2024年高考复习数学第6章第7节立体几何中的向量方法-求空间角与距离

第七节立体几何中的向量方法——求空

间角与距离

考试要求：1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互

平行的平面的距离问题和简单夹角问题.

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

--------X必备知识・回顾教材重“四基——

一、教材概念-结论-性质重现

1.两条异面直线所成角的求法

设力分别是两异面直线小/2的方向向量，则

/|与/2所成的角0a与力的夹角夕

范围（0,兀）

_\ab\ab

求法COS0n一।一c°s夕o一同向

微提醒■■■

求两异面直线/i,，2的夹角仇须求出它们的方向向量明力的夹角〈。，b〉,由

于夹角范围不同，有cos6=|cos〈。，b)|.

2.直线与平面所成角的求法

设直线/的方向向量为。，平面a的法向量为〃，直线/与平面。所成的角为

。与〃的夹角为夕，则sin9=|cosM=^.

|U||/t|

微提醒■■■■

求直线/与平面a所成的角仇可先求出平面a的法向量〃与直线/的方向向量

。的夹角，则sin8=|cos〈〃，a)\.

3.二面角的平面角求法

(1)如图(1),AB,CO分别是二面角a-//的两个半平面内与棱/垂直的直线，则

二面角的大小0=<A§,CD).

(2)如图(2)(3),小，〃2分别是二面角a-//的两个半平直a,4的法向量，则二面

角<9的大小满足|C0S<9|=|C0S<«1,112)|,二面角的平面角的大小是向量见与〃2

的夹甫(或其补角).

微提醒■■■“

利用平面的法向量求二面角的大小时，求出两平面a,夕的法向量〃1,〃2后，要

根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量/II,小的夹角

是相等，还是互补.一进一出相等，同进同出互补.

4.利用空间向量求距离

(1)点到直线的距离

如图所示，

己知直线/的单位方向向量为〃，A是直线/上的定点，P是直线/外一点，则点

P到直线I的距离PO=^\AP^-(AP-u)2.

(2)点到平面的距离

如图所示，

已知A8为平面a的一条斜线段，〃为平面。的法向量，则点8到平面。的距离

为40=骞.

微提醒■■■♦

求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段.有

时利用等积法求解可能更方便.

二、基本技能-思想-活动经验

1.判断下列说法的止误，对的画“J”，错的回“X”.

⑴两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.

⑵直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(X)

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.

(4)两异面直线夹角的范围是(0,外，直线与平面所成角的范围是［。，,，二面角

的范围是［0,71］.

2.已知两平面的法向量分别为加=(0,1,0),〃=(0,1,1),则两平面所成的二

面角为()

A.45°B.135°

C.45。或135°D.90°

C解析：cos〈"?，〃〉=广冷=」^=¥，即〈"?，〃〉=45°.

|m||n|1XV22

所以两平面所成二面角为45。或180°-45°=135°.

3.如图，在正方体AbCQA&GD中，已知M,N分别是8。和人。的中点,

则BiM与AN所成角的余弦值为()

AB

V30同

1015

国

30

A解析：以。为原点，DA,DC,所在直线分别为工轴、)，轴、z轴建立如

图所示空间直角坐标系.

设AB=2,则Ml,0,0),Di(0,0,2),M(l,I,0),Bi(2,2,2),

所以瓦丽=(一1,-I,-2),

石R=(l,0,-2),

所以&M'・。1"=-1+4=3,

|BiM|=V6,|Di/V|=V5,

所以cos〈瓦百，甲）=卷=骞，

所以与OiN所成角的余弦值为暮.故选A.

4.如图所示，在四棱锥尸-A8CD中，侧面以。J_底面ABCO,侧棱以=PO=

V2,PA1.PD,底面ABCO为直角梯形，其中8C〃A。，AB1AD,AB=BC=\,

。为4力的中点.

（1）直线PB与平面POC所成角的余弦值为;

⑵点B到平面PCD的距离为.

Y解析：（1）在△南。中，PA=PD,。为AO中点，所以PO_LAO.

又侧面力。_L底面ABCD,平面山。口平面ABCD=ADfPOu平面PAD,

所以PO_L平面A8CQ.

又在直甭梯形48C。中，易得。C_L4O.

