湖北省八校高三数学第一次联考扫描版理

1．某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（C）A．；B．；C．；D．提示：，．2．若，则下列不等式中不一定成立的是（B）A．B．C．D．∣∣>提示：B中，，而时不一定成立．3．已知集合，，则（D）A．B．C．D．提示：，，．4．设，，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（A）A．B．C．∪D．∪提示：由得：，由得：，又是的必要而不充分条件，所以且，．5．已知函数的值域是，则它的定义域可以是（A）A． B． C． D．提示：由函数的值域为可得：，，或，即或．6．已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为（C）A．B． C． D．提示：若，则，由图象知：或，所以或，即；若，同理可得：，故选C．7．函数是（B） A．周期为的偶函数 B．周期为的非奇非偶函数C．周期为的偶函数 D．周期为的非奇非偶函数提示：，定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数又不是偶函数，又函数的周期为，去掉的点的周期为，所以函数的周期为，故选B．8．已知函数，其中，则使得在上有解的概率为（A）A． B． C． D．提示：任取的值有，而由图象可知当，时不满足条件，当，时满足条件，所以概率为．9．设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于两点，其中为坐标原点，则与的大小关系为（C）A．B．C．D．不确定提示：取特殊点，则直线的方程为，又直线的方程为，直线的方程为，解得的坐标为，，易得．（若设任意点也可得此结果）10．平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量．若映射满足对恒成立，则的坐标不可能是（B）A．B．C．D．提示：令，则即，或，故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．505560657075体重505560657075体重提示：由图可知前组的频率为，所以第组的频率为，学生人数为．ABCABCHM提示：三点共线，，且，又，．13．将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为．提示：抛物线按平移后得抛物线的方程为：，所以其焦点坐标为．14．若等差数列的前项和为，且，，，则12．提示：由得：，，又，所以．15．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心；③函数的最小正周期为1；④函数在上是增函数；则其中真命题是__①③．提示：依题意知，画图可知①③正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）已知等比数列中，，分别为的三内角的对边，且．（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式．解：（1）依题意知：，由余弦定理得：，．．．．．．3分而，代入上式得或，又在三角形中，或；．．．．．．6分（2），即且，．．．．．．8分又，所以，或．．．．．．．10分17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知为坐标原点，向量，点是直线上的一点，且点分有向线段的比为．（1）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；（2）若三点共线，求的值．解：依题意知：，设点的坐标为，则：，所以，点的坐标为．．．．．．2分（1），．．．．．．4分由可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为，．．．．．．6分所以，其值域为；．．．．．．8分（2）由三点共线的，．．．．．．10分，．．．．．．．12分18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为．（1）设，求的取值范围；（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程．解：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组ababA(-4,3)BCO，．．．．．．4分（1）令，则直线经过点时取得最小值，经过点时取得最大值，即，又三点的值没有取到，所以；．．．．．．8分（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．．．．．．．12分19．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”．（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得对任意的恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．解：（1）函数的反函数是，而其反函数为,故函数不满足“1和性质”；．．．．．．6分（2）设函数满足“2和性质”，，而，得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立，即函数，，在上递减，．．．．．．9分所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立.，，易得.而知所以.综合以上有当使得对任意的恒成立．．．．．．．13分 20．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．F2TF2TOPyx∴当且仅当取得最小值时取得最小值，而，．．．．．．2分，，从而解得，故离心率的取值范围是；．．．．．．6分（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为，联立方程组得，设，则有，，代入直线方程得，，又，，．．．．．．10分，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，，，，所以．．．．．．．14分21．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为