对数函数和指数函数知识点及应用

[优质文档]对数函数和指数函数知识点及应用2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数一、指数与对数运算:(一)知识归纳:(根式的概念:1,?定义:若一个数的次方等于，则这个数称的次方根.即，若nana(n,1,且n,N)n,，则称的次方根，x,axann,1且n,N)na的n1)当为奇数时，次方根记作a;n2)当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记nanan作n.,a(a,0)nnnn?性质:1);2)当为奇数时，;a,an(a),aa(a,0),na,|a|,)当为偶数时，3n,,a(a,0),2(幂的有关概念:*n0?规定:1)N，2)，a,a,a,？,a(n,a,1(a,0)n个m1p,*nmna,(p,3)Q，4)、N且n,n,1)a,a(a,0,mparsr，s?性质:1)、s,Q)，a,a,a(a,0,rrsr,s2)、s,Q)，(a),a(a,0,rrrr3)Q)(a,b),a,b(a,0,b,0,r,s,(注)上述性质对r、R均适用.3(对数的概念:bba,Na(a,0,且a,1)a?定义:如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底logN,b,aN的对数，记作其中称对数的底，N称真数.alogNlgN1)以10为底的对数称常用对数，记作，10lnN2)以无理数为底的对数称自然对数，记作logNe(e,2.71828？)e?基本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数)，2)，log1,0alogNa3)，4)对数恒等式:a,Nloga,1a?运算性质:如果则a,0,a,0,M,0,N,0,1);log(MN),logM，logNaaaM2)log,logM,logN;aaaNn3)R).logM,nlogM(n,aalogNm?换底公式:logN,(a,0,a,0,m,0,m,1,N,0),alogamnnlogb,logb.1)，2)logb,loga,1maabam(二)学习要点:bn1((其中)是同一数量关系的三种不N,a,a,N,logN,bN,0,a,0,a,1a同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2(要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题:(1)计算:2211,,,340.50.253322[(3)(5)，(0.008),(0.02)，(0.32)],0.06258922118491000426253324[(),()，(),50，],()[解析]原式=27981010000471421172,[,，25，，],,(,，2)，2,93102995232lg5,lg8000，(lg2)(2)计算.11lg600,lg0.036,lg0.1222[解析]分子=;lg5(3，3lg2)，3(lg2),3lg5，3lg2(lg5，lg2),33616(lg6，2),lg，,lg6，2,lg,4分母=;1000101003原式=.441223333,a,abba,a823,a,，().(3)化简:2253aa,a333b，ab，a421111121333333332a[(a),(2b)]a,2b(a,a)[解析]原式=,，1111111a223333352(a)，a,(2b)，(2b)(a,a)5111126aa233333,a(a,2b)，，,a，a，a,a.111336a,2bab(4)已知:值.log9,a,18,5,求log361830b[解析]？18,5,？log5,b,18log18，log21，(log18,log9)2(2,a)18181818？log36,,,.30log5，log6b，(log18,log3)2，2b,a18181818[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题:logx，logx,2logx且x,1(1)已知，acblogb2a求证:c,(ac)logx2logxaa？logx，,,？x,1,？logx,0[解析]，aalogclogbaa122？1，,,2logc,(logc，1)logb,logcaaaalogclogbaalogblogb2aa=log(ac),logb,log(ac),c,(ac)aaa2lgx，lgylgx，lgy[lg(x,y)](2)若，求的值.log(xy)，，,02lgxlgylgxlgy22[解析]去分母得(lgx，lgy)，[lg(x,y)],0lgx，lgy,0xy,1,,？,，,,lg(x,y),0x,y,1,,2、是二次方程的两实根，且，解t,t,1,0,yx,0,y,0,x,1,y,1,x,y1,5得，t,25，15,1？x,0,？x,,y,,？log(x，y),0222[评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验.二、指数函数与对数函数(一)学习要点:1(指数函数:x?定义:函数称指数函数，y,a(a,0,且a,1)1)函数的定义域为R，2)函数的值域为，(0,，,)0,a,1a,13)当时函数为减函数，当时函数为增函数.?函数图像:1)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、二象限，0,a,1a,12)指数函数都以轴为渐近线(当时，图象向左无限接近轴，当时，xx图象向右无限接近轴)，xx,x3)对于相同的，函数的图象关于轴对称.ya(a,0,且a,1)y,a与y,a0,a,1a,1?函数值的变化特征:?，，?x,0时0,y,1x,0时y,1?，?，x,0时y,1x,0时y,1??，x,0时y,1x,0时0,y,12(对数函数:?