大学物理三习题答案

11-13章第十一章静电场一、选择题11.1.1.有关“电场”的下列说法，哪一个是不正确的。（）。（A）电场是物质存在的一种形式，在电荷的周围存在着电场这种物质；（B）电场强度矢量是描述电场的物理量之一，它是矢量而且是空间的点函数；（C）电场强度矢量定义为试验电荷所受到的电场力（库仑力）与试验电荷电荷量的比值，因此，空间某处的电场强度与试验电荷的大小和正负有关。（D）电场强度矢量定义为试验电荷所受到的电场力（库仑力）与试验电荷电荷量的比值，但空间某处的电场强度与试验电荷的大小和正负无关，它是产生电场的电荷系统和空间点（场点）的函数。答：C解答：根据同种电荷相斥、异种电荷相吸引，也就是说电荷与电荷之间存在着相互作用这一实验事实，我们可以推测，在电荷的周围存在着一种物质，这种物质我们称其为电场。电场是物质存在的一种形式。所以A正确。为了定量地描述电场的物质属性，我们引入电场强度矢量这一物理量，它是空间的点函数。空间点不同，这个矢量的大小和方向都有可能不同，所以B是正确的。在电荷系统产生的静电场当中引入试验电荷，这个试验电荷要受到电场力的作用。这个力是库仑力，它的大小和方向不仅仅与电荷系统产生的电场有关，还与试验电荷的电荷量的大小以及试验电荷的正负有关。但这个库仑力与试验电荷的比值（包括试验电荷的电荷量的大小和正负），却是一个与试验电荷无关的物理量（矢量）。这个矢量，我们就定义为电场强度矢量，它是电荷系统产生电场的电荷系统以及空间点（场点）的函数。所以D是正确的，C是错误的。11.1.2.带电量为的粒子（视为点电荷）在带电量为的点电荷的静电力作用下，绕点电荷作半径为的匀速圆周运动。如果带电粒子和点电荷的电量均增大一倍，，，并且点电荷依然静止，带电粒子绕点电荷圆周运动的速度不变，则带电粒子绕点电荷圆周运动的轨道半径变为（）。（A）（B）（C）（D）答：D解答：设带电粒子的电荷增倍后匀速圆周运动的半径为，则，；，，，11.1.3.如作业图11.1.3所示，两个等量同号点电荷之间的距离为，带电量为。则P点的电场强度为（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：由电场强度叠加原理，P点的电场强度为11.1.4.如作业图11.1.4所示，两无限大均匀带电平面A和B，A的电荷面密度为,B的电荷面密度为。则a、b、c处的电场强度大小分别为（）。（A）（B）（C）（D）答：A解答：由无限大带电平面产生的电场强度，得到三个区域的电场强度，，11.1.5.如作业图11.1.5所示，一带电量为的点电荷位于立方体的角上，则通过侧面的电场强度通量等于（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：将A点处补充7个正方体，构成点电荷在正中间的大正方体。由高斯定理，穿过大正方体表面的电通量为；而小正方体侧面是大正方体表面的1/24。11.1.6.如作业图11.1.6所示，均匀电场的电场强度为，其方向平行于半径为的半旋转椭球面的轴，则通过此半椭球面的电通量为（）。（A）0（B）（C）（D）答：B解答：将半旋转椭球面与圆面组成一个高斯面。由高斯定理，穿过高斯面的电场强度通量为零，。而，11.1.7.电场中高斯面上各点的电场强度由：（）。（A）分布在高斯面上的电荷决定（B）分布在高斯面内的电荷决定（C）空间所有电荷决定（D）高斯面内电荷的代数和决定答：C解答：首先我们说高斯定理是静电场的一个普遍规律。穿过一个闭合曲面的电场强度的通量与这个曲面所包围的电荷量的代数和成正比。这里特指的是电场强度的通量，而不是电场强度本身。在使用高斯定理要积分的时候，要使用高斯面上的电场强度。高斯面上的电场强度不仅仅是由高斯面内的电荷决定、也不是由高斯面内的电荷的代数和决定、更不是高斯面上的电荷决定，是由空间所有电荷及其分布决定。所以A错误，B错误，C正确，D错误。11.1.8.关于真空中静电场的高斯定理：，下述说法正确的是（）。（A）高斯定理只对具有某种对称性的静电场才成立（B）是高斯面内外所有电荷的代数和（C）高斯面上的电场强度只与高斯面内的电荷有关（D）电场强度是高斯面内、外所有电荷共同激发的，电荷的代数和是高斯面所包围的电荷量的代数和答：D解答：首先我们说高斯定理是静电场的一个普遍的规律，在任何条件下，对于静电场来说，都是成立的；只不过是，在应用高斯定理来求解静电场的电场强度的时候，我们得要求这个电荷分布或者说电场强度的分布具有高度的对称性，那个积分才能够算得出来，才能够求得电场强度；至于说高斯定理本身并没有要求电荷分布或者说电场强度具有高度的对称性；所以A是错误的。在高斯定理中，电荷量的取和是高斯面所包围着的所有的电荷的代数和，这个代数和不包括高斯面外的电荷；所以B是错误的。高斯面上的电场强度是所有的电荷共同产生的，不仅仅是高斯面内的电荷；所以C是错误的。在高斯定理中的电场强度是高斯面内外，也就是说整个空间所有的电荷共同激发的；这个电荷的代数和，是高斯面所包围的电荷的代数和，不包括高斯面外边的电荷；所以D是正确的。11.1.9.半径为的均匀带电球面，若其电荷密度为，则在距离球面处的电场强度的大小为（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：以为半径做同心球面为高斯面。则穿过高斯面的电通量为高斯面所围电荷为由高斯定理，得到，11.1.10.如作业图11.1.10所示，真空中有一电量为的点电荷位于点，在与它相距为的点另有一电荷量为的点电荷，如果沿半圆到达点，则静电力做功为（）。（A）（B）（C）（D）0答：D解答：电量为的点电荷产生的静电场在A、B两点的电势相等，对点电荷做功为零。实际上，由于库仑力是沿着径向的、而位移是沿着切向的，，11.1.11.如作业图11.1.11所示，两个带电平行板上各开有一个小孔，距离为。设A板的电势为，B板的电势为。带有电荷的质点垂直射入A板的小孔并从B板的小孔出射，则此带电质点的动能增量等于（）。（A）（B）（C）（D）答：B解答：动能的增加等于静电势能的减少或者，由电场力（库仑力）做功等于动能的增量，得到11.1.12.真空中带电的导体球面与均匀带电的介质球体，它们的半径和所带的电量都相同，设带电球面的静电能为，带电球体的静电能为，则（）。（A）（B）（C）（D）无法确定答：A解答：带电的导体球面与均匀带电的介质球体在球外空间的电场相同，但带电的导体球面在球内空间的电场为零而均匀带电的介质球体在球内空间的电场不为零。因此，均匀带电的介质球体比均匀带电的导体球面多了球面内部的电场的能量。11.1.13.关于静电场中某点的电势，下列说法正确的是（）。（A）电势值只由产生电场的电荷决定（B）电势值只与电势的零点选择有关（C）正电荷产生的电场的电势一定为正值，负电荷产生的电场的电势一定为负值（D）电势值由产生电场的电荷和电势的零点决定答：D解答：静电场的电势值由电场本身的性质和电势零点的选择有关。而静电场是由静止的电荷产生的，所以我们说静电场的电势值或者是电势分布，由产生静电场的电荷和电势的零点决定。所以D是正确的。而A说电势值只能由产生电场的电荷决定，这是不对的，还有电势零点的选择呢。而B呢，电势值只与电势的零点选择有关，也是不对的，它还与电场有关呢，或者说与产生静电场的电荷有关。所以A和B都是错误的。