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文档简介
济南市莱芜地区重点中学2024届中考一模数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列说法:①平分弦的直径垂直于弦;②在n次随机实验中,事件A出现m次,则事件A发生的频率,就是事件A的概率;③各角相等的圆外切多边形一定是正多边形;④各角相等的圆内接多边形一定是正多边形;⑤若一个事件可能发生的结果共有n种,则每一种结果发生的可能性是.其中正确的个数()A.1 B.2 C.3 D.42.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若⊙O的半径为5,AB=8,则CD的长是()A.2B.3C.4D.53.等腰三角形一边长等于5,一边长等于10,它的周长是()A.20 B.25 C.20或25 D.154.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是()A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数5.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛,参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表:班级参加人数平均数中位数方差甲55135149191乙55135151110某同学分析上表后得出如下结论:①甲、乙两班学生的平均成绩相同;②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论中,正确的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③6.如图,已知△ABC中,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于()A.90° B.135° C.270° D.315°7.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于()A.20 B.15 C.10 D.58.已知下列命题:①对顶角相等;②若a>b>0,则<;③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有3个不同交点;⑤边长相等的多边形内角都相等.从中任选一个命题是真命题的概率为()A. B. C. D.9.将一把直尺与一块三角板如图所示放置,若则∠2的度数为()A.50° B.110° C.130° D.150°10.估计-1的值在()A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3至4之间二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,平行线AB、CD被直线EF所截,若∠2=130°,则∠1=_____.12.如图,AB是半圆O的直径,点C、D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为.13.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(m,7),(3m﹣1,7),若线段AB与直线y=﹣2x﹣1相交,则m的取值范围为__.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,连接DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为_____.15.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则m的取值范围是.16.如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y=x于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;….按此作法进行下去,则的长是_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)第二十四届冬季奧林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行,北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛,甲、乙两校各有名学生参加活动,为了解这两所学校的成绩情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.[收集数据]从甲、乙两校各随机抽取名学生,在这次竞赛中他们的成绩如下:甲:乙:[整理、描述数据]按如下分数段整理、描述这两组样本数据:学校人数成绩甲乙(说明:优秀成绩为,良好成绩为合格成绩为.)[分析数据]两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示:学校平均分中位数众数甲乙其中.[得出结论](1)小明同学说:“这次竞赛我得了分,在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是_校的学生;(填“甲”或“乙”)(2)张老师从乙校随机抽取--名学生的竞赛成绩,试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为_;(3)根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校,并说明理由:;(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)18.(8分)已知:如图,梯形ABCD,DC∥AB,对角线AC平分∠BCD,点E在边CB的延长线上,EA⊥AC,垂足为点A.(1)求证:B是EC的中点;(2)分别延长CD、EA相交于点F,若AC2=DC•EC,求证:AD:AF=AC:FC.19.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与函数的图象的两个交点分别为A(1,5),B.(1)求,的值;(2)过点P(n,0)作x轴的垂线,与直线和函数的图象的交点分别为点M,N,当点M在点N下方时,写出n的取值范围.20.(8分)如图,已知抛物线与x轴负半轴相交于点A,与y轴正半轴相交于点B,,直线l过A、B两点,点D为线段AB上一动点,过点D作轴于点C,交抛物线于点
E.(1)求抛物线的解析式;(2)若抛物线与x轴正半轴交于点F,设点D的横坐标为x,四边形FAEB的面积为S,请写出S与x的函数关系式,并判断S是否存在最大值,如果存在,求出这个最大值;并写出此时点E的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)连接BE,是否存在点D,使得和相似?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.21.(8分)如图,点,在上,直线是的切线,.连接交于.(1)求证:(2)若,的半径为,求的长.22.(10分)已知:如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求证:BC=ED.23.(12分)某初中学校组织400位同学参加义务植树活动,每人植树的棵数在5至10之间,甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况,并将收集的数据进行了整理,绘制成统计表分别为表1和表2:表1:甲调查九年级30位同学植树情况统计表(单位:棵)每人植树情况78910人数36156频率0.10.20.50.2表2:乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表(单位:棵)每人植树情况678910人数363116频率0.10.20.10.40.2根据以上材料回答下列问题:(1)表1中30位同学植树情况的中位数是棵;(2)已知表2的最后两列中有一个错误的数据,这个错误的数据是,正确的数据应该是;(3)指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况,并用该样本估计本次活动400位同学一共植树多少棵?24.如图,在三个小桶中装有数量相同的小球(每个小桶中至少有三个小球),第一次变化:从左边小桶中拿出两个小球放入中间小桶中;第二次变化:从右边小桶中拿出一个小球放入中间小桶中;第三次变化:从中间小桶中拿出一些小球放入右边小桶中,使右边小桶中小球个数是最初的两倍.(1)若每个小桶中原有3个小球,则第一次变化后,中间小桶中小球个数是左边小桶中小球个数的____倍;(2)若每个小桶中原有a个小球,则第二次变化后中间小桶中有_____个小球(用a表示);(3)求第三次变化后中间小桶中有多少个小球?
