四边形（2大模块知识清单 3种方法清单 13个考试清单真题专练）

……T6…………习DDoALB起6a矩形、菱形、矩形、菱形、正方形果0nmBccBB矩矩形、菱形、正方形DcDc对角线2相等的菱形是正方形有一个角是29直角有一组邻边28相等有一个角是29直角有一组邻边③相等有一个角是30直角有一组邻边③相等A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC⊥BD且AC=BDD.3.(2023·东莞市校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB=10,BC=6.E是边CD的 ∠AFD=∠FCG,则AF的长为 4.(2023·乐清市模拟)如图，0是□ABCD的对角线的交点，E,F,G分别是OA,OB,CD的中点.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形.(2)当∠DEF=90°,AB=6,BC=4时，求四边形DEFG的周长.方法2:正方形中的十字架模型1.(2023·宜城市模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD别为BO,DO的中点，连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形EFNB的面积占正方形ABCD面积的正确的有()2.(2023·沙坪坝区校级模拟)如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG,EF,GF.且EF=DG,DE=2AG,∠ADG的度数为α,则∠EFG的度数为()A.αB.2αC.45°-αD.453.(2023·天山区校级二模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点(不含B,C两点),将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的是()①线段AM长度的最小值为5;②四边形AMCB的面积最大值为10;④当P为BC中点时，AE是线段NP的垂直平分线.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④4.(2023·浙江模拟)如图，正方形ABCD中，AE=DF,AF与BE相交于点H,点0为BD中点，连结OH,若DG=OG,则的值为()5.(2023·双峰县三模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,AB的中点，连接AE,DF交于点0,将△ABE沿AE翻折，得到△AGE,延长EG交AD的延长线于点H,连接CG.有以下结论：其中正确的有()6.(2023·金东区二模)如图，点G是正方形ABCD边AB上的一点，连结CG,过点C作CE⊥CG,交AD的延长线于点E,过点E作EF⊥CE,过点G作GF⊥CG,EF和GF交于点F,延长CD交EF于点H,连结GH,以HD和DA为边作矩形ADHI.记△CEH的面积为s₁,△GHF的面积为S₂,矩形ADHI的面积为S₃,若AB=4,S₁+S₂-S₃=3,则CE=7.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F分别是边BC、CD上的一点，且CE=DF,AF、DE相交于点0,BO=BA,则OC的值为_8.(2023·雁塔区校级三模)如图，在正方形ABCD中，AB=6,E是边BC的中点，F是正方形ABCD内一动点，且EF=3,连接EF,DE,DF,过点D作DDM=DE,连接CN,MN,CM,则线段CN长度的最小值为9.(2023·南关区四模)【问题提出】如图①,在正方形ABCD中，点E,F,G分别在边BC,AB,CD上，GF⊥AE.请判断AE与GF的数量关系，并说明理由.【类比探究】如图②,在矩形ABCD中，,将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连结AE交GF于点0.则GF与AE之间的数量关系为_【拓展应用】在(2)的条件下，若,GF=3√5,则CE的长为10.(2023·遵义模拟)【问题探究】如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF,求证：AE=DF.【拓展应用】如图3,在平行四边形ABCD中，AB=m,BC=n,点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由.图1图2图311.(2023·嘉鱼县模拟)【问题探究】如图1,正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P,求证AF=BG;【知识迁移】如图2,矩形ABCD中，AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P.求的值；【拓展应用】如图3,在四边形ABCD中，∠ABC=90°,∠BDC=120°,DB=DC,点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P.请直接写出的值.(图1)(图2)(图3)方法3:四边形中的对角互补模型1.(2023·宁阳县二模)在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD.(1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 ;(2)如图2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉，(1)中的结论是否成立?请说明理由；(3)如图3,若∠DAB=90°,若AD=3,AB=7,求线段AC的长和四边形ABCD的面积.2.(2023·雨花区校级二模)在00中，弦CD平分圆周角∠ACB,连接AB,过点D作DE//AB交CB的延长线于点E.(1)求证：DE是00的切线；(3)P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP,过点D作DH⊥BP于点H,请探究点P在运动的过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值.3.(2023·肥城市校级模拟)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.的平分线交00于点D,连接AD,CD.求证：四边形ABCD是等补四边形；(2)如图2,在等补四边形ABCD中，AB=AD,连接AC,AC是否平分∠BCD?请说明理由.(3)如图3,在等补四边形ABCD中，AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F,图1图2图3一.多边形内角与外角(共2小题)1.(2023·济宁)一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是边形.2.(2023·扬州)如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数为3.