重难点拓展：二次函数综合之七种存在性问题（解析版）

第20讲重难点拓展：二次函数综合之七种存在性问题

题型一：等腰三角形存在性题型二：直角三角形存在性

题型三：等腰直角三角形存在性题型四：平行四边形的存在性问题

题型五：菱形的存在性问题题型六：矩形的存在性问题

题型七：正方形存在性问题

BQ®®

一、等腰三角形存在性

根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：(1)AB=BC；(2)BC=CA；(3)

CA=AB.但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2

个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意.

工、知识内容：

在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：

(1)勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；

(2)两点间距离公式：设A(xl,yl)、B(x2,y2)

2、解题思路：

(1)利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

(2)根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程(多为分式或根式方程)

(3)解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.

二、直角三角形存在性

在考虑AABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①/A=90°；②NB=90°；③/

C=90°.在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定

理。

以函数为背景的直角三角形存在性问题

1、知识内容：

在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一•个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作

出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确

定直角三角形.

2、解题思路：

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(1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

(2)计算出相应的边长等信息；

(3)根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标.

三、平行四边形的存在性问题

1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类；

2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x

上加下减变y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)

3.两定两动：以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求

解

常见设问：已知A、B,求另外两点C、D与A、B两点构成平行四边形

分类讨论：

当AB为边时，找AB平行且等于的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标；

当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之

和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.

4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可

四、菱形的存在性问题(常为含60°角的菱形)

通常有两大类：

1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出

所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形；

2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的

菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形：

3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解

五、矩形的存在性问题

等价于直角三角形的存在性问题

(其特点往往是2定点2动点)，通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个

顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。

分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。

六、正方形存在性问题

正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的

坐标。

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＞题型归纳

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题型一：等腰三角形存在性

[例1](2023・广东汕头•汕头市潮阳实验学校校考二模)如图，抛物线了=-1/+加工+〃与x轴交于42两

点，与歹轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点。，已知/(-l,0),C(0,2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点£是线段8C上的一个动点(不与反C重合)，过点E作尤轴的垂线与抛物线相交于点尸，当点E运

动到什么位置时，四边形CD8F的面积最大？求出四边形CD8尸的最大面积及此时点E的坐标.

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△尸CD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存

在，请说明理由.

13

(l)y=——X2+—x+2

iq

⑵当x=2时，四边形COB厂的面积最大，最大值为此时石(2,1)

⑶存在，满足条件的尸点坐标为8京;

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据抛物线解析式得出对称轴为直线x=|,进而得出。[jo],3(4,0),求得直线8C的解析式为

y=—gx+2,设尸[x,—]x?+—x+2^(0<x<4),则£卜—^x+2),进而得出EF,根据四边形CDBF的

面积=SE+S.BCD，进而根据二次函数的性质即可求解；

(3)先利用勾股定理求得CZ)=:，再根据等腰三角形的性质分尸。=CD和PC=CD,PC=P。结合坐标与

2

图形求解即可.

【详解】(1)将”(TO),“0,2)代入抛物线解析式得

----m+n-0

<2,

〃=2

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3

解得加=—,〃=2

2

iQ

抛物线解析式为y=-jx2+jx+2

3

(2)抛物线的对称轴为直线工=-一＞=]

--x22

2

.•.呜0：*4,0)

设直线的解析式为y=b+"将反。点坐标代入得

j4/c+b=0

[b=2

fT1

解得2

b=2

，直线8c的解析式为y=-;x+2

设尸(x,-3f+1工+2)0＜》＜4),则—_x+2]

:.EF=-"+-x+2-I—x+2|

2212J

12c

——x+2x

2

/.S&BCF=万x4义1-~—R+2x)——»+4.

X

四边形CDBF的面积=S.BCF+S.BCD

=-x2+4x+—x2x|4|

2I2)

=-%2+44%+—5

2

1Q

当x=2时，四边形CD5厂的面积最大,最大值为此时£(2,1)

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当CP=CD时，P点坐标为［I，4

当尸C=PD时,设呜加）

25

解得：m=§则尸点坐标为

16

综上所述，满足条件的P点坐标为

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，等腰三角形的定义，熟练掌握

二次函数的性质是解题的关键.

【变式1-1］（2023・浙江•九年级假期作业）如图，抛物线＞=-/+乐+。的顶点为D,其图象交x轴于/,

8两点，交y轴于点C（0,3）,点3的坐标为8（1,0）.