再来看C，正电荷产生的电场的电势一定为正，负电荷产生的电场的电势一定为负；这也不一定，那还得要看电势零点的选择。比如说我们选择有限远处为电势的零点的话，那么离正电荷比这个电势零点更远的距离处，电势值就是负的；而对于负电荷产生的电场，离电势零点远的地方，电势值是正的。当然了，如果选择无限远处为电势的零点，那么正电荷产生的电场的电势一定为正值，负电荷产生的电场的电势一定为负值。所以说，静电场的电势值与静电场的性质有关，或者与产生静电场的电荷有关，同时它还与电势零点的选择有关。11.1.14.如作业图11.1.14所示的电荷量为点电荷电场中，若取P点处为电势零点，则M点的电势为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。答：C解答：如果取无限远为电势零点，则P、M的电势分别为，静电场中空间两点的电势差与电势零点的选择无关，则P、M的电势差为取P点处为电势零点（），则M点的电势为也可以直接积分得到M点的电势11.1.15.两个均匀带电的同心球面，半径分别为和，所带电量分别为和，设无穷远处为电势零点，则距球心为的点（<<）的电势为（）。（A）（B）（B）（D）答：A解答：由高斯定理得到电场分布（方向沿径向），（）；，（）则距球心为的点（<<）的电势为11.1.16.如作业图11.1.16所示，点是两个相同的点电荷的连线中间，点为中垂线上的一点，则，两点的电势和电场强度大小有如下关系（）。（A），（B），（C），（D），答：B解答：（1）取无限远为电势零点，负电荷产生的电场的电势为负，离负电荷越远电势越高；再由电势叠加原理得到，。（2）由电场强度叠加原理，O点电场强度为零，而P点电场强度不为零，则。11.1.17.如作业图11.1.17所示，半径为的均匀带电球面，总带点量为，设无穷远处的电势为零，则距离球心为（）的P点处的电场强度的大小和电势为（）。（A），（B），（C），（D），答：B解答：由高斯定理，得到球面内、外的电场强度（方向沿径向），进而求得P点的电势11.1.18.空间某区域的三个等势面如图16-2所示，已知电势，设图中标出、两点的电场强度大小分别为和，则（）。（A）（B）（C）（4）无法判断答：A解答：由电场强度与电势的微分关系，电势变化大的地方也就是等势面密的地方，电场强度（大小）大，。11.1.19.如作业图11.1.19所示，图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图可看出电场强度的大小和电势的高低关系为（）。（A），（B），（C），（D），答：C解答：（1）电场强度的方向指向电势减小的方向，则。（2）电场线疏密表示电场强度的大小，电场线越密的地方电场强度的值越大。由此可以得出三A、B、C点电场强度大小的关系，。11.1.20.在静电场中电场线为等间距平行直线的区域内（）。（A）电场强度相同，电势不同（B）电场强度不同，电势相同（C）电场强度不同，电势不同（D）电场强度相同，电势相同答：A解答：首先我们说电场线的疏密表示了这个区域电场的强弱。电场线越密的地方，电场强度的值越大；电场线越疏的地方电场强度的值越小。既然这个区域的电场线是等间距而且是平行直线，那么在这个区域，电场强度的值是一样的，也就是说这是均匀电场，电场强度相同。静电场的电场线指向电势减弱的方向，如图所示，既然是均匀电场，那就除了一些等势面外，比如说我们图上画的A、B、C虚线是等势面，等势面之间的电势是不等的。因此在这个区域中，电势是不同的。11.1.21.下列说法正确的是（）。（A）等势面上各点的电场强度的大小一定相等（B）电场强度小的地方电势不一定低，电势高的地方电场强度一定大（C）沿电场线方向移动负电荷，负电荷的电势能是增加的（D）初速度为零的点电荷在电场力的作用下运动，它总是从高电势处移向低电势处答：C解答：（1）等势面说的是在这个空间曲面上各点的电势相等，不代表电场强度就一定相等。如处于静电平衡的导体，它的表面是个等势面，但导体表面曲率不同的地方的面电荷密度不同，从而它的电场强度大小也是不一样的。A错误。（2）由电场强度与电势的微分关系，电场强度是电势的梯度。电场强度的大小与电势的空间变化率成正比，是与电势的空间变化有关，而不是与电势的高低有关。所以B错误。（3）沿着电场线方向移动负电荷，注意是负电荷，电场力是做负功。因此，这个负电荷的电势能是增加的。因此C是正确的。（4）初速度为零的点电荷在电场力的作用下运动，电场力一定是做正功，电荷的电势能一定是减少的；但不代表静电场的电势就一定减小。比如，在静止的正电荷所产生的静电场当中，如果一个正电荷在这个场中由初速度为零开始在静电场力的作用下运动，那么正电荷逐渐远离产生静电场的正电荷，运动的正电荷确确实实是从高电势向低电势处运动；但如果运动电荷是负电荷，那在正电荷产生的静电场当中，在电场力的作用下，负电荷要向着到正电荷运动，负电荷由低电势向高电势处运动。因此D错误。11.1.22.当一个带电导体达到静电平衡时（）。（A）导体表面上电荷密度较大处的电势较高（B）导体表面曲率较大处电势较高（C）导体内部的电势比导体表面的电势高（D）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零答：D解答：这个题目涉及到的是达到静电平衡时导体的电势问题。达到静电平衡时，导体是个等势体，导体的表面是个等势面。达到静电平衡时，导体表面上电势处处相等，与导体表面面电荷密度无关，A错误。达到静电平衡时，导体表面上的电势处处相等，与导体表面的曲率无关，B错误。达到静电平衡时，导体是个等势体、导体的表面是个等势面，导体上的电势处处相等，导体上的任意两点（包括表面）的电势差等于零。C错误，D正确。11.1.23.在一个孤立导体球壳内，如果在偏离球心处放一个点电荷，则球壳内、外表面上将出现感应电荷。则下面哪一个是正确的（）。（A）球壳内、外表面感应电荷均匀分布（B）球壳内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布（C）球壳内表面感应电荷均匀分布，外表面感应电荷不均匀分布（D）球壳内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷不均匀分布答：B解答：这是一个有关处于静电平衡导体表面电荷分布的问题。处于静电平衡的导体，它的电荷只能分布在导体的表面。因为这个是个球壳，导体表面的曲率处处相等。对于球壳外表面，外部没有其他的电荷，所以球壳外表面的电荷应该是均匀分布的。对于球壳内表面，如果壳内没有电荷，那么内表面没有电荷分布；如果壳内有电荷但处在球心处，那么内表面有感应电荷而且是均匀分布的；如果壳内这个电荷偏离球心，球壳内表面感应电荷就不再是均匀分布的。因此这个问题是，外表面的电荷是均匀分布的，球壳内表面感应电荷是不均匀分布的。11.1.24.一封闭导体壳C外有一些带电体，所带电荷分别为…。…的大小对C内的电场强度和电势的影响为（）。（A）对电场强度有影响，对电势无影响（B）对电场强度无影响，对电势有影响（C）对电场强度、电势均有影响（D）对电场强度、电势均无影响答：B解答：导体壳内没有电荷，但壳外有电荷。由于壳内没有电荷，由高斯定理，导体壳的内表面也就不存在电荷。因此外部电荷的大小及其变化（包括位置）对球壳内的电场是没有影响的。