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、A【解析】
根据垂径定理、频率估计概率、圆的内接多边形、外切多边形的性质与正多边形的定义、概率的意义逐一判断可得.【详解】①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故此结论错误;②在n次随机实验中,事件A出现m次,则事件A发生的频率,试验次数足够大时可近似地看做事件A的概率,故此结论错误;③各角相等的圆外切多边形是正多边形,此结论正确;④各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形,各角相等,但不是正多边形,故此结论错误;⑤若一个事件可能发生的结果共有n种,再每种结果发生的可能性相同是,每一种结果发生的可能性是.故此结论错误;故选:A.【点睛】本题主要考查命题的真假,解题的关键是掌握垂径定理、频率估计概率、圆的内接多边形、外切多边形的性质与正多边形的定义、概率的意义.2、A【解析】试题分析:已知AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,由垂径定理可得AD=BD=4,在Rt△ADO中,由勾股定理可得OD=3,所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A.考点:垂径定理;勾股定理.3、B【解析】
题目中没有明确腰和底,故要分情况讨论,再结合三角形的三边关系分析即可.【详解】当5为腰时,三边长为5、5、10,而,此时无法构成三角形;当5为底时,三边长为5、10、10,此时可以构成三角形,它的周长故选B.4、B【解析】
根据一次函数的定义,可得答案.【详解】设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得x+2y=180,所以,y=﹣x+90°,即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系,故选B.【点睛】本题考查了实际问题与一次函数,根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.5、D【解析】分析:根据平均数、中位数、方差的定义即可判断;详解:由表格可知,甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同;根据中位数可以确定,乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数;根据方差可知,甲班成绩的波动比乙班大.故①②③正确,故选D.点睛:本题考查平均数、中位数、方差等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.6、C【解析】
根据四边形的内角和与直角三角形中两个锐角关系即可求解.【详解】解:∵四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角和为90°,∴∠1+∠2=360°﹣(∠A+∠B)=360°﹣90°=270°.故选:C.【点睛】此题主要考查角度的求解,解题的关键是熟知四边形的内角和为360°.7、B【解析】∵ABCD是菱形,∠BCD=120°,∴∠B=60°,BA=BC.∴△ABC是等边三角形.∴△ABC的周长=3AB=1.故选B8、B【解析】∵①对顶角相等,故此选项正确;②若a>b>0,则<,故此选项正确;③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,故此选项错误;④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有2个不同交点,故此选项错误;⑤边长相等的多边形内角不一定都相等,故此选项错误;∴从中任选一个命题是真命题的概率为:.故选:B.9、C【解析】
如图,根据长方形的性质得出EF∥GH,推出∠FCD=∠2,代入∠FCD=∠1+∠A求出即可.【详解】∵EF∥GH,∴∠FCD=∠2,∵∠FCD=∠1+∠A,∠1=40°,∠A=90°,∴∠2=∠FCD=130°,故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形外角的性质等,准确识图是解题的关键.10、B【解析】试题分析:∵2<<3,∴1<-1<2,即-1在1到2之间,故选B.考点:估算无理数的大小.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、50°【解析】