（1）求抛物线的解析式;

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（2）在抛物线的对称轴上是否存在点使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以

为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=T，_2x+3

（2）存在，符合条件的点M有3个，其坐标分别为-1,旧）或卜1,-旧）或（-1,1）

【分析】（1）用待定系数法求解即可；

（2）设点M的坐标为“（-1,加），分两种情况讨论：①当=时；②当=时，即可求解.

【详解】（1）解：：抛物线y=-f+bx+c过点8（1,0）,C（洋3）,

fc=3（c=3

•••代入得”启n解得八o

[-l+6+c=0[6=-2

二抛物线解析式为>=-/-2》+3.

（2）解：存在；

由（1）得：抛物线解析式为>=-*-2》+3,

b

・•・对称轴X—五

当y=0时，解得x=-3或1,

二点/的坐标为工（-3,0）,

•.,点C坐标为。（0,3）,

设点M的坐标为“（-1,相），

由勾股定理，得2。2=32+32=18,

=（-3+l）2+m2=m2+4,

CM2=I2+（3-m）-=m2-6m+10,

•；AM为等腰三角形的腰，

①当=时，即"/+4=18.解得加=±Ji7,

.•・M（T研，A/2（-1,-714）；

②当4A/=CA/时，即加之+4=-6加+io,解得加=1,

・・・M（T，I）；

综上，符合条件的点M有3个，其坐标分别为或“211，-E）或河3（-1，1）；

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式、三角形问题，掌握解题方法是关键.

【变式1-2]（2023春•湖北武汉•九年级校考期中）如图，抛物线y=a/+c与X轴于4,5两点，交y轴于

点C,/（TO）.

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yi

A1/0\\1

图1I图2\

(1)直线>=屈+出过4C两点，

①如图1,求抛物线的解析式；

②如图1,将直线4C向右平移，/的对应点为5,且8M=2/C,以氏17为一边作等腰三角形求N

的坐标；

(2)如图2,M为抛物线第一象限上任意一点，直线四交y轴于点X,若应(O〃+OG)=l,求。的值.

【答案】⑴①0；②N点坐标为(5,0)或(0,不+26)或(0，26-疗)或(-3,0)或(0,岳)或(0,_小)

(2)〃=-

4

【详解】(1)解：①•••直线3/=屈+6过A,C两点,

C(0,V3),

将A、。点坐标代入V="2+。，

a+c=0

c=6'

a=—A/3

解得

c=VJ

••・抛物线的解析式为也;

②当y=0时，一岛2+6=0,

解得X=1或%=一1,

・•・B(L0),

・・,将直线ZC向右平移，A的对应点为3,

A平移后的直线BM的解析式为y=&-B

vC(0,V3),4(T,0),

:.AC=2f

•;BM=2AC,

...BM=4,

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过点"作MG，x轴交于点G，

NCAO=NMBG,

AO=\,co=5

ZCAO=60°,

A/G=273，BG=2,

：.M(3,2扬，

当3"=皿=4时，N(5,0)或(0,而+26)或(0,273-77)；

当即/=3N=4时，N(-3,0)或(0,小)或(0,-715)；

综上所述：N点坐标为(5,0)或(0,77+26)或(0，26-5)或(TO)或(0,小)或(0,-小)；

(2)解：va+c=0,

设直线的解析式为歹=丘+6,

kt+b=at2-a

-k+b=0

k=a(l-t)

解得

b=—

・•・直线的解析式为y=〃(1一。%+。。一。，

同理可得直线BM的解析式为y=-〃(1+t)x+a(l+1),

G(0,a-at),H(0,a+at),

C(OH+OG)=\,

••+at+a—at)=1,

解得4=-I.

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【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、解直

角三角形等，有一定的综合性，难度适中.

【变式1-3]（2023•重庆渝中・重庆巴蜀中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x-3班

3

（2）点尸是直线3C下方抛物线上一动点，过尸作尸8c于点。，求线段尸。的最大值及此时点P的坐标；

（3）将抛物线沿射线3C平移痛个单位得到新抛物线了，新抛物线与原抛物线歹交于点。，将△/C。沿

直线3c平移得到△HC。'（不与△4C。重合），若以点B,D,0为顶点的三角形是以8。为腰的等腰三

角形，请直接写出所有符合条件的点0的坐标，并写出求解点0坐标的其中一种情况的过程.