但是导体壳外的电荷的大小及其变化（包括位置）对导体壳的外表面的电荷分布有影响，他们共同使得导体内的电场强度为零。导体壳外的电荷的大小及其变化（包括位置）要影响壳外的电场。因为电势是电场强度的第二类曲线积分，导体壳外的电荷的大小及其变化（包括位置）对导体壳内的电势是有影响的。这个问题是，导体壳外的电荷的大小，对壳内的电场强度没有影响，但是对电势有影响。11.1.25.关于有介质的静电场的高斯定理，下列说法中正确的是（）。（A）若高斯面内不包围自由电荷，则穿过高斯面的电位移矢量通量和电场强度通量均为0（B）若高斯面上的电位移矢量处处为0，则高斯面外自由电荷的代数和必为0（C）高斯面上各点电位移矢量仅由面内自由电荷决定（D）穿过高斯面的电位移矢量通量仅仅与面内自由电荷有关，而穿过高斯面的电通量与高斯面内的自由电荷和束缚电荷均有关答：D解答：有电介质存在时的高斯定理可以表示为，其中，为高斯面，为高斯面上的电位移矢量，为高斯面上的电场强度矢量，为高斯面所围着的自由电荷的代数和，为高斯面所围着的束缚（极化）电荷的代数。（1）穿过高斯面的电位移矢量通量仅仅与高斯面所围着的自由电荷有关，而穿过高斯面的电通量不仅仅与自由电荷有关还与高斯面所围着的束缚（极化）电荷有关。所以D正确。（2）如果高斯面不包围自由电荷，穿过高斯面的电位移矢量的通量一定是零；但电场强度通量还与高斯面围着的束缚电荷有关，不一定为零。A错误。（3）高斯定理告诉我们，穿过高斯面的电位移矢量通量与高斯面包围着的自由电荷有关。如果高斯面上的电位移矢量处处为零，积分为零，也就是电位移矢量通量肯定为零，则高斯面所围着的自由电荷的代数和必定为零，高斯面内的自由电荷的代数和为零，不是高斯面外的自由电荷的代数和为零。所以B错误。（4）高斯面上各点的电位移矢量不仅仅是由高斯面内自由电荷产生的，它是空间所有电荷，包括高斯面内、外的自由电荷以及高斯面内、外的束缚电荷共同来决定的。高斯面上各点电位移矢量不仅仅由面内自由电荷决定。C错误。11.1.26.如作业图11.1.26所示，半径为的导体球带电荷为，球外套一个内外半径分别为的同心介质球壳，介质的相对介电常数为，在距离球心处的P点的电场强度为（）。（A）（B）（C）（D）答：D解答：做半径为的同心球面为高斯面，由高斯定理得到，；，11.1.27.平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间平行插入一导体平板，则电容，极板间电压，极板空间的电场强度以及电场的能量将（）。（A）减小，增大，增大，增大（B）增大，减小，减小，不变（C）减小，减小，减小，不变（D）减小，减小，减小，减小答：B解答：电容器内插入“导体”板，由于电容器已经切断电源，极板上的电荷量不变；在插入的导体板两面分别感应出等量的异号电荷；因此，电容器极板间电场强度不变（但导体板内电场强度为零）。由于电容器极板间电场强度不变，而由于导体板的插入，导致电场存在的空间变小，电场的能量将减少。电容器极板间电场强度不变，而由于导体板的插入，导致电场存在的空间变小，电势差（电场强度的积分）变小。电容器储存电荷不变，但极板电势差变小，电容器电容增大。11.1.28.一个空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质（如煤油），则两个极板之间的电场强度、电容、极板之间的电势差和电场能量四个量与未充入电介质之前相比（）。（A），，，（B），，，（C），，，（D），，，答：C解答：电容器内加入电介质，电容器的电容增大；电容器电荷量不变，极板间电势差减小；极板间电势差减小，极板间电场强度变弱；极板间电场强度变弱，而由于电荷量不变电位移矢量不变，电场能量减少。11.1.29.一个空气平行板电容器充电后与电源断开，然后将电容器两电极板之间的距离拉大，则两个极板之间的电场强度、电容、极板之间的电势差和电场能量四个量与未拉开极板之前相比（）。（A）不变，变小，变大，变大（B）变大，变小，变大，变大（C）变小，变小，变大，变小（D）变小，变小，变小，变小答：A解答：电荷量不变，则两个极板之间的电场强度不变。极板之间距离增大，而电场强度不变，则电容器两极板间的电势差增大。电荷量不变，电势差增大，电容器的电容减小。电场强度不变，电场存在的空间增大，则电场能量增加。11.1.30.如作业图11.1.30所示，当把一个电介质板插入图中两个相同电容器中的一个的极板间时，则另一个电容器的电场强度、电容、极板之间的电势差和电场能量四个量会如何变化（）。（A）变大，不变，变大，变大（B）变大，变大，变小，变大（C）变小，不变，变大，变大（D）变小，变小，变小，变小答：A解答：插入电介质的电容器的电容增大，；未插入电介质的电容器的电容不变，。另一个电容器的电容不变。电容器串联，；由于电源不变，电压不变。由此得到两个电容器的电压，由于电增大，而不变，变小；因此，变大。另一个电容器的电压变大。由于变大，因此，电场强度增大、电容器储存的电场能量增大。另一个电容器的电场强度变大、电场能量变大。二、填空题11.2.1．电荷的量子性指的是：；电荷的相对论不变性指的是：；电荷守恒定律指的是：。答：电荷总是以一个基本单元的整数倍出现；一个电荷的电荷量与它的运动状态（速度、加速度）无关，电荷量也不因参考系的变换而改变，或者说，在相对运动的参考系中测得的带电体的电量相等；在一个与外界没有电荷交换的孤立系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。11.2.2．“点电荷”指的是：。答：当一个带电体本身的线度比起我们所研究的问题中所涉及的距离小很多时，该带电体的大小和形状以及电荷在带电体上的分布状况等因素的影响可以忽略不计，该带电体就可以看作一个带电的点。11.2.3．电场强度定义为：；但空间某点的电场强度与试验电荷，只由产生电场的电荷。答：置于电场中某点的一个试验电荷所受的力与它的电荷量的比值称为电场强度；无关；决定。11.2.4．点电荷的电场强度表达式为：，对于正负电荷都适用；其中表示电荷量，表示的距离，表示由指向的单位矢量。答：；场源点电荷到场点；场源点电荷；场点解答：点电荷产生的电场强度为式中，为场源点电荷到场点的距离，为场源点电荷指向场点的单位矢量。11.2.5．电场强度叠加原理表述为：。点电荷系统在空间某点的电场强度表示为：；电荷连续分布的带电体的电场强度表示为：。答：静止点电荷系统产生的静电场在空间某点的电场强度，等于每一个点电荷单独存在时，激发的电场在该点的电场强度矢量和。这被称为电场强度叠加原理。，；。11.2.6.如作业图11.2.6所示，在坐标原点放置一个电荷量为的点电荷，在距离坐标原点为的点放置一个电荷量为的点电荷。则在坐标轴上电场强度大小为零的坐标值为。答：解答：两个点电荷分别产生电场，由电场强度的叠加原理，某点的电场强度为零，解得和。其中不合题意舍掉。11.2.7.如作业图11.2.7所示，在半径为的圆弧上有三个点电荷，三个点电荷的电荷量为，，，，则O点的电场强度：方向为____________，大小为________________。答：O点的电场强度方向沿指向O点，解答：由于和的电荷量相等而且对称分布于O点两侧，O点的电场强度方向沿指向O点。11.2.8.