中考数学一轮复习强化训练：锐角三角函数（分层训练）原卷版

专题07锐角三角函数（分层训练）

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2022・吉林长春•校联考模拟预测）如图，河坝横断面迎水坡N3的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度2C

与水平宽度NC之比），坝高8c=3%,则坡面N8的长度最接近（）（参考数据：V3«1.73,踽=2.24）

D.9m

2.（2023上•广西玉林•九年级统考期中）将直角边长为3cm的等腰直角ZL4BC绕点力逆时针旋转15。后得到

SAB'C,则图中阴影部分的面积（）

A

CB

A.—cm2B.3V3cm2C.2V3cm2D.6cm2

3.（2023上•四川成都•九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在中，回C=90。，CD^AB,垂足为点

D,下列四个三角比正确的是（）

A./AC.AD,CD,CD

A.sinA=——B.cosA=—C.tanA=—D.cosA=—

ABACBDAD

4.（2022上•山东潍坊♦九年级统考阶段练习）如图，已知Rt△力BC,CD是斜边力B边上的高，那么下列结论

正确的是（）

A.CD=AB-tanBB.CD=AD•tanX

C.CD=AC•sinBD.CD=BC•cosZ

5.（2022下•全国•九年级统考期中）若明为锐角，且tan/=F，则cos/的值为（）

A.-B.—C.—D.V3

222

6.（2023•山东济宁,统考二模）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，在地面。处用高为1

米的测角仪测得路灯A的仰角为30。，再向路灯方向前进2米到达E处，又测得路灯4的仰角为45。（点4,B,

C,D,E,G在同一平面内），则路灯力离地面的高度为（）

A.3米B.（百+1）米C.（百+2）米D.2米

7.（2023上•山东德州•八年级校考期中）AABC为等腰直角三角形，EIC=90。，D为BC上一点，且AD=2CD,

贝l]EIDAB=（）

A.30°B.45°C.60°D.15°

8.（2023•吉林长春•统考一模）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对

面有一座高15米的瞭望塔力B,测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部4测得信

号塔顶C的仰角为a,则信号塔CD的高为（）

BD

A.（15+^^）米B.（15+25•sina）米

C.米D.（15+25•tana）米

9.（2023下,黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，线段2B和CD分别表示甲、

乙两幢楼的高，4B1BD于点B,CDLBD于点、D,从甲楼4处测得乙楼顶部C的仰角a=30。，测得乙楼底部

点D的俯角0=60°,且力B=24米，贝UCD为（）米.

A.34B.36C.32D.24+8百

10.（2022•河北衡水•校考模拟预测）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30。的方向航行lOkzn到4处，

然后右转40。再航行5遍km到B处.在点力的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那

么它的航向是（）

A.北偏东10。B.北偏东30。C.北偏东35。D.北偏东40。

11.（2023•重庆，重庆八中校考一模）小明在某个斜坡上，看到对面某高楼上方有一块宣传“中国国际

进口博览会”的竖直标语牌CD,小明在4点测得标语牌顶端。处的仰角为42。，并且测得斜坡的坡度为

/=1：V3（B、C、。在同一条直线上），已知斜坡48长20米，高楼高19米（即8c=19米），则标语牌。

的长是（）米.（结果保留小数点后一位）

（参考数据：sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.9,百~1.73）

A.2.3B.3.8C.6.5D.6.6

12.（2023•浙江杭州•校联考一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点4B,C,。都在这

些小正方形的格点上，AB,C。相交于点£,则sin04EC的值为（）

1

C.

5B-萼2

13.（2023・陕西・统考二模）如图,在A4BC中,点。为△力BC的内心，乙4=60°,BD-.CD=2:1,BD=4,

则ADBC的面积为（）

A.3B.2C.2V3D.3V3

14.（2023•河南南阳•统考二模）如图，反比例函数y=£（k力0）第一象限内的图象经过4A8C的顶点4,C,

AB=AC,且轴，点4C,的横坐标分别为1,3,若N&4c=120。，贝腺的值为（

A.1B.V2C.V3D.2

15.（2023上•九年级单元测试）如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过

来.此时，测得小船C的俯角是NFDC=30。，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平

行于2C所在的直线，迎水坡4B的坡度为i=4:3,坡长4B=10.5米，则此时小船C到岸边的距离C4的长为

（）米.（百〜1.7,结果保留两位有效数字）

A.11B.8.5C.7.2D.10

二、填空题

16.（2023广东东莞•东莞市东华初级中学校考模拟预测）已知AaBC中，ZC=90°,cosX=|,AC=6,那

么4B的长是.