以0为原点，0C为x轴，。。为），轴，0P为z轴建立空间直甭坐标系.

则P(0,0,i),A(0,-I,0),8(1,-1,0),C(l,0,0),D(0,1,0),

所以而=(1,-1,-1).

fOALPO,

因为10AlC。，得OAJ■平面POC,

IPOACO=0,

所以瓦?=(0,-1,0)是平面POC的一个法向量，

所以8s〈两期母专

所以J1-C0S2〈而，0A)=乎，

所以直线P8与平面POC所成角的余弦值为手.

(2)丽=(1,-1,-1),设平面POC的法向量为〃=(x,y,z),

则n-CP=(%,y,z)-(-1,0,1)=-x+z=0,

(n-PD=(x,y,z)•(0,1,-1)=y-z=0,

取z=l得〃=(1,1,1)为平面PC。的一个法向量，

点、8到平面PCD的距离/=但型=虫.

|n|3

5.过正方形A8CO的顶点A作线段以L平面A8CO,若A8=%,则平面A8P

与平面CDP的夹角为.

45°解析：如图，建立空间直角坐标系，设A8=B4=1,则A(0,0,0),D(0,

1,0),P(O,0,1).

由题意，知AO_L平面布5,设E为PO的中点，连接AE,则AEJ_尸。.又CO

J_平面布。，所以CO_LAE,从而AE_L平面PCD所以而=((),1,0),AE=

(0,3分别是平面办B,平面PC。的法向量，且〈而，AE>=45°.故平面

PAB与平面PCD的夹角为45°.

、关键能力-研析考点强“四翼”/

考点1异面直线所成的角——基础性

「多维训练」

I.在正方体A8CQ-A山iGOi中，点E,尸分别是88,68的中点，则即与

AiO所成角的大小为()

A.60°B.90°

C.45°D.75°

B解析：如图所示，以。为坐标原点，以。4所在直线为x轴，OC所在直线

为)，轴，所在直线为？轴建立空间直角坐标系.

设正方体ABCD-481C1。的棱长为2,易得E(2,2,1),F(l,1,2),。(0,0,

0),4(2,0,2),所以前=(-1,-1,1),西=(2,0,2),所以丽•西=一

2+2=0,所以前_1_西.故选B.

2.如图，在四棱锥A-8C0E中，DE//CB,8E_L平面ABC,BE=3,AB=CB=

AC=2DE=2,则异面直线DC与AE所成角的余弦值为()

C.等D，票

A解析：如图所示，取8c的中点£连接AF,DF,可得。/〃因为8E_L

平面A8C,所以。凡1_平而ABC.又由A8=C8=AC且尸为BC的中点，所以

AFA.BC,故以尸为坐标原点，以雨，FB,所在直线分别为x,y,z轴，建

立空间直角坐标系，如图所示.

则0,0),E(0,1,3),C(0,-1,0),0(0,0,3),故而=(0,1,3),AE

=(-V3,1,3),则cos<CD,荏〉=黑备=三%=等.所以异面宜线OC

|CD||/ic|vlOXvl313

与AE所成角的余弦值为巫.故选A.

3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCTXA由CIQI中，E是棱CG的中点，F

是棱A。上一点，而=24.若异面直线和A尸所成角的余弦值为哈，则2

的值为，

解题通法

利用向量法求异面直线所成角的问题，关键是建立空间直角坐标系写出相关点的

坐标，并进一步求出相关的向量，利用向量的夹角公式求解.在求解过程中易出

现因忽视异面直线所成角的范围而致错的情况.

考点2直线与平面所成的角——徐合性

「典例引领」

例。二(2022•全国甲卷)在四棱锥P-ABC。中，尸。，底面ABC。，CD//AB,AD

=DC=CB=\,AB=2,DP=V3.

(1)证明：BDLPA.