如作业图11.2.8所示，有四根带电的绝缘细杆，每根的上半部和下半部都各有大小为的电荷均匀分布，电荷的正负如图所示。则图a中点的电场方向为____________；图b中点的电场方向为____________；图c中点的电场方向为____________；图d中点的电场方向为____________。答：OX；OY；OY；-OY解答：（1）由a图，上、下个半段电荷在P点的电场强度分别为、，由对称性可知，由电场强度叠加原理，得到P的电场强度所以，P点的电场强度方向沿OX轴正方向。（2）由b图，上、下个半段电荷在P点的电场强度分别为、，由对称性可知，由电场强度叠加原理，得到P的电场强度所以，P点的电场强度方向沿OY轴正方向。（3）由c图，上、下个半段电荷在P点的电场强度分别为、，由对称性可知，由电场强度叠加原理，得到P的电场强度所以，P点的电场强度方向沿OY轴正方向。（4）由d图，上、下个半段电荷在P点的电场强度分别为、，由对称性可知，由电场强度叠加原理，得到P的电场强度所以，P点的电场强度方向沿OY轴负方向。11.2.9.如作业图11.2.9所示，两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线相距为，其电荷线密度分别为和，则电场强度等于零的点距离1的距离为。答：解答：由电场强度叠加原理，得到，，11.2.10.如作业图11.2.10所示，两个“无限大”均匀带电平行平面，电荷面密度都为，则a、b、c点的电场强度分别为（设方向向右为正）：，，。答：，，解答：，，11.2.11.点电荷，，和在真空中的分布如作业图11.2.11，图中为闭合曲面，则通过面的电场强度通量，式中的是点电荷在闭合曲面上任一点电场强度的矢量和。答：；、、、解答：高斯定理说明，穿过高斯面的电场强度通量与这个高斯面所包围着的电荷的代数和成正比。图中高斯面S只围着和，因此穿过高斯面S的电通量为在高斯定理当中，高斯面上的电场强度是空间所有电荷而产生的。图中，高斯面上的电场强度是、、、单独在高斯面上产生的电场强度的矢量和。11.2.12.如作业图11.2.12所示，在电场强度的电场中，沿轴放置一底面积为,高为的圆柱面，与左底面距坐标原点为，则通过该闭合圆柱面（高斯面）的电通量=。答：解答：11.2.13.真空中静电场的高斯定理的数学表达式为：；也就是说：；反映了静电场是场。答：或；对于真空中的静电场，电场强度沿任意闭合曲面的积分（称为电场强度通量或电通量）等于该曲面包围的所有电荷量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关；有源场。11.2.14.如作业图11.2.14所示，电量为的试验电荷，在带电量为的点电荷产生的电场中，沿半径为的圆弧轨道由点移到点，电场力做功为；再从点移到无穷远处的过程中，电场力做功为。答：0；解答：（1）带电量为的点电荷产生的电场中，A点和D点的电势相等，电量为的试验电荷由点移到点，电场力不做功。（2）无限远处的电势为零，D点的电势为，电量为的试验电荷从点移到无穷远处的过程中，电场力做功为11.2.15.如作业图11.2.15所示，=，是以为中心、为半径的半圆；在、处置有带电量分别为和的点电荷。（1）把带电量为的点电荷从点沿移到点，电场力所做的功为；（2）把带电量为的点电荷从点沿移到无穷远处，电场力所做的功为。答：；解答：取无限远处为电势零点，则由电势叠加原理B、D点的电势分别为，把带电量为的点电荷从点沿移到点，电场力所做的功为把带电量为的点电荷从点沿移到无穷远处，电场力所做的功为11.2.16.如作业图11.2.16所示，一点电荷的电荷量为。三点分别与点电荷相距为、、。如果取无限远处为电势零点，则点电势为___________；如果选取点为电势零点，点的电势为____________。答：，解答：（1）取无限远处为电势零点，令，则三点的电势分别为，，（2）B、C点的电势差为，（3）电势差不因电势零点的变化而变化。如果选取B点为电势零点，则C点电势为11.2.17.如作业图11.2.17所示，两个无限大的均匀带电平板、，相距，板上电荷面密度为，板带正电，板带负电并接地，则两板间离板距离处的点的电势，板的电势。答：，解答：板间电场强度方向向下，大小为点的电势为板的电势11.2.18.如作业图11.2.18所示，一半径为的均匀带电球面，电荷面密度为，、两点与球心相距为和，则、两点之间的电势差。答：解答：由高斯定理可以计算出空间电场分布。电场强度方向沿径向，大小为，（）；，（）取无限远处为电势零点，则a点电势为b点电势为则、两点之间的电势差11.2.19.如作业图11.2.19所示，在点电荷的电场中，和分别为等势面上、两点的电势，则（填>,<或=）；沿任意路径移动试验电荷，由到，则电势能增量为（取无穷远处为电势能零点）。答：；解答：在点电荷的电场中，电场强度方向指向点电荷；所以，指向点电荷的方向为电势减小的方向，由此，。沿任意路径移动试验电荷，由到，则电势能增量为11.2.20.真空中静电场的环路定理的数学表达式为：；也就是说：；反映了静电场是场。答：；在静电场中，电场强度沿任一闭合路径的线积分（称为电场强度的环流）恒为零；无旋场。11.2.21.如作业图11.2.21所示，点有点电荷，点有点电荷，、距离为，则、连线中点的电势。答：解答：取无限远处为电势零点。由电势叠加原理，、连线中点的电势为11.2.22.边长为的正三角形，其三个顶点上各放置带电荷量分别为的点电荷，则此三角形中心处的电势_____________。答：解答：三个点电荷到正三角形中心处的距离为取无限远处为电势零点，由电势叠加原理，正三角形中心处的电势为11.2.23.一半径为的均匀带电圆环，电荷线密度为，设无限远处电势为零，则圆心处的电势为。答：解答：取无限远处为电势零点，由电势叠加原理，圆心处的电势为11.2.24．一半径为的均匀带电圆盘，电荷面密度为，设无穷远处为电势零点，则圆盘中心点的电势为。答：解答：在圆盘上取的圆环，圆环上的电荷量为；这些电荷到圆盘中心的距离均为，这些电荷在圆盘中心的电势为则圆盘中心点的电势为（无限远处为电势零点）11.2.25.半径为的带电圆盘上电荷分布是非均匀的，其电荷面密度，其中是常数，是圆盘上某点到圆盘圆心的距离。则圆盘圆心处的电势______________。答：解答：在圆盘上取的圆环，圆环上的电荷量为；这些电荷到圆盘中心的距离均为，这些电荷在圆盘中心的电势为则圆盘中心点的电势为11.2.26.电势相等的点所构成的面称为，电场中任一点的电场强度矢量等于该点电势的负值。答：等势面；梯度11.2.27.一无限长均匀带电直线沿轴放置，线外某区域电势表达式，式中为常量，则该区域中电场强度的三个分量：=，=，=。答：，，解答：由电势与电场强度的微分关系，得到11.2.28.在一个半径为的带电球内电势的分布随着半径变化，若，其中是常量，且。则球内的电场分布________________。答：解答：电场强度是径向分布的，由电势与电场强度的微分关系，得到11.2.29.导体达到静电平衡时，导体内部各点电场强度为，导体上各点电势，导体内处处无净电荷，净电荷只能分布在它的。答：0，相等，表面11.2.30.一负电荷靠近一个不带电的孤立导体时，导体内电场强度的大小为。答：011.2.31.