江西省2025届高三下学期2月一模考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江西省2025届高三下学期2月一模考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若向量a=(2,−1)，bA．35 B．45 C．3522．若z=12−iA．5 B．5 C．175 D．3．满足−2,0,2A．4 B．8 C．16 D．324．声音经济产业指的是围绕声音进行信息消费而引发的一切经济现象及行为.已知2017~2024年中国声音经济产业市场规模（单位：千亿元）依次为：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的75%A．3.1 B．3.2 C．3.5 D．3.95．化简tan35°+A．tan65° B．−tan65°6．若直线y=t(0<t<1)与幂函数y=x3，y=A．1t−t2 B．1t−7．已知点D(−2,0)，直线l：x−ay−2=0(a>0A．2 B．22 C．22−8．已知正四棱锥O−ABCD的底面边长为23，侧棱长为26，点O′在该棱锥的高上，分别以O，O′为球心作球，使得点A，B，C，D都在球O′的表面上，两球面的公共点的集合是以线段OO′上一点A．16π B．8π C．4π二、多选题9．已知双曲线C1：x24−y22=1与CA．离心率相等 B．渐近线相同 C．焦点坐标相同 D．焦距相等10．已知数列an满足对任意正整数p，q恒有ap+q=apA．an中前2n−1个奇数的和为nC．不存在等差数列cn，使其前n项和为an+11．已知函数f(x)=9x+1+t，若存在m，A．t的取值范围是0,136 B．C．3m+n三、填空题12．已知随机变量X~N3,σ213．已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，沿该棱柱的表面从点A经过棱A1B114．已知函数fx=a(x+1)ex（a∈四、解答题15．某农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按[25,30)，[30,35)，[35(1)求a的值及B品种小麦千粒重的中位数；(2)用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率.16．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与(1)求cos∠(2)若BC+B17．如图1，在面积为534的等腰梯形ABCD中，AB//CD，点E为CD的中点，AB=1，CD=4，把△B

(1)求证：PE(2)求直线PE与平面PAB所成角的正弦值.18．已知椭圆C：x2a2+y(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于点P，Q，且线段PQ的中点为R−1(3)过动点Tx0,6−x0作C19．已知函数f(x)是区间D上的可导函数，数列an满足an∈D，若点A0(a,f((1)若f(x)=x，D=(0,(2)若f(x)①判断f(x)②若an是f(x)的“a—和谐数列”，且答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江西省2025届高三下学期2月一模考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CABCDABAABBCD题号11答案AC1．C【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出b=32【详解】因为a⊥b，所以a⋅故b=故b=故选：C.2．A【分析】利用复数的除法运算化简复数，再结合复数模的性质求解即可.【详解】因为z==2所以结合复数模的性质得z⋅故选：A.3．B【分析】先分析得到集合A应该包含−2【详解】因为x∈Zx则A必须包含−1和1，也必须包含−又−2,0则符合条件的集合A共有8个，故B正确.故选：B.4．C【分析】利用百分位数的定义求解即可.【详解】因为75%×8所以这组数据的75%分位数为3.1故选：C.5．D【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.【详解】由两角和的正切公式得tan=由诱导公式得tan80则原式可化为tan35故选：D.6．A【分析】求得交点A,C的横坐标，比较大小可求【详解】当y=t时，由y=x3，得x=3t；由因为0<t<1，所以又−1<13<故选：A.7．B【分析】由弦长公式求得a=【详解】由题意知直线l过C的焦点F(2,0)得y2−8ay−16由抛物线定义可得AB又a>0，解得a=2，直线直线DA与DB的斜率之和为y1所以直线AB,D故选：B.8．A【分析】设球O，O′的半径分别为R，R′，设AC∩BD=G，求得【详解】由题意可得圆E的半径为2，设球O，O′的半径分别为R，R设AC∩BD=O′G=由题意，得R2=OE2+(所以球O的表面积为4π故选：A.【点睛】关键点点睛：关键在于得到两球的半径所满足的关系式，从而求得球O的半径.9．AB【分析】利用双曲线C1与C【详解】由双曲线C1：x24−y22由双曲线C2：x22−y2=所以C1与C2的离心率都是C1的渐近线方程为y=±b1C1与C2的焦点坐标分别为(±C1与C2的焦距分别为26故选：AB.10．BCD【分析】由题意可得an+1=an+a1，可得an是等差数列，可求通项公式，进而求得an中前2n−1个奇数的和，可判断A；求得【详解】因为对任意正整数p，q，ap令p=n，q=1，得an所以a1=1故an=nan中前2n−所以i=1n所以bn的前100项的和为−=2假设存在cn，其前n项和Sn=当n≥2时，cn=S所以cni=14所以i=故选：BCD.11．AC【分析】由题意可得m，n是方程9x+1+t=3x的两个根，可得方程【详解】由题意知f(x)在m,n上单调递增，又f所以f(m)=9m+设y=3x，则3m，因为n>m，所以3n>3m>所以Δ=(−由基本不等式，可得19所以3m9m因为0<t<故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是得到方程9y2−y+12．0.2【分析】根据正态分布的对称性，计算即可得答案.