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

(1)证明：因为底面48C。，BOu平面AACQ,

所以PDLBD,

取A8中点E,连接。旦

因为4O=DC=C8=1,A8=2,

所以ND48=60°,

又因为AE=-AB=AD=1,

2

所以OE=1,所以。七=/乩

所以△八为直角三角形，且48为斜边,

所以BDLAD,

又PDC\AD=Dt尸Ou平面PAD,AOu平面PAD,

所以8£)_L平面PAD,

又外u平面PAD,

所以

两两互相垂直，故建立如图所示的空间直痢坐标

(2)解:由(1)知，PD,ADtBO

系，

BD=y/AB2-AD2=y/3,

则£)(0,0,0),A(l,0,0),6(0,V3,0),P(0,0,同

所以而=((),0,-V3),M=(l,0,-V3),A5=(-l,V3,0),

/i*PA-x=Q

设平面BAB的一个法向量为〃=(x,y,z),则|'则可取

,n-AB=—x+V3y=0,

w=(V3,1,1),

设PO与平面RW所成的,龟为〃，则sinO=|cos(而，?1)|=|赢：/=,

所以P。与平面布8所成的角的正弦值为

解题通法

利用向量求线面角的2种方法

(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向

量的夹角(或其补角).

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，

取其余角就是斜线与平面所成的角.

「多维训练」

1.在长方体4BCD-A山CDi中,AB=2,BC=A4i=l,则*G与平面4BG所

成角的正弦值为.

[解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dryz,

由于AB=2,BC=A4i=l,所以Ai(l,0,1),8(1,2,0),Ci(0,2,1),Di(0,

0,1),所以砧*=(一1,2,0),函=(一1,0,1),丽=(0,2,0).设平面

48G的法向量为〃=(x,y,z),则有「J即令x=2,

(8C「TI=0,(—%+z=0,

得y=l,z=2,则w=(2,1,2)为平面A山。的一个法向量.设QiG与平面48G

所成角为〃，则sin0=|cos〈的，〃〉1=黑岛=a=3即OQ与平面A\BC\

所成甬的正弦值为士

3

2.(2022•北京卷)如图，在三棱柱ABC-AiBG中，侧面为正方形，平

面8CG8」平面A8B4,48=BC=2,M,N分别为Ai8i,AC的中点.

(1)求证：MN〃平面BCCB].

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN

所成角的正弦值.

条件①：ABLMN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第•个解答计分.

(1)证明：取AB中点K,连接NK,MK,

因为M为481的中点.所以B\M〃BK,旦BIM〃BK,

所以四边形BKMBi是平行四边形，故MK//BB\,

MKQ平而BCGBi,BBu平面8CG81,

所以MK〃平面BCCB,

因为K是A8的中点，N是AC的中点，

所以NK〃BC,

因为NKQ平面BCC1B1,BCu平面ACC用，

所以NK〃平面BCGBi,又NKCMK=K,

所以平面NMK〃平面BCGBi,

又MNu平面NMK,

所以MN〃平面BCC\B\.

(2)解：因为侧面8CG乱为正方形，平面8CG8i_L平面A88i4i,平面BCCiBiD

平面A881Al=881,

所以CB_L平面ABBAi,

所以CB_LA8,又NK//BC,

所以AB1NK,

若选①：因为A8_LMV,大MNCNK=N,

所以48J_平面MNK,

又MKu平面MNK,

所以又MK〃BB\,

所以A8_L8Bi,

所以BC,BA,两两垂直.

若选②：因为C8J_平面A3814,NK//BC,所以NKJ_平面A8814,KMu平面

ABB\A\y

所以MKJ_NK,"BM=MN,NK=gBC,BK=；AB,

所读4BKM@ANKM,所以N8KM=NNKM=90°,

所以48_LMK,叉MK〃BB\,所以AB_L88i,

所以8C,BA,88两两垂直.

以8为坐标原点，BC,BA,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(0,0,0),Ml,1,0),M(0,1,2),4(0,2,0),

所以丽=(0,1,2),丽=(1,1,0),

设平面6MN的一个法向量为〃=(x,y,z),

,(n-BM=y4-2z=0,.,

则｛一►令z=l,则＞=-2,x=2,

.n-BN=x4-y=0,

所以平面8MN的一个法向量为〃=(2,-2,1),

又瓦5=(0,2,0),

设直线48与平面BMN所成角为0,

所以小〃=lc。。（%

所以直线A8与平面8MN所成角的正弦值为|.

考点3求二面角——应用性

「典例引领」

考向1由向量法求二面角的三角函数值

例❷，（2022•新高考II卷）如图，PO是二棱锥P-ABC的岛，PA=PB,AB±AC,

E为PB的中点.

