第二十四章圆（章末小结）（课件）九年级数学上册（人教版）

圆

章末小结1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识;2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积;(重点)3.能综合运用圆的知识解决问题.(难点)一、与圆有关的概念1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.【注意】1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.2.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.如图中，AB，AC是弦，AB是直径.一、与圆有关的概念3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧(用三个点表示，如图中的)叫做优弧；小于半圆的弧(如图中的)叫做劣弧.4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

一、与圆有关的概念1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.二、垂径定理及其推论2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.二、垂径定理及其推论在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：4.弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·二、垂径定理及其推论1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：2.圆心角∠AOB所对的弧为AB.⌒圆心角弦弧三、圆心角及相关概念同样，还可以得到：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.四、圆心角、弧、弦之间的关系五、圆周角及其定理、推论（两个条件必须同时具备，缺一不可）1.概念：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.2.圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.五、圆周角及其定理、推论3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.五、圆周角及其定理、推论4.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.五、圆周角及其定理、推论5.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.五、圆周角及其定理、推论点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.不在同一直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，六、点与圆的位置关系七、直线与圆的位置关系如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.交点个数

位置关系

数量关系

相交两个公共点只有一个公共点没有公共点d＜r相切相离d＝rd＞r七、直线与圆的位置关系1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.八、切线的性质和判定2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.八、切线的性质和判定(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法有切线时常用辅助线添加方法

见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.八、切线的性质和判定切线和切线长是两个不同的概念：1.切线是一条与圆相切的直线；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.九、切线长定理和三角形的内切圆1.如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.九、切线长定理和三角形的内切圆3.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.九、切线长定理和三角形的内切圆我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，

外接圆的半径叫做正多边形的半径，

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心；OD是正六边形ABCDEF的半径；∠AOF是正六边形ABCDEF的中心角；OG是正六边形ABCDEF的边心距.十、正多边形和圆1.正n边形的每一个内角的度数__________.3.正n边形的中心角__________.2.正n边形的每一个外角的度数__________.4.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？5.边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？其中l为正n边形的周长.十、正多边形和圆十一、弧长和扇形面积1.弧长公式：半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l2.扇形面积公式：半径为R，圆心角为n°的扇形面积S弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形十一、弧长和扇形面积圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.

我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高.母线有无数条，且都相等.圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：十二、圆锥的侧面积和全面积如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为___，扇形的弧长为_____，因此圆锥的侧面积为_____，圆锥的全面积为___________.l2πrπr2+πrlπrl十二、圆锥的侧面积和全面积例1.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数.解:∵AD//OC∴∠AOC=∠DAO=70°又∵OD=OA∴∠ADO=∠DAO=70°∴∠AOD=180-70°-70°=40°圆的有关概念1例2.如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.解:连结OA、OD.∵四边形ABCD是正方形∴AB=CD又∵OA=OD∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL)∴OB=OC.圆的有关概念1【1-1】如图(3)，MN为☉O的弦，∠N=52，则∠MON度数为()A.38°B.52°C.76°D.104°【1-2】如图(4)，OA是☉O的半径，B为OA上一点(且不与点O、A重合)，过点B作OA的垂线交☉O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD=10，BC=8，则AB的长为()A.2B.4C.6D.8CB【1-3】如图，已知CD是☉O的直径，∠EOD=78°，AE交☉O于点B，且AB=OC，求∠A的度数.解:连接OB∵AB=OC，OB=OC∴AB=OB∴∠A=∠1∵OB=OE∴∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A∴∠DOE=∠E+∠A=3∠A∴3∠A=78°∴∠A=26°例3.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．垂径定理2例3.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．EF解：当弦AB和CD在圆心同侧时，过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC.∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴CE＝5cm，AF＝12cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝12cm，OF＝5cm，∴EF＝OE-OF=12−5＝7cm.例3.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．EF解：当弦AB和CD在圆心异侧时，过点0作OE⊥CD于点E,作OF⊥AB于点F,连结OA,OC.∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AF＝12cm，CE＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝12cm，OF＝5cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．例4.如图，AB、CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8、CD=6,MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值.

垂径定理2

A

【2-3】如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．（1）求半圆的半径长；（2）求BE的长．

弧、弦、圆心角之间的关系3例6.如图，在☉O中，已知∠AOB=90°，C,D将三等分，弦AB与半径0C，OD分别交于点E，F.求证:AE=CD=BF.

弧、弦、圆心角之间的关系3【3-1】如图，AB、CD是⊙O的两条弦.(1)如果AB=CD，那么____________，_______.(2)如果

，那么____________，_______.(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF相等吗？为什么？

∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CDAB=CD∴AE=CF又∵AO=CO，∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL)∴OE=OF【3-2】如图，已知在☉O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在☉O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则正方形的边长为_______.

证明:连接AG.在□ABCD中，AD∥BC.∴∠EAF=∠EBG,∠FAG=∠AGB又∵AB=AG∴∠ABG=∠AGB∴∠EAF=∠FAG∴【3-3】如图，在□ABCD中，以A为圆心AB为半径的圆交AD、BC于F、G两点，延长BA交圆于E.求证:.

圆周角定理及推论4

例8.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长.

圆周角定理及推论4例8.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长.

