第8章 三角形 能力培优测试卷（含答案） 2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

第第页第8章三角形能力提优测试卷时间:60分钟满分:100分题序一二三评卷人总分得分一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)1.关于三角形的三个内角,下列说法错误的是()A.必有一内角不小于60° B.最多有两个锐角C.最少有两个锐角 D.必有一内角不大于60°2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,HE是△AEC的中线,那么以AD为高的三角形有()A.2个 B.3个 C.5个 D.6个3.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是()A.4 B.5 C.6 D.74.若一个三角形的三个内角的度数比为2∶3∶4,则这个三角形是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,∠CDA=70°,则∠B的度数为()A.60° B.50° C.40° D.30°6.用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断,且全部用完),能摆出不同形状的三角形的个数是()A.6 B.5 C.4 D.37.如图,AP,CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM,∠DCN的平分线,设∠ABC=α,∠APC=β,则∠ADC的度数为()A.180°-α-β B.α+βC.α+2β D.2α+β8.如图,在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC,使点C在格点上,满足这样条件的点C共有()A.5个 B.6个 C.7个 D.8个二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)9.如图,点D为BC的延长线上一点,则图中x的值为.

10.如图,直线a∥b,在Rt△ABC中,点C在直线a上.若∠1=54°,∠2=24°,则∠B的度数为.

11.如图,将三角形纸片(△ABC)进行折叠,使得点B与点A重合,点C与点A重合,压平出现折痕DE,FG,其中点D,F分别在边AB,AC上,点E,G在边BC上.若∠B=25°,∠C=45°,则∠EAG的度数是.

12.如图,已知长方形ABCD,一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N=.

三、解答题(本大题共6小题,共52分)13.(6分)一个多边形的内角和是它的外角和的4倍,求这个多边形的边数.14.(8分)一个四边形的周长是48cm,已知第一条边长是acm,第二条边比第一条边的2倍长3cm,第三条边等于第一、二两条边的和.(1)写出表示第四条边长的式子.(2)当a=3或a=7时,还能得到四边形吗?这时的图形是什么形状?15.(8分)小明和小军在一起探讨有关“多边形内角和”的问题,两人各出一道题考对方,小明给小军出了这样一道题:一个四边形各内角的度数比为1∶2∶3∶6,求各内角的度数.小军想了想,说:“这道题目有问题.”(1)请你指出问题在哪里;(2)他们经过研究后,改变了题目中的一个数字,使这道题没有问题,请你也尝试一下,并进行解答.16.(8分)将一副三角板按如图所示的方式摆放,OA边和OC边与直线EF重合,∠AOB=45°,∠COD=60°.(1)求图1中∠BOD的度数;(2)如图2,三角板COD固定不动,若将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α(α<180°),在转动过程中,当OB平分∠DOC时,求此时α的值.17.(10分)大到市民广场,小到家居装修,常常用形状各异的瓷砖来铺设.探究:正多边形的平面图形密铺.用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接,彼此之间既无空隙又不重叠,这就是正多边形的共顶点密铺,共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°.共顶点单一密铺:仅用同一种正多边形密铺.(1)如图,正五边形能不能共顶点单一密铺?请说明理由.(2)符合共顶点单一密铺的正多边形肯定有,请尝试找出一种,并说明理由.共顶点组合密铺:用两种或两种以上正多边形密铺.(3)某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面,已有正三角形形状的地砖,现打算购买另外一种形状不同,但边长相等的正多边形地砖,与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺,请设计两种不同的共顶点组合密铺方案,并说明理由.(4)创意设计:选取三种形状不同,但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺,请写出设计方案.18.(12分)如图1,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)如图2,作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系;(3)如图3,在(2)的条件下,延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.

