2023-2024学年北京市东城区中考数学四模试卷含解析

2023-2024学年北京市东城区名校中考数学四模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.估计历的值在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

2.将1、正、J5、遥按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6,5）与（13,6）

表示的两数之积是（）

1第1排

4243第2排

乖1&第3排

非142第4排

461&43第5排

A.76B.6C.6D.G

3.某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别

是（）

学生数（人）5814194

时间（小时）678910

A.14,9B.9,9C.9,8D.8,9

4.若"（工-2尸+|3_y|=（）,则x・y的正确结果是（）

A.—1B.1C.-5D.5

5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF,分别交AD,CD

于点G,H,则下列结论错误的是（）

EAEGEGAG，AB_BC

==D里亚

^E~~EF*G/7-GD•AE-CF•EHAD

6.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接BD,NDBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时

针旋转，记旋转后的BCrE\当线段BE，和线段BU都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若△BFD

为等腰三角形，则线段DG长为（）

7,斤斤的化简结果为（）

A.3B.-3C.±3D.9

8.下列说法：

①二一.0；

②数轴上的点与实数成一一对应关系;

③・2是Ji的平方根；

④任何实数不是有理数就是无理数；

⑤两个无理数的和还是无理数；

⑥无理数都是无限小数，

其中正确的个数有（）

A.2个B.3个C.4个I).5个

9.在平面直角坐标系中，将抛物线），=/+2/+3绕着它与）'轴的交点旋转180。，所得抛物线的解析式是（）.

A.y=-(x+l)2+2B.y=-(jr-l)2+4

C.y=-(J:-1)2+2D.y=-(x+l)2+4

10.计算(-3)-(-6)的结果等于()

A.3B.-3C.9D.18

11.左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图.这个几何体只能是（）

日小

主视图片视图俯视图

A.品吼伊।。・曲

12.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如青，在正方形ABCD中，BC=2,E、F分别为射线BC,CD上两个动点，且满足BE=CF,设AE,BF交于点

G,连接DG,则DG的最小值为

14.当小________时，分式上三的值为零.

2x+3

15.已知矩形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,

则可以画出的不同的等腰三角形的个数为.

16.如图，将边长为迷的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30。后得到正方形AGO,则图中阴影部分面积为

平方单位.

IT

17.分解因式：x2—9=A.

18.计算（5ab3）2的结果等于.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知反比例函数y=三与一次函数y=k2x+b的图象交于A（L8）,B（—4,m）.求跖，k2,b的值;

求△的面积；若（，）（）是反比例函数-的图象上的两点，且〈指出点各位

AOBMx1yf,NX2,yzy=匚xiX2,yWyz,M,N

于哪个象限，并简要说明理由.

20.（6分）如图,△ABC,ACDE均是等腰直角三角形,NACR=NDCE=90。,点E在AB上，求证:△CDAS^ACEB.

3

21.（6分）如图，在AA8C中，BC=l2tanA=-,ZB=30°；求4C和A3的长.

f4

22.（8分）如图，在矩形中，对角线AC,BO相交于点O.

（1）画出AAOA平移后的三角形，其平移后的方向为射线AO的方向，平移的距离为A0的长.

（2）观察平移后的图形，除了矩形外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论.

23.（8分）己知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B,A,与反比例函数的图象

分别交于点C,D,CE_Lx轴于点E,tanNABO=L,OB=4,OE=1.

2

（1）求该反比例函数的解析式；

（1）求三角形CDE的面积.

24.（10分）先化简，再求值：=-1-士，其中x二L

—一■・r/一♦/一

6+1>2①

25.（10分）解不等式组、/

[3x-4W2②

请结合题意填空，完成本题的解答.

（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得;

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

（4）原不等式组的解集为.

0123456）

26.（12分）如图，在口ABCD中，过点A作AE_LBC于点E,AF_LDC于点F,AE=AF.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若/EAF=60。，CF=2,求AF的长.

27.（12分）如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离8c'为0.7米，梯子

顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离/V。为

1.5米，求小巷有多宽.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

V736<V4?<V49，

・・・6<向<7・

即向的值在6和7之间.

故选C.

2、B

【解析】

根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数.第三排3个数，第四排4个数，…第m・l排有(m・D个数,

从第一排到(m-D排共有：1+2+3+4+…+(m-1)个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出

第m排第n个数到底是哪个数后再计算.

【详解】

第一排1个数，第二排2个数.第三排3个数，第四排4个数，

…第排有(m-1)个数，从第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+...+(m-1)个数，

根据数的排列方法，每四个数一个轮回，

由此可知：(1,5)表示第1排从左向右第5个数是",

(13,I)表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1,

第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1,那么第1个就是卡，

则(1,5)与(13,1)表示的两数之积是1.

故选B.

3、C

【解析】

解:观察、分析表格中的数据可得：

•・,课外阅读时间为1小时的人数最多为11人，

・•・众数为1.

・・•将这组数据按照从小到大的顺序排列，第25个和第26个数据的均为2,

，中位数为2.

故选C.