【4-1】如图，∠AOB=100°，若点C在☉O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为()A.50°B.50°或130°C.130°D.80°或50°【4-2】如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于()A.10°B.14°C.16°D.26°BC

例9.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.圆内接四边形5【5-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（）

A115°B130°C65°D50°【5-2】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AC上的一点，则∠APC=

.ABCDOABCPC120°例10.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．

与圆有关的位置关系6例10.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．

例12.如图，P为正比例函数y=1.5x图象上的一个动点，☉P的半径为3，设点P的坐标为(x，y).(1)求OP与直线x=2相切时点P的坐标;(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.解:(1)如图，过点P作直线x=2的垂线，垂足为A.当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1∴P(-1，-1.5)当点P在直线x=2右侧时,AP=x-2=3，得x=5∴P(5，7.5)例12.如图，P为正比例函数y=1.5x图象上的一个动点，☉P的半径为3，设点P的坐标为(x，y).(1)求OP与直线x=2相切时点P的坐标;(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.解:(2)当-1<x<5时，☉P与直线x=2相交,当x<-1或x>5时，☉P与直线x=2相离.【6-1】A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（）A．点A，点B都在⊙O上 B．点A在⊙O上，点B在⊙O外C．点A在⊙O内，点B在⊙O上 D．点A，点B都在⊙O外B【6-2】如图(2)，两个同心圆，大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是____________.8＜AB≤10【6-3】如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切(切点都在矩形的边上)，则此圆的圆心D的坐标为___________________________.(1,1)或(3,1)或(2,0)或(2,2)例13.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P,PE⊥AC于E.求证:PE是☉O的切线.证明:连接0P.∵AB=AC，∴∠B=∠C∵0B=OP，∴∠B=∠OPB∴∠0PB=∠C，∴OP//AC∵PE⊥AC∴PE⊥OP∴PE是☉0的切线.切线的判定和性质7例14.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D∴OD⊥AB又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD，即OE是⊙O的半径例15.已知BC是☉O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF于D,AE⊥BC于E，连接FC.(1)如图①,若OE=2,求CF的长;解:∵BC是直径，AD过圆心0,AD⊥BF,AE⊥BC∴∠AEO=∠BD0=∠F=90°，BD=DF，OA=0B∴△AEO≌△BDO(AAS)∴OE=OD=2∴0B=0C，BD=DF∴0D为△BFC的中位线∴CF=20D=4例15.已知BC是☉O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF于D,AE⊥BC于E，连接FC.(2)如图②,连接DE并延长，交FC的延长线于G,连接AG,请你判断直线AG与☉O的位置关系，并说明理由.解:直线AG与☉O相切.理由如下:连接AB∵0A=OB，0E=OD，∴△0AB与△ODE为等腰三角形∵∠AOB=∠DOE∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO∴AB//DG∴∠ABD=∠GDF例15.已知BC是☉O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF于D,AE⊥BC于E，连接FC.(2)如图②,连接DE并延长，交FC的延长线于G,连接AG,请你判断直线AG与☉O的位置关系，并说明理由.又∵BD=DF，∠ADB=∠GFD=90°∴△ABD≌AGDF(ASA)∴∠ADB=∠GFD=90°∴AD//GFB∴四边形ADFG为矩形∴AG⊥OA∴直线AG与00相切【7-1】如图，AB是☉O的直径,PA切☉O于点A，线段P0交☉O于点C.连接BC，若∠P=46°，则∠B=_______.22°【7-2】如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与AD的延长线交于点E.若点D是弧AC的中点，且∠ABC=70°，则∠AEC=________.75°【7-3】如图，四边形ABCD内接于☉O，BD是☉O的直径，AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE是☉O的切线;(1)证明:连接0A∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA∴0A=OD∴∠0DA=∠0AD∴∠OAD=∠EDA∴AE⊥CD

∴∠AED=90°，∠DAE+∠EDA=90°∴∠DAE+∠OAD=90即∠0AE=90°，OA⊥AE

∴AE是00的切线【8-3】如图，四边形ABCD内接于☉O，BD是☉O的直径，AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(2)若∠DBC=30°,DE=1cm，求BD的长.(2)解:∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°∴∠DBC=30°，∴∠BDC=60°，∠BDE=120°∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°∴∠ABD=∠EAD=30°在Rt△AED中，∠EAD=30°

∴AD=2DE在Rt△ABD中，∠ABD=30°

∴BD=2AD=4DE∵DE=1cm，∴BD=4cm例16.如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．解：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，∴∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，切线长定理和三角形的内切圆8例16.如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．

【8-1】如图，☉O是等边△ABC的内切圆，分别切AB、BC、AC于点E、F、D，P是弧DF上一点，则∠EPF的度数是()A.50°B.58°C.60°D.65°C【8-2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；(2)求证：DE=DB．（1）解：∵∠CBD=34°∴∠CAD=34°∵点E是△ABC的的内心∴∠BAC=2∠CAD=68°∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°∴∠BEC=180°-56°=124°【8-2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；(2)求证：DE=DB．（2）∵E是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC∵∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD∴∠DEB=∠DBE∴DE=DB．【8-3】如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(1)求证：EB=EI；(1)证明：∵I是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，∵∠CBE=∠CAE，∴∠BIE=∠EBI，∴EB=EI；【8-3】如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．

【8-3】如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．

例18.如图，正五边形ABCDE内接于☉O，过点A作☉O的切线交对角线DB的延长线于点F.求证:(1)AE∥BF；(2)AB=BF.

正多边形和圆9例18.如图，正五边形ABCDE内接于☉O，过点A作☉O的切线交对角线DB的延长线于点F.求证:(1)AE∥BF；(2)AB=BF.

B

2

解：连接AD，由题意可得：AD=S阴影部分=S△ABC-3S扇形弧长和扇形面积10解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，即

例20.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．例21.如图，C