2023年黑龙江省绥化市中考数学一模试卷附答案解析

2023年黑龙江省绥化市中考数学一模试卷

一、单项选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）±2是4的（）

A.平方根B.相反数C.绝对值D.倒数

2.（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.（"〃）2=〃2+■B.（2加2）2=2〃2.

C.72^+32=2+3D.V-a3=-aV=a

4.（3分）如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等

于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是Si,S2,S3,则

Si,S2,S3的大小关系是（）

A.5I>52>53B.S3>S2>SiC.S2>53>51D.5I>53>52

5.（3分）函数），=当工中，自变量x的取值范围是（）

A.xWOB.-2C.x>0D.x2-2且xWO

6.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.“对顶角相等”的逆命题是真命题

B.平行线的同旁内角的平分线互相垂直

C.和为180°的两个角叫做邻补角

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且。〃力，〃_Lc,贝I」a〃c

7.（3分）将等腰直角三角形AO8按如图所示放置，然后绕点。逆时针旋转90°至4A'

OB'的位置，点6的横坐标为2,则点4'的坐标为（）

A.（1,I）B.（VLV2）C.（-I,1）D.（一企，V2）

8.（3分）某企业1〜5月份利润的变化情况图，以下说法中与图中反映的信息相符的是（）

A.1〜2月份利润的增长快于2〜3月份利润的增长

B.1〜5月份利润的众数是13（）万元

C.1〜4月份利润的极差与1〜5月份利润的极差不同

D.1〜5月份利润的中位数为120万元

9.（3分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900口和1500依，已知第一块试验田每

亩收获蔬菜比第二块少300依，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田

每亩收获蔬菜工依，根据题意，可得方程（）

90015009001500

A.---------=--------B.-----=----------

x+300xxx-300

C吧=2^D^C^=1500

XX+300X-300X

10.（3分）若正比例函数y=〃比y随x的增大而减小，则它和二次函数y=〃储+〃?

的图象大致是（）

货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离

开隧道的时间X与货车在隧道内的长度），之间的关系用图象描述大致是（）

12.（3分）如图，正方形A8CO中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交A”于点、M,

M下列结论：®AFLBG；®BN=^NF；卷法=.④S四边形CGNRS四边形ANGO=I8：

31.其中结论正确的个数有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共30分）

13.（3分）某超市有A,B,。三种型号的甲种品牌饮水机和D,E两种型号的乙种品牌饮

水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购种型号的饮水机安装到教室.如

果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号饮水机被选中的概率

是.

14.（3分）分解因式：8（«2+1）-16«=.

15.（3分）若不等式组［l+%>a有解，则。的取值范围是.

16.（3分）用一个圆心角为120°,半径为6c/〃的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的

底面圆的半径为.

17.（3分）已知xi,X2是一元二次方程/+2（m+1）户〃?-1=（）的两实数根，且满足（内

-X2）2=16-xix2,实数m的值为.

18.（3分）在平面直角坐标系中，以任意两点P（xi,>1）,Q（X2,”）为端点的线段的中

点坐标为（汨上，洱”）•在直角坐标系中，有人（-1，2）,4（3,1）,C（I,4）H

点，另有一点D与A,8,C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标

为•

19.（3分）如图，正六边形AIBCIDIEIFI的边长为2,正六边形4282c2。2及正2的外接圆

与正六边形A山CiDEQ的各边相切，正六边形A333c3D3E3F3的外接圆与正六边形

A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，AIO«IOCIOZ9IO£IOFIO的边长

为.

2（）.（3分）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团2（）人准备同时

租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有种.

21.（3分）如图，点石、兄G、〃分别为菱形4加。5各边的中点，连接4尸、BiG、CiH、

。归得四边形八282c2D2,以此类推得四边形A3B3c3）…，若菱形的面积为S,

则四边形AtiBnCnDn的皿积为.

BC上（含端点），且AB=6cm,BC=10cw.则折痕"的最大，宣是

cm.

23.（7分）如图，中，ZACB=90°.

（1）用直尺和圆规在线段AC上找一点及，使点。到BC和AB的距离相等;

（2）在（1）的条件下，若8c=3,AC=4,求点。到48的距离.

