《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-0-5星题（含解析）全国版

几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型

2.能够用相似模型解决复杂的几何问题少考知识提要金字塔和沙漏模型金字塔模型

CDCA=

沙漏模型

ABCD=

精选例题金字塔和沙漏模型1.ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为

平方厘米．【答案】

48【分析】

方法一：设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD．可得S对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以DO:ED=OE:ED=所以SS同理可得S所以S于是，阴影部分的面积为24+12+12=48(方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M为AC的三等分点，SS同理S所以S2.如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，则S△ADE:S【答案】

1:3:5:7:9【分析】

设S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF所以有S3.图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

10.8【分析】

设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米（m>n），则m所以m<8.若m⩽5，则m不合题意，所以m只能为6或7．检验可知只有m=6、n=4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得BG=3.6(所以阴影部分的面积为：14.如图，DE平行BC，若AD:DB=2:3，那么S△ADE:S 【答案】

4:15【分析】

根据金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE 设S△ADE=4份，则S△ABC=25份，5.如图，已知DE平行BC，BO:EO=3:2，那么AD:AB=

． 【答案】

2:3【分析】

由沙漏模型得BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得AD:AB=DE:BC=2:3．6.梯形ABCD的面积为12，AB=2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是

．【答案】

8【分析】

延长BF、CD相交于G．由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CG=AB=2CD,GD=再根据相似三角形性质，AF:FD=AB:DG=2:1,GF:GB=1:3,而S所以SS又SS所以S7.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是5.04，则S△ABC=【答案】

20.16【分析】

由于D，E都是中点，则BC=2DE，设DE为1份，则BC为2份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，两个翅膀都是2份，由此可推出△ADE为3份，且每份为5.04÷(4-1)=1.68,所以S8.如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，则S△ADE:S 【答案】

1:3:5【分析】

设S△ADE 所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S9.如下图所示，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D．张大伯常走这两条小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．则两块田地ACF和CFB的面积比是

．【答案】

1:2【分析】

方法一：如下图所示，ACF和CFB为同高三角形，所以面积比等于底边比AF:FB．过F作BC的平行线，交AE于G，则因为DF=DC，所以三角形CED和FGD全等，GD=DE．又因为AD=2DE，所以D和G是AE的三等分点，所以AF:FB=AG:GE=1:2．方法二：如下图所示，连接BD，设S△CED=1(份)设S△BED=x,S△BFD=y所以S△ACF10.在下图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；已知其中两块的面积分别是2平方厘米、11平方厘米，且E是BC的中点，O是AE的中点．请问长方形ABCD的面积是

平方厘米．【答案】

28【分析】

如下图所示，延长AE、DC交于点H．由于E是BC的中点，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，由于O是AE中点，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有S△AOF所以，S△GOH那么S△CEH所以，S平行四边形11.如下图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是

平方厘米．【答案】

43.2【分析】

给图中标上字母，如下图．根据沙漏模型OCOF所以OF=12×3S△EFO12.如图，△ABC中，AE=14AB，AD=14AC，ED与BC平行，△EOD的面积是 【答案】

5【分析】

因为AE=14AB，AD=14 根据相似模型可知ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4平方厘米，则S13.如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC=3:1，则四边形EFGH的面积=

． 【答案】

3【分析】

因为FGHE为平行四边形，所以EC∥AG，所以AGCE为平行四边形． BG:GC=3:1，那么GC:BC=1:4，所以S平行四边形 又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形14.正六边形A1,A2,A3【答案】

1148【分析】

方法一：如下左图，连接A1A3,A1G,A6A3，过B6做A6A3的平行线B6E，交A1A3于E．因为空白的面积等于△A2A3G因此S阴影方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为81415.如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

12.5【分析】

阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM与△CFN的面积之差．（法一）如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，则EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=那么△EMN的面积占△BEF面积的1215×（法二）如图，连接AM．根据燕尾定理，SS所以S而S所以S那么阴影部分面积为20-7.5=12.5(【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：（1）利用面积公式：底×（2）利用整体减去部分；（3）利用比例和模型．16.在图中的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？【答案】

