江西省吉安市2025届高三上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

第1页/共1页吉安市高三上学期期末教学质量检测2025.1数学试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求指数函数的值域求集合，再由集合的交补运算求结果.【详解】由题意，∴，故.故选：B2.已知，则（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解.详解】依题意，，则，所以.故选：A3.已知数列是以1为首项，4为公比的等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比数列前项和公式代入计算可得结果.【详解】由题意可知是以1为首项，4为公比的等比数列，显然代表数列的前66项和，所以.故选：B4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果.【详解】由可得，由于，可得，解得，由于，因此．故选：D5.为响应教育部推出的“德智体美劳全面发展以及五育并举”的相关政策，某高中成立了钢琴兴趣社团，5名同学为一小组，若某次钢琴专业知识测试中某小组的5名成员测试成绩分别为50，49，51，48，52，则该组数据的平均数和方差分别为（）A.50，2 B.50，10 C.51，2 D.51，1【答案】A【解析】【分析】根据平均数和方差的概念求解即可.【详解】由题意可得该组数据的平均数为，方差为．故选：A.6.某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为，则该圆台石墩的质量约为（取3）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意先求圆台的高，利用圆台体积公式计算，借助于混凝土密度即可求得圆台石墩的质量.【详解】由题意可得，，，因此该圆台石墩的高为，故该圆台形石墩的体积约为，故该圆台石墩的质量约为故选：A7.已知函数的最小正周期为，且满足，则（）A.1 B.2 C. D.0【答案】C【解析】【分析】由题知函数周期和对称轴，分类讨论当和时，利用辅助角公式和三角函数的图象性质求解即可.【详解】因为，所以对称轴为，当时，．则函数周期，则，∴，对称轴为，，不合题，舍去；当时，，其中，得的最小正周期，∴，∴，由，令，得，即，得，∴．∴．故选：C.8.已知双曲线C：右顶点为A，右焦点为F，点P为其渐近线在第一象限上的动点，则当取得最大值时，点P的横坐标为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先转化，再根据坐标表示两角差的正切公式，最后代入基本不等式，即可求解.【详解】由已知得，，在第一象限的渐近线方程为，设，则，．∵，，当且仅当，即时等号成立，∴点P的横坐标为．故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若方程有三个实根，则b的可能取值为（）A.-1 B. C.0 D.【答案】BD【解析】【分析】问题转换成由三个零点，求导确定函数单调性，求得极值，通过极值构造不等式求解即可；【详解】由题意可设函数，由题意可转化为有三个零点，且，由，可得或，由，可得，所以在单调递增，在单调递减；∴在处取到极大值，在处取到极小值，若有三个零点，则解得，结合选项只有BD符合；故选：BD10.已知，且（均为正数），则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据题设得，对于选项A，利用基本不等式，即可求解；对于B，利用基本不等式，再结合选项A中结果，即可求解；对于C，通过取特殊值，，即可求解；对于D，通过变形得，根据条件，利用选项A中结果，即可求解.【详解】因为随机变量，且，由正态曲线的对称性，可得，对于选项A，∵，，所以，可得，解得，当且仅当时，等号成立，所以选项A正确，对于选项B，由，当且仅当，即时取等号，由选项A知，，当且仅当时，等号成立，所以，故选项B错误，对于选项C，令，，满足，此时，所以选项C错误，对于选项D，因为由选项A知，所以，当且仅当时取等号，所以选项D正确，故选：AD.11.现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数称为“正直函数”，已知正直函数满足，，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】对于A：假设，结合题意推出矛盾；对于BC：结合选项A可知：或（且），假设，结合题意推出矛盾，可得，即可得；对于D：可求，结合单调性分析求解.【详解】对于选项A：若，则，可得，两者相矛盾，故A错误；对于选项B：因为为正整数，且单调递增，结合选项A可知：或（且）．若（且），令，则；再令，则，可得．因为，则，即，这与矛盾．即（且）不成立．所以，可得，即，故B正确；对于选项C：令，，即．故C错误；对于选项D：令，，即．又为正整数．且单调递增，所以，故D正确；故选：BD.【点睛】关键点点睛：对于本题的推理，采取正难则反的思想，关键在于利用反证法，先假设再推出矛盾.