24.（8分）某过街天桥的设计图是梯形ABC。（如图所示），桥面OC与地面4B平行，DC

=62米，48=88米.左斜面A。与地面A8的夹角为23°,右斜面3c与地面4B的夹

角为30°,立柱OE_L48于E,立柱C/LAB于F,求桥面DC与地面48之间的距离（精

25.（9分）如图，直线L：）=-x+3与两坐标轴分别相交于点A、B.

（1）当反比例函数y=§（〃?>（）,x>0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点

时，求加的取值范围.

（2）若反比例函数y=?（机>0,x>0）在第一象限内与直线L相交于点C、D,当。。=

2注时，求m的值.

（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式-X+3V?的解集.

26.（9分）已知正方形48CZ）,尸为射线48上的一点，以BP为边作正方形BPEF,使点尸

在线段C8的延长线上，连接£4,EC.

（1）如图1,若点尸在线段A8的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图2,若点。在线段44的中点，连接AC,判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图3,若点P在线段相上，连接AC,当“平分/AEC时，设"=小BP=b,

求a：力及/4EC的度数.

27.（10分）如图，。0的半径为1,点P是。0上一点，弦AB垂直平分线段OP,点。

是我上任一点（与端点A、8不重合），DE工AB于氨E,以点。为圆心、长为半径

作。。，分别过点A、B作。。的切线，两条切线相交于点C

（1）求弦A8的长；

（2）判断NAC3是否为定值？若是，求出NAC3的大小；否则，请说明理由；

（3）记△AAC的面积为S,T=4V3,求△人BC的周长.

28.（11分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-.X+6与工轴、y轴的交

点分别为4、B,将N08A对折，使点。的对应点，落在直线AB上，折痕交x轴于点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求过4、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为。，在直线8C上是否存在点P,使得四边形OD4P为平行四边

形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由：

（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段8r上一点，直接写出-QO\

的取值范围.

2023年黑龙江省绥化市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）±2是4的（）

A.平方根B.相反数C.绝对值D.倒数

【解答】解：±2是4的平方根.

故选：A.

2.（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（

【解答】解：YA中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形,

，选项A不正确；

•・•/，中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形,

・•・选项B正确；

•••c中的图形既是轴对称图形,也是中心对称图形,

・•・选项C不正确；

•・・。中的图形既是轴对称图形,也是中心时称图形,

，选项。不正确.

故选：B.

3.（3分）下列运算正确的是（)

A.（a+b）2=a2+b2B.⑵晶)2=2("

C.V2z+3z=2+3D.7—0=—ay/^a

【解答】解：4.（。+8）2=/+2出计〃2,故该选项不正确，不符合题意;

B.（2ab2）2=4〃2/A故该选项不正确，不符合题意；

C.V22+32=V13,故该选项不正确，不符合题意；

D.V-a3=-ayf^a,故该选项正确，符合题意.

故选：£>.

4.（3分）如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等

于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是Si,S2,S3,则

Si,S2,S3的大小关系是（）

防晶

A.Si>S2>S3B.S3>S2>SiC.S2>S3>S\D.S\>S^>S2

【解答】解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图

是一个正方形的面积，故

Sl>S3>S2,

故选：

5.（3分）函数）=号中，自变量x的取值范围是（）

A.xWOB.・2C.x>0D.%2-2且%。0

【解答】解：根据题意得:产肾之°，

解得：・2且xWO.

故选：D.

6.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.“对顶角相等”的逆命题是真命题

B.平行线的同旁内角的平分线互相垂直

C.和为180°的两个角叫做邻补角

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且。〃力，〃_Lc,则。〃c

【解答】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，不

符合题意；

以平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，为真命题，符合题意；

C、和为180°的两个角互补，但不一定是邻补角，故错误，是假命题，不符合题意；

D、在同一平面内，a,b,c是直线，且。〃b,b_Lc,则a_Lc,故原命题错误，是假命

题，不符合题意.

故选：B.