3倍．【分析】

不妨设正方形的边长是2，所以FC=CG=GB=BE=EA=AD=1.又A、C分别是所在边的中点，所以AC∥GE，即OA∥BE，由此可见OA是△DBE的中位线，有OABE=11△AOB的面积等于△BAD的面积减去△AOD的面积，等于1×1÷2-△COD的面积等于△CAD的面积减去△AOD的面积，等于2×1÷2-由此可得，△CDO的面积是△ABO面积的3倍．17.如图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】

18．【分析】

上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，则△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2，则△ABO的面积为18．18.如图，平行四边形ABCD的面积是12,DE=13AD,AC与BE【答案】

4.4．【分析】

AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影部分占11份，面积为4.4．19.已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且AE=10cm，AF=15c【答案】

6【分析】

方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AF=CE:EF,DC:AE=CF:EF,设正方形的边长为xcBC即x解得x=6,所以正方形的边长为6c方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x解得x=6.20.如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．【答案】

27平方厘米．【分析】

上底与下底之比为1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分的面积是48÷(1+3+3+9)×9=2721.如下图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积．【答案】

40.5【分析】

设三角形以AB为底的高为h，由于FG:AB=2:3,所以ED:FG=1:2;所以三角形OGF以GF为底的高是1又因为三角形CFG以FG为底的高是23h，所以三角形OGF的面积与三角形2所以三角形CFG的面积为24×而三角形CFG的面积占三角形ABC的23×218÷22.如图所示，正方形ABCD面积为1，E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积是多少？【答案】

1【分析】

如下图，延长AF、BC交于点G，在沙漏ADNEG中，AD:EG=2:3，所以DN:NE=2:3，故DN=2如下图，延长BF、AD交于点H，在沙漏DHMBE中，DH:BE=2:1，所以DM:ME=2:1，故ME=1所以NM=1-S23.如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DE=EC，FB=2AF，求PM:MN:NQ．【答案】

7:18:10【分析】

如图，过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.根据相似性，PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是PM所以PM:MN:NQ=24.如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长． 【答案】

10【分析】

由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．25.如图，正方形ABCD中E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形DEF的面积是2，那么正方形ABCD的面积是_________．【答案】

12【分析】

左边梯形ABED，因为E为BC的中点，所以BE:AD=1:2所以BF:FD=1:2又因为三角形DEF的面积是2所以三角形BEF的面积是1，三角形ABF的面积为2，三角形AFD的面积为4而S△BED=S△DEC26.如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9【答案】

2【分析】

在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=427.如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】

12．【分析】

连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如图所示设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．28.在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，△CDO的面积是△ABO面积的几倍？【答案】

3【分析】

连接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面积等于△CBO的面积；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO29.如下图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E,F是BC边上的两点，且BE=EF=FC．连接AE,DF分别交BM分别于H,G．求四边形EFGH的面积．【答案】

23【分析】

过M点做MQ平行于BC交FD于Q，过E点做EP交BM于P，则因为M为CD的中点，所以QM:FC=1:2，所以QM:BF=1:4，所以GM:GB=1:4，所以BG:BM=4:5，又因为BF:BC=2:3，所以S因为E为BC边上三等分点，所以EP:CM=1:3，所以EP:AB=1:6，所以BH:HP=6:1，所以BH:HM=6:15=2:5，所以BH:BM=2:7，又因为GM:GB=1:4，所以BH:BG=5:14，所以S因此，S30.如图，EF与BC平行，AF:FB=1:2．已知AE=2,EF=3，那么CE的长度是多少？AC的长度是多少？BC的长度是多少？【答案】

4,6,9．【分析】

AFFB=AEEC=31.如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，已知正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．【答案】

10平方厘米．【分析】

由条件知，BE=AD=1:2，则BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，则DH:HB=1:2,DH=1332.如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【答案】

1【分析】

根据相似三角形的对应边成比例有：NFEM则NF=所以S33.如右图，长方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的长．【答案】

15【分析】

因为DGGB=AGGE=AG25，且DG34.下图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1【答案】