如作业图11.2.31所示，把一块两个表面电荷面密度之和为的无限大导体平板置于均匀电场中，与板面垂直，则导体左侧表面电荷面密度，左侧表面外附近的电场强度；导体右侧表面电荷面密度，右侧表面外附近的电场强度。答：；；；。解答：导体板内的电场由和以及外加电场叠加而成，所以再由电荷守恒，得到，左侧表面外附近的电场强度为或右侧表面外附近的电场强度为或11.2.32.如作业图11.2.32所示，两块金属导体板，面积为（忽略边缘效应，可视为无限大平面）分别带有电荷和，当达到静电平衡时，两金属板表面的电荷面密度为：_________，_________，__________，___________。答：，，，。解答：由电荷守恒和导体内电场强度为零（静电平衡），得到，，，联立方程，得到，11.2.33.一金属球壳的内外半径分别为和，所带电荷量为，在球壳内距球心为处有一电荷量为的点电荷，则球心处的电势为。答：解答：由高斯定理可知，金属球壳的内表面带有电荷（非均匀分布）；由电荷守恒可知，金属球壳的外表面带有电荷（均匀分布）。金属球壳的内表面带有电荷（非均匀分布）在球心处的电势为金属球壳的外表面带有电荷（均匀分布）在球心处的电势为则由电势叠加原理，球心处的电势为11.2.34.两平行极板之间充满相对介电常数为的均匀电介质，已知极板电荷面密度分别为和，则极板间电介质中电场强度，极化强度，电位移，极化电荷面密度。答：，，，解答：由高斯定理，直接得到电容器内电位移矢量的量值由此得到电容器内电场强度极化强度极化电荷面密度11.2.35.在间距为的平行板电容器中，平行地插入一块厚为的金属大平板，则电容变为原来的倍。如果插入的是一块厚为、相对介电常数为=4的大介质平板，则电容变为原来的倍。答：，解答：设极板的面积为。（没有插入导体板和电介质）假设电容器两极板带电量为，则由高斯定理得到，电容器两极板间的电势差为电容器电容为，（1）作业图11.2.35-1所示，平行地插入一块厚为的金属大平板。设电容器两极板带电量为，则在金属板的两侧感应出电荷。在金属板内的电场强度为零，在电容器两个极板与金属板之间存在均匀电场，电场强度为，；，电容器两极板之间的电势差为电容器电容为，（2）作业图11.2.35-2所示，平行地插入一块厚为的电介质大平板。设电容器两极板带电量为，则电介质被极化。在电容器内存在均匀电场，电场强度为，；，电容器两极板之间的电势差为电容器电容为，11.2.36.如作业图11.2.36所示，一平行板电容器充满两种均匀电介质，其厚度分别为和，相对介电常数分别为和。设两板间的电势差为，则两板上的自由电荷面密度为，两介质分界面上的束缚电荷面密度为。答：，解答：（1）设两板上的自由电荷面密度为。电位移矢量均匀分布并沿板间方向。由高斯定理，得到电容器内电位移矢量的量值，进而得到电容器内双层电介质内的电场强度；，由此得到两板间的电势差和自由电荷面密度的表达式；（2）由得到双层介质中的极化强度，两介质分界面上的束缚电荷面密度为，11.2.37.一平行板电容器，充电后断开电源，然后在两极板间充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质，此时2个极板间的电场强度为原来的倍，电场能量是原来的倍。答：，解答：平行板电容器，充电后断开电源，自由电荷不变，则电位移矢量不变，。；11.2.38.一空气平行板电容器，充电后仍与电源相连，电源电压为，极板面积为，极板间距为。将相对介电常数为的各向同性的介质均匀充满两极板间，则两极板间电场强度的大小、电容器电容=_____________、电荷=____________、电场能量=__________________。答：，，，解答：平行板电容器，充电后仍与电源相连，电压不变（自由电荷变化）。，电容器电容电场能量三计算题11.3.1.如作业图11.3.1所示，两个电荷量都是的点电荷，相距，连线中点为，求连线中垂线上与相距为的P点的电场强度；为多少时P点的电场强度最大？解：如作业图11.3.1-1所示，两个电荷量都是的点电荷在P点的电场强度大小相等两个点电荷在P点的电场强度关于中垂线对称，则总电场强度沿中垂线，大小为电场强度大小最大的地方，；11.3.2.如作业图11.3.2所示，一根长为的均匀带电细杆，其电荷线密度为，在杆的延长线上，与杆的一端距离为的P点处，有一电荷量为的点电荷。试求：该点电荷所受的电场力。解：选棒的左端点为坐标原点，轴沿杆的方向。如作业图11.3.2-1所示，在处取电荷元：，它在点产生的电场强度为由于各小段电荷在点产生的电场强度方向相同，整个杆上电荷在点的电场强度为点电荷所受的电场力为11.3.3.如作业图11.3.3所示，一根很长的均匀带电绝缘棒，长为，其单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为（）的P点处的电场强度。解：选坐标如作业图11.3.3-1所示，取距原点处的电荷元，其到点的距离为，在点产生的电场强度大小为方向如图所示，沿轴的分量为，由于，则，又，于是，所以，点处的电场强度大小为，方向与轴的夹角：11.3.4.如作业图11.3.4所示，在边长为的正方形的顶点处分别放置电荷量为的点电荷，求顶点P处的电场强度与电势。解：P处的电场强度大小P处的电势11.3.5.如作业图11.3.5所示，一电荷线密度为的导线弯成一段半径为的圆弧，圆弧所对圆心角为。试求圆心处的电场强度和电势。解：如作业图11.3.5-1所示，在圆形带电圆环上的角度处取元电荷。（1）元电荷在圆心处的电场强度大小为由对称性可知，圆心处的电场强度沿方向，则（2）元电荷在圆心处的电势圆心处的电势11.3.6.如作业图11.3.6所示，一个半径为的半圆形带电细线，其上电荷线密度为，试求环心处的电场强度和电势。解：将带电圆环看做无数电荷元组成，如作业图11.3.6-1所示，在与轴夹角为处取电荷元，其带电荷量为其在点处产生的电场强度在沿、轴的分量为，所以，环心处的电场强度半圆环在环心处的电势为11.3.7.如作业图11.3.7所示，一宽为的无限长均匀带电绝缘薄板，其上电荷面密度为，试求薄板所在平面内距薄板边缘为处的电场强度。解：如作业图11.3.7-1所示，无限长均匀带电平面薄板可以看成由许多平行的无限长带电直线组成。任取处的宽度为的小长窄条，它在P点产生的电场强度大小为方向如图所示。由于各小段在点产生的电场强度方向相同，整个带电平面薄板在P点产生的电场强度为11.3.8.一均匀带电圆柱面，半径为，长度为。电荷面密度为，求其底面中心处P点的电场强度。解：如作业图11.3.8-1所示，将带电圆柱面分成许多极窄的圆环。圆环上带电荷量，它在点产生的电场强度为方向沿轴。则整个带电圆柱面在点产生的电场强度为，方向沿轴。11.3.9.一半径为的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为，求球心处的电场强度的大小和电势。解：（1）如作业图11.3.9-1所示，将半球壳分割为一组平行的细圆环，可看出所有平行的圆环在轴线上的电场强度的方向都相同，且任一圆环所带电荷量在点处的电场强度由于平行的细圆环在点激发的电场强度方向都相同，利用几何关系，，统一积分变量，有积分得（2）半球壳面上的电荷元在球心处的电势为球心处的电势为11.3.10.一半径为的无线长半圆柱薄筒，其上均匀带电，单位长度上的带电荷量为，求半圆柱面轴线上一点的电场强度。