7.（3分）将等腰直角三角形4。8按如图所示放置，然后绕点。逆时针旋转90°.至XN

OB'的位置，点8的横坐标为2,则点A'的坐标为（）

A.（1,1）B.（V2,V2）C.（-I,1）D.（-V2,V2）

【解答】解：如图，过点A作AC_LO8于C,过点/V作A'C_LO8'于C',

是等腰直角三角形，点B的横坐标为2,

・・・OC=AC=；x2=l,

V△A,OB'是△AO3绕点。逆时针旋转90。得到，

：.OC'=OC=1,4'C'=4C=1,

，点”的坐标为（7,1）.

8.（3分）某企业1〜5月份利润的变化情况图，以下说法中与图中反映的信息相符的是（）

A.1〜2月份利润的增长快于2〜3月份利润的增长

B.I〜5月份利润的众数是130万元

CI〜4月份利润的极差与1〜5月份利润的极差不同

D.1〜5月份利润的中位数为120万元

【解答】解：4、根据折线图1〜2月以及2〜3月的倾斜程度可以得出:

2〜3月份利润的增长快于1〜2月份利润的增长;

故本选项错误;

B、由图可知130出现次数最多，所以130万元是众数,

故本选项正确;

C、I〜4月份利润的极差为：130-100=30,I〜5月份利润的极差为：130-100=30；

故本选项错误;

。、1〜5月份利润的中位数是：从小到大排列后115万元位于最中间,

所以1〜5月份利润的中位数为120万元,

故本选项错误.

故选：B.

9.（3分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900依和1500打，一知第一块试验田每

亩收获蔬菜比第二块少300依，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田

每亩收获蔬菜x依，根据题意，可得方程（）

90015009001500

A.----------=---------B.-----=

•x+300xxx-300

90015009C01500

C.-----=-----------D.----------=---------

•xx+300x-300x

9001500

【解答】解：第一块试验田的亩数为:刀第二块试验田的亩数为：—

9001500

那么所列方程为：丁=,

故选：C.

10.（3分）若正比例函数尸心（,y随x的增大而减小，则它和二次函数y=nix2+m

的图象大致是（)

【解答】解：•・•正比例函数尸3（加WO）,y随x的增大而减小,

・••该正比例函数图象经过第二、四象限，且机V0.

，二次函数），=〃吠2+〃?的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴.

综上所述，符合题意的只有A选项.

故选：A.

11.（3分）如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离

开隧道的时间x与货车在隧道内的长度），之间的关系用图象描述大致是（）

隧道

A.

C.

【解答】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度），之间的关系

具体可描述为:

当货车开始进入时），逐渐变大，货车完全进入后一段时间内），不变，当货车开始出来时y

逐渐变小,

••・反映到图象上应选4.

故选：A.

12.（3分）如图，正方形八8C。中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交4尸于点M,

N.下列结论：①AF_LBG；@BN=^NFi电茄=示④§四边形CGNF：5四边形人NGO=18：

31.其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解:①•：BE=EF=FC,CG=2GD,

：.BF=CG,

在正方形ABC。中：AB=BC=CD,

ZABC=ZC=90°,

:.△ABFW/\BCG(SAS),

:,NBAF=NCBG,

VZ4«C=90°,

・・・NC8G+N48G=9(r,

：.ZBAF+ZABG=90°,

在△48N中，ZABN=90°,

：,AFVBG.

；・①正确

②由①知：NABN=NC=90°,

乂/CBG是公共角，

:.△BNFs^BCG,

BNBC3

：.BN=^NF,

・••②错误.

③作G，〃BC交AB于〃，交AE于K,

DGC

M

AHB

XAHKsXNBE,△BNFS^GNK,

HKAHBMBE

BE~AB'MG~GK

8E=1,AH=DG=\,人8=3,

HK1

"=一,

13

HK=g,

18

--

GK=GH-HK=BC-3-3

BMBE13

MGGK8

3

BM=*MG,

o

③正确.

④由①知：△ABFWABCG,

S“BF—SgBCG,

SAABN+S&BNF=S四边形CGNF+SABNF,

SAABN=S四边影CGN尸，

由②知：ARNFsABCG,

SpNFBF?

=(----),

S&BCG

在RtABCG中，BG=y/BC2+CG2=V32+22=V13,

11

△BCG=胡c・CG=WX3x2=3.