5【分析】

题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根据相似三角形性质，CI:CH=CG:CF=1:3,又因为CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=所以S35.如图所示，小高测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？【答案】

64【分析】

利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母（如图所示），同时过B作BC⊥AG于C，DE⊥FG于E．由于BC与FG平行，所以BC因此BC=由于DE与AG平行，所以DE因此DE=由此可得菱形的两条对角线分别为：24-4×2=16(10-1×2=8(那么菱形的面积就是16×8÷2=64(36.如图，线段AB与BC垂直，已知AD=EC=4，BD=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？【答案】

15【分析】

解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，则图形关于BO对称，有S且S设△ADO的面积为2份，则△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为S而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为30÷8×4=15.解法二：连接DE、AC．由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以DE∥AC，可知DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,根据梯形蝴蝶定理，S所以S即S又S所以S37.如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3c【答案】

40【分析】

由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF=AH:HF=5:3,又因为E为AD中点，那么有OE:FD=1:2,所以AB:OE=5:利用相似三角形性质可以得到AG:GO=AB:OE=10:3,而AO=所以AG=4×38.如图所示，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？【答案】

12厘米．【分析】

在沙漏ADOBC中，OAOC=AD由于EO∥BC，因此EOBC=AO同理，OF也等于6厘米，所以EF=EO+OF=6+6=12(厘米39.如图所示，三角形ABC中，DE与BC平行，且AD:DB=5:2，求AE:EC及DE:BC．【答案】

5:2，5:7【分析】

根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．40.已知三角形ABC的面积为a，AF:FC=2:1，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．【答案】

a【分析】

已知AF:FC=2:1，且EF∥BC，可知EF:BC=AF:AC=2:3，所以EF=23BC又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么EG=12BC，EG:EF=12:23=3:441.如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】

48【分析】

观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN设正方形的边长为x毫米，PN即x解得x=48即正方形的边长为48毫米．42.如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求长方形的长和宽．【答案】

长和宽分别是487厘米，24【分析】

观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DE所以有DE设DG=x，则DE=2x，所以有2x解得x=因此长方形的长和宽分别是487厘米，2443.如图所示，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG:GF:FC=4:3:2，那么AH:HI:IB和BD:DE:EC分别是多少？【答案】

AH:HI:IB=3:4:2，BD:DE:EC=4:2:3．【分析】

（1）因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AF:FC=7:2．又因为IF∥BC，所以AI:IB=AF:FC=7:2．因为GD∥AB，所以GF:AG=OF:IO=3:4．由上可得AH:HI:IB=3:4:2．（2）因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AG:GC=4:5．又因为GD∥AB，所以BD:DC=AG:GC=4:5．因为GF:FC=3:2，IF∥BC，所以OD:GO=FC:GF=2:3．又因为HE∥AC，所以DE:EC=OD:GO=2:3．由上可得BD:DE:EC=4:2:3．44.图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4c【答案】

108【分析】

做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且为EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因为MN=GM-GN=12,所以GM=18(所以三角形GDC的面积为145.如图，平行四边形ABCD的面积是90．已知E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影部分的面积．【答案】

33．【分析】

由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，设△OBE的面积为4份，则△OBC的面积为6份，△OCD的面积为9份，△OBC的面积与△OCD的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．46.如图，直角三角形ABC中，AB=4,BC=6，又知BE:EC=1:3，求∠CDE的面积．【答案】

6.75．【分析】

由金字塔模型知DE:AB=CE:CB=3:4则DE=4×又知道CE=6×可求出△CDE的面积为3×4.5÷2=6.7547.如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？【答案】

48【分析】

因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且EF平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②:⑤=AD又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4=8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1:4．所以△ADC面积为梯形ADEF面积的44-1=4因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，即为24+24=48(平方厘米)．三角形ABC的面积为48.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少？ 【答案】

8【分析】

图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以FC=10×449.如图所示，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．【答案】

45平方厘米．【分析】

由条件知，GF:BE=12:20=3:5，由沙漏模型知GO:OE=3:5，那么△GOF与△EOF的面积之比也是3:5,△OEF的面积为12×12÷2×550.如图所示，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积是多少？【答案】

