2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷

2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）2024的相反数是（）

A.2024B.-2024C]D，^024

2024

是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体,则这个几何体的左视图是（）

B.Elc.于D.哈

3.（3分）2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础

上增设科研设备，全球建成的敌裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构

的“超级显微镜”，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器.已知中子的半径约

为0.0000000000000016/〃，将0.0000000000000016〃?用科学记数法表示为（）

A.16X10-14B.1.6X1014

C.1.6X10'15D.0.16X10-14

4.（3分）若分式」一有意义，则入•的取值范围是（）

X-1

A.xXOB.工#-1C.工#1D.

5.（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交

水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：c，〃），24,23,26,23'：）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

6.（3分）在平面直角坐标系中，点P（-1,）位于（）

A.第一-象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）如图，直线CDJ_AB于点。，Zl=50°,则N8C。的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.30°

8.（3分）如图，数轴上表示实数位的点可能是（)

1P4।Q.1RS

-10123

A.点PB.点。C.点RD.点S

9.（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则

10.（3分）二次函数（aWO）的图象如图所示，对称轴是直线4=1；②方程：CLv2+/a+c=O

（g0）必有一个根大于2且小于3；③若（0,y）,（―,y）»那么yiV”：©ll«+2c>0；⑤对

122

于任意实数机，都有机（〃加+〃），其中正确结论的是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）因式分解：9a2-9=.

12.（3分）计算：«-（3-兀）°=-

13.3（分）一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是.

14.（3分）对一个实数”按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结

果是否大于190?”为一次操作.如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是.

输入是

X3—>-2—>>190——►停止

否

15.（3分）如图，四边形A8C。是。0的内接四边形，BC是0。的直径，若NOBC=30°,则NBA。的

度数是。.

16.（3分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点A/，8）和〃

（4,m），过点B作8Q_Lx轴于点Q.若△AOP的面积记为Si,△BOQ的面积记为S2,则Si52

三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分）

17.（8分）（1）解方程：?-4x=0；

（2）先化简，再求值：，其中。=・4.

2

a-1a-l

18.（6分）在植树节到来之际，为激发同学们爱护植物，保护生态环境的意识，两个年级平均每小时共植

树35棵，求八年级平均每小时植树多少棵？

19.（7分）如图，已知。为8c的中点，DEA.AB,点£,尸为垂足，NBDE=30°,求证：△A8C是等

边三角形.

E

BDC

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

20.（9分）如图，在中，ZACB=90°.

（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：

①作NACB的平分线，交斜边AB于点D；

②过点。作AC的垂线，垂足为点£

（2）在（1）作出的图形中，若C8=4,则。£=

21.（9分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，惠州市的非物质文化遗产资源丰

富，涵盖了多种形式和风格.某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，B龙门农民画，C惠州剪纸,

E客家凉帽（竹编技艺）的相关传承人进校园宣讲，选择自己喜欢的项目（假设每名学生只能选择一项）,

并将投票结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解决下列问题：

（1）参与此次抽样调查的学生共人,补全统计省1（要求在条形图上方注明人数）；

（2）若七年级学生共有1200人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“莫家拳”项目的学生人数；

（3）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中8龙门农民

画和C惠州剪纸这两个项目的概率.

ffll

22.(9分)综合与实践：根据以下素材，探索完成任务.

问题：你了解黄金矩形吗？

问题背景

素材一矩形就是长方形，四个角都是90°,两组时边平行且相等

素材二宽与长的比是近二1

2

(约为0.618)的矩形

叫做黄金矩形.黄金矩

形给我们以协调、匀称

的美感.世界各国许多图1

著名的建筑，为取得最

佳的视觉效果

素材三我们在学习二次根式例如：

时.常遇到,这种2_______2(V§-1)_2(百-1)

“IV3+1(V3+1)(V3-1)(V3)2-12

分母含有无理式的式

子，需要通过分式性质

和平方差公式来进行

化简.我们称之为“分

母有理化”.

素材四黄金矩形是可以通过—

折纸折叠出来的

操作步骤【第一步】在一张矩形

纸片的一端，利用图2

所示的方法折出一个

正方形，然后把纸片展

平.

【第二步】如图3,把图5

这个正方形折成两个

相等的矩形，再把纸片

展平.

【第三步】折出内侧矩

形的对角线AB,并把

4A折到图4中所示的

A。处.

