模型21“一点两线”模型 　　2025年中考数学几何模型专题复习

模型21“一点两线”模型图示条件图示条件点P是∠AOB(定角)内部一点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小结论作点P关于OA,OB的对称点P',P",连接P'P",分别交OA,OB于点M₁，N₁，此时△PMN的周长最小，最小值为线段P'P"的长结论:作点P关于OA,OB的对称点P',P",连接P'P",分别交OA,OB于点M1,N1证明：由轴对称可知，PM=∴PM+PN+MN=P∴当点P'，M₁，N₁，P"四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为线段P'P模型解题三步法例如图，∠ACB=30∘,点P是∠ACB内部一点，且CP=6,G，H分别是射线CA和CB上的动点，连接PG,PH,GH,则PGH题以类解1.如图，在四边形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,点E,F分别是边BC,CD上的动点,连接AE,AF,EF.当△AEF的周长最小时,∠AEF+∠AFE的度数是()A.100°B.120°C.140°D.160°2.如图,在△ABC中,∠CAB=60°,AP⊥BC于点P,点M,N分别是AC,AB边上的动点,连接PN,PM,NM,若AP=3,则△PMN周长的最小值是3.如图,点P是菱形ABCD内一点,∠D=45°,BP=2,,点E和点F分别是BA,BC上的动点，则△PEF周长的最小值是________.4.如图，抛物线y=−x2+4x+5模型21“一点两线”模型例【解析】根据“一点两线”模型作解图，则P'P"的长即为△PGH周长的最小值,连接CP',CP",∵∠ACB=30°,由对称性可知CP=CP'=CP",∠P'CP"=60°,∴△P'CP"为等边三角形(一个角是60°的等腰三角形为等边三角形)，∴P'P"=6，即△PGH周长的最小值为6.题以类解1.C【解析】找模型：是否存在定角：定角：∠BCD；是否存在定线段长且另一点在角的内部：定线段长：AC，另一点：点A；是否求最值：△AEF周长最小时的角度.抽离模型：如解图，即△AEF周长的最小值为A'A"的长，用模型：根据“一点两线”模型得：根据对称的性质可知，∠A'=∠BAE,∠A''=∠DAF,∵∠ABC=∠ADC=90°,∴点A,B,A'三点共线,点A,D,A"三点共线,∴∠AEF=∠A'+2.3【解析】找模型：是否存在定角：定角：∠CAB；是否存在定线段长且另一点在角的内部：定线段长：AP，另一点：点P；是否求最值：△PMN周长的最小值.抽离模型：如解图，用模型:根据“一点两线”模型得MP=MP',NP=NP'',AP=AP''=AP'=3.22【解析】∵四边形ABCD是菱形,∠D=45°,∴∠ABC=45°,根据“一点两线”模型作解图，分别作点P关于BA,BC的对称点G,H,连接GH,分别交BA,BC于点E,F,连接BG,BH.∵点P关于BA的对称点为G,关于BC的对称点为H,∴PE=GE,BP=BG,∠GBA=∠PBA(对称的性质).∴PF=HF,BP=BH,∠HBC=∠PBC,∴BG=BH=BP=2,∠GBH=∠GBA+∠PBA+∠PBC+∠HBC=2∠PBA+2∠PBC=2∠ABC=90°,∴△GBH是等腰直角三角形，.∴GH=2BG=224.217【解析】由题意得,C(0,5),如解图,分别作点D关于x轴和直线BC的对称点D'(0,-3),D",∵直线BC的解析式为y=-x+5,∴∠OC