13.5．【分析】

由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为6×6÷2×351.如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？【答案】

40013【分析】

AHHG=ADBG=5852.如图所示，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．请问：三角形ABC的面积是多少？【答案】

72【分析】

当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比．考虑平行四边形BEPF和AIPD，分别以PE和PD为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即EPPD由于IH∥AC，所以EHHC=而平行四边形PGCH的面积是15，则△PEH的面积是15×类似的方法可以求出△FPI和△DPG的面积分别是8和92，因此这三个小三角形的面积分别是92、8、252，所以大△ABC53.如图所示，DE与BC平行，已知AD=4,BD=5,DE=16，则BC的长度是多少？【答案】

36．【分析】

由金字塔模型，AD:AB=DE:BC=4:9,DE=16，则BC=36．54.如图所示，DE与BC平行，已知AD=4,BD=5,△ADE的面积为32，则四边形DECB面积是多少？【答案】

130．【分析】

AD:AB=4:9，则AE:AC=4:9,△ADE是△ABC面积的1681，则△ABC的面积是162，四边形DEBC的面积为13055.已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB=2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5 【答案】

12.5【分析】

根据金字塔模型AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,S设S△ADE=4份，则S△ABC=25份，S梯形DBCE=25-4=21份，S梯形DBCE56.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB），那么小玻璃管口径DE是多大？ 【答案】

10厘米．【分析】

有一个金字塔模型，所以DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以DE=10厘米．57.如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是________平方厘米．【答案】

14【分析】

EG:GC=EB:CD=1:2，所以EG=13EC，S△EBG=12×12AB×13BC=112×120=10连接BH58.已知三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行．请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？【答案】

13.5平方厘米．【分析】

由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，设△ODE的面积为1份，则△ODB的面积为3份，△OEC的面积为3份，△OBC的面积为9份，又因为△ADE与△DEC等高，可知△ADE的面积为2份，由此可知△OBC的面积为3÷2×9=13.5平方厘米．59.两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】

6【分析】

根据题意画出如图所示的图，延长FE与AC交于I，则△AEI和△EFH以及△CEI和△EFG都能组成沙漏三角．不难看出，EI=4-1.5=2.5(米而在沙漏AIEFH中，又有AEEH在沙漏ACEGH中，有ACGH由此可知GH=360.如图，ABCD是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形ABCD的面积是多少？【答案】

40【分析】

分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面积，再求和．延长EO交AB于F点，可得DE:BF=DO:OB=3:1,所以SSS又因为S得到SSS所以S61.如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【答案】

25【分析】

连接OB，由已知可得S所以OE:EA=1:3,可以得到CE:CA=5:8,由三角形相似可得阴影部分面积为8×62.如下图所示，三角形AEF、三角形BDF、三角形BCD都是正三角形，其中AE:BD=1:3，三角形AEF的面积是1．求阴影部分的面积．【答案】

15【分析】

S△AEF:S△BDF=AE2因为△AEF与△ACE的高之比是1:7，所以S△ACE=7，因为AD与BC平行，所以S△ABC假设BE为16份，那么BI=9,IE=7，又知道BF:FE=3:1，所以BF=12,FE=4，所以IF=3,S△AEF:S△AIF=FE:FI=4:3，所以S△AIF63.如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积．【答案】

3.5平方厘米【分析】

连接DE、FC，在梯形CDEF中，由梯形基本结论知：EF:DC=EO:OC=1:3，S长ABCD=6×2=12由一半模型得所以S△DEC=6又EO:OC=1:364.如图所示，平行四边形ABED与平行四边形AFCD的面积都是30平方厘米．其中AF垂直于ED于O，AO、OD、AD分别长3、4、5厘米．求三角形OEF的面积和周长．【答案】

面积为13.5平方厘米，周长为18厘米．【分析】

平行四边形ABED的面积等于AO×DE=3×DE=30,由此可以求得DE=10,OE=6.平行四边形AFCD的面积等于DO×AF=4×AF=30,由此可以求得AF=7.5,OF=4.5.则△OEF的面积等于EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5(由沙漏模型得AO:OF=AD:EF=2:3,则EF=7.5.所以△OEF的周长为4.5+6+7.5=18(65.如图所示，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点．求三角形OBC的面积．【答案】