（1）证明：OE〃平面B4C；

⑵若/A8O=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AEd的正弦值.

(1)证明：连接OA,OB,浓题意,OP_L平面A3C,

又OAu平面ABC,OBu平面43C,则。P_LO4,0PJL08,

所以/POA=ZPOB=90°,

又％=PB,OP=OP,则△POAg△POA,

所以OA=OB,

延长80交AC于点F,又48_LAC,则在尸中，。为85中点，连接PF,

在△P8F中，。，E分别为8F,3P的中点，0'10E//PF,

因为0EQ平面PAC,巴上平面PACt

所以0E〃平面PAC.

(2)解：过点4作4M〃0P,以AB,AC,4M分别为x轴、y轴、z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，

由于P0=3,B4=5,由(1)知。4=。8=4,

又N/WO=/C8O=30°,则AB=4V5,

所以P(2g,2,3),B(4瓜0,()),A(0,0,0),E(3遮，1,^),

设4C=z,则C(0,r,0),

设平面AEB的一个法向量为n=(x,yfz),又彳§=(48，0,0),荏=(38，1,

1)•_

n-AB=4y/3x=0,

则一L3则可取〃=(0,3,-2),

n-AE=3吗+y+]=0,

设平面人石。的一个法向量为用一(a,b,c),义衣一(0,r,0),AE-(3V3,1,

J_

m•^4C=tb=0,「

则一L3则可取布=(一遮，0,6),

m-AE=3yf3a+b+-c=0,

2

设锐二面角C-AE-8的平面角为0,则cos0=|cos〈山，〃〉1=|禺4=竺，

I|m||n|I13

所以sin—COS26=£,即二面角C-AE-B正弦值为葛

解题通法

利用空间向量计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平

面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大

小.若要求的为两个平面的夹角，只需写出在(0,1范围的一个角即可.

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂

足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

考向2由二面角求几何值或参数值

例目，(2021・新高考I卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面A8QJL平面BCD,

AB=AD,。为8。的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若△OC。是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，DE=2EA,且二面角

E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

(1)证明：因为A8=A。，。为8。的中点，所以。4_L6。.

因为平面平面BCD,平面ABOn平面BCD=BD,OAu平面ABD,所以

OAJ_平面BCD.

因为COu平面BCD,所以OA_LCZ).

(2)解：以。为坐标原点，所在的直线分别为)，轴、z轴，过点O且垂直

于8。的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设QA=1,则0(0,0,0),8(0,-1,0),

C(y,0),4(0,0,7),D(0,I,0),

所以荏=(0,-1,一力BC=(y,|,0),而=(0,1,-/),荏三通=(0,

I--；)•布=前_布-=(0.J.y).

易知平面BCO的一个法向量为〃=(0,0,1).

---'(b3_0

1nX

设平面BCE的一个法向量为m=(xty,z),则"-0,即］22^

jn-BE=0,I-y+—z=0.

133

不妨取则y=—1,z=:,即机=(遍，-1,：).

m〉尸黯=普亭解得

因为二面角E-8GO的大小为45。，所以|cos

7=1(负值已舍去).

由OB=OC=OO=1,得BC_LCO,所以BC=g,

所以三棱锥A-BCD的体积为二X工X1XVJX1=—.

326

解题通法

在已知二面角的条件下求几何量或参数的值时，注意用好二面角的定义，求出相

关的量，或由此写出相关点的坐标，为用向量法求解问题做好必要的条件准备.

「多维训练」

如图，A8为圆0的直径，点、E,尸在圆。上，AI3//EF,矩形A8C。和圆。所

在的平面互相垂直，已知A8=2,EF=\.

(I)求证：平面DAfJ_平面C5尸;

(2)当AD的长为何值时，，二面角D-FC-B的平面角的大小为60°?

(I)证明：因为平面A6C7?_L平面ABEF,CBA.AB,平面46£7Tl平面ABCD=AB,

C8u平面ABCO,所以C3_L平面ABEF因为AR=平面A8E£所以C8_LAE

又因为AB为圆的直径，所以/8_LAF.又C8DB尸=8,所以AE_L平面C8F.

