2025年中考数学总复习备考正多边形和圆的综合变式练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学总复习备考正多边形和圆的综合变式练1．如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π）2．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．3．如图，已知正方形，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若正方形的边长为2，求线段的长．4．如图，正六边形内接于．(1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积；(2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由．5．如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．

6．如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数．7．如图，六边形是的内接正六边形，连接．(1)填空：的度数为__________；(2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长．8．如图，的周长等于，正六边形内接于．(1)求圆心到的距离．(2)求正六边形的面积．9．正方形的四个顶点都在上，E是上一动点．(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数；(2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由；(3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．10．如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．

(1)求证：；(2)连接，若，，，求阴影部分的面积．11．如图正方形内接于，为任意一点，连接、．(1)求的度数．(2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．12．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K．(1)求证：是小圆O的切线．(2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示）13．已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．(1)在图中作出以为对角线的一个菱形；(2)已知六边形的边长为2，求菱形的面积．14．如图，正方形内接于，M为弧中点，连接．(1)求证：；(2)连接，求的度数．15．如图，正五边形内接于，是直径，以点F为圆心，长为半径作圆弧，与相交于点M，N，连结．(1)若，求弧的长；(2)从点A开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学总复习备考正多边形和圆的综合变式练》参考答案1．【分析】本题考查了正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；连接，由正六边形的性质得及圆周角定理得，由勾股定理得，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，可求出圆的半径，即可求解；掌握正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．【详解】解：如图，连接，∵六边形是正六边形，∴，∴，是的直径，，∴，在中，，∴，∴，，即的半径为2，∴的面积为．2．【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案．【详解】解：六边形是正六边形，．，，是等边三角形，，正六边形的周长．3．(1)为的切线．理由见解析；(2)线段的长为【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线；（2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可．【详解】（1）解：与相切．理由如下：四边形为正方形，，正方形沿折叠，使得点恰好落在上，，，在和中，，，，为的半径，为的切线：（2）由（1）得，，点O、、E共线，设，则，，为的直径，，，在中，，解得即线段的长为．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．4．(1)(2)，理由见解析【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果；（2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到．【详解】（1）解：连接，过点O作于点H，∵正六边形内接于，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴阴影部分面积为：；（2）解：，理由如下：如图，在上截取，连接，多边形是正六边形，∴，∴∴同理∵，∴是等边三角形∴，∴∴∵∴∴∴在与中，∴，∴∴．【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．5．这个正六边形的周长为．【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长．【详解】解：如图，连接，．∵六边形是正六边形，，是等边三角形，，∴这个正六边形的周长为．

6．【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，由正六边形的性质可得是等边三角形，即得，由切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：连接，∵是正六边形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵与相切于点，∴，∴，∴．7．(1)(2)【分析】（1）根据正边形中心角为，即可求解；（2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得半径为4，利用弧长公式求解即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：如图，过点O作于点P，∵，，∴是等边三角形，∴，∴．∵，由勾股定理得，即，解得（舍去负值），∴，∴．∵的长为，∴阴影部分的周长为．【点睛】本题考查了正多边形和圆，直角三角形的性质和勾股定理，以及弧长公式．此题难度不大．8．(1)(2)【分析】（）连接，过点作于点，由圆的周长可得，由正六边形的性质可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；（）由（）可得是等边三角形，得到，可得，再根据解答即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，则，∵的周长等于，∴半径，∵六边形是正六边形，∴，∴，∴，∴，即圆心到的距离为；（2）解：∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．9．(1)或；(2)，理由见解析(3)1．【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解；（2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到；（3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可．【详解】（1）解：连接，∵正方形，∴，当点E在优弧AD上时，，当点E在劣弧AD上时，，综上，的度数为或；（2），理由如下，在上截取，连接，∵，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点，∴，∵四边形与四边形关于直线对称，∴，，∴当边上的高最小时，面积取得最小值，∴当点与点A重合，此时点E与点D重合，∴边上的高就是的长，∴面积的最小值为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得，结合，可推出，再根据直径所对的圆周角为，可推出，得到，最后根据，得到，即可证明；（2）过点作于点，由，可得，推出是等边三角形，得到，进而得到，，推出，最后根据，即可求解．【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形，，又，，为的直径，，，，，，；（2）如图，过点作于点，，，，是等边三角形，，，，，，．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，扇形的面积公式，掌握相关知识是解题的关键．11．(1)(2)【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题；（2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，连接、．四边形是正方形，，；（2）解：如图2中，连接，，，，作于．∵，，，，，，，，，，，，，，，，设，在中，，，解得或（舍弃），．【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论；（2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案．【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H，∵正六边形为大圆O的内接正六边形，∴，∴，又∵，∴垂直平分，∴，∵小圆O与相切于点K，∴，又∵，∴，∴，∴点H在小圆O上，又∵，∴是小圆O的切线；（2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形，∴，∴是等边三角形，∵小圆O与相切于点K，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键．13．(1)见解析（答案不唯一），(2)见解析（答案不唯一）【分析】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．（1）利用正六边形的对称性找到的垂直平分线，然后根据菱形的性质对角线互相垂直平分，即可作出图形．（2）根据正六边形的内角等于度，利用等边三角形或30度直角三角形、勾股定理求出另一条对角线长，由面积菱形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：（2）解：∵六边形是正六边形，∴，，又∵正六边形是关于所在直线的对称，∴，∴是等边三角形，∴①如图1-1，连接交于点,∵六边形是正六边形，∴，，，，∴是等边三角形，，∴，，∴，∴，∴菱形的面积为，②如图1-2，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，即，∴，，∴，∴菱形的面积，③如图1-3，由①可知：，是等边三角形，同理可求，∴，∴，∴菱形的面积为．14．(1)见解析(2)【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．（1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论；（2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可．【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，∴．∵M为的中点，∴，∴，∴；（2