【答案】（1）18

9A/6RR,/3A/31573

（2）0。最大=》，止匕时尸———

\,上最大&124

⑶4卜3月,-2月）或（6-3行,2百-3/）或（G+3近,26+372）

【分析】（1）分别令尤=0和y=o解方程可得点A、B、C的坐标，再用三角形面积公式求出面积即可；

（2）过点尸作PN〃y轴交3c于点N,数形结合思想找到PN和尸。的数量关系，求P。最大值转化为求尸N

最大值问题，利用配方法求最值即可；

（3）根据相似三角形的性质，把图象的平移转化为水平和左右平移，则向下平移百个单位长度，向左平移

百个单位长度，得出新抛物线解析式，求出两个抛物线的交点坐标，再设△/C。向下平移。个单位长度，

向左平移。个单位长度，则©卜月-a,-a）,C'（-a1-V3-«）,然后根据等腰三角形的性质建立关于。的方程求

解，即可解答.

【详解】⑴解：当x=0时，了=-36，

2

当歹=。时，^-x-2x-3y[3=0,解得：玉=-6，x2=3A/3,

^（-73,0）,2（3石,0）,C（0,-36），

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4B=3A/3一卜代)=4#),0C=36，

S=-ABOC=-X4A/3X3A/3=18；

£.ADRC22,

(2)解：过点尸作尸N〃丁轴交于点N,

:.OB=OC,

/OCB=/OBC=45。,

・.・7W〃y轴,

.\ZQNP=45°,

QPQ"BC,

/.42PQ=PN,则当尸N最大时，尸。也最大,

设直线BC的解析式为y=mx+n,

3G'解得Im=l

n=—35/3

直线8c的解析式为y=x-30，

设pjx,^^x2-2x-,N(x,x—3V3j,

PN=x-3行-1gx2-2x-3目=-4-及I学，

当乂=述时,PN最大，则耍当N=gx*手,

2

线段P。的最大值为半，此时点P的坐标为

(3)VZOCB=ZOBC=^5°,

，将抛物线沿射线3c平移八个单位得到新抛物线，

即原抛物线向下平移百个单位长度，向左平移百个单位长度,

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:原抛物线尸。*_2X_3G=F（X-V^『-V3,

二新抛物线y=3（x-百+可一475-V5-5/3,

4—x2-2X-3A/3=—X2-5A/3,

33

解得x=百，

.'.。（月,-46）,

•••设AACO向下平移。个单位长度,向左平移。个单位长度,

则A'（Y-Q,-Q）,_a）,

•••5（373,0）,

:.BD?=（36-喻+先用=60,

A'D-=1百-a-国+[a+4可="_4豉+60,

A'B2=1百-a-3百『+。2=2/+8百。+48,

①当4。=30时，

2a°—4A/3O+60=60,

fl=0（舍去）或0=26，

・・•点/的坐标为卜3省,-26）；

②当48=3。时，

2a2+8y/3a+48=60，

a=—2A/3+3V2或a=—2-s/3—3^2,

点A'的坐标为（百-3五,26-3也）或（G+32G+3V2）；

综上所述：点A'的坐标为（-3V3-2^/3）或（6-372,273-3吟或（6+30,26+3吟.

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，三角形的面积，二次函数最值，等腰三角形

的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平移的性质是解题的关键.

题型二：直角三角形存在性

【例2】（23-24九年级下•江苏连云港•阶段练习）如图，抛物线了="2+及-4a（"0）经过/（-1,0）、C（0,4）

两点，与x轴交于另一点8,连接/C,BC.在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得由点M,A,C构成

的△儿ZZC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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要注意分类求解，避免遗漏.