因为A/u平面D4F,所以平面DAF1平面CBF.

(2)解：设即，CO的中点分别为G,H,以。为坐标原点，建立空间直角坐标系

（如图）,设AQ=/,

则。(1,0,/),c(-l,0,/),4(1,0,0),B(—l,0,0),FQ,弓，0),所以

CD=(2,0,0),而=&,-y,t).

设平面DCF的法向量为为=(x,y,z),则•而=0,•FD=0,即

2x=0,

i近取z=V5,则%=(0,2r,V3).

-x-—y+tz=0,

由⑴可知"_L平面C8E取平面C区的一个法向量九2=而=(-]T-0)，

所以cos6()o=兽!=，解得/=在，所以线,段A。的长为在时，二面惫D-FC-B的

v4t2+344

平面角的大小为60°.

考点4求空间距离问题一综合性

「典例引领」

例0,(1)已知直三棱柱A5CA1B1G中,AAi=\,AB=4,BC=3,NABC=90°,

则点B到直线AiCi的距点为.

-解析：以8为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

S

则4(4,0,1),Ci(0,3,1),所以直线AG的方向向量为彳忑=(-4,3,0),

而西=(0,3,1),所以点8到直线4G的距离

(2)如图，已知正方形A8CD的边长为1,PO_L平面A8CO,且PZ)=1,E,/分

别为A8,BC的中点.

①求点。到平面PE/的距离；

②求直线AC到平面PEF的距离.

解：①以。为坐标原点，DA,DC,OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

则£)(0,0,0),P((),(),1),A(l,0,0),C(0,1,0),E(l,0),FQ,1,0),

则而=(1,I，-1),丙=(，1,-1).

设平面PE/7的法向量为〃=(x,y,z),

则P而二°，

In-PF=0,

+1-z=°'即

r+y-z=0,、X=y.

令y=2,则〃=(2,2,3).又而=(0,0,1),

所以点。到平面PEF的距离

/_|和旬_R

一|n|V1717•

②由于E,〃分别是/W,BC的中点，所以

因为ACQ平面PEF,所以AC〃平面PEF,所以点A到平面PEF的距离即为直

线4c到平面PEF的距离.

由于荏=(0,0),又由①知平面PEF的法向量为〃=(2,2,3),

所以点A到平面PEF的距离1=峥4=±=巫，即直线,AC到平面PEF的距离

|n|V1717

为石

解题通法

1.空间距离包括空间内任意两点之间的距离、点到平面的距离、直线与平面的

距离以及两平行平面之间的距离，其中两点间的距离可以用向量的模长处理，其

他三种距离的求解都可以转化为点到平面的距离.

2.用向量法求点面距的步骤：

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.

(3)求向量：求出相关向量的坐标(而，Q内两不共线向量，平面Q的法向量〃).

(4)求距离4=喀1

Ml

「多维训练」

1.在空间直角坐标系Ox)，z中，四面体ABC。的顶点坐标分别是A(0,0,2),

8(2,2,0),C(l,2,1),D(2,2,2),则点8到平面AC。的距离是()

A.也B.渔

33

C.2D.立

33

A解析：由题意知而=(2,2,0),CD=(I,0,I),而=(0,0,2),设平面AC。

n

的法向量为〃=(x,yfz),则竺2%+2y0,取户上则〃=(],—],

.n-CD=x4-z=0,

-I),所以忸;喀=早1=空，即点6到平面ACO的距离是2.故选A.

|n|V333

2.若正方体ABCD-MB\C\D\的棱长为a,则平面AB\D\与平面BDC\的距离为

()

A.\[2aB.y/3a

C.—aD.—a

33

D解析：建立空间直角坐标系如图.

则A3,0,0),0(0,0,0),C1(O,a,a),Di(0,0,〃)，Bi(afa,«),

设〃=(x,yfz)为平面ABDi的法向量,

则［n・0=a(y+z)=。,得卜一取三,则…，f1)为平面

AB\D\的一个法向量.

又因为ADi〃BCi,AB\//DC\tAD}C\ABi=Af

DC\QBC\=C\,所以平面ABOi〃平面BOG.

所以平面ABO］与平而BDC\的距离可转化为点G到平面AB。1的距离d.

