2OA则4OH+2OF所以OH=1故S△AOCD选项，ABAB,CACA分别表示故ABABOA⋅ABAB+CA由三线合一可得，O在∠A的平分线上，同理可得，O在∠B,∠C的平分线上，则点O是△ABC的内心，D正确.故选：BCD.7.已知△ABC中，点G,O分别是△ABC的重心和外心，且AG⋅AO=4,AG=2【答案】2【解析】延长AG交BC于点D，连接OD，作OH⊥AC于点H，则D,H分别为BC,CA的中点，如下图所示：易知AC⋅同理可得AB⋅由重心性质可知AG⋅所以AB2又AD=32AG=3所以AB+AC2因此BC2=AC故答案为：238．已知△ABC中，AO=λAB+(1-λ)AC，且O为△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量为μBC，且cos【答案】2【解析】因为AO=λ则AO-AC=λ(AB-AC)，所以CO因为O为△ABC的外心，即有|OA所以△ABC为直角三角形，因此AB⊥AC，O为斜边BC的中点．因为cos∠