(2023·淮安)如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC,则tan∠ACB的值是·三.平行四边形的性质(共2小题)4.(2023·福建)如图，在□ABCD中，0为BD的中点，EF过点0且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为_5.(2023·凉山州)如图，在oABCD中，对角线AC与BD相交于点0,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.四.平行四边形的判定(共1小题)6.(2023·邵阳)如图，在四边形ABCD中，AB//CD,平行四边形，则下列正确的是()A.AD=BCB.∠ABD=∠BDCC.五.平行四边形的判定与性质(共2小题)7.(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，点M,N若添加一个条件，使四边形ABCD分别在边AB,CD上，且AM=CN.8.(2023·杭州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点E,F在对角线BD上，且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.(1)求证：四边形AECF是平行四边形.(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.六.菱形的性质(共4小题)9.(2023·湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°10.(2023·丽水)如图，在菱形ABCD中，AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为()12.(2023·浙江)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.七.菱形的判定(共3小题)13.(2023·深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()A.114.(2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,ACIBD于点0.请添加一个条件：_,使四边形ABCD成为菱形.15.(2023·湘西州)如图，四边形ABCD是平行四边形，BM//DN,且分别交对角线AC于(1)求证：∠DMN=∠BNM;(2)若∠BAC=∠DAC.求证：四边形BMDN是菱形八.菱形的判定与性质(共1小题)16.(2023·云南)如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE=AF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°,△ABE的面积等于4√3,求平行线AB与DC间的距离.九.矩形的性质(共6小题)17.(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少()18.(2023·台州)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为19.(2023·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,CD//0E,直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD,AD于点F,G,连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；20.(2023·怀化)如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点0作BD的垂线EF,分别交AD,(1)证明：△BOF≌△DOE;(2)连接BE、DF,证明：四边形EBFD是菱形.21.(2023·温州)如图，已知矩形ABCD,点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连结AF交EH于点G,GE=GH.(1)求证：BE=CF;22.(2023·随州)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,DE//AC,CE//BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.十.矩形的判定(共2小题)23.(2023·上海)在四边形ABCD中，AD//BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A.AB//CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D24.(2023·新疆)如图，AD和BC相交于点0,∠ABO=∠DCO=90°,OB=0C,点E、F分别是AO、DO的中点.(1)求证：OE=OF;(2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是矩形.十一.矩形的判定与性质(共1小题)25.(2023·大庆)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°.(1)求证：四边形ACFD是矩形；(2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积.十二.正方形的性质(共4小题)26.(2023·攀枝花)如图，已知正方形ABCD的边长为3,点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD27.(2023·安徽)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并延长，交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=()28.(2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,E为BC上一点， CE=7,F为DE的中点，若△CEF的周长为32,则OF的长为· 29.(2023·绍兴)如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.(1)求证：∠DAG=∠EGH;(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.十三.四边形综合题(共8小题)30.(2023·衡阳)[问题探究](1)如图1,在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0.在线段AO上任取一点P(端点除外),连接PD、PB.①求证：PD=PB;②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化?请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由.