因为瓦瓦=3,(),()),平面ABiOi的法向量为〃=(1,-1,1),

叵%［=则=更

所以d=|n|V530

、一题N解•深化综合提“素养”/

「试逛呈现」

如图，在四棱锥S-A8C。中，AB//CD,BC1CD,侧面SAB为等边三角形，AB

=BC=2,CD=SD=\.

(1)证明：SO_L平面SAB：

(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值的大小.

［四字程序］

读想算思

AB//CD,

多方法、多角度

BC工CD,

定义法，借助点勾股定理、余弦对立体几何知识

丛SAB为等边三

到平面的距离，定理,法向量求的掌握及空间向

角形，

法向量解量在解决立体几

AB=BC=2,CD

何中的应用

=SD=\

「一题多解」

法

思路参考：利用定义寻找圾面角的位置直接求解.

(1)证明：取A8的中点为点£,连接。E,则四边形8CDE为矩形，DE=BC=2.

连接SE,则SEJLAB,SE=V3.

又SD=1,故DE2=SP+SD2,所以NOSE为直角.由ABIDE,AB1SE,DECSE

=E,

得A8_L平面SDE,

所以A8J_SD,S力与两条相交直线A伉SE都垂直，所以SOJ■平面SAB.

(2)解：因为CD〃AB,所以CD与平面SBC所成的角印为A8与平面SBC所成

的角.如图，取SC的中点M,连接8M,DM.

因为QS=QC,BS=BC,所以SOW,SC上BM.因为DMCBM=M,所以SC

J_平面BDM,

所以平面平面SBC.

作力N_LBM,垂足为点M则。N_L平面SBC.因为。MC8M=M,连接CM

CN为CO在平面S8C上的射影，NOCN即为C。与平面SBC所成的角.

因为SO_LA8,CD//AB,

所以SO_LCO,所以|SC]=A/SZ)2+CD?=&.,

[8M]=、8c2_CM?=J22_停y=亨

BD2+BM2-DM2

NDBM=------------

cos2BDBM

尸，倒蜴[8

2x帚孚历'

♦CBM畸，DNfx焉*

坦

sinZDC^=-

所以AB与平面SBC所成角的正弦值为手.

思路参考：借助点到平面的距离间接求解.

⑴证明：同解法1.

(2)ft?：VA-SBC=Vs-ABC,

过点S作SF1.DE,则SFL平面ABCD.

⑼一~而一T-

Vs-ABC=^S^\BC,\SF]

=5X^AB\•\BC\•\SF]

=2XLX2X2X3=它.

3223

设4到平面SBC的距离为〃，取SC中点M,连接8M.

因为SOJ_A8,CD//AB,SD±CD,|SQ=>JSD2+CD2=V2,

\BM\=y/BC2-CM2=J22-(y)2=?,

VA-SBC=^SASBC,h

=jx,SC]•\BM\•h

="2x&x坦X仁马.

3226

因为屯h=所以〃=正乂==2

633v77

即A到平面SBC6勺距离为学.

又因为A8=2,设A8与平面S8C所成的角为a,

所以48与平面SBC所成药的正弦值为子.

法」3?

思路参考：建立空间直角坐标系，利用法向量求解.

⑴证明：同解法1.

(2)解：如图，以C为坐标原点，CD,CB所在直线分别为x轴、)，轴建立如图所

示的空间直角坐标系，

则。(1,0,0),A(2,2,0),3(0,2,0).

因为平面SOE_L平面ABCD,

8=1,DF=1,SF=*所以S(I,I，I).

设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),

丽=(1，T)»而=(。，2,0),

(x=V+旦=0「

故2，2'取2=2,得X=一百，)，=0,所以平面S8c的一个法向量

2y=0.

为〃=(一75,0,2).

又丽=(-2,0,0),所以|cos〈而，〃〉

故AB与平面SBC所成角的正弦值为亨.

法

思路参考：变换建系的方法，空间直角坐标系中各点坐标会发生变化，但求角的

方法是不变的.

(1)证明：同解法1.

(2)解：如图，以。为坐标原点，射线DE为x轴正半结，射线。C为y轴正半

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则£)(0,0,0),A(2,-1,0),BQ,1,0),C(0,1,0).