SdBNF4

313

S&BNF=■，

12_27

S四边形CGNF=S△BCG-SdBNF=3-13=13,

S双边版ANCD=S正方踞-S^ARF-SmaiK.CGNF

_227_51

=n9-3-13=13,

S四边形CGNtS四边形ANGD=27：51.

・•・④不正确.

・•・结论正确的个数有2个.

故选：B.

二、填空题(每小题3分，共30分)

13.(3分)某超市有A,B,C三种型号的甲种品牌饮水机和。，石两种型号的乙种品牌饮

水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室.如

果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号饮水机被选中的概率是•

一3一

【解答】解：所有的选购方案："。)、(AE).(BD)、(BE)、(CD).(CE)；

P(4型号饮水机被选中)=1=1：

oO

故答案为：

14.(3分)分解因式：8(«2+1)・16〃=8(a・1)2.

【解答】解：8(J+1)・16。

=8(cr+\-2。)

=8(4-1)2.

故答案为：8(〃-1)2.

15.(3分)若不等式组［l+x>Q有解，则。的取值范围是.

(2%-4<0

【解答】［1+x>a®,

由①得，1;

由②得，xW2,

•・•此不等式组有解,

：.a-1<2,

解得。<3.

故答案为〃V3.

16.(3分)用一个圆心角为120°,半径为6c7〃的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的

底面圆的半径为2cm.

【解答】解：扇形的弧长=*翳=4n(cm),

loU

故圆锥的底面半径为4ir+2n=2(cm).

故答案为：2cM.

17.(3分)已知内，X2是一元二次方程/+2(川+1〉户〃?-1=()的两实数根，且满足(川

-X2)2=16-X\X2,实数/〃的值为1.

【解答】解：

•・・xi,X2是一元二次方程/+2(〃?+1)%+〃』-1=0的两实数根，

.*.xi+x2=-2(m+1),x\X2=m-I,

■:(XI-X2)2=16-X|X2»

:.(xi+A2)2=16+3XIA2,即4(“2+1)2=16+3(〃P-]),解得/〃=i或/〃=-9,

•・,一元二次方程7+2(w+1)x+〃?2-1=()的有两实数根，

•••△20,即4(〃?+1)2-4(62-1)20,解得故机=-9小合题意，舍去，

Am=1，

故答案为：1.

18.(3分)在平面直角坐标系中，以任意两点P(川，)1),Q(垃，”)为端点的线段的中

点坐标为(红台，吗及).在直角坐标系中，有4(-1,2),B(3,1),C(I,4)三

点，另有一点。与A,B,C构成平行四边形的顶点，则点/的坐标为(1,-1)或

(5,3)或(-3,5).

【解答】解：如图，分三种情况：

①当AB为对角线，AD//BC,AC〃B。时，

VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),

・••把3向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得。点坐标为(1,-1),

②当BC为对角线，AB//CD,,AC〃创7时，

VA（-1,2）,B（3,1）,C（1,4）,D（1,-1）,

，由线段中点坐标公式得：。'的坐标为（5,3）；

③当AC为对角线，AB//CD\AQ"〃8c时，

••・由线段中点坐标公式得。”的坐标为（・3,5）；

综上所述，符合要求的点。的坐标为（1,-1）或（5,3）或（-3,5）,

故答案为：（1,-I）或（5,3）或（-3,5）.

19.（3分）如图，正六边形Ai8iCiQiEiQ的边长为2,正六边形A262c2。2瓦放的外接圆

与正六边形A\B\C\D\E\F\的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形

A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，AIOBIOCIOOIOEIORO的边长为

816

AA2

•・•六边形A/ICIQIEIQ为正六边形，

.*.Z£iODi=60°，

・•・△臼0。为等边三角形，

•・•正六边形4282c2。2反尸2的外接圆与正六边形A由ClDlElFl的各边相切,

：.OD1VE\D\,

•••0£>2=亨£0=枭2,

:.正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=苧x2,

同理可得正六边形4383c3。3&尸3的边长=（―）2X2,

2

9

则正六边形AIOAIOCIOOIOEIORO的边长=（―）X2=51^.

228

故答案为：臂.

20.（3分）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时

租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有2种.