[迁移探究](2)如图2,将正方形ABCD换成菱形ABCD,且∠ABC=60°,其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由.31.(2023·阜新)如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α,点F在直线DE上，且AD=AF,连接BF.(1)如图1,当0°<α<90°时，①求∠BAF的大小(用含α的式子表示).(2)如图2,取线段EF的中点G,连接AG,已知AB=2,请直接写出在线段CE旋转过32.(2023·徐州)如图，正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y.(1)求y关于x的函数表达式；(2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10?(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.33.(2023·兰州)综合与实践：【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF,试猜想四边形ABCD的形状，并【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形ABCD中，示线段FH,AH,CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在BH,可以用等式表示线段CM,BH的数量关系，请你思考并解答这个问题.图1图2图3一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视行的“E”形图边长b(mm),在平面直角坐标系中描点如图1.探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的形图边长.素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫探究2当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围.素材3如图3,当θ确定时，在A处用边长为b,的I号“E”b₂的Ⅱ号“E”测得的视力相同.探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.35.(2023·徐州)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC²=a²+b²同理BD²=a²【探究发现】如图2,四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立?请加以判断，并说明理由.【拓展提升】如图3,已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.【尝试应用】如图4,在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12,点P在边AD上，则PB²+PC²的最小值为36.(2023·宁夏)综合与实践：问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.探究发现如图1,在△ABC中，∠A=36°,AB=AC.(1)操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E,折痕交AC于点D,连接DE,DB,则∠BDE=°,设AC=1,BC=x,那么AE=(用含x的式子表示);(2)进一步探究发现：这个比值被称为黄金比.在(1)的条件下试证明：拓展应用当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的△ABC是黄金三角形.如图2,在菱形ABCD中，∠BAD=72°,AB=1.求这个菱形较长对角线的长.37.(2023·山西)综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE,其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D,将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B).当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G,试判断四边形BCGE的形状，并说明理由.数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；深入探究：(2)老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题.①“善思小组”提出问题：如图3,当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问②“智慧小组”提出问题：如图4,当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H,若BC=9,AC=12,求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果.…T6…………起DoALB习6a矩形、菱形、矩形、菱形、正方形果0nmBccBB矩矩形、菱形、正方形对角线方法1:中点四边形模型一.选择题(共2小题)1.(2023·佛山模拟)如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是()A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC⊥BD且AC=BDD.不确定【分析】满足的条件应为：AC=BD,把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD,所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形.【解答】解：满足的条件应为：AC=BD.理由如下：∵E,F,G,H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，同理EF//AC且EF=AC,同理可得则HG//EF且HG=EF,∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD,所以EF=EH,∴四边形EFGH为菱形.【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题.2.(2023·晋中模拟)如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF各边中点得到一个新的正六边形.若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF上，则飞镖落在阴影区域的概率为()【分析】通过题目可以容易的得出阴影部分是一个正六边形，要想计算飞镖落在阴影区域的概率，只要计算阴影部分的面积占总面积的比例即可.【解答】解：∵六边形A'B'C'D'E'F'心六边形ABCDEF,【点评】本题主要考查了概率的应用，运用几何面积的比来表示概率.二.填空题(共1小题)3.