解：取无限长半圆柱面薄筒的横截面，建立直角坐标系，且原点在轴线上，如作业图11.3.10-1所示。沿弧长方向取一长度为的细条，此细条单位长度上的电荷量为由无限长带电直线在附近一点产生的电场强度，可得该带电细条在点处产生的电场强度大小为方向如图所示。在沿轴的分量为，整个带电半圆柱薄筒在点处产生的电场强度为，所以，11.3.11.如作业图11.3.11所示，一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为的一点P的电场强度。解：该题宜用补偿法求解。本题的电场分布虽然不具有对称性，但可利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场分布。若把小圆孔看做等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的带电圆盘。由此，中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。由此可知，无限大带电平面附近的电场强度带电圆盘（电荷面密度）轴线上的电场强度点处的合电场强度在圆孔中心处，，则；在距圆孔较远时，则注：为沿平面外法线的单位矢量。11.3.12.两个无限长同轴圆柱面，半径分别为和（>）,带有等量异号电荷，每单位长度的电荷量为，试分别求出离轴线为处的电场强度：（1）；（2）；（3）。解：如作业图11.3.12-1所示，沿同轴方向取半径为、长的同轴圆柱面做为高斯面。由对称性可知，高斯面的侧面上电场强度大小处处相等方向沿垂直于侧面的方向，高斯面两个底面处电场强度与面积元垂直。穿过高斯面的电场强度通量为（1）对于区域，高斯面所围电荷为零，由高斯定理，得到，（2）对于区域，高斯面所围电荷为零，由高斯定理，得到，（3）对于区域，高斯面所围电荷为，由高斯定理，得到，11.3.13.半径分别为和（）的2个同心球面，小球面上带电量为，大球面上带电量为，各球面上的电荷均匀分布。分别求离球心为（1），（2），（3）各处的电场强度。解：如作业图11.3.13-1所示，取半径为的同心球面做为高斯面。由对称性可知，高斯面的侧面上电场强度大小处处相等、方向沿径向，高斯面上电场强度与面积元平行。穿过高斯面的电场强度通量为（1）对于区域，高斯面所围电荷为零，由高斯定理，得到，（2）对于区域，高斯面所围电荷为，由高斯定理，得到，（3）对于区域，高斯面所围电荷为，由高斯定理，得到，11.3.14.设在半径为的球体内所带电荷对称分布，电荷体密度为其中为一常量。试用高斯定理求电场分布。解：如作业图11.3.14-1所示，取半径为的同心球面做为高斯面。由对称性可知，高斯面的侧面上电场强度大小处处相等、方向沿径向，高斯面上电场强度与面积元平行。穿过高斯面的电场强度通量为（1）对于区域，高斯面所围电荷为由高斯定理，得到，（2）对于区域，高斯面所围电荷为由高斯定理，得到，11.3.15.在点电荷的电场中，若取以为中心、为半径的球面上的A点作为电势零点，求距点电荷为处的P点的电势。解：如作业题11.3.5-1所示，点电荷激发的电场的电场强度沿着径向。如果，即场点（点）在以为半径的球面内，则电场强度先由点沿径向积分到点、再沿圆弧由点积分到点，得到点的电势如果，即场点（点）在以为半径的球面外，则电场强度先由点沿径向积分到点、再沿圆弧由点积分到点，得到点的电势总之，无论点在有限远点的何处，其电势均表示为11.3.16.如作业图11.3.16所示，无限长均匀带电直线的电荷线密度为，电势零点选在距离直线的地点，求直线外任一点处的电势。解：如作业图11.3.16-1所示，取点为电势零点。积分路径由点沿带电直线方向到点，再由点沿径向到点。无限长均匀带点直线的电场沿径向，大小为。11.3.17.如作业图11.3.17所示，两个同心的带电球面，半径为和，分别均匀地带有电荷和，求：（1）两球面间的电场强度分布；（2）两球面间的电势差。解：（1）如作业图11.3.17-1所示，取半径为的同心球面做为高斯面。由对称性可知，高斯面的侧面上电场强度大小处处相等、方向沿径向，高斯面上电场强度与面积元平行。穿过高斯面的电场强度通量为对于区域，高斯面所围电荷为，由高斯定理，得到，（2）取积分路径为径向，两球面间的电势差为11.3.18.如作业图11.3.18所示，一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为，外表面半径为，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点P的电势。解：如作业图11.3.18-1所示，由高斯定理可知，空腔内任一点的电场强度。所以，该空腔为一等势体，任一点的电势都等于球心点处的电势。在带电球壳内取半径为、厚度为的薄球壳，其带电荷量为带电球壳电荷在球心处产生的电势为根据电势叠加原理，整个带电球壳在处产生的电势为空腔内任一点的电势为11.3.19.电荷量均匀地分布在长为的细棒上。如作业图11.3.19所示，取细棒沿轴方向，轴垂直于棒，坐标原点在棒的中心点。求坐标为的一点的电势，并利用电势梯度求点处沿方向的电场强度。解：将细棒看做由许多线段元组成，每个线段元带电荷量为在的电势为整个细棒在的电势为点的电场强度在方向的分量为11.3.20.根据电场强度与电势的微分关系，求下列电场的电场强度：（1）点电荷的电场；（2）带电荷量为、半径为的均匀带电圆环轴线上的电场；（3）电偶极子的电场。解：（1）点电荷电场中的电势分布点电荷电场中电场强度的分布（2）如作业图11.3.20-1所示，在均匀带电圆环上取一线元，若电荷线密度为，则其带电荷量为，其在点激发的静电场的电势整个带电圆环在点激发的静电场的电势为整个带电圆环在点激发的静电场的电场强度（3）如作业图11.3.20-2所示，电偶极子中在点的电势分别为，根据电势的叠加原理，点的电势为对偶极子而言，，所以，于是，上式可写成点的电场强度在轴上的分量分别为，所以，点的电场强度的值为当时，即点在电偶极矩的延长线上，有当时，即点在电偶极矩的中垂线上，有11.3.21.半径为的导体球外面同心地罩着一内外半径分别为和的导体球壳。若球和球壳分别带有电荷和，试求：（1）球和球壳的电势以及它们的电势差；（2）若将球壳接地，求它们的电势差；（3）若用导线将球和球壳连接，其电势差又是多少？解：（1）如作业图11.3.21-1所示，导体球带电荷只能均匀分布于导体球表面，导体球壳带电荷只能均匀分布于导体球壳内表面和外表面。设导体球壳内表面和外表面的电荷为和，则。静电平衡，导体内电场强度为零。由高斯定理求得导体球到导体球壳内表面之间以及导体球壳外的电场强度（方向沿径向）（）；（）。球的电势（取无限远为电势零点）球壳的电势（取无限远为电势零点）导体球与导体球壳的电势差（2）如作业图11.3.21-2所示，球壳接地。导体球电荷不变，球壳外表面电荷为零，球壳内表面电荷为。导体球到导体球壳内表面之间的电场强度不变。导体球与导体球壳的电势差不变（3）若用导线将球和球壳连接，则导体球和导体球壳成为一个导体，电势差为零。11.3.22.如作业图11.3.22所示，三块平行金属板、、，面积均为。、间距为，、间距为。、两板都接地，板带正电荷，（不计边缘效应）。