【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：

（2x+3y4-4z=20

[x+y+z=7

解得：y+2z=6.

y=6-2z,

Vx,y,z是正整数，

当z=l时，y=4,x=2；

当z=2时，y=2,x=3；

当z=3时，），=0,x=4；（不符合题意，舍去）

...租房方案有2利L

故答案为：2.

21.（3分）如图，点E、F、G、〃分别为菱形48601各边的中点，连接AiRBiG.CiH、

得四边形A232c2D2,以此类推得四边形43/33C36…，若菱形4加。。|的面积为S,

【解答】解：为4出1的中点，户为CIQI的中点,

CiF=DiF,

乂为菱形，：,A\B\=C\D\,

：.A\H=C\F,又4H//C1F,

・•・四边形AiHCiF为平行四边形,

:.S四边形A1〃C1F=2s△〃创Cl=2szi4]”,

又s四成形Al〃ci〃+S△〃阴Cl+S44IO1F=S变形AI3ICIO1=S，

...S四边形AI〃CI”=2s

又GDl=SiE,GD\//B\E,

•••GBiEDi为平行四边形，

:・GBi〃EDi,又G为的中点,

・"2为的中点，

同理C2为C/2的中点，应为的中点，。2为。1。2的中点，

：.HB2=%认2,D2F=QC2,

又AxAiBiH和C\C1D1F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为/?）,

下底与平行四边形A282c2。2的边人2。2与X相等（设人2"=工），

；・S标形A1A282〃=S榜%。C2Q2P=J（x+；x）ll=^xll,S平行四边形4282C2O2=x/?，

口口S梯形41A232”:S梯形C1C2D2F：S平行四边形4282C2O2=3:3:4,

又S梯形414282〃+S祐形C1C2O2/+S平行四边形A282c2O2=S四边形Al〃Cl”，

...S平行四边形A282c2Q2=四边形川〃Cl/=g>'，

]

同理S四边形A333c303=（-）2s,

o

iS

以此类推得四边形A〃8〃GQ〃的面积为（=）〃）S或二三.

55八一,

22.（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD,使点8落在边人。上，折痕E”的两端分别在AB、

10同

8C上（含端点），且43=6a〃，BC=IOC/H,则折痕EF的最大值是cm.

3

【解答】解：如图，点尸与点C重合时，折痕石尸最大,

由翻折的性质得,BC=B,C=\Ocm,

在RtAfi'OC中，B'D=y/B'^-CD2=V102-62=8cm,

：.AB'=AD-B'O=10-8=2c〃?，

设BE=x,则"E=BE=x,

AE=AB-BE=6-x,

在RtZ\AB'E中，AEr+AB'2=B'/，

即（6-x）2+l2=x1,

解得k?

在R5所中，EF=\/BC2+BE2=J102+（学）2="抖”

当£与A重合时，£产的最大值为6&,

6aV耍

，石厂的最大值为二

23.（7分）如图，n△48C中，NACB=90°.

（1）用直尺和圆规在线段AC上找一点。，使点。到8c和A8的距离相等;

（2）在（1）的条件下，若BC=3,AC=4,求点D到AB的距离.

A

【解答】解：（1）如佟所示，即为所求.

（2）|±IBC1^AC1=ABL,得32+42=25.

：,AB=5.

如图，过点。作DE_LAB于点E

设DE=DC=x.

111

x3x4=-x5x+-x3x.

222

解得：x=1.5.

/.DE=1.5,即点。到48的距离等于1.5.

24.（8分）某过街天桥的设计图是梯形（如图所示），桥面OC与地面44平行，DC

=62米，A8=88米.左斜面A。与地面A8的夹角为23°,右斜面AC与地面48的夹

角为30°,立柱DELAB于E,立柱。尸于F,求桥面QC与地面之间的距离（精

确到0.1米）

【解答】解：设桥面0c与地面AB之间的距离为x米，即。E=C/=x,

贝普£=看‘8/=春,

AE+BF=AB-DC,

xx

:.----------+------------=88-62,

tan23t>tan30°

解得：产6.4,

答：桥面QC与地面AB之间的距离约为6.4米.

25.（9分）如图，直线L：），=・x+3与两坐标轴分别相交于点A、B.

