2024-2025学年高中数学第3章概率3.1.3概率的基本性质学案新人教A版必修3

PAGE1-3.1.3学习目标核心素养1.了解事务间的包含关系和相等关系．2．理解互斥事务和对应事务的概念及关系．(难点、易混点)3．会用互斥事务与对立事务的概率公式求概率．(重点)4．了解并事务与交事务的概念，会进行事务的运算．1.通过互斥事务与对立事务的学习，体会逻辑推理素养．2．借助概率的求法，提升数学运算素养.1．事务的关系与运算(1)事务的关系：定义表示法图示包含关系一般地，对于事务A与事务B，假如事务A发生，则事务B肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系A⊆B且B⊆AA＝B事务互斥若A∩B为不行能事务，则称事务A与事务B互斥A∩B＝∅事务对立若A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅且A∪B＝U(2)事务的运算：定义表示法图示并事件若某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)交事件若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：[0，1]．(2)必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0．(3)概率加法公式为：假如事务A与B为互斥事务，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A与B为对立事务，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0．思索：在掷骰子的试验中，事务A＝{出现的点数为1}，事务B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？[提示]A⊆B1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事务A，向上面至少有一枚是正面为事务B，则有()A．A⊆B B．A⊇BC．A＝B D．A<BA[由事务的包含关系知A⊆B.]2．掷一枚骰子，视察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则()A．A⊆B B．A＝BC．A与B互斥 D．A与B对立C[由于事务A与B不行能同时发生，故A、B互斥．]3．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中随意抽取5件，现给出以下四个事务：事务A：“恰有一件次品”；事务B：“至少有两件次品”；事务C：“至少有一件次品”；事务D：“至多有一件次品”．并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必定事务；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．②③A[A∪B表示的事务：至少有一件次品，即事务C，所以①正确，③不正确；D∪B表示的事务：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了全部状况，所以②正确；A∪D表示的事务：至多有一件次品，即事务D，所以④不正确．]4．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．0.65[中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事务，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]互斥事务与对立事务的判定【例1】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事务A为“只订甲报”，事务B为“至少订一种报纸”，事务C为“至多订一种报纸”，事务D为“不订甲报”，事务E为“一种报纸也不订”．推断下列每组事务是不是互斥事务；假如是，再推断它们是不是对立事务：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.思路点拨：是否可能同时发生→推断是否互斥→是否必有一个发生→推断是否对立[解](1)由于事务C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事务A与事务C有可能同时发生，故A与C不是互斥事务．(2)事务B“至少订一种报纸”与事务E“一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B与E是互斥事务；由于事务B与事务E必有一个发生，故B与E是对立事务．(3)事务B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事务B和事务D有可能同时发生，故B与D不是互斥事务．(4)事务B“至少订一种报纸”中的可能状况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事务C“至多订一种报纸”中的可能状况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事务B与事务C可能同时发生，故B与C不是互斥事务．(5)由(4)的分析，事务E“一种报纸也不订”是事务C中的一种可能状况，所以事务C与事务E可能同时发生，故C与E不是互斥事务．互斥事务、对立事务的判定方法(1)利用基本概念①互斥事务不行能同时发生；②对立事务首先是互斥事务，且必需有一个要发生．(2)利用集合的观点来推断设事务A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事务A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事务A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，即A＝IB或B＝IA.1．一个射手进行一次射击，有下面四个事务：事务A：命中环数大于8；事务B：命中环数小于5；事务C：命中环数大于4；事务D：命中环数不大于6.则()A．A与D是互斥事务 B．C与D是对立事务C．B与D是互斥事务 D．以上都不对A[由互斥、对立事务的定义可推断A选项正确．]事务的关系及运算【例2】在掷骰子的试验中，可以定义很多事务．例如，事务C1＝{出现1点}，事务C2＝{出现2点}，事务C3＝{出现3点}，事务C4＝{出现4点}，事务C5＝{出现5点}，事务C6＝{出现6点}，事务D1＝{出现的点数不大于1}，事务D2＝{出现的点数大于3}，事务D3＝{出现的点数小于5}，事务E＝{出现的点数小于7}，事务F＝{出现的点数为偶数}，事务G＝{出现的点数为奇数}，请依据上述定义的事务，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事务；(2)利用和事务的定义，推断上述哪些事务是和事务．[解](1)因为事务C1，C2，C3，C4发生，则事务D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事务E包含事务C1，C2，C3，C4，C5，C6；事务D2包含事务C4，C5，C6；事务F包含事务C2，C4，C6；事务G包含事务C1，C3，C5.且易知事务C1与事务D1相等，即C1＝D1.(2)因为事务D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.事务运算应留意的2个问题(1)进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简洁的题目中，须要推断事务之间的关系时，可以依据常识来推断．但假如遇到比较困难的题目，就得严格依据事务之间关系的定义来推理．2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事务B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事务C＝{3个球中至少有1个红球}，事务D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事务D与A，B是什么样的运算关系？(2)事务C与A的交事务是什么事务？[解](1)对于事务D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事务C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.互斥事务与对立事务的概率公式及应用[探究问题]1．在同一试验中，对随意两个事务A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)肯定成立吗？[提示]不肯定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，则事务A与事务B是否肯定对立？试举例说明．[提示]A与B不肯定对立．例如：掷一枚匀称的骰子，记事务A为出现偶数点，事务B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝1，但A、B不对立．【例3】在数学考试中，小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成果的概率；(2)小明数学考试及格的概率．思路点拨：小明的成果在80分以上可以看作是互斥事务“80分～89分”“90分以上”的并事务，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事务的并事务，又可看作是“不及格”这一事务的对立事务．[解]分别记小明的成果“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事务B，C，D，E，这四个事务彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.1．(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成果的概率．[解]分别记小明的成果“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”为事务A、B、C、D、E，则这五个事务彼此互斥．∴小明成果在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.2．(变条件)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．[解]法一：(利用互斥事务求概率)记事务A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依据题意知，事务A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事务概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用对立事务求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事务为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事务为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的对立事务为A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).互斥事务、对立事务概率的求解方法(1)互斥事务的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，经常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．1．互斥事务和对立事务都是针对两个事务而言的，它们两者之间既有区分又有联系．在一次试验中，两个互斥事务有可能都不发生，也可能有一个发生，但不行能两个都发生；而两个对立事务必有一个发生，但是不行能两个事务同时发生，也不行能两个事务都不发生．所以两个事务互斥，它们未必对立；反之两个事务对立，它们肯定互斥．2．互斥事务概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在详细的情景中推断各事务间是否互斥，只有互斥事务才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求困难事务的概率通常有两种方法(1)将所求事务转化成彼此互斥事务的并事务；(2)先求其对立事务的概率，再求所求事务的概率.1．推断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)互斥事务肯定是对立事务． ()(2)事务A与B的并事务的概率肯定大于事务A的概率． ()(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事务A与B肯定是对立事务． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．给出以下结论：①互斥事务肯定对立；②对立事务肯定互斥；③互斥事务不肯定对立；④事务A与B的和事务的概率肯定大于事务A的概率；⑤事务A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个C[对立必互斥，互斥不肯定对立，∴②③对，①错；又A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，④错；只有A、B对立时，P(A)＝1－P(B)才成立，⑤错．]3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．0.3[摸出红球、白球、黑球是互斥事务，所以摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.]4．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，推断下列给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．[解](1)是互斥事务，不是对立事务．