13【分析】

由D、E分别是AB、AC边的中点，可知DE与BC平行，且DE=1如下图所示，沙漏DEOBC中，有OD把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到S那么梯形DECB的面积就是(1+2+2+4)×由于△ABC的面积为1平方厘米，则△ADE的面积是14平方厘米．而梯形DECB1-因此S从而S66.如图所示，O是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】

3【分析】

由S△AOD=4可知S△BCD=12×S长方形由于EF∥CD，把线段的比例转移到BC上，则有CEBC=DFDB=38，从而得到BE567.如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是

平方厘米．【答案】

8【分析】

本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K．则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三角形PDM的面积等于1所以MK=那么NK=4-因为NK是三角形APD的中位线，所以AP=2×NK=所以三角形APD的面积为168.已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影△EHO的面积是多少平方厘米？【答案】

3【分析】

因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么ED=AD=3(在图形中找到沙漏EDOBG：有ED:BG=3:4,所以OD:BO=3:4,相当于把BD分成7份（3+4），同理也可以在图中再次找到沙漏EDHBF，ED:BF=3:2,由此可以推出：HD:BH=3:2,相当于把BD分成5份（3+2），那么我们就可以把BD分成35份（5和7的最小公倍数）其中OD占15份，BH占14份，HO占6份，连接EB则可知△BED的面积为70÷4=在BD为底的三角形中HO占6份，则面积为：3569.如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求△BMG的面积．【答案】

1【分析】

解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF∥BD，而FD:BC=FH:HC=1:2,EB:CD=BG:GD=1:2.所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得G、H是BD的三等分点，可得BG=GH，所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=S又因为BG=所以S解法二：延长CE交DA于I，如下图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,从而可以确定M的点的位置，BM:MF=BC:IF=2:3,BM=BG=可得S70.边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】

16.2【分析】

给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以AO:AC=3:8,AH:AD=3:5,S因为S所以S71.如图，ABCD为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2c【答案】

2【分析】

（法1）由AB∥CD，有MP所以PC=2PM,又MQ所以MQ=QC=所以PQ=所以SSPQR占SAMCF的S（法2）如图，连结AE，则S而RB所以RBS而S因为MN所以MP=则S阴影部分面积等于S72.如图，已知S△ABC=14，点D,E,F分别在AB,BC,CA上，且AD=2,BD=5,AF=FC，S四边形【答案】

10【分析】

△ABC的面积已知，若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就可以计算出△ABE的面积．连接CD．因为S所以S所以AC与DE平行，所以S所以S因为AD=2，BD=5，所以S所以S73.已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．（丙是三角形HBC） 【答案】

43【分析】

因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有S△ABC-S丙= 又S阴影+S74.如图所示，在直角三角形ABC中，AC的长3厘米，CB的长4厘米，AB的长5厘米，有一只小虫从C点出发，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小虫从B点出发，沿BA以1厘米/秒的速度向A爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形？（请写出所有答案）【答案】

2秒、2013秒或32【分析】

设经过了x秒，则BE=x厘米，CD=x厘米，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形的情况有三种：（1）以B为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD=BE（如图1）．这个最好算，BD=4-x，BE=x，故x=4-x，解得x=2；（2）以E为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=EB，如图2，从E向BD作垂线，垂足为F，在金字塔BEFAC种，BEBA=BFBC，即x5=BF4，所以BF=45x．利用CD+DF+FB=4列出方程x+45（3）以D为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=DB，如图3，从D向AB作垂线，垂足为F，利用△BFD和△BCA相似得BFBD=45，即BF4-x=45，所以综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形75.如下图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM:MC=1:2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2【答案】

60【分析】

连接BD，因为DE∥BC，所以DE所以S令S△DEM=a，则S△CEM所以S因为MB∥CF，所以CG所以S所以S因为S所以18因为S所以S76.如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG【答案】