先求出了=一/+3》+4=-1》一|]+亨，得到抛物线对称轴为x=g,设点则/屈2=手+/,

0Q

CM2=(m-4y+^,AC2=7,再分三种情况分别列方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：抛物线了=亦2+乐一4°(.*0)经过/(-1,0)、C(0,4)两点,

a-b-4a=0

-4a=4

a-—1

解得

b=3

・•・抛物线的解析式为歹=-/+3x+4

.*y—-x2+3x+4=-x-|

3

・••抛物线对称轴为％=

2

设点而点/(TO)、C(0,4),

则/回2=1|，+1]+加2=*+加2+(-4)2=(m-4)2+^-,AC2=(-l-O)2+(O-4)2=17,

,CA/2=Q_0^|m

75Q

①当■是斜边时，一+m2=(m-4)9+—+17

4v74

29

解得：m=—；

o

0Q75

②当CM是斜边时，(加-4)+—=----Fm2+17

解得，加=-"|;

O

③当/C是斜边时，—+m2+(m-4)2+-=17

4''4

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53

同理可得：冽='或冽=1；

22

综上’点M的坐标为:(I/或或['I)或(|，|)

a

【变式2-1](2023春•甘肃金昌・九年级统考期中)平面直角坐标系中，抛物线夕=。(无-ly+g与x轴交于

A,5(4,0)两点，与夕轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A,。的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使ABC尸是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在,

请说明理由；

⑶如图，点M是直线上的一个动点，连接NW,OM,是否存在点M使/M+最小，若存在，请

求出点/的坐标，若不存在，请说明理由；

1o

【答案】⑴尸[(f+jA(-2,0),C(0,4)

(2)存在,P(l,5),(1,-3),(1,2+疗),(1,2-V7)

O1O

⑶存在，A/(|,苓)

9

【详解】⑴解：将5(4,0)代入尸心-ly+q,

91

即0=9〃H—,解得：a=—，

22

179

19

令x=0,则y=_/+/=4,

1a

令y=o,贝『一(》一1)9一+二=0,

2、72

解得：X]=4,—2=-2,

/(-2,0),C(0,4)

(2)解：存在点P,使ABCP是直角三角形，

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ia

Vv=--(x-l)2+-,对称轴为直线x=l,

设尸(L"),

•.•8(4,0),C(0,4),

BC2=42+42=32,5P2=(4-l)2+n2,PC2=12+(4-n)2

①当Z8C尸=90°时，BP2=BC1+PC2,

：.(4-1『=32+12+(4-W)2

解得："=5

②当ZCBP=90°时，尸=BC2+BP\

：,12+(4-M)2=(4-1)2+M2+32

解得：n=-3

③当ZBPC=90°时，BC2=BP2+PC2,

32=(4-1)2+M2+12+(4-W)2

解得：〃=2-V7或〃=2+e.

综上所述：P(l,5),(1,-3),(1,2+5)，(1,2-4)

(3)存在点M使+最小，理由如下：

作。点关于8c的对称点。，连接交8C于点连接8。,

AM+OM=AM+QM>AQ,

当A、M、。三点共线时，+有最小值,

•.•5(4,0),C(0,4),

OB=OC,

ZCBO=45°,

由对称性可知N08M=45。，

s.BQLBO,

：.2(4,4),

第14页共72页

设直线AQ的解析式为歹=kx+b,

1-2左+6=0

'[4k+b=4'

\k=-

解得:，

b=上

[3

24

二直线/Q的解析式>=（无+g,

设直线3c的解析式为y=%x+4,

/.4加+4=0,

/.m=-l,

二.直线BC的解析式为y=-x+4,

y=-x+4

联立方程组24,

y=—x+—

I33

.8

x=—

解得12，

g）；

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问

题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【变式2-2］（2023•浙江•九年级假期作业）如图，抛物线yuaY+fcv+c与x轴交于/（-行,0）、BQA/IO）两

点，与V轴交于CQ2）点.

（1）求抛物线的解析式：

（2）证明：28c为直角三角形：

（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使是直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标:

若不存在，请说明理由.

第15页共72页

【答案】=-Lx2尤+2

22

（2）见解析

（3）存在，（夜,2）

【分析】（1）将A、B、C的坐标代入抛物线解析式，求解即可；

（2）由（1）得到边48,AC,8C的长，再根据勾股定理的逆定理来判定。8C为直角三角形；

（3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标.

【详解】⑴解：尸加+bx+c与x轴交于对-也0）、网20,0）两点，与了轴交于C（0,2）点,

［亚）a->f2b+c=0

<倒a+2V^6+c=0,

c=2

1

a=——

2

hV2

解得：・

c=2

，抛物线的解析式为y=-#+今+2；

（2）解：；N卜亚,0）、5（2V2,0）,C（0,2）,

AC=^（-V2-0）2+（O-2）2=而，

5C=^（2A/2-0）2+（°-2）2=273>

/3=，亚_2旬2+（0-0）2=36,

AB2=AC2+BC2，贝1J乙4cB=90°,

：.^ABC是直角三角形；

（3）解：存在，

当尸C〃x轴，即P点与C点是关于抛物线对称轴的对称点，而C点坐标为（。,2）,

V=2,

才巴歹=2代入y=一；12+2^%+2得：-i-x2+^-x+2=2,

第16页共72页

X]=0,X2=V2.