求:（1）、板上的感应电荷的大小；（2）板的电势。解：如作业图11.3.22-1所示，设导体C、A、B的6个表面的电荷密度依次为、、、、、。由于B、C接地，所以、。由电荷守恒，得到=1\*GB3①由于导体内电场强度为零，由高斯定理得到=2\*GB3②=3\*GB3③导体C、A间和导体A、B间的电场强度分别为，由此得到导体C、A间和导体A、B间的电势差由于，两式相加，得到=4\*GB3④联立方程，得到，，，（1）B、C板上的感应电荷分别为（2）板的电势11.3.23.如作业图11.3.23所示，金属球壳的内外半径分别为、，在球壳内距球心为处有一电荷量为的点电荷。试（1）描述此时感应电荷的分布；（2）计算球心O处的电势；（3）若使球壳带电荷，重复讨论（1）和（2）。解：如作业图11.3.23-1所示，设导体球壳内外表面带有电荷分别为和。（1）由高斯定理可知，；但由于不在球心，导体球壳内表面电荷不是均匀分布，靠近点电荷的表面电荷分布密，远离点电荷的表面电荷分布稀。由于电中性，导体球壳外表面带有电荷为；而且电荷在导体球壳外表面均匀分布。（2）取无限远处为电势零点。点电荷在的球心O处的电势为导体球壳内表面电荷在的球心O处的电势为导体球壳外表面电荷在的球心O处的电势为所以，根据电势叠加原理，球心O处的电势为（3）若使球壳带电荷，则导体球壳外表面带有电荷为；电荷分布的形式不变。球心O处的电势为11.3.24.在无限大均匀电介质（相对介电常数为）中有一个半径为、电荷为的导体球，求介质中的电场强度。解：如作业图11.3.24-1所示，电荷均匀地分布于半径为的导体球表面。因此，电荷在介质中产生的电场具有球对称性；从而介质中的电位移矢量也具有球对称性。取半径为（）的球面为高斯面。则由介质中的高斯定理，得到，所以，介质中电场强度为11.3.25.一个半径为的金属球，带电荷量为，球外有一层同心球壳的均匀电介质，其内、外半径分别为、，相对介电常数为。求：（1）空间的电位移和电场强度的分布；（2）空间的电势分布；（3）介质内极化强度和介质层内、外表面上的极化电荷面密度。解：（1）由于自由电荷分布具有对称性，所以电位移分布也具有对称性。如作业图11.3.25-1所示，选取半径为的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理可以得到，当时：，；当时：，；当时：，；当时：，。当时，电场强度和电位移方向都沿球半径向外；当时，电场强度和电位移方向都沿球半径向内。（2）电势分布当时（金属球内）：当时（金属球与介质壳之间的真空区域）：当时（介质壳内）：当时（介质壳外的真空区域）：（3）因为，得到介质内的极化强度由此得到介质层内、外表面上的极化电荷面密度分别为11.3.26.如作业图11.3.26所示，球形电容器由半径为的导体球和与它同心的导体球壳构成，球壳内半径为。导体球与球壳之间充满两层相对介电常数分别为和的均匀电介质，分界面的半径为，求该电容器的电容。解：如作业图11.3.26-1所示，取半径为的同心球面为高斯面，由高斯定理，当时（内层介质内）：，；当时（外层介质内）：，。电容器两极板间的电势差为所以，该电容器的电容11.3.27.如作业图11.3.27所示，同轴电缆由半径为的导线和半径为的导体圆筒构成，在内外导体间用介电常数分别为和的两层电介质隔离，分界面的半径为。求此电缆单位长度上的电容。解：设同轴电缆内，导体单位长度上的带电荷量为，则电介质中离轴心为点的电场强度为，内外导体间的电势差所以，电缆单位长度上的电容为11.3.28.两个同心金属球壳，内球壳半径为，外球壳半径为，中间是空气，构成一个球形空气电容器。设内外球壳上分别带有电荷和，求：（1）电容器的电容；（2）电容器储存的能量解：由高斯定理，可以求得电容器内的电场强度和电位移矢量大小（方向沿径向），（1）电容器两极板电势差，电容器的电容为（2）电容器内，电场能量密度为在电容器内取半径为的同心球壳，体积为。电容器储存能量11.3.29.如作业图11.3.29所示，一平行板电容器中，充以两种均匀电介质，其相对介电常数分别为和，厚度分别为和，板极面积为，两板间电压为，求：（1）电容器的电容；（2）两电介质中的电场能量体密度。解：（1）设电容器极板带电量为，由高斯定理可以解得电介质中的电位移矢量沿正极板指向负极板，大小为由此得到双层电介质中的电场强度，电容器两极板的电势差可以表示为；电容器的电容为（2）两电介质中的电场强度和电位移矢量，，两电介质中的电场能量体密度11.3.30.如作业图11.3.30所示，一空间平行板电容器，2个极板面积均为，板间距离为（远小于极板线度），在2个极板间平行的插入一面积也是，厚度为（）的金属片，试求平行板电容器的电容。解：如作业图11.3.30-1所示，设电容器两极板带电荷，则由高斯定理，电容器内的金属板的表面感应电荷为。电场分成两个区域，电场强度为，电容器两极板间的电势差为电容器的电容为稳恒磁场一、选择题12.1.1.如作业图12.1.1所示，一长直载流导线沿直角坐标系的轴放置，电流沿轴正方向，在原点处取一电流元，则该电流元在点处磁感应强度为（）。（A）（B）（C）（D）答：C解答：由毕奥-萨伐尔定律，得到12.1.2.如作业图12.1.2所示，有两条长直导线各有的电流，分别沿、轴正向流动，在处的（）。（A）沿轴负向（B）沿轴正向（C）0（D）无法判断答：B解答：两个无限长电流在P点的磁感应强度分别为，由磁感应强度叠加原理，得到P点的磁感应强度沿轴正向12.1.3.如作业图12.1.3所示，一无限长载流的导线当中弯成半径为的半圆弧形，两段半无限长载流导线的延长线过半圆弧圆心。则圆心处的磁感应强度为（）。（A）垂直面向里，大小为（B）垂直面向里，大小为（C）垂直面向外，大小为（D）垂直面向外，大小为答：A解答：如作业图12.1.3所示，两段半无限长载流导线的延长线过半圆弧圆心，则这两段半无限长载流导线在半圆弧圆心的磁感应强度为零。圆弧上的电流元在圆心处的磁感应强度表示为，圆弧上的所有电流元在圆心处的磁感应强度方向均沿垂直于纸面向里的方向，因此圆心处的磁感应强度方向沿垂直于纸面向里的方向，大小为12.1.4.如作业图12.1.4所示，边长为的正方形的四个顶点上分别固定有电荷量均为（正电荷）的点电荷。当正方形以角速度绕通过正方形中心点且垂直于正方形平面的轴逆时针方向旋转时，在点的磁感应强度为（）。（A）垂直面向里，大小为（B）垂直面向里，大小为（C）垂直面向外，大小为（D）垂直面向外，大小为答：C解答：点电荷绕点圆周运动，相当于一个圆形电流，电流强度为一个点电荷形成的圆形电流在点的磁感应强度垂直面向外，大小为4个点电荷分别形成的电流大小相同、方向相同，产生的磁感应强度相同（垂直面向外）、大小相同，所以，在点的磁感应强度方向垂直面向外、大小为12.1.5.对于真空中稳恒磁场，下面说法正确的是（）。（A）闭合回路上各点磁感应强度都是0时，回路一定没有“捆着”电流（B）闭合回路上各点磁感应强度都是0时，回路“捆着”的电流的代数和必定为0（C）磁感应强度沿闭合回路积分为0时，回路上各点磁感应强度必定为0（D）磁感应强度沿闭合回路积分不为0时，回路上任何一点的磁感应强度不可能为0答：B解答：这是有关安培环路定理的问题。安培环路定理说明，稳恒磁场的磁感应强度矢量沿闭合回路的积分也就是环流正比于回路所捆着的电流的代数和。