(2023·东莞市校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB=10,BC=6.E是边CD的【分析】根据题意构造出包含AF的图形，通过推断证明该图形的特征，利用四边形及三角形的相关性质进行计算得出答案.【解答】解：5,AD=BC=6;DC//AB即DE//AH,A平行四边形对边平行且相等).∵EF//AD即EH//AD,∴四边形AHED是平行四边形(平行四边形的判定);EH//CB(平行的传递性),(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),∴∠AFH=180°-∠AFE=90°,即△AFH是一个直角三角形.∴AF²+HF²=AH²,即AF²+1²=5²,【点评】本题考查了几何构图的能力，平行四边形的性质，三角形勾股定理的运用.三.解答题(共1小题)4.(2023·乐清市模拟)如图，0是□ABCD的对角线的交点，E,F,G分别是OA,OB,CD的中点.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形.(2)当∠DEF=90°,AB=6,BC=4时，求四边形DEFG的周长.【分析】(1)根据平行四边形的判定方法进行证明.(2)分析四边形的四条边，先通过已知数据利用图形的相关性质算出EF的值，然后通过构造DE延长线段所在的三角形间接求出DE,从而算出周长.【解答】(1)证明：∵E,F,G分别是OA,OB,CD的中点，∴△OAB中，EF//AB且(三角形中位线定理);∴DC//AB,DC=AB(平行四边形的对边平行相等),,DG//AB//EF,∴四边形DEFG是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).解：如图所示，∠DEF=90°时，延长DE交AB于点H.∵AC、BD分别是平行四边形ABCD的对角线，BC=4,(平行四边形对角线相互平分),AD=4(平行四边形对边相等).∵点E、F分别是OA、AB的中点，AB=6,∴△OAB中，EF//AB且(三角形中位线定理);∵点F是OB的中点，∴△DEF∽△DHB(两个直角三角形中，有一个锐角对应相等，这两个直角三角形相似),答：四边形DEFG的周长是6+3√3.【点评】本题考查了几何构图能力、平行四边形的相关性质、三角形相似、勾股定理.方法2:正方形中的十字架模型1.(2023·宜城市模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E,F分别为BC,CD的中点，分别交BD,EF于0,P两点，M,N分别为BO,DO的中点，连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形EFNB的面积占正方形ABCD面积的.正确的有()A.①③B.①②C.只有①D.②③【分析】首先根据正方形的性质可判定△ABD,△CBD、△OAB,△OAD均为等腰直角三角形，再判定EF是△BCD的中位线，FN为△OCD的中位线，MP为△OBC的中位线，据此可判定△DFN、△OMP均为直角三角形，据此可对说法①进行判定；根据三角形的中位线得,由BC≠OB可得MP≠EP,据此可对说法②进设ON=a,则BD=4a,NF=a,EF=2a,BN=3a,然后分别求出正方形的面积和四边形EFNB的面积即可对说法③进行判定.【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD,△CBD、△OAB,△OAD均为等腰直角三角形，∴EF是△BCD的中位线，△CEF为等腰直角三角形，连接PC,则点A,0,P,c在同一条直线上，∵点N为OD的中点，点F为CD的中点，∵点F为CD的中点，FP//OD,综上所述：说法①正确；又BC≠OB,∴四边形MPEB不是菱形，故说法②不正确；设ON=a,则BD=4a,NF=a,,BN=3a∴四边形EFNB为梯形，∴说法③不正确.综上所述：说法正确的只是①.【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，梯形的判定，正方形的面积、梯形的面积等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决文题的关键.2.(2023·沙坪坝区校级模拟)如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG,EF,GF.且EF=DG,DE=2AG,∠ADG的度数为α,则∠EFG的度数A.aB.2αC.45°-α【分析】点F作FH⊥AD于点H,则四边形CDHF为矩形，易通过HL证明Rt△FHE≌Rt△DAG,得到EH=AG,∠HFE=∠ADG=α,根据DE=2AG可得EH=DH=AG=CF,于是得到BG=BF,则△BFG为等腰直角三角形，∠BFG=45°,由∠BFG+∠EFG+∠HFE=90°即可求解.【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，如图，过点F作FH⊥AD于点H,则四边形CDHF为矩形，∴AB-AG=BC-CF,即BG=BF,∴△BFG为等腰直角三角形，∠BFG=45°,【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题.3.(2023·天山区校级二模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点(不含B,C两点),将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的是()①线段AM长度的最小值为5;②四边形AMCB的面积最大值为10;④当P为BC中点时，AE是线段NP的垂直平分线.A.①②③B.①②【分析】①设BP=x,则PC=4-x,首先证△CMP和△BPA相似得,再过点M作MG⊥AB于点G,由勾股定理得AM=√AG²+4²,据此得当AG为最小时，AM为最小，然后求出AG的最小值即可得到AM的最小值，进而可对结论①②设四边形AMCB的面积为s,则,然后将,AB=BC=4代入取一点K,使AK=PK,则△PKB为等腰直角三角形，则BP=BK=x,继而可得出PK=√2x,最后由AB=AK+BK=4可求出x的值，进而可对结论③进行判断；用勾股定理求出x的值，进而可对结论④进行判断.【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，边长为4,设BP=x,则PC=4-x,,过点M作MG⊥AB于点G,∴当x=2时，AG为最小，最小值为3,即当AG=3时，AM为最小，②设四边形AMCB的面积为s,由①可知：),AB=BC=4,∴当x=2时，s为最大，最大值为10,∴四边形AMCB的面积最大值为10.AE=AD,AN=AN,在AB上取一点K,使AK=PK,设NE=y,即：2²+(4-x)²=(x+2)²,∴AE不是线段NP的垂直平分线，故结论④不正确.综上所述：正确的结论是①②③.故选：A.【点评】此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，二次函数的最值等知识，解答此题的关键是构建二次函数解决最值问题，难点是正确的添加辅助线，构造矩形、等腰直角三角形.4.