；.尸点坐标为（"2}

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的

距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【变式2-3](2023•浙江•九年级假期作业)如图，在平面直角坐标系中，抛物线了="2+区+°(。20)与工

轴相交于/,8两点，与y轴相交于点C,直线歹=履+”("0)经过8,C两点，已知川1，0),C(0,3),且

BC=5.

(1)试求出点3的坐标.

(2)分别求出直线8C和抛物线的解析式.

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以区C,尸三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴(4,0)

⑵蚱-八+3,蚱，②-"x+3

-444

3+2忖或。3-2娓'

(3)存在,

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【分析】(1)由0C=3,BC=5,可由勾股定理求08,进而得点8坐标;

(2)用待定系数法即可求解函数解析式；

(3)设点P坐标为分三类讨论：①当/尸。3=90。时；②当NPBC=90。时；③当4尸。=90。时,

分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可.

【详解】(1)解：：点。(0,3),即OC=3.

BC=5,

在Rt^BOC中，根据勾股定理得OB=^BC2-OC2=4，

即点2坐标为(4,0).

(2)把3(4,0)、。(0,3)分别代入丁=丘+〃中，

[4k+n=0k=——

得。，解得4.

i[n=3

3

・・・直线3C解析式为尸-白+3；

4

把4(1,0)、8(4,0)、C(0,3)分另I」代入；；="2+服+0得

一3

CL=一

。+6+。=0

<16。+46+。=0,解得<6=一竺.

c=3々

ic=3

a1s

・・・抛物线的解析式是歹一3.

44

(3)在抛物线的对称轴上存在点尸，使得以8C,尸三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下:

a1s

・・,抛物线的解析式是广三2—?x+3,

44

抛物线对称轴为直线X=-£=：.

2a2

设点p坐标为[■!，").

①当/尸C2=90°时，BP-=BC1+PC1.

'：BP2=^4-1^|+加2'pc2=+(^-3)2,

BC2=25,

.•.(4-+%2=U+(m-3/+25,

第18页共72页

解得：in=，

故点4G引;

②当/PBC=90°时，＜PC2=PB-+BC2.

VPC2=+(m-3)2,PB1=|^4-+加2，3c2=25,

；•+(m-3)2=^4-1-^+m2+25,

解得：m=-2,

故点心g，-2)

③当Z8PC=90。时，BC2=BP2+PC2.

•/PC2=+(m-3)2,PB2=|^4-|J+疗,BC?=25,

,25=(4-g]+m2+^+(m-3)2.

解7曰3+2-\/63-2A/6

用牛付：m,=------，m.=-------，

1222

.f53+2屈(53-2屈、

I22JI22)

ST或（|,3+力需」力.

综上所述，使得ABC尸为直角三角形的点P的坐标为或

【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理,待定系数法求解析式，分类讨论的数学思

想，难度不大.第（3）问特别注意分类讨论思想的运用.做到不重不漏.

题型三：等腰直角三角形存在性

【例3】（2024・四川眉山・中考真题）如图，抛物线y=-x2+bx+c与无轴交于点/（-3,0）和点3,与〉轴交

于点C（0,3）,点。在抛物线上.

AA

MTMT

备用图

（i）求该抛物线的解析式；

第19页共72页

（2）当点。在第二象限内，且A/CD的面积为3时，求点。的坐标；

（3）在直线3c上是否存在点P,使尸。是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）抛物线的解析式为》=TY2X+3

（2）0的坐标为（-1,4）或（一2,3）

⑶尸的坐标为（。3或人卜]—，三卜

【分析】（1）利用待定系数法求解；

（2）过。作。K〃f轴交/C于K,求出直线/C解析式，根据5/8=；。长-卜-%|=3列式求解；

（3）先求出点/,2坐标，再求出直线8C解析式，过尸作尸轴于N,过。作轴于分以

下情况分别讨论即可：①P与C重合，。与A重合时；②当尸在第一象限，。在第四象限时；③当P在第

四象限，。在第三象限时；④当P在第四象限，。在第一象限时.