【点睛】

本题考查(1)众数是一组数据中出现次数最多的数；(2)中位数的确定要分两种情况：①当数据组中数据的总个数为

奇数时，把所有数据按从小到大的收序排列，中间的那个数就是中位数；②当数据组中数据的总个数为偶数时，把所

有数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.

4、A

【解析】

由题意，得

x-2=0,l-y=O>

解得x=2,y=l.

x-y=2-l=-l,

故选：A.

5、C

【解析】

试题解析：•・,四边形48CD是平行四边形，

:.AD\BF.BEDC,AD=BC,

.EAEGEGAGHFFCCF

"BE~~EF''GH~~DG'~EH~~BC~~AD'

故选c.

6、A

【解析】

257

先在RtAABD中利用勾股定理求出BD=5,在RtAABF中利用勾股定理求出BF=?,则AF=4・g=£.再过G作

888

25

GH/7BF,交BD于H,证明GH=GD,BH=GH,设DG=GH=BH=x,贝ijFG=FD・GD=，x,HD=5-x,由GH/7FB,

8

FDBD

得出,即可求解.

GDHD

【详解】

解：在RtAABD中，・.・NA=90。，AB=3,AD=4,

ABD=5,

在RtAABF中，VZA=90°,AB=3,AF=4・DF=4・BF,

/.BF2=3:+(4-BF)2,

25

解得BF=一，

8

.257

..AF=4.

88

过G作GH〃BF,交BD于H,

/.ZFBD=ZGHD,ZBGH=ZFBG,

VFB=FD,

/.ZFBD=ZFDB,

/.ZFDB=ZGHD,

AGH=GD,

VZFBG=ZEBC=-ZDBC=-ZADB=-ZFBD,

222

又・.・NFBG=NBGH,ZFBG=ZGBH,

/.BH=GH,

25

设DG=GH=BH=x,贝！JFG=FD・GD=--x,HD=5-x,

8

VGH/7FB,

25

FDBDan—5

:.---=----，即8=------，

GDHD—5-x

x

解得x=U.

13

故选A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是

解题关键.

7、A

【解析】

试题分析：根据二次根式的计算化简可得：7(-3)2=79=3.故选A.

考点：二次根式的化简

8、C

【解析】

根据平方根，数轴，有理数的分类逐一分析即可.

【详解】

①:\三亍=.；0二、不砺=-♦：是错误的；

②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；

③故-2是、73的平方根，故说法正确；

④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；

⑤两个无理数的和还是无理数，如.二和一、：是错误的；

⑥无理数都是无限小数，故说法正确；

故正确的是②③④⑥共4个；

故选C.

【点睛】

本题考查了有理数的分类，数轴及平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，

分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如."\二J等，也有几

这样的数.

9、B

【解析】

把抛物线y=x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再

利用顶点式形式写出解析式即可.

【详解】

解：Vy=x2+2x+3=(x+1)2+2,

・••原抛物线的顶点坐标为(-1,2),

令x=0,则y=3,

，抛物线与y轴的交点坐标为(0,3),

•・•抛物线绕与y轴的交点旋转180。，

，所得抛物线的顶点坐标为(1,4),

・・・所得推物线的解析式为：y=・、2+2x+3［或产•(x-l)2+也

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便.

10、A

【解析】

原式=-3+6=3,

故选A

11、A

【解析】

试题分析：根据几何体的主视图可判断C不合题意；根据左视图可得B、D不合题意，因此选项A正确，故选A.

考点：几何体的三视图

12、D

【解析】试题分析：俯视图是从上面看到的图形.

从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，

故选D.

考点：简单组合体的三视图

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、6-1

【解析】

先由图形确定：当O、G、D共线时，DG最小；根据正方形的性质证明△ABEgZkBCF(SAS),可得NAGB=90。,

利用勾股定理可得OD的长，从而得DG的最小值.

【详解】

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZBCD,

在^ABEBCF中，

AB=BC

­/ABC=/BCD,

BE=CF

/.△ABE^ABCF(SAS),

AZBAE=ZCBF,

VZCBF+ZABF=90°

AZBAE+ZABF=90°

AZAGB=90°

・••点G在以AB为直径的圆上，

由图形可知：当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，如图所示：

;正方形ABCD,BC=2,

AAO=I=OG

，OD=q5，

・・・DG=V5T,

故答案为逐T.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质与全等三角形的判定与

性质.

14、2

【解析】

根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为1;(2)分母不为1计算

即可.

【详解】

解：依题意得：2・x=l且2x+2#l.

解得x=2,

故答案为2.

【点睛】

本题考查的是分式为1的条件和一元二次方程的解法，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为1;(2)

分母不为1是解题的关键.

15、8

【解析】

根据题意作出图形即可得出答案，

【详解】

如图，AD>AB,△CDEi,△ABE2,AABE3,△BCE4,△CDEs,AABE6,△ADE7,△CDEs,为等腰三角形，故

有8个满足题意得点.

E6E7E8

【点睛】

此题主要考查矩形的对称性，解题的关键是根据题意作出图形.