32【分析】

方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4，根据题意有CE=3，再根据另一个沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7,所以S方法二：连接AE,EF，分别求SS根据蝴蝶定理S所以S77.如图所示，正六边形的面积是6，那么阴影部分的面积是多少？【答案】

2【分析】

方法一：连结阴影部分的对角线，如图1所示．这条辅助线平分阴影部分，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形．那么每个梯形的面积为6÷2=3.要求出阴影部分的面积，只需求出其中的一半即可．画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如图2所示，△BCD和△ABD是一对等高三角形，并且底边BC是AD的2倍，所以△BCD的面积是△ABD面积的2倍，于是△BCD面积为3×在沙漏ADOBC中，ODOBS因此正六边形中的阴影部分面积为1方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如图3所示．观察图形可知，这时正六边形被分割成18个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影部分由8个三角形组成，所以阴影部分面积为6÷18×8=278.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，面积是72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？【答案】

48【分析】

因为E为边AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以AE=12CD在沙漏AEHCD中，有AH:HC=1:2，EH:HD=1:2．由EH:HD=1:2可知，△AEH的面积为△AED面积的13易知△AED面积为平行四边形ABCD的面积的1472×所以△AEH的面积为18×由F为边BC的中点，同理可求出△FOC的面积为6平方厘米．由AH:HC=1:2，FO:OD=1:2可知，H、O为边AC的三等分点．所以S而S△ACDS于是空白部分面积为S△AEH因此阴影部分的面积为72-24=48(平方厘米几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型

2.能够用相似模型解决复杂的几何问题少考知识提要金字塔和沙漏模型金字塔模型

CDCA=

沙漏模型

ABCD=

精选例题金字塔和沙漏模型1.如图，已知DE平行BC，BO:EO=3:2，那么AD:AB=

． 【答案】

2:3【分析】

由沙漏模型得BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得AD:AB=DE:BC=2:3．2.如图，DE平行BC，若AD:DB=2:3，那么S△ADE:S 【答案】

4:15【分析】

根据金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE 设S△ADE=4份，则S△ABC=25份，3.如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，则S△ADE:S【答案】

1:3:5:7:9【分析】

设S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF所以有S4.如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，则S△ADE:S 【答案】

1:3:5【分析】

设S△ADE 所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S5.如下图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是

平方厘米．【答案】

43.2【分析】

给图中标上字母，如下图．根据沙漏模型OCOF所以OF=12×3S△EFO6.如图，△ABC中，AE=14AB，AD=14AC，ED与BC平行，△EOD的面积是 【答案】

5【分析】

因为AE=14AB，AD=14 根据相似模型可知ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4平方厘米，则S7.如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC=3:1，则四边形EFGH的面积=

． 【答案】

3【分析】

因为FGHE为平行四边形，所以EC∥AG，所以AGCE为平行四边形． BG:GC=3:1，那么GC:BC=1:4，所以S平行四边形 又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形8.如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长． 【答案】

10【分析】

由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．9.如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】

12．【分析】

连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如图所示设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．10.如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9【答案】

2【分析】

在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=411.图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4c【答案】

108【分析】

做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且为EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因为MN=GM-GN=12,所以GM=18(所以三角形GDC的面积为112.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB），那么小玻璃管口径DE是多大？ 【答案】

10厘米．【分析】

有一个金字塔模型，所以DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以DE=10厘米．13.两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】

6【分析】

根据题意画出如图所示的图，延长FE与AC交于I，则△AEI和△EFH以及△CEI和△EFG都能组成沙漏三角．不难看出，EI=4-1.5=2.5(米而在沙漏AIEFH中，又有AEEH在沙漏ACEGH中，有ACGH由此可知GH=314.如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求长方形的长和宽．【答案】

长和宽分别是487厘米，24【分析】

观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DE所以有DE设DG=x，则DE=2x，所以有2x解得x=因此长方形的长和宽分别是487厘米，2415.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少？ 【答案】

8【分析】

图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以FC=10×416.如图所示，三角形ABC中，DE与BC平行，且AD:DB=5:2，求AE:EC及DE:BC．【答案】

5:2，5:7【分析】

根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．17.如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【答案】