定义:函数称对数函数，y,logx(a,0,且a,1)a1)函数的定义域为，2)函数的值域为R，(0,，,)0,a,1a,13)当时函数为减函数，当时函数为增函数，x4)对数函数与指数函数互为反函数.y,logxy,a(a,0,且a,1)a?1)对数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、四象限，0,a,1a,1yy2)对数函数都以轴为渐近线(当时，图象向上无限接近轴;当时，y图象向下无限接近轴).y,logx与y,logxa(a,0,且a,1)x4)对于相同的，函数的图象关于轴对称.a1a0,a,1a,1x,1时y,0x,1时y,0?，?，x,1时y,0x,1时y,0?，?，0,x,1时y,0x,0时0,y,1?.?.?函数值的变化特征:(二)学习要点:1(解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2(指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3(含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4(在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.1,mxf(x),log【例1】已知是奇函数(其中，a,0,a,1)ax,1(1)求的值;m(2)讨论的单调性;f(x),1(3)求的反函数;f(x)f(x)(4)当定义域区间为时，的值域为，求的值.af(x)(1,a,2)f(x)(1,，,)221，mx1,mx1,mx？f(,x)，f(x),log，log,log,0[解析](1)aaa2,x,1x,11,x对定义域内的任意恒成立，x221,mx22？,1,(m,1)x,0,m,,1，21,x？m,,1当m,1时f(x),0(x,1)不是奇函数，，x，1？f(x),log,？(2)定义域为(,,,,1):(1,，,)，ax,1,2,,f(x)loge求导得，a2,x1,a,1(,,,,1)与(1,，,)f(x),0,？f(x)?当时，在上都是减函数;,0,a,1?当时，上都是增函数;f(x),0,？f(x)在(,,,,1)与(1,，,)x，1(另解)设，任取，g(x),x,x,,1或x,x,11221x,1x，1x，1,2(x,x)2121，？g(x),g(x),,,,021x,1x,1(x,1)(x,1)2112，结论同上;？g(x),g(x)21yx，1x，1a，1yyyy,log,a,,(a,1)x,a，1,x,(3)，ayx,1x,1a,1xa，1y,1？a,1,0,？y,0,？f(x),(x,0,a,0且a,1)xa,1(4)上为减函数，？1,x,a,2,？a,3,f(x)在(1,a,2)a,12log,1,a,4a，1,0命题等价于，即，f(a,2),1aa,3a,2，3解得.[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.2f(x),log(x,2ax，3)【例2】对于函数，解答下述问题:12(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围;(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围;(3)若函数在内有意义，求实数a的取值范围;[,1,，,)(4)若函数的定义域为，求实数a的值;(,,,1):(3,，,)(5)若函数的值域为，求实数a的值;(,,,,1](6)若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.(,,,1]222[解答]记，u,g(x),x,2ax，3,(x,a)，3,a2？u,0对x,R(1)恒成立，，？u,3,a,0,,3,a,3min？a的取值范围是;(,3,3)(2)这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”，这点思考，“的值域logulogx1a2为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包u,g(x)(0,，,)u,g(x)含了区间”(0,，,)2的值域为？u,g(x)[3,a,，,),(0,，,),2?命题等价于，u,3,a,0,a,,3或a,3min?a的取值范围是;(,,,,3]:[3,，,)(3)应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，[,1,，,)命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，x,au,g(x),0对x,[,1,，,)g(x)0,,1a,,1a,,,1,,1aa,,,？,或或，,,,,2(,1),0,,2ga,,4,12,0a,3,,3a,,,,的取值范围是;(,2,3)(4)由定义域的概念知，命题等价于2x,2ax，3,0不等式的解集为，{x|x,1或x,3}2x,2ax，3,0是方程的两根，？x,1,x,312x，x,2a,12？,a,2,即a的值为2;,x,x,312,5)由对数函数性质易知:(的值域为，由此学生很容易得，但g(x)[2,，,)g(x),2这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能g(x),2g(x)[2,，,)g(x)取遍[2,，,)的一切值(而且不能多取).2?g(x)的值域是，[3,a,，,)2?命题等价于;[g(x)],3,a,2,a,,1min即a的值为?1;x,a,1g(x)在(,,,1]为减函数,,0(6)命题等价于:，,,,g(1),0gx对x恒成立(),0,(,,,1],,a,1,即，得a的取值范围是.[1,2),a,2,[评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验.【例3】解答下述问题:2A,{x|2logx,21logx，3,0}(?)设集合，182xxx,A()loglog,,若当时，函数的最大值为2，fx22a42求实数a的值.12[解析]？A,{x|2logx,7logx，3,0},{x|,logx,3},{x|2,x,8}22222，而f(x),(logx,a)(logx,2),logx,(a，2)logx，2a22221logx,t,？2,x,8,？,t,3令，22a，22t,，其对称轴，？