2024-2025学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）期初数学试卷（3月份） (含解析)

2024-2025学年江苏省南京市栖霞区九年级（下）期初数学试卷（3月份）一、选择题：共6小题，每小题2分，共12分．1．（2分）用配方法解方程时，配方后正确的是A． B． C． D．2．（2分）某快递员十二月份送餐统计数据如下表：送餐距离小于等于3公里大于3公里占比送餐费4元单6元单则该快递员十二月份平均每单送餐费是A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元3．（2分）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米4．（2分）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为A．2 B． C．3 D．5．（2分）如图，，，则下列等式一定成立的是A． B． C． D．6．（2分）如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，则跷跷板的支撑点到地面的高度是A． B． C． D．二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．7．（2分）二次函数图象的顶点坐标为．8．（2分）若一组数据2，3，4，5，的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则可以为．（列举一个满足条件的值）9．（2分）方程的两个根为，．若，则．10．（2分）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的母线长为．11．（2分）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是．12．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是．13．（2分）如图，在矩形中，，，为中点，，垂足为，交边于点，则的长为．14．（2分）如图，在正六边形中，经过点，的与边，分别相切于点，，与边交于点，连接，交于点，则的度数为．15．（2分）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表：042若，则的取值范围为．16．（2分）如图，在中，，是高．若，则的长的最小值为．三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）计算求解：（1）；（2）；（3）．18．（8分）甲城市有2个景点，，乙城市有3个景点，，．从中随机选取景点游览，求下列事件的概率．（1）选取1个景点，恰好在甲城市；（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．19．（8分）周老师平时上班有，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图：（1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差．（2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明．（3）你建议周老师应如何选择上班路线？20．（8分）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，，且点，，，在同一水平线上．求飞虹塔的高度．21．（8分）如图，在中，，，平分交于．（1）求证：．（2）若，求的长．22．（8分）为测量某建筑物的高度，在坡脚处测得顶端的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡前行到达处，此时测得顶端的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，23．（8分）已知二次函数是常数）．（1）求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点；（2）求证：当时，该函数图象与轴的交点总在轴的下方．24．（8分）用直尺和圆规完成下列作图．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）如图（1），过内一点作直线交于点，，使；（2）如图（2），过外一点作直线交于点，，使．25．（8分）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．（1）若对于，，有，求的值；（2）若对于，，都有，求的取值范围．26．（8分）如图，在△的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．（1）求证：是切线；（2）若，，求的半径；（3）若是中点，直接写出、与的数量关系．27．（8分）综合与实践【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？【实验探究】（1）获得猜想观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号）①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补；（2）推理证明已知：在四边形中，求证：过点，，，可作一个圆．证明：假设过点，，，不能作一个圆．如图⑤，过，，三点作，点不在圆上．若点在外，与交于点，连接，则①，而是△的外角，②．出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上．同理可证点在内的情况．【应用结论】（3）如图⑥，四边形中，对角线，交于点，，平分．①若，求的度数．②若，，求线段的长．

参考答案题号123456答案CBDBDA一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2分）用配方法解方程时，配方后正确的是A． B． C． D．解：，，即．故选：．2．（2分）某快递员十二月份送餐统计数据如下表：送餐距离小于等于3公里大于3公里占比送餐费4元单6元单则该快递员十二月份平均每单送餐费是A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：（元，故选：．3．（2分）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米解：设返回过程中小杰身高为，由，得，由，得．故选：．4．（2分）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为A．2 B． C．3 D．解：，，，，，，，，．故选：．5．（2分）如图，，，则下列等式一定成立的是A． B． C． D．解：，，与是对应边，相似比为，的对应边为，由图可知：，，选项不成立；，且和是对应角，，，选项不成立；，，选项不成立；，，选项成立．故选：．6．（2分）如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，则跷跷板的支撑点到地面的高度是A． B． C． D．解：如图：过点作，垂足为，，，，，，，，如图：过点作，垂足为，，，，，，，，，，，解得：，跷跷板的支撑点到地面的高度是，故选：．二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．