全国高中数学联赛试题及解析苏教版21

二○○一年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不确定【答】（ C ）【解】 方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．2．命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有 （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答】（ B ）【解】 只有命题1对．3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|【答】（ D ）【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件．4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=（B）0<k≤12（C）k≥12 （D）0<k≤12或k=【答】（ D ） 【解】 根据题设，△ABC共有两类如图．易得k=或0<k≤12．本题也可用特殊值法，排除（A）、（B）、（C）．5．若的展开式为，则的值为（A）（B）（C）（D）【答】（ C ）【解】 令x=1可得=；令x=可得0=；（其中，则=1且++1=0）令x=可得0=．以上三式相加可得=3（）．所以=．6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同 （D）不确定【答】（ A ）【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝．则6x+3y>24,4x+5yx+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.所以2x-3y==0，即2x>3y．也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．椭圆的短轴长等于．【解】故．从而．8．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1-2z2=，则z1·z2=．【解】 由3z1-2z2==可得．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1【解】 作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=．10.不等式的解集为．【解】等价于或．即或．此时或或．∴解为x>4或0<x<1或1<x<．即解集为．11．函数的值域为．【解】 ．两边平方得，从而且．由或．任取，令，易知，于是且．任取，同样令，易知，于是且．因此，所求函数的值域为．12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有732种栽种方案．【解】 考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法．考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法．故总计有108+432+192=732种方法．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1<a2），又．试求{an}的首项与公差．【解】 设所求公差为d，∵a1<a2，∴d>0．由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化简得2a12+4a1d+d2=0解得d=()a1.………………5分而<0，故a1<0．若d=()a1，则；若d=()a1，则；…………10分但存在，故|q|<1．于是不可能．从而．所以a1=，d=()a1=()()=．……20分14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．⑴求实数m的取值范围（用a表示）；⑵O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．⑴ 【解】由消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0．①设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题⑴转化为方程①在x∈(-a，a)上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1Δ=0得m=．此时xp=-a2，当且仅当-a<-a2<a，即0<a<1时适合；2f(a)·f(-a)<0当且仅当–a<m<3f(-a)=0得m=a．此时xp=a-2a2，当且仅当-a<a-2a2<a，即0<a<1时适合．f(a)=0得m=-a，此时xp=-a-2a2，由于-a-2a2<-a，从而m≠-a．综上可知，当0<a<1时，m=或-a<m≤a；当a≥1时，-a<m<a.……………………10分⑵ 【解】ΔOAP的面积S=ayp．∵0<a<，故-a<m≤a时，，由唯一性得xp=．显然当m=a时，xp取值最小．由于xp>0，从而取值最大，此时yp=2，∴S=a．当m=时，xp=-a2，yp=，此时S=a．下面比较a与a的大小：令a=a，得a=.故当0<a≤时,．此时Smax=．当<a<时，．此时Smax=a．……………20分15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．【解】设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…………5分证明如下1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1>R2．R1R3R22R1R3R2．R3R4R1R2显然R1+R2越大，RABR3R4R1R23°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：．若记，．则S1、S2为定值．于是．只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4<R3，R3<R2，R3<R1，即得总电阻的阻值最小．……………………15分4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6<R5；且由1°，应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5<R4，且应使RCD最小．E而由3°，要使RCD最小，应使R4<R3<R2且R4<R3<R1．EG这就说明，要证结论成立………20分G图3图3R1AR2R4R6R3R5BCDFGE

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次．一．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH⊥MN．【证明】（1）∵A，C，D，F四点共圆，∴∠BDF=∠BAC．又∵∠OBC=(180°-∠BOC)=90°-∠BAC，∴OB⊥DF．同理OC⊥DE．………10分（2）∵CF⊥MA，∴MC2-MH2=AC2-AH2．……①∵BE⊥NA，∴NB2-NH2=AB2-AH2．……②∵DA⊥BC，∴BD2-CD2=BA2-AC2．……③∵OB⊥DF，∴BN2-BD2=ON2-OD2．……④∵OC⊥DE，∴CM2-CD2=OM2-OD2．……⑤………………30分①-②+③+④-⑤，得NH2-MH2=ON2-OM2．MO2-MH2=NO2-NH2．所以OH⊥MN．…………50分二．设（i=1，2，…，n），且，求的最大值与最小值．【解】先求最小值，因为≥1，等号成立当且仅当存在i使得xi=1，xj=0，j≠i．∴的最小值为1．………………10分 再求最大值，令，∴．…………①设M==．令则①．………30分令an+1=0，则M==．由柯西不等式得M．等号成立．（k=1，2，…，n）由于，从而，即．所求最大值为．……………50分三．将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．【解】记所求最小值为f（m，n），可以证明f（m，n）=m+n-(m，n)．(*)其中(m，n)表示m和n的最大公约数．………………10分 事实上，不妨设m≥n．(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为m+n-(m，n)． 当m=1时,命题显然成立． 假设当m≤k时，结论成立（k≥1）．当m=k+1时，若n=k+1，则命题显然成立．若n<k+1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D（如图），由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m-n+n-(m-n，n)=m-(m，n).于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为m+n-(m，n)．…………20分(2)关于m归纳可以证明(*)成立．当m=1时,由于n=1，显然f(m，n)=1=m+n-(m，n)．假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f(m，n)=m+n-(m，n)．若m=k+1，当n=k+1时显然f（m，n）=k+1=m+n-(m，n)．当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为a1，a2，…，ap，不妨设a1≥a2≥…≥ap．显然a1=n或a1<n．若a1<n，则在AD与BC之间的与A