f(x),g(t),t,(a，2)t，2a2a，273t,,a,时[g(t)],g(3),2,a,1?当，即，适合;max242273113a，,,[()]()2t,,即a,时gt,g,,a,?当，适合;max2422613a,1或综上，.61x,27x2()42fx,,a,，(?)若函数在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值.21272xx()22？fx,,,a,，[解析]，22x令，2,t,？0,x,2,？1,t,42127127a22？f(x),g(t),t,at，,(t,a)，,(1,t,4),22222?抛物线的对称轴为，g(t)t,a543435,[()](4)49?当，不合;a,时fx,g,,a,,a,,max22825?当时，，适合;a,[f(x)],g(1),14,a,9,a,5max2a,5综上，xx，1(?)设关于的方程R)，x4,2,b,0(b,(1)若方程有实数解，求实数b的取值范围;(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.xx，1[解析](1)原方程为b,4,2，xx，1x2xx2，？4,2,(2),2，2,(2,1),1,,1时方程有实数解;？当b,[,1,，,)xb,,1x,0(2)?当时，，?方程有唯一解;2,1x2xb,,1?当时，.？(2,1),1，b,2,1,1，bxx的解为;？2,0,1，1，b,0,？2,1，1，bx,log(1，1，b)2令1,1，b,0,1，b,1,,1,b,0,x的解为;？当,1,b,0时,2,1,1，bx,log(1,1，b)2综合?、?，得,1,b,01)当时原方程有两解:;x,log(1,1，b)2b,0或b,,12)当时，原方程有唯一解;x,log(1，1，b)2b,,13)当时，原方程无解.[评析]例3是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验.《训练题》一、选择题:*,n1,n,n1,n1(若N，则()n,4，2，1，4,2，1,,n1,n,2n222A(2B(C(D(log4log3234logx,log3,(log4，log3),(，)2(若，则x,()9434log4log334A(4B(16C(256D(81aaa0,a,13(当时，的大小关系是()a,a,aaaaaaaA(B(a,a,aa,a,aaaaaaaC(D(a,a,aa,a,a24(若，则a的取值范围是()log,1a3331,a,0,a,1或1,a,A(B(2222C(D(,a,10,a,或a,133x5(函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为()y,f(logx)y,f(2)2A([0，1]B([1，2]C([2，4]D([4，16]3f(x),log(x,ax)在(,3,,2)6(若函数上单调递减，则实数a的取值范围是()12A([9，12]B([4，12]C([4，27]D([9，27]二、填空题:log322(计算7.lg5，lg2,lg50，4,2x8(函数是减函数，则实数a的取值范围是.f(x),(a,1)log(1,k),19(若，则实数k的取值范围是.(1，k)af(x),log(x，,4)(a,0,且a,1)10(已知函数的值域为R，则实数a的取值范ax围是.三、解答题:112(aa，，2)(a，，3)21aaaa，,3,求11(已知的值.1a4a，4axx12(已知函数，f(x),lg(a,b)(a,1,0,b,1)(1)求的定义域;f(x)(2)此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴,(3)当a、b满足什么条件时恰在取正值.f(x)(1,，,)x，113(求函数的值域.f(x),log，log(x,1)，log(p,x)222x,114(在函数的图象上有A、B、Cy,logx(a,1,x,1)am，2m，4三点，它们的横坐标分别为、、，若m?ABC的面积为S，求函数的值域.S,f(m)15(已知函数，f(x),log(1，x),log(1,x)(a,0且a,1)aa(1)讨论的奇偶性与单调性;f(x)11{x|,,x,},求a(2)若不等式的解集为的值;|f(x)|,222,1(3)求的反函数;f(x)f(x)1,1,1f(1),(4)若，解关于的不等式R).xf(x),m(m,3《作案与解析》一、选择题:1.A2.C3.B4.D5.D6.A二、填空题(,1,0):(0，1)(0，1):(1，4]7(108(9(10((,2,0):(0,2)111211(，？a，,3,(a，),9,a，,7aaa1122，？(a，),49,a，,472aa33111111,,,12222222222？aa，,a，a,(a，a)[(a),a,a，(a)]aa11，,(a，)(a,1，),3，6,18aa111244而，a，,(a，),a，2，,544aaa(18，2)，(47，3)20，50.？原式,,,200555axxxxx？abab,,0,,(,0),(),112((1)，ba,1,a又，故函数的定义域是.？,,1,？x,0(0,，,),0,b,1b,(2)问题的结论取决于的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法:f(x)?求导，?运用单调性定义，?复合分析，但以方法?最好.a,1,lgexx,f(x),(alna,blnb),？(解一)求导得:，,xx0,b,1a,b,lna,0,xxxx？，，？alna,blnb,0,而lge,0,a,b,0,lnb,0,,在定义域内单调递增，故不存在所述两点;？f(x),0,f(x)xx22a,bfx,fx,()()lg(解二)任取x,x,0，则，2121xx11a,bxxxx2122,aaa,1,,ab,,xxxx2211abab？,,,,,,0,,1，,,xxxx1121b0,,1ab,,bb,,,？f(x),f(x),f(x)即在定义域内单调递增，故不存在所述两点;21(3)在单调递增，?命题等价于:，？f(x)(1，，,)f(1),0？a,b,113(？1,x,p(p,1),？f(x),log[(x，1)(p,x)]221(1)p,p，22，log[(1)]log[()],,