参考答案一、选择题12345678BDCABBCD1.B解析:锐角三角形有三个锐角.2.D解析:共有6个,分别是△ABD,△ADE,△AEC,△ABE,△ADC,△ABC.解题思路根据三角形的高的概念判断即可.易错警示有同学认为三角形的高一定是在三角形的内部,易忽视钝角三角形的高可以在三角形的外部而漏算△ACE,也可能忽视了直角三角形的高可以与边重合而漏写了以AD为直角边的直角三角形,即△ADB,△ADE,△ADC.3.C解析:设所求正多边形的边数为n,则60°·n=360°,解得n=6.4.A解析:∵三角形的三个内角的度数比为2∶3∶4,∴三个内角分别是180°×29=40°,180°×39=60°,180°×49=80°,5.B解析:∵∠C=90°,∠CDA=70°,∴∠CAD=90°-∠CDA=20°,∵AD平分∠BAC,∴∠CAB=40°,∴∠B=90°-40°=50°.6.B解析:∵三角形两边之和大于第三边,∴只能有5种结果,即①1,6,6;②2,5,6;③3,5,5;④4,4,5;⑤3,4,6.7.C解析:在四边形ABCD中,∠ADC=360°-α-(∠DCB+∠DAB)=360°-α-(360°-2∠PCD-2∠PAD)=2(∠PCD+∠PAD)-α=2(∠ADC-β)-α,∴∠ADC=α+2β.8.D解析:如图,满足这样条件的点C共有8个.二、填空题9.60解析:由三角形外角的性质,可得x+70=x+x+10,解得x=60.10.60°解析:如图,∵a∥b,∴∠1=∠3=54°,∵∠3=∠2+∠A,∴∠A=54°-24°=30°,∵∠ACB=90°,∴∠B=90°-30°=60°.11.40°解析:∵∠B=25°,∠C=45°,∴∠BAC=180°-25°-45°=110°,由折叠可得∠BAE=∠B=25°,∠CAG=∠C=45°,∴∠EAG=110°-(25°+45°)=40°.12.360°或540°或720°解析:不同的划分方法有4种,见图:M+N不同的值有3种,分别是360°,540°和720°.三、解答题13.解:设这个多边形的边数为n.(1分)依题意,得(n-2)×180=4×360,解得n=10.(5分)答:这个多边形的边数是10.(6分)14.解:(1)第四条边长为(42-6a)cm.(4分)(2)当a=3时,四条边的边长分别为3cm,9cm,12cm,24cm,∵3+9+12=24,∴不是四边形,是一条线段;(6分)当a=7时,四条边的边长分别为7cm,17cm,24cm,0cm,显然,不是四边形,仍然是一条线段.(8分)15.解:(1)根据题中条件可知,四边形中最大内角的度数为(4-2)×180°×612=∵四边形的每一个内角都小于180°,∴这个角不能是四边形的内角.(4分)(2)答案不唯一,如将度数比改为1∶2∶3∶4即可.∵四边形的内角和为360°,∴四个内角分别为360°×110=36°,360°×210=72°,360°×310=108°,360°×410=144°.16.解:(1)∵∠AOB+∠BOD+∠COD=180°,又∵∠AOB=45°,∠COD=60°,∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°.(4分)(2)如图,当OB平分∠DOC时,∵∠DOC=60°,∴∠DOB=∠BOC=30°,∴∠BOE=150°.∵∠BOA=45°,∴∠EOA=α=105°.(8分)17.解:(1)设有x个正五边形.∵正五边形的每一个内角为108°,若想用x个108°围成360°,则108x=360.解得x=103(不符合题意)∴正五边形不可以共顶点单一密铺.(2分)(2)正方形可以共顶点单一密铺.设有x个正方形.∵正方形的每一个内角为90°,若想用x个90°围成360°,则90x=360.解得x=4.∴正方形可以共顶点单一密铺.(4分)(3)①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺.设有x个正三角形,y个正方形.∵正三角形的每一个内角为60°,正方形的每一个内角是90°,若想用x个60°与y个90°围成360°,则60x+90y=360,即2x+3y=12,这个二元一次方程的正整数解为x=3,y=2.∴正三角形与正方形可以共顶点组合密铺.(6分)②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺.设有x个正三角形,y个正六边形.∵正三角形的每一个内角为60°,正六边形的每一个内角是120°,若想用x个60°与y个120°围成360°,则60x+120y=360,即x+2y=6,这个二元一次方程的正整数解为x=2,y=2或x=4,y=1,∴正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺.(8分)(4)正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺.设有x个正三角形、y个正方形、z个正六边形,∵正三角形的每一个内角为60°,正方形的每一个内角是90°,正六边形的每一个内角是120°,若想用x个60°、y个90°与z个120°围成360°,则60x+90y+120z=360,即2x+3y+4z=12.这个三元一次方程的正整数解为x=1,y=2,z=1.∴正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺.(10分)18.解:(1)∵∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=100°,∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,∴∠BPC=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12×100°=130°.(2分(2)∵外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(360°-∠ABC-∠ACB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A,∴∠Q=180°-(90°+12∠A)=90°-12∠A.(5分(3)如图,延长BC至点F.∵CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线,∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,即∠E=12∠A∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°.(8如果在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:①∠EBQ=2∠E=90°,则∠E=45°,∠A=2∠E=90°;②∠EBQ=2∠Q=90°,则∠Q=45°,∠E=45°,∠A=2∠E=90°;③∠Q=2∠E,则90°-12∠A=∠A,解得∠A=④∠E=2∠Q,则12∠A=2(90°-12∠A),解得∠A=综上所述,∠A的度数是90°或60°或120°.(12分)解题思路(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义,首先求出∠PBC+∠PCB,进而求出∠BPC即可解决问题.(2)根据三角形外角的性质分别表示出∠MBC与∠BCN,再根据角平分线的性质可求出∠