7．（2分）二次函数图象的顶点坐标为．解：，二次函数图象的顶点坐标为，故答案为：．8．（2分）若一组数据2，3，4，5，的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则可以为2（答案不唯一）．（列举一个满足条件的值）解：数据5，6，7，8，9中，每2个数相差1，一组数据2，3，4，5，前4个数据也是相差1，若或时，两组数据方差相等，而数据2，3，4，5，的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则（答案不唯一），故答案为：2（答案不唯一）．9．（2分）方程的两个根为，．若，则．解：，是方程的两根，，，解得：，故答案为：．10．（2分）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的母线长为5．解：设圆锥的母线长为，圆锥的底面周长，则，解得，，故答案为：5．11．（2分）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是21．解：是的外角，，，由圆周角定理得：，，是的外角，，，，故答案为：21．12．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是．解：如图，连接并延长交于，由圆周角定理得：，由勾股定理得：，，故答案为：．13．（2分）如图，在矩形中，，，为中点，，垂足为，交边于点，则的长为．解：四边形都是矩形，，，，，，，，，，在中，，，，，，故答案为．14．（2分）如图，在正六边形中，经过点，的与边，分别相切于点，，与边交于点，连接，交于点，则的度数为60．解：连接、、，如图，与边，分别相切于点，，，，，，，五边形的内角和为，，，在圆内接四边形中，，，．故答案为：60．15．（2分）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表：042若，则的取值范围为．解：由题意可知，，，，当，时，，解得，当，时，，解得，当，时，，解得，若，则的取值范围为．故答案为：．16．（2分）如图，在中，，是高．若，则的长的最小值为．解：取中点，过作，过点作，交于，则，，，，，是的高，，，，，则，为中点，，是的垂直平分线，，由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号，即：的最小值为；故答案为：．三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）计算求解：（1）；（2）；（3）．解：（1），，，，；（2），即，或，，；（3）原式．18．（8分）甲城市有2个景点，，乙城市有3个景点，，．从中随机选取景点游览，求下列事件的概率．（1）选取1个景点，恰好在甲城市；（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．解：（1）选取1个景点，恰好在甲城市的概率为；（2）列表如下：由表知共有20种等可能结果，其中选取2个景点，恰好在同一个城市有8种结果，所以选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为．19．（8分）周老师平时上班有，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图：（1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差22．（2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明．（3）你建议周老师应如何选择上班路线？解：（1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差，故答案为：22．（2）路线所用时间的平均数为，方差为，路线所用时间的平均数为，方差为，，上班路线用时更稳定；（3）由用时的平均数知，路线平均用时更少，所以建议选择路线（答案不唯一，合理即可）．20．（8分）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，，且点，，，在同一水平线上．求飞虹塔的高度．解：，，△△，，，米，米，，，△△，，，米，答：飞虹塔的高度为47米．21．（8分）如图，在中，，，平分交于．（1）求证：．（2）若，求的长．【解答】（1）证明：，，，平分，，，，．（2）解：．，，，解得或（舍去）．的长为．22．（8分）为测量某建筑物的高度，在坡脚处测得顶端的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡前行到达处，此时测得顶端的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，解：过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，，，，，，设，，在中，，，在中，，，，，解得：，，建筑物的高度约为．23．（8分）已知二次函数是常数）．（1）求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点；（2）求证：当时，该函数图象与轴的交点总在轴的下方．【解答】证明：（1）△，而，△，不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点；（2）当时，，二次函数图象与轴的交点坐标为，，，二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上，即当时，该函数图象与轴的交点总在轴的下方．24．（8分）用直尺和圆规完成下列作图．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）如图（1），过内一点作直线交于点，，使；（2）如图（2），过外一点作直线交于点，，使．解：（1）如图，直线即为所求；（2）如图，直线即为所求．25．（8分）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．（1）若对于，，有，求的值；（2）若对于，，都有，求的取值范围．解：（1）对于，，有，，，．对称轴为直线，．（2），，，，，，，离对称轴更近，，则，与，的中点在对称轴的右侧，，即．26．（8分）如图，在△的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．（1）求证：是切线；（2）若，，求的半径；（3）若是中点，直接写出、与的数量关系．【解答】（1）证明：连，如图1，在△和△中，，△△，，与相切，，，，，为半径，是切线；（2）解：连接，如图2，，设，则，，，，设，则，，，，，，半径为；（3）解：，理由如下：连接，，如图3，由（1）可知：△△，，，在△和△中，，△△，，，，，，点是中点，，，，，，，．27．（8分）综合与实践【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？【实验探究】（1）获得猜想观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过④的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号）①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补；（