1【分析】

根据相似三角形的对应边成比例有：NFEM则NF=所以S18.已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且AE=10cm，AF=15c【答案】

6【分析】

方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AF=CE:EF,DC:AE=CF:EF,设正方形的边长为xcBC即x解得x=6,所以正方形的边长为6c方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x解得x=6.19.在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，△CDO的面积是△ABO面积的几倍？【答案】

3【分析】

连接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面积等于△CBO的面积；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO20.如右图，长方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的长．【答案】

15【分析】

因为DGGB=AGGE=AG25，且DG21.如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【答案】

25【分析】

连接OB，由已知可得S所以OE:EA=1:3,可以得到CE:CA=5:8,由三角形相似可得阴影部分面积为8×22.如图，正方形ABCD中E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形DEF的面积是2，那么正方形ABCD的面积是_________．【答案】

12【分析】

左边梯形ABED，因为E为BC的中点，所以BE:AD=1:2所以BF:FD=1:2又因为三角形DEF的面积是2所以三角形BEF的面积是1，三角形ABF的面积为2，三角形AFD的面积为4而S△BED=S△DEC23.已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB=2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5 【答案】

12.5【分析】

根据金字塔模型AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,S设S△ADE=4份，则S△ABC=25份，S梯形DBCE=25-4=21份，S梯形DBCE24.如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】

48【分析】

观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN设正方形的边长为x毫米，PN即x解得x=48即正方形的边长为48毫米．25.如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积．【答案】

3.5平方厘米【分析】

连接DE、FC，在梯形CDEF中，由梯形基本结论知：EF:DC=EO:OC=1:3，S长ABCD=6×2=12由一半模型得所以S△DEC=6又EO:OC=1:3几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型

2.能够用相似模型解决复杂的几何问题少考知识提要金字塔和沙漏模型金字塔模型

CDCA=

沙漏模型

ABCD=

精选例题金字塔和沙漏模型1.如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，则S△ADE:S 【答案】

1:3:5【分析】

设S△ADE 所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S2.如下图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是

平方厘米．【答案】

43.2【分析】

给图中标上字母，如下图．根据沙漏模型OCOF所以OF=12×3S△EFO3.如图，△ABC中，AE=14AB，AD=14AC，ED与BC平行，△EOD的面积是 【答案】

5【分析】

因为AE=14AB，AD=14 根据相似模型可知ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4平方厘米，则S4.如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC=3:1，则四边形EFGH的面积=

． 【答案】

3【分析】

因为FGHE为平行四边形，所以EC∥AG，所以AGCE为平行四边形． BG:GC=3:1，那么GC:BC=1:4，所以S平行四边形 又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形5.如图，已知DE平行BC，BO:EO=3:2，那么AD:AB=

． 【答案】

2:3【分析】

由沙漏模型得BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得AD:AB=DE:BC=2:3．6.图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

10.8【分析】

设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米（m>n），则m所以m<8.若m⩽5，则m不合题意，所以m只能为6或7．检验可知只有m=6、n=4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得BG=3.6(所以阴影部分的面积为：17.ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为

平方厘米．【答案】

48【分析】

方法一：设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD．可得S对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以DO:ED=OE:ED=所以SS同理可得S所以S于是，阴影部分的面积为24+12+12=48(方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M为AC的三等分点，SS同理S所以S8.如图，DE平行BC，若AD:DB=2:3，那么S△ADE:S 【答案】

4:15【分析】

根据金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE 设S△ADE=4份，则S△ABC=25份，9.如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，则S△ADE:S【答案】

1:3:5:7:9【分析】

设S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF所以有S10.在下图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；已知其中两块的面积分别是2平方厘米、11平方厘米，且E是BC的中点，O是AE的中点．请问长方形ABCD的面积是

平方厘米．【答案】

28【分析】

如下图所示，延长AE、DC交于点H．由于E是BC的中点，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，由于O是AE中点，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有S△AOF所以，S△GOH那么S△CEH所以，S平行四边形11.如下图所示，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D．张大伯常走这两条小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．则两块田地ACF和CFB的面积比是