(2023·浙江模拟)如图，正方形ABCD中，AE=DF,AF与BE相交于点H,点0为BD中点，连结OH,若DG=OG,则的值为()【分析】先根据题意得到三角形全等，再根据全等三角形的性质得到线段相等，作辅助线构造直角三角形，设DF=k,然后根据勾股定理表示出OH、BH的长度即可解答.∵点0为BD中点，DG=OG,在Rt△AHB中，根据勾股定理过点0作OP⊥AB于点P,过H作HN⊥AB于点N,过0作OM⊥NH交NH的延长线于点M,如图：则四边形OMNP为矩形，根据勾股定理可得【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，关键是作辅助线，用参数表示出OH、BH的长度.5.(2023·双峰县三模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,AB的中点，连接AE,DF交于点0,将△ABE沿AE翻折，得到△AGE,延长EG交AD的延长线于点H,连接CG.有以下结论：②AH=EH;③CG//AE;其中正确的有()【分析】①根据正方形的性质可得AD=AB=BC,∠DAB=∠B=90°,从而可证△DAF≌△ABE,进而可得∠BAE=∠ADF,然后可得∠BAE+∠AFD=90°,即可解答；②根据正方形的性质可得AD//BC,从而可得∠DAC=∠AEB,再利用折叠可得∠AEB=∠AEG,进而可得∠DAE=∠AEG,即可解答；③由折叠得：C,从而可得进而可得∠AEB=∠GCE,即可解答；④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE,然后证明△AOFO△ABE,利用相似三角形的性质，进行计算即可解答.【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∵四边形ABCD是正方形，),GE=BE,∵∠B=90°,AB=4,故④正确；所以，以上结论，正确的有4个，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换(折叠问题),三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.6.(2023·金东区二模)如图，点G是正方形ABCD边AB上的一点，连结CG,过点C作CE⊥CG,交EF于点H,连结GH,以HD和DA为边作矩形ADHI.记△CEH的面积为S₁,△GHF的面积为S₂,矩形ADHI的面积为S₃,若AB=4,S₁+S₂-S₃=3,则CE=√26.【分析】先证四边形GCEF为矩形，再证△ECD和△GBC全等，从而得CE=CG,进而可判定矩整理得x²-6a-11=0,再证△CDE和△CEH相似得x²=4a+16,据此可求出a的值，进而可求得CE的长.∴矩形GCEF为正方形，将x2=4(a+4)代入x²-6a-11=0【点评】此题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的全等及性质，相似三角形的判定和性质，三角形、矩形、正方形的面积，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，难点是设置适当的辅助未知数，利用面积公式和相似三角形的性质找出相关线段之间的关系.7.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F分别是边BC、CD上的一点，且CE=DF,AF、DE相交于点0,BO=BA,则OC的值为进而得∠AOD=90°,再证△BAH≌△ADO得AH=DO,进而得AH=OH=DO,AO=2,再利用三角形的面积公式求出,继而可求出,进而可得OC的长.【解答】解：过点B作BH⊥0A于点H,过0作OG⊥CD于点G,∵四边形ABCD为正方形，由勾股定理得：AF=√AD²+DF²=2√5,由三角形的面积公式得：由勾股定理得：由勾股定理得：故答案为：【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等，相似三角形的对应边成比8.(2023·雁塔区校级三模)如图，在正方形ABCD中，AB=6,E是边BC的中点，F是正DM=DE,连接CN,MN,CM,则线段CN长度的最小值为_3√5-3_.【分析】首先证明△NDM和△FDE全等，从而得出DM=DE,MN=EF=3,过点M作MP⊥CD于点P,再证△DMP和△EDC全等，从而MP=CD=6,DP=CE=3,然后利用勾股定理求出CM,最后根据“两点之间线段最短”得出CN+MN..CM,据此即可求出CN的最小值.【解答】解：∵DN⊥DF,DM⊥DE,即：∠EDN+∠NDM=∠FDE+∠EDN=90°,∵四边形ABCD为正方形，AB=6,则∠MPD=∠DCE=90°,∠DMP+∠CDM=90°,【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是根据“两点之间线段最短”构造不等式CN+MN...CM,从而求出CN的最小值.三.解答题(共3小题)9.(2023·南关区四模)【问题提出】如图①,在正方形ABCD中，点E,F,G分别在边BC,AB,CD上，GF⊥AE.请判断AE与GF的数量关系，并说明理由.【类比探究】如图②,在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连结AE交GF于点0.则GF与AE之间的数量关系为【拓展应用】在(2)的条件下，若,GF=3√5,则CE的长为【类比探究】过F作FM⊥DC,证明△ABE△FMG即可解答；【拓展应用】由可设BE=4x,EF=5x,则AF=5x,BF=3x,由(2)可得从而可得AE,在Rt△ABE中根据勾股定理即可求出BE的长，BC,从而求出CE.【解答】解：【问题提出】AE=GF,理由如下：∴∠ABE=∠FMG=90°,AB=BC=FM,∴△ABE△FGH(ASA),【类比探究】理由如下：【拓展应用】∵由折叠性质可知AF=EF,设BE=4x,EF=5x,则AF=5x,BF=3x,AB=8x,故答案为：2.【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键.10.(2023·遵义模拟)【问题探究】如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF,求证：AE=DF.【知识迁移】如图2,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN,求的值.【拓展应用】如图3,在平行四边形ABCD中，AB=m,BC=n,点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由.【分析】【问题探究】利用ASA证明△ADE≌△DCF,得AE=DF;【知识迁移】过点N作NO⊥AB于点0,利用△ABEO△ONM,得即可得出答案；【拓展应用】作AG//EF,交BC于G,NH//BC,交AB于H,说明△ABG∽△NHM,得,且四边形AEFG、HNCB是平行四边形，进而解决问题.【解答】【问题探究】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴△ADE≥△DCF(ASA),【知识迁移】解：如图，过点N作NO⊥AB于点0,【拓展应用】解：当∠EFC=∠MNC时，作AG//EF,交BC于G,NH//BC,交AB于H,AG//EF,AD//BC,是平行四边形，【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键.11.