2024年高考复习数学课时质量评价37答案解析

课时质量评价(三十七)

A组全考点巩固练

1.C

2.ABC解析：因为万♦而=(2,-1,-4)•(-1,2,-1)=0,

而•而=(4,2,())•(一I,2,-1)=0,

所以AB_LAP,AD.LAP,则选项A,B正确.

又万与而不平行，

所以而是平面A8CD的法向量，则选项C正确.

由于丽=而一而=(2,3,4),而=(-1,2,-1),行以前与而不平行，故选

项D错误.

3.A解析：以。力,DC,。以所在直线分别为x轴、)，轴、z轴建立空间直角

坐标系Dxyz.

设正方体的棱长为2,则。(0,0,0),尸(0,1,0),Di(0,0,2),设E(2,2,z),

印=(0,1,-2),DS=＜：2,2,z).因为印1•屁=0X2+lX2-2z=0,所以

z=l,所以BiE=EB.

4.C解析：设AC与8。相交于点O,连接OE(图略)，由AM〃平面8OE,且

AMu平面ACEF,平面ACE/TI平而BDE=OE,所以AM〃石。.又O是正方形

A8CD对角线的交点，所以M为线段E尸的中点.

在空间直南坐标系Ciyz中，E(0,0,1),F(V2,V2,1).

由中点坐标公式，知点M的坐标为停，y,1).

5.y解析：连接PQ(图略)，因为M,N分别为C£),PC的中点，所以MN=

，。，又P(0,0,1),D(0,1,0),所以PD=W+(-1)2+1?=正,所以MN

6.a//p解析：AB=(O,1,-1),Ad=(l,0,-1).

设平面。的法向量为=y,z),m•AB=0t得x・()+y—z=0,即)，=z,由

m•^4C=0,得x—z=0,即x=z,取x=l,所以〃2=(1,1,1),m=—n.

所以/〃〃〃，所以a〃”.

3+5—2z=0,

x-l+5y+6=0,解得尸一孩，z=4,所

(3(%-1)+y—3z=0,

.401525

以x+y=---------=—.

•777

8.(I)证明：延长AO交于点O.

因为SO_L平面48C,所以NE4O即为直线£4与底面A8C所成的角,

从而tan/"。=|所以爱=今

设AO=2,则OE=&,SA=4,AB=SO=2>/3.

以点O为坐标原点，与CB平行的直线为工轴，0。所在直线为)，轴，OS所在直

线为z轴，建立空间直角坐标系。盯z,

则0(0,0,0),A(0,-2,0),8(8，1,0),C(-V3,1,0),£(0,0,V2),所以

FC=(-2V3,0,0),5F=(-V3,-1,V2),荏=(0,2,V2).

设平面E3C的法向量为"=(x,y,z),由「•竺=”得卜2呼”=①

[n-BE=0,l-V3x-y+V2z=0.

取z=l,则)，=&，x=0,即〃=(0,x/2,1).

所以屈=&〃，即而〃凡所以AEJ_平面EBC.

(2)解：由题意知三棱锥E-A8C为正三棱维，设其外接球的球心为。'(0,0,/),

由O'A=。及得位不4=］一或|,解得，=一?，

3

所以外接球的半径近一(-今=乎，所以外接球的体积丫=%(苧)=9V2n.

B组新高考培优练

9.B解析：以点G为坐标原点，分别以GBi,GDi,GC所在直线为工轴、

＞轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由于AM=4N=字,则例(明竽，)N臂,y,a),而0.y).

又GDi_L平面88GC,所以的＞=((),a,0)为平面BBiGC的一个法向量.因

为丽・毓*=0,所以而_L印］又MNQ平面B8C1C,所以MN〃平面BB\C\C.

10.B解析：如图建立空间直角坐标系，4(1,0,1),C(0,V3,0),D)(0,0,

1),A(l,0,0),Bi(l,V3,I),0(0,0,0),

当砧=2审时，不=(4，今-0,

加=西+审=&今|),而西=(1,V3,1),

所以前=［西，所以3,P,。三点共线，A正确；

AP=AAi+A1P=AAi+AA1C=(—AfV3A,1—x).

当而J_碇时，AP•^C=5A-l=0,所以2=3，

所以而.印=(一巳y,§g，_§=一抑，所以而_L印错，B不

正确；

当砧=3中时，融=(一］4，—J

D^P=A^P-A1D^=,Y，-j),

又丽=(1,V3,0),西=(0,V3,1),

所以印=2而一二方B，所以OP〃平面BOG,C正确：

33

当41d=5&户时,A1P=(-^f一)从而4户=(一上，三，)

E

13.(1)证明:设3。与AC交于点。，

则BOJ_AC,连接4。，

在△AAiO中，A4i=2,40=1,N44O=60。，

所以朗+A0?—2441・4Ocos60°=3,

所以AO2-^A\O2=AAl，

所以40J_A0.

由于平面A4GC_L平面ABCD,且平面AAiGCn平面ABCD=AC,4Ou平面

AA\C\C,

所以4O_L平面ABCD.

以OB,OC,04所在直线分别为工轴、），轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则4(0,-1,0),8(73,0,0),C(0,1,0),D(-V3,0,0),4(0,0,b),

Ci(0,2,V3).

由于丽=(-2g,0,0),国=(0,1,V3),AA^-fiD=0X(-273)4-1X04-

V3X0=0,

所以而_1_再，即BO_LA4i.

(2)解：假设在直线CG上存在点P,使8P〃平面Q4G,

设浮=7CC；,P(x，z),则。，y~1,z)=A(O,1,A/3).

从而有P(0,1+2,V32),5P=(-V3,1+A,V32).

,・・・'・・

设平面D41G的法向量为〃=(x,y,z),则'

(n-04]=0,

又稿=(0,2,0),西=(V5,0