．【答案】

1:2【分析】

方法一：如下图所示，ACF和CFB为同高三角形，所以面积比等于底边比AF:FB．过F作BC的平行线，交AE于G，则因为DF=DC，所以三角形CED和FGD全等，GD=DE．又因为AD=2DE，所以D和G是AE的三等分点，所以AF:FB=AG:GE=1:2．方法二：如下图所示，连接BD，设S△CED=1(份)设S△BED=x,S△BFD=y所以S△ACF12.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是5.04，则S△ABC=【答案】

20.16【分析】

由于D，E都是中点，则BC=2DE，设DE为1份，则BC为2份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，两个翅膀都是2份，由此可推出△ADE为3份，且每份为5.04÷(4-1)=1.68,所以S13.梯形ABCD的面积为12，AB=2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是

．【答案】

8【分析】

延长BF、CD相交于G．由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CG=AB=2CD,GD=再根据相似三角形性质，AF:FD=AB:DG=2:1,GF:GB=1:3,而S所以SS又SS所以S14.如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

12.5【分析】

阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM与△CFN的面积之差．（法一）如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，则EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=那么△EMN的面积占△BEF面积的1215×（法二）如图，连接AM．根据燕尾定理，SS所以S而S所以S那么阴影部分面积为20-7.5=12.5(【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：（1）利用面积公式：底×（2）利用整体减去部分；（3）利用比例和模型．15.已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB=2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5 【答案】

12.5【分析】

根据金字塔模型AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,S设S△ADE=4份，则S△ABC=25份，S梯形DBCE=25-4=21份，S梯形DBCE16.如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9【答案】

2【分析】

在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=417.如右图，长方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的长．【答案】

15【分析】

因为DGGB=AGGE=AG25，且DG18.如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】

12．【分析】

连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如图所示设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．19.如图所示，三角形ABC中，DE与BC平行，且AD:DB=5:2，求AE:EC及DE:BC．【答案】

5:2，5:7【分析】

根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．20.已知三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行．请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？【答案】

13.5平方厘米．【分析】

由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，设△ODE的面积为1份，则△ODB的面积为3份，△OEC的面积为3份，△OBC的面积为9份，又因为△ADE与△DEC等高，可知△ADE的面积为2份，由此可知△OBC的面积为3÷2×9=13.5平方厘米．21.如图所示，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积是多少？【答案】

13.5．【分析】

由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为6×6÷2×322.如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，已知正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．【答案】

10平方厘米．【分析】

由条件知，BE=AD=1:2，则BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，则DH:HB=1:2,DH=1323.如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长． 【答案】

10【分析】

由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．24.在图中的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？【答案】

3倍．【分析】

不妨设正方形的边长是2，所以FC=CG=GB=BE=EA=AD=1.又A、C分别是所在边的中点，所以AC∥GE，即OA∥BE，由此可见OA是△DBE的中位线，有OABE=11△AOB的面积等于△BAD的面积减去△AOD的面积，等于1×1÷2-△COD的面积等于△CAD的面积减去△AOD的面积，等于2×1÷2-由此可得，△CDO的面积是△ABO面积的3倍．25.如图，平行四边形ABCD的面积是90．已知E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影部分的面积．【答案】

33．【分析】

由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，设△OBE的面积为4份，则△OBC的面积为6份，△OCD的面积为9份，△OBC的面积与△OCD的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．26.如图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】

18．【分析】

上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，则△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2，则△ABO的面积为18．27.下图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1【答案】

5【分析】

题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根据相似三角形性质，CI:CH=CG:CF=1:3,又因为CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=所以S28.如图，正方形ABCD中E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形DEF的面积是2，那么正方形ABCD的面积是_________．【答案】

12【分析】

左边梯形ABED，因为E为BC的中点，所以BE:AD=1:2所以BF:FD=1:2又因为三角形DEF的面积是2所以三角形BEF的面积是1，三角形ABF的面积为2，三角形AFD的面积为4而S△BED=S△DEC29.如图，平行四边形ABCD的面积是12,DE=13AD,AC与BE【答案】

4.4．【分析】

AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影部分占11份，面积为4.4．30.如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2，B