利用平行线的性质推出∠EFC=∠2=130°,再根据邻补角的性质即可解决问题.【详解】∵AB∥CD,∴∠EFC=∠2=130°,∴∠1=180°-∠EFC=50°,故答案为50°【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考基础题.12、.【解析】试题分析:连结OC、OD,因为C、D是半圆O的三等分点,所以,∠BOD=∠COD=60°,所以,三角形OCD为等边三角形,所以,半圆O的半径为OC=CD=2,S扇形OBDC=,S△OBC==,S弓形CD=S扇形ODC-S△ODC==,所以阴影部分的面积为为S=--()=.考点:扇形的面积计算.13、﹣4≤m≤﹣1【解析】
先求出直线y=7与直线y=﹣2x﹣1的交点为(﹣4,7),再分类讨论:当点B在点A的右侧,则m≤﹣4≤3m﹣1,当点B在点A的左侧,则3m﹣1≤﹣4≤m,然后分别解关于m的不等式组即可.【详解】解:当y=7时,﹣2x﹣1=7,解得x=﹣4,所以直线y=7与直线y=﹣2x﹣1的交点为(﹣4,7),当点B在点A的右侧,则m≤﹣4≤3m﹣1,无解;当点B在点A的左侧,则3m﹣1≤﹣4≤m,解得﹣4≤m≤﹣1,所以m的取值范围为﹣4≤m≤﹣1,故答案为﹣4≤m≤﹣1.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,根据直线y=﹣2x﹣1与线段AB有公共点找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键.14、或【解析】试题分析:如图4所示;点E与点C′重合时.在Rt△ABC中,BC==4.由翻折的性质可知;AE=AC=3、DC=DE.则EB=2.设DC=ED=x,则BD=4﹣x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4﹣x)2.解得:x=.∴DE=.如图2所示:∠EDB=90时.由翻折的性质可知:AC=AC′,∠C=∠C′=90°.∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°,∴四边形ACDC′为矩形.又∵AC=AC′,∴四边形ACDC′为正方形.∴CD=AC=3.∴DB=BC﹣DC=4﹣3=4.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴,即.解得:DE=.点D在CB上运动,∠DBC′<90°,故∠DBC′不可能为直角.考点:翻折变换(折叠问题).15、m≤1.【解析】试题分析:由题意知,△=4﹣4m≥0,∴m≤1.故答案为m≤1.考点:根的判别式.16、【解析】【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标,再根据B1点的坐标求出A2点的坐标,得出B2的坐标,以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标,再根据弧长公式计算即可求解,.【详解】直线y=x,点A1坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为(2,2),以原O为圆心,OB1长为半径画弧x轴于点A2,OA2=OB1,OA2==4,点A2的坐标为(4,0),这种方法可求得B2的坐标为(4,4),故点A3的坐标为(8,0),B3(8,8)以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019,0),则的长是,故答案为:.【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,弧长的计算,解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题.三、解答题(共8题,共72分)17、80;(1)甲;(2);(3)乙学校竞赛成绩较好,理由见解析【解析】
首先根据乙校的成绩结合众数的定义即可得出a的值;(1)根据两个学校成绩的中位数进一步判断即可;(2)根据概率的定义,结合乙校优秀成绩的概率进一步求解即可;(3)根据题意,从平均数以及中位数两方面加以比较分析即可.【详解】由乙校成绩可知,其中80出现的次数最多,故80为该组数据的众数,∴a=80,故答案为:80;(1)由表格可知,甲校成绩的中位数为60,乙校成绩的中位数为75,∵小明这次竞赛得了分,在他们学校排名属中游略偏上,∴小明为甲校学生,故答案为:甲;(2)乙校随便抽取一名学生的成绩,该学生成绩为优秀的概率为:,故答案为:;(3)乙校竞赛成绩较好,理由如下:因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高,乙校的中位数75高于甲校的中位数65,说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多,综上所述,乙校竞赛成绩较好.