【详解】（1）解：把/（一3,0）,。（0,3）代入了=-2+法+0得：

J-9-36+c=0

[c=3'

（b=-2

解得2，

[c=3

,抛物线的解析式为P=-X2-2X+3；

（2）解：过。作。轴交/C于K,如图：

由/(TO),C(O,3)得直线/C解析式为尸x+3,

设。-2/+3),则K(f,f+3),

:.DK=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t,

•.•△/CD的面积为3,

:.^DK-\XA-XC\=3,即;(_»一3(卜3=3,

解得f=-1或/=-2,

第20页共72页

.:。的坐标为(-1,4)或(-2,3)；

(3)解：在直线3C上存在点P,使△0尸。是以尸。为斜边的等腰直角三角形，理由如下:

在y=f2_2x+3中，令y=0得0=_/_2彳+3,

解得x=-3或尤=1,

.•./(-3,0),5(1,0),

由8(1,0),。(0,3)得直线8。解析式为歹=-3》+3,

设尸(加,-3〃?+3),D^n,-n2-2M+3),

过户作PN_Ly轴于N,过。作轴于M,

@-：OA=OC=3,

..•当尸与C重合，。与A重合时，尸。是等腰直角三角形，如图:

此时尸(0,3)；

②当P在第一象限，。在第四象限时,

尸。是以尸。为斜边的等腰直角三角形,

ZDOM=90°-ZPON=ZOPN,

ZDMO=90°=ZPNO,

:.^.DOM^OPN(AAS),

DM=ON,OM=PN,

[n=-3m+3

\n2+2n-3=m'

第21页共72页

25+V19325-V193

m=m=

1818

解得一（n小于0,舍去）或♦

-7-V193-7+Vl^

n=n=

66

:i+3=325一炳+3=一7+灰

186

小।…（25-V193-7+7193^1

厂.尸的坐标为［---,---J；

③当尸在第四象限，。在第三象限时，如图:

•.•△O尸。是以尸。为斜边的等腰直角三角形,

:.OD=OP,APOD=90°,

/DOM=90°-/PON=ZOPN,

•・•ZDMO=90°=ZPNO,

之△OTW(AAS),

/.PN=OM,ON=DM,

m=n2+2n-3

同理可得

3m-3=-n

25+V^I25-晒i

m=m=

18~18

解得一或，（大于0,舍去），

-7-4^-7+Vi^

n=n=

66

■3加+3=-3/5+g+3=一7一属

186

钻―J25+阿-7-丽）

P的坐标为［—--,——-——J；

④当尸在第四象限，。在第一象限，如图:

第22页共72页

v△ODD是以PD为斜边的等腰直角三角形，

/.OD=OP,APOD=90°,

...ZDOM=90°-/PON=ZOPN，

•・•ZDMO=900=ZPNO,

：.ADOM^AOPN(AAS),

/.PN=OM,ON=DM,

\m=—n2-In+3

[3m-3=n'

11

m=一

fm=09

解得。(舍去)或＜

\n=-32

n=—

综上所述，尸的坐标为(0,3)或［生烂，］普卜［"修，士普

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三

角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键.

【变式3-1］(2023•四川•统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=af+6x+4的图

象与x轴交于点/(-2,0),5(4,0),与V轴交于点C.

图I

(1)求抛物线的解析式;

第23页共72页

(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴/上一点，以B,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形,

且N8FE=90。，求出点尸的坐标；

(3)如图2,尸为第一象限内抛物线上一点，连接/P交V轴于点连接BP并延长交y轴于点N,在点产

运动过程中，OM+goN是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴yn-jf+x+d

⑵厂(1,1)或尸。,一5)或尸。,一3)

(3)OM+；ON=6,理由见解析

【分析】(1)待定系数法求解析式即可；

(2)先求得抛物线的对称轴为直线x=l,设/与x交于点G,过点E作瓦)，/于点。，证明AOPG丝AGBF,

设厂(/，加)，贝!|。£=1+加，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,进而得出E点的坐标，代入抛物线解析式，

求得加的值，同理可求得当点尸在x轴下方时的坐标；当E点与A点重合时，求得另一个解，进而即可求

解；

(3)设尸(sj),直线/P的解析式为了=公+九8P的解析式为y=gx+〃，求得解析式，然后求得。M,ON,

即可求解.