【详解】因为X~N3所以P(所以P(故答案为：0.2.13．2613/【分析】设该棱柱的高为h，利用点E到达点C1的最短距离为13，求得h，过点E作B1D1的平行线与A1D1交于点F【详解】设该棱柱的高为h，如图，若沿该棱柱表面从点A经过棱BB1上一点E到达点C1从点A经过棱A1B1上的一点E到达点C1的最短距离为因为A1E//C1过点E作B1D1的平行线与A则∠AEF或其补角就是AE与BD所成角，A所以cos∠故答案为：261314．−【分析】法一：设P(x,y)为f法二：求导，由a>0,【详解】法1：设P(x,绕原点O逆时针旋转π4后点P的对应点为Q设OP=r，OP与可得：x=r化简可得：x′=22(所以x′=2要使函数图像绕原点O逆时针旋转π4则g(t)为单调函数，即g因为g′(t)=1+当t=0时，g(0)=1令h(t)易得当0<t<1时，h′所以h(t)在(所以h(t)当t<0时，由g′(t)≥所以m(t)在(−∞,0所以a≤0.综上所述，a的取值范围为法2：f′(x)=−a由f′(x)<0，得x>其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转π4

当a=0时，f(x)=0当a<0时，由f′(x)>所以f(x)在(其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转π4得到的曲线为某函数的图象，必有f(x)≤x所以−a≤exx在(因为g′(x)=当x∈(1,+∞)在(1,+∞)所以−e≤a<0故答案为：[−【点睛】关键点点睛：法二：要使绕原点逆时针旋转π4后，得到的曲线为某函数的图象，必有f(x)≤15．(1)a=0.03，(2)0.45.【分析】（1）利用频率分布直方图求出a及中位数.（2）求出千粒重不低于45g的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得.【详解】（1）由A品种小麦的频率分布直方图，得(0.01+a设B品种小麦千粒重的中位数为bg，由B得(0.01+0.03)×于是0.2+(b−40（2）设事件M，N分别表示从A，B两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g，事件C表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则C=用频率估计概率，则P(M)由M，N相互独立，所以P=0.2516．(1)71(2)10【分析】（1）利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解余弦值即可.（2）利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出sin∠BDC，再依据BC【详解】（1）如图，在△ACD设AD=3t，则则由余弦定理得cos∠因为CD是∠ACB的平分线，所以由二倍角公式得cos∠（2）由（1）知cos∠AC所以sin∠由余弦定理得cos∠结合诱导公式得sin∠在△BCD因为BC+BD=由余弦定理得cosA因为A∈(0,π17．(1)证明见解析(2)22【分析】（1）法一：由等腰梯形确定△ABE是正三角形，取AB的中点F，得到PF⊥AB，EF⊥AB，即可求证；法二：作EO⊥平面PMN，垂足为O，以点O为原点，在平面PMN内过点O与PM（2）法一：由（1）可确定点E在平面PAB上的射影在PF上，得到∠EPF是直线PE法二：由（1）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；【详解】（1）证明：在面积为534的等腰梯形ABCD中，因为AB设梯形ABCD的高为h，则4+12则AE所以△ABE在三棱锥P−ABE中，取AB的中点F，连接PF，EF，则PF⊥A因为PF∩EF=F，PF，EF因为PE⊂平面PEF，所以法二：在面积为534的等腰梯形ABCD中，因为AB设梯形ABCD的高为h，则4+12则AE所以△ABE延长EA到M，使得EA=AM，延长EB到连接PM，PN，MN，则四面体EPMN是棱长为2的正四面体.作EO⊥平面PMN，垂足为O，以点O为原点，在平面PMN内过点O与PM垂直的直线为过点O与PM平行的直线为y轴，直线OE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P33,−1,0因为A，B分别为EM，EN的中点，所以A36,（1）证明：PE=−所以PE所以PE（2）由（1）知，AB⊥平面因为AB⊂平面PAB，所以平面所以点E在平面PAB上的射影在所以∠EPF是直线P由（1）知△ABE是边长为1的正三角形，E在△PAEPF在△PEF所以sin∠所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为2211法二：由（1）知PE=−33设平面PAB的一个法向量n=(x,令x=1，得y=−3设直线PE与平面PAB所成角为θ即直线PE与平面PAB18．(1)x(2)x(3)证明见解析，2【分析】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可.（2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可.（3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为0，可利用切点坐标表示m,n，再把T点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线【详解】（1）由椭圆C经过点M2,2得到2a2+12b2=1（2）设Px1,y1因为线段PQ的中点为R−1,12因为x124+y所以y1+y2x即直线l的斜率为12，故l的方程为y−1（3）如图，设Ax3,可设切线TA的方程为y=m将y=mx+n则Δ=(8且x3=−所以n=1y3，m=将Tx0,6−当x3=2时，y3=0，x0而Ax3,设Bx4,则点A，B都在直线x0故直线AB的方程为x0x由x−4y=0,24【点睛】关键点点睛：求直线AB的方法是解题的关键，首先设切点，利用判别式结合切点坐标替换m,n19．(1)a(2)①单调递增；②证明见解析【分析】(1)根据两点求斜率和求导求斜率，列出等式求出2an