(2023·嘉鱼县模拟)【问题探究】如图1,正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P,求证AF=BG;【知识迁移】如图2,矩形ABCD中，AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P.求的值；【拓展应用】如图3,在四边形ABCD中，∠ABC=90°,∠BDC=120°,DB=DC,点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P.请直接写出的值.(图1)(图2)(图3)【分析】(1)根据正方形的性质，利用ASA证明△ABF≌△BCG,得AF=BG;(3)过点D作DH⊥BC于点H,交CE于点M,首先说明△CBE∽△DHF,得,再利用△BDC是等腰三角形，得出CH=√3DH,进而解决问题.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，(2)解：作EM⊥DC于点M,作HNIBC于点N,(图2即则∠DHF=∠ABC=90°,【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关一.解答题(共3小题)1.(2023·宁阳县二模)在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD.(1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 AD+AB=AC;(2)如图2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉，(1)中的结论是否成立?请说明理由；(3)如图3,若∠DAB=90°,若AD=3,AB=7,求线段AC的长和四边形ABCD的面积.【分析】(1)先证Rt△DAC≌Rt△BAC得出AD=AB,再求∠DCA的度数，得出,进而求出AD+AB=AC;(2)先画辅助线：以c为顶点，AC为一边作∠ACE=60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E,作出辅助线后证明△ACE为等边三角形，根据四边形内角和为360°和，∠B+∠D=180°求出∠DCB=60°,进而证明△CAD≌△CEB,得出AD=BE,最后得出AD+AB=AC;(3)先证△ACE为等腰直角三角形，再证明△ADC≌△E求四边形ABCD的面积可以转化为求△ACE的面积.【解答】解：(1)∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,∵对角线AC平分∠BAD,由(1)可得：∠CAB=60°,∵∠D+∠ABC=180°,∠∵∠ABC+∠D+∠DAC+∠DCB=360°,∵对角线AC平分∠BAD,∠BAD=90°,AC²+CE²=AE²,角形的知识，有一定的难度.2.(2023·雨花区校级二模)在00中，弦CD平分圆周角∠ACB,连接AB,过点D作DE//AB交CB的延长线于点E.(1)求证：DE是00的切线；(2)若,且B是CE的中点，o0的直径是√10,求D(3)P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP,过点D作DH⊥BP于点H,请探究点P在运动的过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值.【分析】(1)利用垂径定理即可证得结论；(2)构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；(3)利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解.【解答】证明：(1)如图1,连接OD交AB于点F,连接OA,OB,AD,解：(2)如图2,连接OC,OD,OE,过点0作OF⊥BC于点F,设CF=x,OF=3x,解得：∵B是CE的中点，(3)解法一：如图3,延长BP至Q使得PQ=AP,连接AQ,oC,连接OB,BD,连接OD交AB于点K,连接HK,∵A,P,B,c四点共圆，∵DE是00的切线，∴K是AB的中点，∴B,K,H,D四点共圆，解法二：如图4,在BP上截取BM=AP,连接DM,BD,DP,AD,∵弦CD平分圆周角∠ACB,∴HP=HM,∴BP=BM+PM=BM+2HM,∵BH=BM+HM,解法三：如图：连接DA,DB,DP,CD,将△APD沿PD翻折得到△A'PD,图3【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题.3.(2023·肥城市校级模拟)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.(1)如图1,点A,B,c在00上，∠ABC的求证：四边形ABCD是等补四边形；(2)如图2,在等补四边形ABCD中，AB=AD,连接AC,AC是否平分∠BCD?请说明理由.(3)如图3,在等补四边形ABCD中，AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F,CD=10,AF=5,求DF的长.图1图2图3【分析】(1)由圆内接四边形对角互补可知∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°,再证AD=CD,即可根据等补四边形的定义得出结论；(2)过点A分别作AE⊥BC于点E,AF垂直CD的延长线于点F,证△ABE≌△ADF,得到AE=AF,根据角平分线的判定可得出结论；(3)连接AC,先证∠EAD=∠BCD,推出∠FCA=∠FAD,再证△ACF∽△DAF,利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长.【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，如图2,过点A分别作AE⊥BC于点E,AF垂直CD的延长线于点F,∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD;(3)如图3,连接AC,由(2)知，AC平分∠BCD,即【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用一.多边形内角与外角(共2小题)1.(2023·济宁)一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是五边形.【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可.【解答】解：设此多边形的边数为n,解得：n=5,即此多边形为五边形，故答案为：五.【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.2.(2023·扬州)如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数为【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数.