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过点作曲线的切线的斜率为______．【答案】2【解析】【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解；【详解】，设切点横坐标为，故曲线在处的切线方程为l：，将，代入，得，解得，∴，故答案为：213.已知，且，，则______．【答案】##【解析】【分析】联立已知条件，平方相加，利用同角三角函数的关系和余弦的差角公式求解即可.【详解】由题意可得平方相加得：，，．∵，∴，∴，故答案：.14.若，，，则______．【答案】##【解析】【分析】根据条件概率公式可得，即可根据全概率公式求解.【详解】∵，∴．又，∴，解得，故选：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积．（1）求A；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由结合立方和公式得到，再由余弦定理即可求解；（2）由三角形面积公式求得，再结合余弦定理求得，即可求解；【小问1详解】∵，∴，∴，∴．又，∴．【小问2详解】，∴．，∴．由正弦定理可得．16.如图，四棱锥中，平面平面ABCD，是以P为顶点，腰长为的等腰直角三角形，，，．（1）求证：平面平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再结合线面垂直的判定证明；（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和面的法向量，结合向量夹角余弦值公式计算即可【小问1详解】∵平面平面ABCD，且平面平面，且，平面ABCD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴，又，且，PA，平面PAB，∴平面PAB．∵平面PCD，故平面平面PAB．【小问2详解】解：取AD中点为O，连接CO，PO．∵，∴，∴．∵，∴，则．以O为坐标原点，分别以OC，OA，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则，，，，则，，，．设为平面PCD的一个法向量，则由，得令，则．设与平面PCD的夹角为，则，故．17.在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为．（1）求直线与的斜率之积；（2）求而积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线与椭圆的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得，即可根据斜率公式求解，（2）根据弦长公式以及点到直线的距离公式，得三角形的面积表达，即可由基本不等式求解最值.【小问1详解】由题可设直线：，，．联立，消去，得．当，即时，有，．∴，，即，可得，∴．【小问2详解】由（1）可知．又点O到直线l的距离，∴的面积．设，则，∵，∴，，当且仅当，即时等号成立，∴的面积最大值为．18.函数，．（1）求证：函数有且仅有一个零点；（2）讨论函数在区间上的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增【解析】【分析】（1）先求导函数得出单调递增，再根据当时，，结合零点存在定理证明即可；（2）根据导函数判断单调性结合平移判定单调区间即可.【小问1详解】∵，∴单调递增，当时，，∵，又，∴，．∴使，∴有且仅有一个零点．【小问2详解】，令，则函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图象．由（1）知，，当时，，当时，，其中，．∴当时，，当时，．∴当时，，，，则，函数单调递增．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增19.设正n边形，的外接圆圆心为P，且．（1）求证：；（2）若正n边形的顶点为定抛物线的顶点，且两相邻顶点，也在此抛物线上，记正n边形周长为．①求证：抛物线与正n边形只有三个交点；②讨论并证明数列的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②减函数，证明见解析.【解析】【分析】（1）运用向量的线性运算，结合正多边形的性质即可；（2）①设正多边形的外接圆，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系．由对称性知点P也在y轴上（由于抛物线过点两个相邻顶点），设：，．两个曲线联立.求出根，，即可；②运用第①问中，正n边形中，中心角，得到直线倾斜角和方程．再与抛物线联立，求出，．进而得到，运用弦长公式得到和，构造函数，求导后换元再导，最后判断单调性即可.【小问1详解】易知，同理：，…，，．将上面n个等式相加，得．∵，∴．【小问2详解】①∵正n边形的n个顶点共圆，圆心为点P，记该圆为．又点抛物线，则与抛物线的交点至少有3个．不妨以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系．设抛物线：，由对称性知点P也在y轴上（由于抛