16、6・26

【解析】

由旋转角NBAB，=30。，可知NDAB，=90O-30"=60"：设和CD的交点是O,连接OA,构造全等三角形，用S阴影

部分=S正方形-S四边形ABrOD>计算面积即可.

【详解】

解：设&C和CD的交点是O,连接0A,

VAD=ABSAO=AO,ND=NB'=90。，

/.RtAADO^RtAAB'O,

AZOAD=ZOABr=30°,

AOD=OBr=V2，

S四边形AB'OD=2SAAOD=2X|V2X./6=2X/3

**•s阴影部分=s正方形-

【点睛】

此题的重点是能够计算出四边形的面积.注意发现全等三角形.

17、(x+3)(x—3)

【解析】

x2-9=(x+3)(x-3),

故答案为(x+3)(x・3).

18、25a%、

【解析】

代数式内每项因式均平方即可.

【详解】

解：原式=25a2bl.

【点睛】

本题考查了代数式的乘方.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(l)ki=l,b=6(l)15(3)点M在第三象限,点N在第一象限

【解析】

试题分析：(1)把A(1,8)代入二=压求得二产8,把B(-4,m)代入二=*求得m=-L把A(1,8)、B(-4,-1)

代入二二二；二一二求得二/、b的值；(1)设直线y=lx+6与x轴的交点为C,可求得OC的长，根据SAABC=SAAOC+SABOC

即可求得AAOB的面积；(3)由二;〈二;可知有三种情况，①点M、N在第三象限的分支上，②点M、N在第一象限

的分支上，③M在第三象限，点N在第一象限，分类讨论把不合题意的舍去即可.

试题解析：解：⑴把A(1,8),B(-4,m)分别代入二得口尸8,m=・L

VA(1,8)、B(-4,-1)在二=口；二♦二图象上，

・［二；+二=8

二;+二

解得，

(1)设直线y=lx+6与x轴的交点为C,当y=0时，x=・3,

AOC=3

**«SABC=SAAOC+SABOC=~x二xS'*：xjx1一=

A.♦

(3)点M在第三象限，点N在第一象限.

①若二［V二.V0,点M、N在第三象限的分支上，则二〉二.，不合题意；

②若0〈二〈二；，点M、N在第一象限的分支上，则二二:，不合题意；

③若二;VOV二；，M在第三象限，点N在第一象限，则二VOV二;，符合题意.

考点：反比例函数与一次函数的交点坐标；用待定系数法求函数表达式；反比例函数的性质.

20、见解析.

【解析】

试题分析：根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD,BC=AC,再利用全等三角形的判定证明即可.

试题解析：证明：・••△ABC、ACDE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,

ACE=CD,BC=AC,

/.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

/.ZECB=ZDCA,

，*■・■-PM-

匚匚=匚J

在ACDA与ACEB中，二二二二=二二二二，

,rr-rn

AACDA^ACEB.

考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形.

21、8+65

【解析】

如图作C〃_L4〃于〃.在RtA〃〃C求出C〃、BH,在RSAC”中求出4"、AC即可解决问题；

【详解】

解：如医作于，.

c

；・CH=；BC=6,1^=痴2_陋=65

*43CH

在RtAAC”中，tanA=—=-----,

4AH

・"〃=8,

・・・AC=JAH2+CH?=10,

【点睛】

本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于

中考常考题型.

22、(1)如图所示见解析；(2)四边形OCED是菱形.理由见解析.

【解析】

(1)根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；

(2)根据图形平移的性质得出AC:〃DE,OA=DE,故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB,

故DE=CE,由此可得出结论.

【详解】

理由：VADEC由乙AOB平移而成，

AAC/7DE,BD〃CE,OA=DE,OB=CE,

・・・四边形OCED是平行四边形.

•••四边形ABCD是矩形，

，OA=OB,

ADE=CE,

・・・四边形OCED是菱形.

【点睛】

本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.

23、（1）y=——；（1）11.

x

【解析】

（1）根据正切的定义求出OA,证明ABAOs^BEC,根据相似三角形的性质计算；

（D求出直线AB的解析式，解方程组求出点D的坐标，根据三角形CDE的面积=三角形CBE的面积+三角形BED

的面积计算即可.

【详解】

解：（1）VtanZABO=-,OB=4,

2

AOA=1,

VOE=1.

.*.BE=6,

VAOZ^CE,

/.△BAO^ABEC,

.OABOan24

.•木瓦’即？TE'

解得，CE=3,即点C的坐标为（-1,3）,

，反比例函数的解析式为：y=--；

x

（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b,

则产加0,

lb=2

解得，J2,

b=2

则直线AB的解析式为：y=Jx+2，

产得什2

X］二-2X2=6

・••当D•的坐标为（6,1）,

・♦.三角形CDE的面积=三角形CBE的面积十三角形BED的面积

【点睛】

此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、求反比例函数与一次函

数的交点的方法是解题的关键.

24、;

.

【解析】

这道求代数式值的题目，不应考虑把X的值直接代入，通常做法是先化简，然后再代入求值.

【详解】

(x+1)(X-1)11

解:原式二/1、2•一