【详解】(1)解：将点4(-2,0),2(4,0),代入尸西+6x+4

/QJ4。-26+4=0

得［16。+46+4=0

a=—1

解得：＜2,

b=\

抛物线解析式为y=-ix2+x+4；

(2);•点/(-2,0),5(4,0),

.••抛物线的对称轴为直线/：》=二±^=1,

2

如图所示，设/与x交于点G,过点E作即，/于点。

第24页共72页

•・,以8,E,厂为顶点的三角形是等腰直角三角形，且NBFE=9U。,

・•・EF=BF,

丁ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

&DFEAGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

设厂（1,加），则DE=m,DG=DF+FG=GB+FG=3+m

£（1+加,3+加）,

•・・5点在抛物线》=-3/+%+4上

3+m=--（1+m

2V

解得：m=-3（舍去）或加=1,

・・・尸（U）,

如图所示，设/与x交于点G,过点E作瓦），/于点。

・・,以3,E,b为顶点的三角形是等腰直角三角形，且/3尸£=90。，

EF=BF,

9：ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

・•・小DFEWGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

第25页共72页

设厂(I,加)，则。E=加，DG=DF+FG^GB+FG=3-m

E(1-3),

E点在抛物线y=-;/+x+4上

19

m-3=(1-m)+(l-m)+4

解得：m=3(舍去)或冽=-5,

...尸(1,-5),

当£点与A点重合时，如图所示，

VAB=6,4/8/是等腰直角三角形，且/友屯=90。,

GF=-AB=-3

2

此时尸(0,-3),

综上所述，尸(1,1)或尸(1,-5)或b(1,-3)；

(3)设尸直线/P的解析式为>=公+/,8P的解析式为V=gx+〃，

•.•点/(-2,0),5(4,0),尸(sj),

b2d+/=0j4g+A=0

[sd+f=t'\sg+h=t

s+2

解得：

2t4/

h=

s+24-s

.••直线”的解析式为尸'xt+23t，BP的解析式为了=—tx+34/,

s+2s+2s-44-s

对于了=--—尤H■——»当x=0时，y=——>即

s+2s+2s+2Is+2)

t4/4f(4/)

对于了=二尤+3,当无=。时，7=:一，即N°,产，

5-44-5■4-514-sJ

第26页共72页

•.•尸(S,。在抛物线上，贝U=-gs2+s+4=-；(s-4Xs+2)

⑵

OM+-ON=+=

2s+224—s—s?+2s+8

-6(s-4)(s+2)

=6

-(s-4)(s+2)

(W+’ON为定值6.

2

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函

数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【变式3-2](2023•浙江•九年级假期作业)已知抛物线＞="2+为+3经过点尸(1,-2)和点°(-4,3)

(1)求该抛物线的函数表达式及其顶点坐标.

(2)将该抛物线平移，所得抛物线经过点/(3,0),且与y轴交于点反如果以点4O,8为顶点的三角形是

等腰直角三角形，那么应将抛物线怎样平移？为什么？

【答案】(l)y=f2-4x+3,顶点坐标为(-2,7)；

(2)将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个

单位，理由见解析

【分析】(1)把尸、。两点的坐标代入抛物线解析式可求得。、6的值，可求得抛物线解析式，将其化为顶

点式即可确定顶点坐标；

(2)利用/点坐标和等腰三角形的性质可求得3点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把N、8的坐标

代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程.

【详解】(1)解：将尸。,一2)和。(一4,3),代入y=a/+6x+3中得：

J-2=Q+Z7+3

|3=16«-4Z)+3，

抛物线的解析式为y=-x2-4x+3,

••y=-x~—4x+3=—(x+2)~+7,

顶点坐标为(-2,7)；

(2)：是等腰直角三角形，2(3,0),点8在夕轴上,

.••3点坐标为(0,3)或(0,-3),

可设平移后的抛物线解析式为y=-x1+mx+n,

①当抛物线过点2(3,0),8(0,3)时，代入可得,

第27页共72页

\n=3

[-9+3加+〃=0'

fm=2

解得2,

[n=3

：.平移后的抛物线为了=+2x+3=-(x-1)2+4,

.•.该抛物线的顶点坐标为。,4),而原抛物线顶点坐标为(-2,7),

.••将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位即可；