因为平面SDE1.平面A8CD,点S在xOz平面内，DF=1,Sr=g,所以S&0,

T)-

设平面SBC的法向量为〃=(x,z),

尿=(一|,-1,y),而=(2,0,0),

故―/_'+三2=0,£又7=2,得尸0,y=V3.

-2x=0.

所以平面S8C的一个法向量为〃=(0,V3,2).

又刀=(0,2,0),

|45n|2>/3

所以|cos{AB,〃〉|=

|AB||n|2X夕7

故48与平面S8C所成角的正弦值为十.

「思维升华」

1.本题考查线面角的运算，解法灵活，基本解题策略一种是利用定义寻找线面

角，然后通过解三角形计算，另一种是建立空间直角坐标系，通过法向量与方向

向量夹角处理.

2.基于课程标准，解答本题需要熟练掌握线面角的寻衣以及空间向量求线面角

的方法，具有良好的运算求解能力、空间想象能力.本题的解答过程体现了数学

探索的魅力.

3.基于高考数学评价体系，解答本题的过程中，通过不同的思路引导，将求线

面角转化为最基本的数学模型，体现了基础性；解题过程中知识的转化，体现了

综合性.

「类题试练」

如图1,四边形A8CO为菱形，且NA=60。，48=2,石为边48的中点.现将四

边形EBCD沿DE折起至EBHD,如图2.若二面角A-DE-H的大小为60°,求平

面ABH与平面ADE夹角的余弦值.

解：(方法一)分别取AE,A。的中点。，K,连接OK,OB.由。E_L平面ABE,

可知NAEB为二面旃A-OE-H的平面角，即有NAEB=6()。.

因为。为AE的中点，所以BO_LAE.因为BO_LZ)E,所以8O_L平面AOE,则以

点O为坐标原点，分别以直线KO,OE,08为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐

标系.

由条件,易得40,J0),8(0,0.y),D(-V3.i,0),E(0,0).

再设H(x。,yo,zo),而EO=(-0,0),

y()~~。).

DH=(^X0+V5,,z

由EDLDH,得前•丽=0,得M)=一次.

」(7/8=2,

由

[HD=2f

可得H十%+3一筑;4，

22

[(/+V3)+(y0-j)+^=4.

将xo=一百代入，可得和=-g,zo=V5,即”(一百，百)，则丽=(一百,

—

~,AU=（—收,0,V3）.

设平面A8”法向量为〃1=（》，y\,Z1）,

（—V3x1+V3z1-0,

贝“■-岳］yi+苧zi=0,

即［乃=Yxi，

lz1=xv

令Xl=l,得），1=—x/5,Z=I,即〃1=（1,—8,1）.

而平面AOE的一个法向量为〃2=（0,0,I）.

于是平面ABH与平面ADE的夹角6的余弦值为cos|

（方法二）延长H8,DE交干点、L,连接AL,取AE的中点0,过点。作OM_LAL

于点M,连接M8,如图.

由OEJ_平面A8E,可知NAE8为二面角A-OE-"的一个平面角，即有NAE8=

60°.

因为。为AE的中点,所以BO_LAE.

因为所以30_L平面AOE,即BO_LAL且BO_LMO.

又因为OM_LAL,所以4_L平面8OM,即为平面AQE与平面AB”的

夹角的一个平面角.

而B0=*4。三.易得£E=V5,而AE=1,ZAEL=90°,所以NE4L=60。，

则MO=—.

4

由勾股定理，得MB=J（剪+㈢2=乎,

则cosZBMO=—=—

MB5t

即平面ADE与平面A8”的夹角的余弦值为

(方法三)延长”&DE交于点、L,连接4L,过点。作。。〃4石且与L4的延长线

交于点。，连接Q".分别取QQ,AE中点M,0,连接AM,80.再取MO中点

。'，连接。。'.

因为QO〃AE,HD//BEJLQD,“。为平面”。。内两条相交直线，AEfBE为

平面ABE内两条相交直线，所以平面HQQ〃平面4AE.

因为DE_L平面a所以。七_1_平面，。Q,

即NHDQ为二面角A-OE-H的一个平面角，即有N"O0=6O0.