如果闭合回路上各点的磁感应强度都是零，那这个积分肯定是零；但并不代表回路没有捆着电流，是回路捆着的电流的代数和必定是零。A错误、B正确。磁感应强度沿闭合回路积分为零时，也就是磁感应强度的环流为零，回路上各点的磁感应强度不一定为零；积分为零，被积函数不一定为零。C错误。磁感应强度沿闭合回路积分不为零，也并不代表回路上所有点的磁感应强度都不为零，个别地方的磁感应强度也可以等于零。D错误。12.1.6.如作业图12.1.6所示，两根无限长平行直导线a、b分别载有电流、，电流方向相反，L为绕导线b的闭合回路，为环路上c点的磁感应强度的大小，当导线a平行于导线b向上移动时（）。（A）减小，减小（B）不变，不变（C）增加，不变（D）减小，不变答：D解答：无线长直线电流产生的磁场的磁感应强度表示为，方向是右手螺旋方向其中是直导线到场点的垂直距离。距离越远，磁感应强度值越小。如作业图12.1.6-1所示，当无限长直线电流a没有移动时，直线电流和在c点的磁感强度和方向相同（都是向下）。当a相对于b平行向上移动时，a到c的距离变大，直线电流在c点的磁感强度的值要比的值小，而且方向也不再与在c点的磁感强度的方向平行。因此，直导线a移动后c点的磁感应强度大小要比直导线a没有移动时c点的磁感应强度大小要小（）。所以，当导线a平行于导线b向上移动时c点的磁感强度逐渐减小。回路L所捆着的电流仅仅是。由安培环路定理可知，磁感强度沿闭合回路L一周的积分或者磁感强度绕闭合回路的环流不变。12.1.7.关于磁场中高斯定理的叙述，下列选项中正确的是（）。（A）磁场中的高斯定理表明磁场是有源场（B）磁场中高斯定理，表明闭合曲面上的各点处的=0（C）在任意磁场处中穿过闭合曲面的磁通量均为0（D）磁场中高斯定理只在均匀磁场中成立答：C解答：磁场中的高斯定理，，这说明穿过一个闭合曲面的磁通量总是等于零的，这也说明磁场线是无头无尾的闭合的曲线，这反映了磁场是无源场，不是有源场。A错误。磁场中的高斯定理表明磁感应强度在闭合曲面上的第二类曲线积分值等于零；积分值为零，不代表被积函数处处为零，所以B错误。磁场中的高斯定理不仅仅是在均匀磁场中成立，对于非均匀的磁场也成立，甚至在非稳恒磁场中也成立，它是在任意磁场中都成立。D错误。同时说明在任意磁场中穿过闭合曲面的磁通量等于零。C正确。12.1.8.速度为的带负电荷粒子通过均匀磁场受到洛伦兹力作用。如作业图12.1.8所示a、b、c、d四种表示的、、三个矢量的取向正确的是（）。（A）图a（B）图b（C）图c（D）图d答：B解答：在磁场中运动的带电粒子将受到洛伦兹力的作用洛伦兹力既与带电粒子运动速度垂直又与磁场的磁感强度垂直，平行于速度叉积磁感强度，洛伦兹力垂直于速度与磁感强度所组成的平面。另外，垂直还有两个方向，这两个方向还得要看带电粒子电荷的正负。对于a图，的方向是竖直向下的，但带电粒子的电荷是负的，所以洛伦兹力应该竖直向上。A错误。对于b图，的方向也是竖直向下，但带电粒子的电荷是负的，所以洛伦兹力应该竖直向上。B正确。对于c图，的方向垂直纸面向外，但是带电粒子带电量是负的，所以洛伦兹力应该是垂直于纸面向里。C错误。对于d图，的方向应该是向左下方，但带电粒子的电荷是负的，所以洛伦兹力应该是向右上方。B错误。12.1.9.一电荷为的粒子在均匀磁场中运动，下列说法正确的是（）。（A）只要速度大小相同，所受洛伦兹力一定相同（B）只要速度相同，带电荷为和的粒子所受洛伦兹力大小相同，方向相反（C）质量与电荷一定的粒子，受洛伦兹力的作用，粒子的动能、动量都保持不变（D）由于粒子受到的洛伦兹力的方向垂直于速度的方向，所以粒子运动轨道必定是圆答：B解答：洛伦兹力表示为，与速度（大小和方向）、电荷（包括正负）等都有关。带电粒子运动速度大小相同，但如果运动速度方向不同，则洛伦兹力的方向不同。A错误。带电粒子运动速度相同（大小和方向）、带电量相同，则粒子所受洛伦兹力大小相同；但洛伦兹力的方向还与电荷的正负有关，带电荷为和的粒子所受洛伦兹力方向相反。B正确。洛伦兹力尽管不能改变速度的大小（动能不变），但可以改变速度的方向，动量变化。C错误。在磁场中运动的带电粒子受到的洛伦兹力的方向垂直于粒子运动速度的方向，但粒子运动的轨道不一定是圆；只有运动速度与磁感应强度方向垂直时，带电粒子在均匀磁场的运动轨道是圆；如果运动速度与磁感应强度方向平行，则带电粒子受到的洛伦兹力为零，粒子在均匀磁场中将做直线运动；如果运动速度与磁感应强度方向既不平行又不垂直，带电粒子在均匀磁场的运动轨道是螺旋线。D错误。12.1.10.如作业图12.1.10所示，一载有电流、半径为的四分之一圆扇形载流回路，置于磁感应强度为的均匀磁场中，回路磁矩的大小和方向为（）。（A）,方向垂直纸面向里（B）,方向垂直纸面向外（C）,方向垂直纸面向里（D）,方向垂直纸面向外答：D解答：由磁矩的定义，得到为线圈平面的法线方向并与电流成右手螺旋关系的单位矢量，方向垂直纸面向外。12.1.11.如作业图12.1.11所示，长方体形N型半导体薄片，在垂直于上下表面的方向加有磁感应强度为的均匀磁场，在左右两个侧面之间通有恒定电流，则前后两个侧面上的a、b点之间的电势差（）。（A）大于零（B）等于零（C）小于零（D）不能确定电势差的正负答案：A解：型半导体是电子导电，电子在外电压的作用下，沿电流相反方向漂移。这一定向运动，在外磁场的作用下，电子受到洛伦兹力，，方向由指向，即电子还要向端漂移。这样，在端积聚负电荷，在端积聚正电荷，形成一个由指向的横向电场，这一横向电场阻止电子向端积聚。随着电子的积聚，横向电场越来越大，当电子受到的横向电场的库仑力与电子受到的洛伦兹力达到平衡时，电子不再宏观的横向漂移，形成稳定的横向霍尔电场，在、两端形成稳定的霍尔电压。由于端是正电荷、端是负电荷，所以，端电势高、端电势低。12.1.12.磁介质有三种，用相对磁导率表征它们的各自特征时（）。（A）顺磁质，抗磁质，铁磁质，（B）顺磁质，抗磁质，铁磁质（C）顺磁质，抗磁质，铁磁质（D）顺磁质，抗磁质，铁磁质答：C解答：一般来说，磁介质分成三种，顺磁质、抗磁质以及铁磁质。顺磁质和抗磁质的相对磁导率都非常的接近于1，称为弱磁质。顺磁质的相对磁导率稍稍大于1，抗磁质的相对磁导率稍稍小于1。铁磁质称为强磁质，它的最大特征就是它的相对磁导率远远大于1，而且是非线性的，与磁场强度有关。C正确。12.1.13.一螺线管由细导线均匀密绕而成，其长为，半径为（），总匝数为，管内充满相对磁导率为的均匀磁介质，若线圈中有稳恒电流，则管内任一点的（）。（A）磁感应强度大小为（B）磁感应强度大小为（C）磁场强度大小为（D）磁场强度大小为答：C解答：；12.1.14.磁介质中磁感应强度与磁场强度关系（）。（A）适用于铁磁质且为常数（B）适用于各向同性非铁磁性介质且为常数（C）只适用于顺磁质且为常数（D）只适用于抗磁质且为常数答：B解答：这一关系适用于各向同性线性磁介质，而且相对磁导率为常数，包括顺磁质和抗磁质。但对于铁磁质不适用，因为铁磁质的所谓“相对磁导率”不是常数，它与磁场有关。所以A是错误的。C和D说只适用顺磁质或只适用于抗磁质，不全面。所以C和D错误。非铁磁性介质的为常数，就是线性介质。所以B正确。12.1.15.如作业图12.1.15所示，面积分别为和的两个线圈1和2组成互感线圈。当两个线圈通有相同的电流，如果用表