∴这个多边形的边数是6.故答案为：6.【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键.二.平面镶嵌(密铺)(共1小题)3.(2023·淮安)如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正【分析】以BH,HG,GD为边，作正六边形BHGDFE,,连接BD,DE,AD,由正六边形性质可得C,B,E共线，A,D,E共线；而∠BDE=∠EDG-∠BDG=90°-60°=30°,BD=2BE=2m=BC,故DE=√3BE=√3m=AD,CE=BC+BE=3m,从而【解答】解：以BH,HG,GD为边，作正六边形BHGDFE,,连接BD,DE,AD,如图：由正六边形性质可得∠KDG=120°=∠AKD,AK=DK,设正六边形的边长为m,则BD=2BE=2m=BC,故答案为：【点评】本题考查平面镶嵌问题，解题的关键是掌握正六边形的性质和锐角三角函数的定义.三.平行四边形的性质(共2小题)4.(2023·福建)如图，在□ABCD中，0为BD的中点，EF过点0且分别交AB,CD于点E,【分析】由平行线四边形的性质得到CD=AB,CD//AB,因此∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵0为BD的中点，故答案为：10.【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由△DOF≌△BOE推出DF=BE,由平行线的性质得到CD=AB,推出CF=AE.5.(2023·凉山州)如图，在oABCD中，对角线AC与BD相交于点0,∠CAB=∠ACB,过点B(1)求证：AC⊥BD;【分析】(1)证AB=CB,得oABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；(2)由菱形的性质得,AC⊥BD,再由勾股定理得OB=6,然后证△BOE△AOB,得即可得出结论.【解答】(1)证明：∵∠CAB=∠ACB,(2)解：由(1)可知，□ABCD是菱形，3,AC⊥BD,解得：【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键.四.平行四边形的判定(共1小题)6.(2023·邵阳)如图，在四边形ABCD中，AB//CD,若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是()【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.【解答】解：A、由AB//CD,AD=BC,不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB//CD,AB=AD,不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项c不符合题意；又∵AB//CD,∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D.【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.五.平行四边形的判定与性质(共2小题)证：DM=BN.【分析】由平行四边形的性质得AB//CD,AB=CD,再证BM=DN,然后由平行四边形的判定即可得出结论.【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，即BM=DN,【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明BM=DN是解题的关键.8.(2023·杭州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点E,F在对角线BD上，且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.(1)求证：四边形AECF是平行四边形.(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.【分析】(1)由平行四边形的性质得AO=CO,BO=DO,再证OE=OF,即可得出结论；(2)由平行四边形的性质可求解.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，(2)解：∵BE=EF,【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键.六.菱形的性质(共4小题)9.(2023·湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°【分析】根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论.【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键.10.(2023·丽水)如图，在菱形ABCD中，AB=1,∠【分析】连接BD交AC于点0,由菱形的性质得0A=OC,∠BAO=30°,AC⊥BD,再由含30°角的直角三角形的性质得,然后由勾股定理得,即可得出结论.,AC⊥BD,握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.11.(2023·牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶A(1,0),∠DAB=60°,将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB₁C₁D₁,则点C₁的坐标是_(1-√3,3)或(1+√3,-3)_.【分析】根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出AD=AB=BC=CD解答.【解答】解：如图所示：∵菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，AB=2∴点C₁的坐标为(1-√3,3)或(1+√3,-3),故答案为：(1-√3,3)或(1+√3,-3).【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答.12.(2023·浙江)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF.(1)求证：AE=AF;(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.【分析】(1)欲证明AE=AF,只需要证得△ABE≌△ADF即可； (2)根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，又∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴△ABE≥△ADF(AAS).(2)解：∵四边形ABCD是菱形，由(1)知△ABE≌△ADF,∴△AEF是等边三角形.