由HD=2,得HM=®MD=1,则

因为M为QO中点，所以

因为“M_LOE,所以M〃_L平面AQE

以点0为坐标原点，分别以直线。'0,OE,OB为x,八z轴建立空间直角坐标

系，如图.

易得A(O,—1,o),B(O,o,巧，”(一V5,—1,V5),

则有荏=(0,y),而=(一直y).

设平面A8”的一个法向量为〃i=(xi,yi,zi),

7y1+Tzi=°，

(-V3%i--%+

即仍=~Zi，

Zi=

令xi=l,得yi=—>/5,z=l,

即〃i=(l,-V3,I).

而平面AOE的一个法向量为〃2=(0,0,1).

于是平面ABH与平面ADE的夹甬。的余弦值为cos0=…|=|二_|=”

InJInzlIllxVsl5"

课时质量评价（三十八）

A组全考点巩固练

1.在三棱锥A-8C。中，平面A8。与平面BCD的法向量分别为〃1，〃2.若〈川,

〃2〉=；,则二面角A-3O-C的大小为（）

A.工B.巴

33

C.三或gD.%或;

C解析：因为二面角的范围是［0,7T］,且〈〃|,W2>=p所以二面角A-8O-C的

大小为g或1•故选c.

2.如图，点A,B,C分别在空间直角坐标系Qxyz的三条坐标轴上，0?=（0,

0,2）,平面A8C的法向量为〃=（2,1,2）,设二面角C48-0的大小为优则

cos0等于（）

「2c2

C.-D.--

33

C解析：由题意可知，平面A8O的一个法向量为近=（0,0,2）,由图可知，二

面角C-A8-0为锐角，由空间向量的结论可知，cos0=［纥。=里=』

|0C||n|2x33

3.如图，在长方体中,AD=AAi=\f38=3,3为线段48上

一点，且AE=/&则。CI与平面DEC所成角的正弦值为（）

AEB

7D.4

A解析：如图，以。为坐标原点，D4,DC,所在直线分别为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系，

则G(0,3,I),Di(O,0,1),E(l,1,0),C(0,3,0),所以西=(O,3,1),

D^E=(\,1,-1),D^C=(O,3,-1).设平面DiKC的法向量为〃=(JV,*z),

则『•竺=0,即『+y—z=0,取产］，得〃=(2,i,3).所以cos〈国,

(n•C=0,(3y—z=0,

〃〉=离台=察，所以DG与平面。归。所成的角的正弦值为号.

|DCi||n|3535

4.在正方体ABCD-AIBICIDI中,点E为的中点,贝！平面4ED与平面A3CD

所成的锐二面角的余弦值为（）

A.-B.-

23

C.叵D.也

32

B解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Aryz,

设棱长为1,则4(0,0,1),E(l,0,|),D(0,1,0),所以初=(0,I,-1),

ArE=（1,0,一习，设平面A\ED的一个法向量为HI=（1,y,z）,则

zii•AD=0,y—z=0,(y=2,..<

1_11_即i所以1所以〃i=(l,2,2).又平面ABCD

rii-AXE=0,(1--z=0,(z=2,

的一个法向量为〃2=(0,0,I),所以COS<Wl,〃2〉==一=2.即平面AIEO与平

3x13

面ABCD所成的说二面角妁余弦值为之

3

5.在直三棱柱48C-A山iG中，A4i=2,二面角(8-44i・G)的大小为60。，点8

到平面ACCxAx的距离为遥，点C到平面ABB^A^的距离为273,则直线BG与

直线AB所成角的正切值为（）

A.V7B.V6

C.V5D.2

A解析：由题意可知，N8AC=60°,点〃到平面ACG4的距离为百，点C到

平面488IAI的距离为26,所以在三角形48c中，A8=2,AC=4,BC=2同

ZABC=90°,则彳瓦•西=（西一瓦5）•（西+西）=4,

|福|=2a,|跖|=4,cos〈南，西〉=普粤=理，故urn〈砧，西〉

|481||8句4

5

6.（多选题）设三棱锥V-4BC的底面是正三角形，侧棱长均相等，产是棱南上的

点（不含端点）.记直线P8与直线AC所成的角为a,直线P8与平面A8C所成的

角为仇二面角P-AC8的平面角为则呢夕，y大小关系正确的是（）

A.a>pB.a=p

C.y>