【第四步】展平纸片，

按照所得的点。折出

DE,矩形BCOE（图5）

解决问题

任务一

任务二设MN为筋请用含x

的式子表示AB,并证

明矩形BCDE是黄金

矩形图5

任务三如图5,若MN=2,连

接MC（提示：等面积

法）

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

23.（12分）如图，P8是。0的切线，切点为B,且出=尸&连接A。并延长交。0于点C，交直线

于点D

（1）证明：PA是。。的切线:

(2)证明：DB?=DC・DA；

(3)若80=4,sinNAOP=2,求线段。尸的长.

5

24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+hi+c•与x轴交于4（-1,0）,B两点,与y

轴交于点C（0,-3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,当点。的横坐标为2时，。为线段4。上一点9,请求出。点坐标；

4

（3）如图2,点P在y轴的右侧，直线AP与），轴交于点M,连接PQ与），轴交于点”，清问吗，如

QH

果是，请求出这个定值，请说明理由.

图1图2

2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）2024的相反数是（）

A.2024B.-2024C.——D.-_—

20242024

【解答】解：2024的相反数是・202的

故选:B.

2.（3分）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

A.2B.BlcFD,

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选股

3.（3分）2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础

上增设科研设备，全球建成的故裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构

的“超级显微镜”，解决国家豆大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器.已知中子的半径约

为0.0000000000000016/〃，将0.0000000000000016〃?用科学记数法表示为（）

A.16X10-14B.1.6X1014

C.1.6X10'15D.0.16X1（/14

【解答】解：0.0000000000000016=1.8X1015,

故选：C.

4.（3分）若分式上有意义，则x的取值范围是（）

x-l

A.xWOB.K#-1CD.GI

【解答】解：由题可知，

X-1W0,

解得xW5,

故选：C.

5.（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交

水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）,24,23,26,23（）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是23,因此众数是23,

将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24,

印：众数是23,中位数是24,

故选：C.

6.（3分）在平面直角坐标系中，点P（-1,病+i）位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：・・・序+1>7,

・•・点尸（-1,机2+6）在第二象限.

故选：B.

7.（3分）如图，直线八〃/2,CDLAB于点D,Nl=50°,则NBC。的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.30°

【解答】解：・・・/1〃/2,

・・・N6=NA3C=50°.

于点。，

AZCDB=90°.

・・・/BCO+NQBC=90°,即NBCO+50°=90°.

：.^BCD=40°.

故选：C.

8.（3分）如图，数轴上表示实数时的点可能是（）

PQRS

14I41

-10123

A.点PB.点0C.点RD.点S

【解答】解：V4>3>4,

.\V4>V3>V2,

.*.2>V3>4.

故选：C.

9.（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则

C.13D.15

【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为X、》最大正方形七的边长为z

入2=3+2=8,）2=2+3=5,z3=.r2+y2=13：

即最大正方形E的面积为：?=13.

故选：C.

10.（3分）二次函数>=加+尿+c（aWO）的图象如图所示，对称轴是直线4=1；②方程：ax1+bx+c=O

（々NO）必有一个根大于2且小于3；③若（0,y）,（―,y）»那么yiV”；@lk/+2c>0；⑤对

122

于任意实数〃2,都有加（〃〃?+〃），其中正确结论的是（）

C.©©⑤D.②©©

【解答】解：根据图象可知：4>0,（?<0,

,••对称轴是直线x=8.

2a

.*./?<3,

:・abc>0.

故①错误.

方程af+bM+cng,即为二次函数ynaf+Zu+c（“WO）与x轴的交点,

根据图象已知个交点・4（用<0,关丁人=2对称，

，另一个交点2VX2V5.

故②正确.

•・•对称轴是直线4=1,

.••点（3,）2）离对称轴更近，

3'

故③错误.

•••・上=1,

2a

:・b=-6a,

»•y=ax1-2ax+c,

根据图象，令x=-7,

y=〃+2〃+。=3a+c>3,

/.6。+2c>3,

Va>0,

，11。+2c>8,

故④正确.

m（am+b）=am+bm=am-5卬-2a,

am~--a,

印证：-2〃?+220,

m2-4〃?+l=（//:-1）3,

m为任意实数，相2-2〃?+820恒成立.

故⑤正确.

综上②④⑤正确.