【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.13.(2023·深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()A.1B.2【分析】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD=CD=4时，OECDF为为菱形，此时a=BE=BC-CE=6-4=2.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵将线段AB水平向右平得到线段EF,∴四边形ECDF为平行四边形，【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键.14.(2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于点0.请添加一个条件：_AD//BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等),使四边形ABCD成为菱形.【分析】根据AD//BC或AB=CD或或ADB=∠CBD,证得四边形ABCD是平行四边形，再根据DO=BO,可证得四边形ABCD是菱形.【解答】解：当添加“AD//BC”时，∴四边形ABCD是菱形.故答案为：AD//BC(或AB=CD或OB=OD或ADB=∠CBD等).【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定，利用数形结合的思想解答.15.(2023·湘西州)如图，四边形ABCD是平行四边形，BM//DN,且分别交对角线AC于(1)求证：∠DMN=∠BNM;(2)若∠BAC=∠DAC.求证：四边形BMDN是菱形.【分析】(1)连接BD,交AC于点0,证明△BOM≌△DON,推出四边形BMDN为平行四边形，得到BN//DM,即可得证；(2)先证明四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD,进而得到MN⊥BD,即可得证.【解答】证明：(1)连接BD,交AC于点0,如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴△BOM≥△DON(ASA),∴四边形BMDN为平行四边形，(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形BMDN是菱形.【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质.熟练掌握相关知识点，是解题的关键.八.菱形的判定与性质(共1小题)16.(2023·云南)如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE=AF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°,△ABE的面积等于4√3,求平行线AB与DC间的距离.【分析】(1)根据平行四边形对角相等得到∠BAD=∠BCD,再根据AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，可得到∠DAE=∠BCF,再根据平行四边形对边平行得到∠DAE=∠AEB,于是有∠BCF=∠AEB,得出AE//FC,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形AECF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；(2)连接AC,根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得AB=EB,结合已知∠ABC=60°得到△ABE是等边三角形，从而求出AB=AE=EB=EC=4,∠BAE=60°,再证得∠EAC=30°,即可得到∠BAC=90°,根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，(2)解：连接AC,即AB=AE=EB=4,即平行线AB与DC间的距离是4√3.【点评】本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定.九.矩形的性质(共6小题)17.(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少()【分析】连接AP、EF,依据PE⊥AB,PF⊥AD,∠A=90°,可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解.【解答】解：如图，连接AP、EF,∴四边形AEPF为矩形.∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值.∵点P从B点沿着BD往D点移动，下面求此时AP的值，故本题选B.【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用.18.(2023·台州)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为_2√5.【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB=∠FBC,结合已知BE=BC,利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC=AB=4,再根据矩形的性质得到BC=AD=6,从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，在RtAFCB中，由勾股定理得BF=√BC²-FC²=√6²-4²=2√5,故答案为：2√5.【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角.19.(2023·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,CD//OE,直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD,AD于点F,G,连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得FD=FO,ED=OE,CD=CO,再证△FDC和△FOE全等得CD=OE,据此可得ED=OE=CD=CO,进而可判定四边形OCDE的形状；(2)先证△ODC为等边三角形得DO=CD=4,∠ODC=60°,进而DF=2,据此再分别求出CF,GF,进而可得EG的长.【解答】解：(1)四边形OCDE是菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴△FDC△FOE(ASA),又ED=OE,CD=CO,(2)∵四边形ABCD为矩形，∵CE是线段OD的垂直平分线，由(1)可知：四边形OCDE是菱形，【点评】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答此题关键是理解菱形的判定，等边三角形的性质，数量利用勾股定理锐角三角函数进行计算.20.(2023