河北省沧州市五县2025届高三下学期3月第一次模拟联考试题 数学 含解析

河北省沧州市五县2024-2025学年高三下学期第一次模拟联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（

）A．3 B． C． D．3．已知向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．已知数列满足：，，则（

）A．10 B．11 C．12 D．135．在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（

）A． B．C． D．6．抛物线的焦点坐标为(

)A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．对任意的，都有B．当时，有两个实根C．若关于的方程在上只有一个解，则的取值范围为D．若方程有两个不同的根，且恒成立，则二、多选题9．过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（

）A．的坐标为 B．若，则C．若，则的最小值为3 D．面积的最小值为210．已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（

）A． B． C． D．11．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式由此可以判断下列各式正确的是（

）．A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）C． D．三、填空题12．已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则.13．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为.14．已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是.四、解答题15．已知幂函数是定义在R上的偶函数．(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值．16．已知中，内角所对的边分别为，且满足．(1)求角的值；(2)若点为的中点，求的值．17．如图，在三棱台中，平面平面，，，.(1)证明：；(2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.18．已知圆，直线过点.(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.19．若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.(1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.（i）求的方程.（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.题号12345678910答案ACCBDCBDACDBCD题号11答案ACD1．A【详解】由，解得，所以，又因为，所以.故选：A.2．C【详解】由三角函数的定义可得，所以.故选：C.3．C【详解】由，得，而，则，，而，所以与的夹角.故选：C4．B【详解】由题设，则，即，则.故选：B5．D【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接，则点为底面中心，且在上，所以.故选：D.6．C【详解】由可得，故，则，故焦点坐标为，故选：C.7．B【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B8．D【详解】，利用复合函数求导，可得，当时，，所以在区间上单调递增；当时，，所以在区间上单调递减；在处，取到极大值点，.函数图像如下：对于选项A：当时，不满足，故A错误；对于选项B：由上分析得，当趋于时，函数值趋于，当时，有两个实数根；当时，有一个实数根；故B错误；对于选项C：方程，两边取对数得，即，令，则，令，则，当时，，所以在区间上单调递增；当趋于时，函数值趋于；当时，，所以在区间上单调递减；当趋于时，函数值趋于；故，如图所示：当时，，与只有一个交点，当时，，与有2个交点，当时，与只有一个交点；当时，，与有2个交点，故在上只有一个解，则的取值范围为，故C错误；对于选项D：若方程有两个不同的根，则，设两根为，则，由函数的单调性知，因为恒成立，所以同时是方程的两根；根据韦达定理得，因为，两边取对数得，，两式做差，，根据对数不等式，，即；，即；所以，选项D正确；故选：D9．ACD【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，则由可得，，所以，所以而，当且仅当时等号成立，故，故，故，故A正确；若，则，故，故的斜率为，其倾斜角为或，故B错误；若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立，故的最小值为3，故C正确；，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立.故选：ACD.10．BCD【详解】因为，所以．对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确；对于选项C，当时，，只能，选项C正确；对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确；故选：BCD．11．ACD【详解】对于A、B，由，两边求导得，，，又，，，故A正确，B错误；对于C，已知，则.因为，则，即成立，故C正确；故C正确；对于D，,，，当，；；；，,所以，所以成立，故D正确.故选：ACD.12．1【详解】解：，，.故答案为：113．【详解】，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：14．//【详解】当时，设，则有，解得，又，所以，又，所以，两边同除，得到，解得或（舍），因为，有，设，则，，，，所以，又，所以，故答案为：；.15．(1)(2)当时，函数的最大值为7【详解】（1）根据题意可得，即，所以，解得，又函数是定义在上的偶函数，所以，即函数的解析式为．（2）由（1）可知因，所以，当时，，函数的最大值为7．16．(1)(2)【详解】（1）设，则，，利用余弦定理可得，又因为，所以．（2）设，则，，因为点为的中点，所以，两边平方可得，即，所以，可得，所以．17．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在三棱台中，取的中点，连接，由，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，则，又，则四边形是菱形，，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）取中点，则，由平面平面，平面平面，平面，则平面，直线两两垂直，以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成的角为，，当且仅当，即时取等号，所以三棱台的体积.18．(1)(2)【详解】（1）已知的圆心是，半径是，设直线斜率为则直线方程是，即，则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.（2）设点则，由点是的中点得，所以①因为在圆上运动，所以②①代入②得，化简得点的轨迹方程是.19．(1)(2)（i）；（ii）直线过定点【详解】（1）因为圆心在直线上，设，且点，均在圆上，则，可得，解得，即圆心为，半径，所以圆的标准方程为.（2）