败选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）因式分解：%』-9=9（〃+1）（〃-1）.

【解答】解：原式=9（J-3）

=9（。+1）（4-3）.

故答案为：9（4+1）（4-3）.

12.（3分）计算：_（2.TT）。=1.

【解答】解：也-（3-兀尸

故答案为：1.

13.3（分）一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是6.

【解答】解：・・•多边形的内角和公式为（n-2）-180°,

J（〃・2）X18O0=720°,

解得〃=5,

・•・这个多边形的边数是6.

故答案为：6.

14.（3分）对一个实数％按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结

果是否大于190?”为一次操作.如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是一>64.

【解答】解：第一次的结果为：3x-2,没有输出，则

3x-2>190,

解得：x>64.

故x的取值范围是x>64.

故答案为：x>64.

15.（3分）如图，四边形ABC。是。0的内接四边形，BC是00的直径，若/。BC=30°,则/BAO的

度数是120°.

A

B

【解答】解：・・・8C是。。的直径,

，/8。。=90°，

・.・/。3。=30°，

：・NBCD=90°-30°=60°,

T四边形ABCD是OO的内接四边形,

••・NB4Z)+/BC£)=180°,

••・N84O=180°-60°=120°，

故答案为：120.

16.（3分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点A弓，8）和8

（4,小），过点B作BQ_Lx轴于点Q.若△4OP的面积记为Si,ZXBOQ的面积记为S2,则5i52

【解答】解：•・•一次函数3，=力/匕与反比例函数y咚的图象交于第一象限内的点48），〃?），

,^4=4~X4=4ITI,

乙

01=1,

（6,加）,

VA(上，7),B(4,

•'・S日言PA・OP=JX4=2,S2=NPQ-BQ=-x4X1=5,

.*.Sl=S2.

故答案为：=.

三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分）

17,（8分）（1）解方程：?-4A=0；

（2）先化简，再求值：，其中。=・4.

2

a-1a-l

【解答】解：（1）』-4x=3,

则x（%-4）=0,

.*.x=2或工-4=0,

••.V3=0,X2=8;

（2）原式=（，+-^A（a+1）（a-6）

a-la-la

=a.（a+1）（a-7）

a-la

=〃+l,

当〃=-4时，原式=-8+[=-3.

18.（6分）在植树节到来之际，为激发同学们爱护植物，保护生态环境的意识，两个年级平均每小时共植

树35棵，求八年级平均每小时植树多少棵？

【解答】解：设七年级平均每小时植树％棵，则八年级平均每小时植树（35・x）棵，

根据题意得：毁=工上，

x35-x

解得：x=15,

经检验，x=15是所列方程的解，

/.357=20（棵）.

答：七年级平均每小时植树15棵，八年级平均每小时植树20棵.

19.（7分）如图，已知。为8C的中点，DE_LAB,点E,尸为垂足，ZBDE=30°,求证：△ABC是等

边三角形.

【解答】证明：•・•。是8C的中点，

:・BD=CD,

*：DELAB,DFLAC,

:ABED和△CFO都是直角三角形，

在RSED和RtZ\CEO中，

：BD=CD,

,BE=CF，

.,.RlABED^RtACFD（HL）,

：,AB=AC（等角对等边）.

VZBDE=30a,DELAB,

••.N6=60°,

•••△/WC是等边三角形.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

20.（9分）如图，在RlZXABC中，ZACB=90°.

（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：

①作NAC8的平分线，交斜边4B于点D；

②过点。作4c的垂线，垂足为点£.

（2）在（1）作出的图形中，若C8=4,则OE=.

R

【解答】解:(1)如图所示；

(2)解：是NAC8的平分线,

：.ZBCD=ZACD,

*：DEA,AC,BCA-AC,

：.DE//BC,•••ZEDC=NBCD,

:・/ECD=NEDC,：,DE=CE,

\-DE//BC,

•••△AOES”BC,

.DE=AE

**BCAC*

设。E=CE=x,则AE=6・x,

•・•x~-~2-x'9

46

解得：工=卫，

5

即

2

故答案为：12.