（1）当反比例函数y=£x>0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点

时，求加的取值范围.

（2）若反比例函数（加>0,x>0）在第一象限内与直线L相交于点C、D,当

2企时，求，〃的值.

（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式”计3〈1的解集.

【解答】解：（1）当反比例函数y=£（m>0,x>0）的图象在第一象限内与直线L至

少有一个交点，得

-x+3=?,整理得：»・3x+m=0,

△=（-3）2-4/0,

解得m<?

Q

・•・〃?的取值范围为：0<〃理/

（2）•••/-3x+m=0,

设该方程的两根是用、.⑵

/.XI+X2-3,X1-A2—/n.

■:CD=J（%1-必）2+（%-丫2）2=2V2,

；・J2Kxi+%2）2-4/孙]=2\[2,

即2（9-4m）=8,

解得小=条

（3）当m='时,x2-3x+m=0,

解得xi=J，X2=

由反比例函数图象在直线上方的区域得OVxV义或

26.（9分）已知正方形ABC。，P为射线上的一点，以8P为边作正方形4P£R使点厂

在线段C8的延长线上，连接£4,EC.

（1）如图I,若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图2,若点P在线段A3的中点，连接4C,判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图3,若点P在线段48上，连接AC,当EP平分NAEC时，设A8=a,BP=b,

求外。及NAEC的度数.

【解答】证明：（1）•・•四边形A4co和四边形4P"是正方形,

：.AB=BC,BP=BF,

：,AP=CF,

在△/1尸七和△CFE中,

AP=CF

Z.P=",

PE=EF

・•・XAPE马ACFE,

:・EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是:

如图2,•・•尸为A8的中点,

：,PA=PB,

，：PB=PE,

\PA=PE,

%E=45°,

又・・・N8AC=45°,

：.ZCAE=90°,即△ACE是直角三角形；

(3)解法一：如图3,设CE交A8于G,

,・"平分N4£C,EPLAG,

：.AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b~a,

9：PE//CF,

PEPGba-b

/.—=—,即-=-----,

BCGBQ2b-Cl

解得：a=>j2b,

.*.tz：b=V2：1,

作GHA.AC于H,

•・・NCA8=45U,

：.HG=^AG=^(2戏b-2b)=(2-V2)b,

又•：BG=2b・a=(2-V2)b,

:.GH=GB,GHYAC,GB工BC,

:,NHCG=NBCG,

,?PE//CF,

:・/PEG=/BCG,

/.ZAEC=ZACB=45°.

解法二：如图4,连接8E,

易得a=&J),

.*.67：h=A/2：1,

YBE=\[2BF=V2/?,

.**BE=a=BC,

:・/BCE=/BEC,

,:/FBE=/BCE+/BEC=45°,

:./BCE=225°,

：・NAEC=2NPEC=2/BCE=45°.

图3

27.（10分）如图，的半径为1,点。是上一点，弦A4垂直平分线段OP,点、D

是祝上任一点（与端点A、B不重合），DELAB于点E,以点D为圆心、DE长为半径

作OQ，分别过点4、8作。。的切线，两条切线相交于点C.

（1）求弦A8的长；

（2）判断NAC8是否为定值？若是，求出NAC8的大小；否则，请说明理由；

5_

（3）记△A3C的面积为S,=4V3,求△A8C的周长.

DE2

【解答】解：（1）连接04,取0。与A4的交点为P,则有04=1.

•・•弦人8垂直平分线段0P,

:.OF=^OP=LAF=BF,

在RlZSOA厂中，

•：AF=y/OA2-OF2=/12-（1）2=^,

：,AB=2AF=y/3.

(2)/ACB是定值.

理由：连接4。、BD,

由⑴,0F=|,"=冬

Af「

/.lanZA0P=-Qp=V3,

••・/4OP=60°,

/.ZAOB=\20°,

•••点。为△ABC的内心，

：,ZCAB=2ZDAE,ZCBA=2ZDBA,

ZDAE+ZDBA=^A0D+^ZDOB=|zA0B=6Q°,

乙乙乙

：,ZCAB+ZCBA=\20a,

••・NACB=60°.

(3)记△ABC的周长为/,取AC,与。。的切点分别为G,H,连接O/).