【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数的定义与简单概率的计算的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.18、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出∠BCA=∠BAC,进而可得出BA=BC,根据等角的余角相等结合等角对等边,即可得出AB=BE,进而可得出BE=BA=BC,此题得证;(2)根据AC2=DC•EC结合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA,根据相似三角形的性质可得出∠ADC=∠EAC=90°,进而可得出∠FDA=∠FAC=90°,结合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA,再利用相似三角形的性质可证出AD:AF=AC:FC.【详解】(1)∵DC∥AB,∴∠DCA=∠BAC.∵AC平分∠BCD,∴∠BCA=∠BAC=∠DCA,∴BA=BC.∵∠BAC+∠BAE=90°,∠ACB+∠E=90°,∴∠BAE=∠E,∴AB=BE,∴BE=BA=BC,∴B是EC的中点;(2)∵AC2=DC•EC,∴.∵∠ACD=∠ECA,∴△ACD∽△ECA,∴∠ADC=∠EAC=90°,∴∠FDA=∠FAC=90°.又∵∠AFD=∠CFA,∴△AFD∽△CFA,∴AD:AF=AC:FC.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质,解题的关键是:(1)利用等角对等边找出BA=BC、BE=BA;(2)利用相似三角形的判定定理找出△AFD∽△CFA.19、(1),;(2)0<n<1或者n>1.【解析】
(1)利用待定系数法即可解决问题;(2)利用图象法即可解决问题;【详解】解:(1)∵A(1,1)在直线上,∴,∵A(1,1)在的图象上,∴.(2)观察图象可知,满足条件的n的值为:0<n<1或者n>1.【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式,解题关键在于利用数形结合的思想求解.20、(1);(2)与x的函数关系式为,S存在最大值,最大值为18,此时点E的坐标为.(3)存在点D,使得和相似,此时点D的坐标为或.【解析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标,结合即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出结论;由点A、B的坐标可得出直线AB的解析式待定系数法,由点D的横坐标可得出点D、E的坐标,进而可得出DE的长度,利用三角形的面积公式结合即可得出S关于x的函数关系式,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;由、,利用相似三角形的判定定理可得出:若要和相似,只需或,设点D的坐标为,则点E的坐标为,进而可得出DE、BD的长度当时,利用等腰直角三角形的性质可得出,进而可得出关于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出结论;当时,由点B的纵坐标可得出点E的纵坐标为4,结合点E的坐标即可得出关于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出结论综上即可得出结论.【详解】当时,有,解得:,,点A的坐标为.当时,,点B的坐标为.,,解得:,抛物线的解析式为.点A的坐标为,点B的坐标为,直线AB的解析式为.点D的横坐标为x,则点D的坐标为,点E的坐标为,如图.点F的坐标为,点A的坐标为,点B的坐标为,,,,.,当时,S取最大值,最大值为18,此时点E的坐标为,与x的函数关系式为,S存在最大值,最大值为18,此时点E的坐标为.,,若要和相似,只需或如图.设点D的坐标为,则点E的坐标为,,当时,,,,为等腰直角三角形.,即,解得:舍去,,点D的坐标为;当时,点E的纵坐标为4,,解得:,舍去,点D的坐标为.综上所述:存在点D,使得和相似,此时点D的坐标为或.故答案为:(1);(2)与x的函数关系式为,S存在最大值,最大值为18,此时点E的坐标为.(3)存在点D,使得和相似,此时点D的坐标为或.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、相似三角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程,解题的关键是:利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标;利用三角形的面积找出S关于x的函数关系式;分及两种情况求出点D的坐标.21、(1)证明见解析;(2)1.【解析】
(1)连结OA,由AC为圆的切线,利用切线的性质得到∠OAC为直角,再由,得到∠BOC为直角,由OA=OB得到,再利用对顶角相等及等角的余角相等得到,利用等角对等边即可得证;(2)在中,利用勾股定理即可求出OC,由OC=OD+DC,DC=AC,即可求得OD的长.【详解】(1)如图,连接,∵切于
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