21.（9分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，惠州市的非物质文化遗产资源丰

富，涵盖了多种形式和风格.某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，8龙门农民画，C惠州剪纸,

E客家凉帽（竹编技艺）的相关传承人进校园宣讲，选择自己喜欢的项目（假设每名学生只能选择一项）,

并将投票结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解决卜列问题：

（1）参与此次抽样调查的学生共120人,补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）；

（2）若七年级学生共有1200人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“莫家拳”项目的学生人数；

（3）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B龙门农民

画和C惠州剪纸这两个项目的概率.

【解答】解：（I）抽取人数是：244-20%=120（人）.投票给C的人数是：12OX3O%=36（人）,

投票给E的人数是：120・36-24・36・6=18（人），

图1

故答案为：120；

（2）。占抽取人数的：64-120X100%=6%.

那么七年级学生共有1200人，按照。抽取率，

所以喜欢“莫家拳”项目的人数大概是：1200X5%=60（人）；

（3）列表法有（A,B）,C）,。），E）,C）,D）,£）,D）,E）,D）共10种,

所以选中（8,C）的概率是1.io=噌.

22.（9分）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务.

问题：你了解黄金矩形吗？

问题背景

素材一矩形就是长方形，四个角都是90°,两组对边平行且相等

素材二宽与长的比是逅二1

2

（约为0.618）的矩形

叫做黄金矩形.黄金矩

形给我们以协调、匀称

的美感.世界各国许多即

著名的建筑，为取得最

佳的视觉效果

素材三我们在学习二次根式例如:

时.常遇到/—这种2_2(V§T)_2(百-1)

V3+1V3+r(V3+l)(V3-l)-(V3)2-12

分母含有无理式的式

子，需要通过分式性质

和平方差公式来进行

化简.我们称之为“分

母有理化”.

索材四黄金地形总可以通过

折纸折叠出来的

操作步骤【第一步】在一张矩形

纸片的一端，利用图2

所示的方法折出一个

正方形，然后把纸片展

平.

【第二步】如图3,把

这个正方形折成两个

相等的矩形，再把纸片

展平.

【第三步】折出内侧矩

形的对角线AB,并把

AB折到图4中所示的

AO处.

【第四步】展平纸片，

按照所得的点。折出

DE,矩形8CQE（图5）

解决问题

任务一化简：__1_

V2-1

任务二设MN为x,请用含x

的式子表示AB,并证

明矩形BCDE是黄金

矩形图5

任务三如图5,若MN=2,连

接A7C（提小：等面积

法）

1二加+1步+1

【解答】解:任务一:=V2+2-

V2-2=(V3-1)(V2+6)=2-1

任务二：设MN为X,则8C=M8=x2a・,

2

'AB=VBC2+AC2=^X2+(4X)2=^X44^-二亨

证明：如图4,由折叠性质可以知道,

AD=AB,

.J~21V5-1

-CD=AD-AC=AB-AC=^x-^x=v^-

•••CD：BC=理工：x=理二，

72

，矩形BC/%是黄金矩形；

任务三：SAMCE=SaMBCtS^BCE,

5V5+1

SMB，BCBCCDX2■------

AMCE44-45

,:MN=2,

,SAMCE=1X22X^¥1=^+1

MC=VMB2+BC7=2>/2

'SAMCE4X2^邛出行EE，

乙

.M遥+8VioW2

，，EH=^7F~一，

/.点E到线段MC的距离是Ml运返.

2

故答案是:正+1；逅』亚叵

25

MBM

NC4N出、

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

23.（12分）如图，尸8是。0的切线，切点为从且以=P3.连接AO并延长交。0于点C交直线PB

于点。

（I）证明：PA是0O的切线：

（2）证明：DB2=DC・DA；

（3）若BO=4,sin/AOP=3,求线段OP的长.

5

【解答】（1）证明：如图1,连接OB,

图1

•・才6是OO的切线，

••・NPBO=90°,

在△AO尸和AB。尸中，

fPA=PA

[OA=OB，

IOP=OP

:.△AOPQABOP(SSS),

.•・N"(J=NF4O=9(r,

：.OAA.PA,

又•••点4在OO上，

•1%是OO的切线；

••,/DBC=NDAB,

又，：/D=ND,

•••△OBCs△。人从

•・*'DC-=_DB,

DBDA

:・Da=DC・DA；

(3)解：在RtZXOAQ中，sin/A/)P=2,OD=2x,

：.BD=4x,

•・・8。=4,

.\OB=3x=3,()D=7x=5,

在RtaRl。中，sinR