17.（2023•福建泉州,校联考一模）机器人沿着坡度为1:7的斜坡向上走了5鱼米，则机器人在竖直方向上升

的高度为米.

18.（2023上•安徽安庆•九年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡的坡

比为1：/（坡比是坡面的铅直高度3C与水平宽度/C之比），坝高3C=4m,则坡面的长度是m.

19.（2023•江苏苏州•统考二模）如图，平面直角坐标系xQv中，EL405=60°,/O=8O,点8在x轴的正半轴

上，点尸是x轴正半轴上一动点，连接4P,以4P为边长，在4P的右侧作等边的PQ.设点P的横坐标为

x,点。的纵坐标为》则了与x的函数关系式是—.

20.（2023•江苏苏州•统考一模）如图，在回。中，^ACB=z£）=60°,AC=3,贝帆。的直径为.

21.（2023•浙江杭州•校考三模）如图，将A4BC沿3c翻折得到ADBC,再将△D8C绕C点逆时针旋转60。

得至IUFEC,延长BD交EE于H,已知EL42c=30。，BB/C=90。，/C=L则线段DE的长为—，四边形CD//F

的面积为.

cF

H

22.（2023•陕西宝鸡•统考三模）如图，已知在矩形48CD中，点E在边BC上，BE=2CE,将矩形沿着过点E的

直线翻折后，点C,D分别落在边BC下方的点处，且点在同一条直线上，折痕与边力D交于点F,»F

与BE交于点G.设48=75,那么AEPG的周长为.

23.（2023・湖北武汉•校考模拟预测）身高1.5m的小明想在校园里测量红旗杆的高度，他从仰角45。的地方靠

近6米后发现仰角变成了60。，则红旗杆的高度约为.（计算结果保留根号）.

24.（2022上•吉林长春•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，己知点P（0,2）,点4（4,2）,

以点P为旋转中心，把点/按逆时针方向旋转60°,得点8,在%（-白，0）,M2（-V3,-1）,M3（1,

4）,“4（2,y）四个点中，直线尸8经过的点是.

25.（2023•湖北随州・统考模拟预测）如图，在正方形4BCD中，点E在边3C上，若tanN瓦4C=%AB=4,

则BE=；若点G是4D中点，点〃是直线CD上的一动点，连GH,将△DG“沿着G”翻折得到△PG”,

连PB交AE于0,连P力、PD,当襄最小值时，则△P4D的面积为.

AGD

三、解答题

26.(2023上,上海浦东新•九年级校联考期中)求值2sin30。+10cos60--4tan45。：

27.(2024上•安徽池州•九年级统考期末)如图，在AABC中，AB=AC=10,sinS=

⑴求BC的长；

(2)求cosA的值.

28.(2023•山西・校联考一模)如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是2(0,2),

(1)将AABC向右平移4个单位长度后得到△4LB1Q,请画出△&B1C1；

(2)画出△4/iG关于%轴对称的△A282c2；

(3)连接04，求sinz/L42c2的值.

29.（2023上•辽宁鞍山•九年级统考期中）如图，将AZBC绕点C顺时针旋转一定角度得到AEDC,若点/、

D、£在同一条直线上，乙4cB=15。，ABAC=45。，

⑴求乙4CD的度数；

（2）若BC=6,求AD的长.

30.（2024上•北京平谷•九年级统考期末）如图，在△ABC中，AABC=135°,AB=2&，sinzC=|,求BC的

长.

3L（2022・重庆•西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立

即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在/地，小代家住在8地，健身馆在C地，在/处测得

健身馆C在N的北偏东15。方向上，在8处测得健身馆C在8的北偏西45。方向上，8在N的北偏东60。方

向上.某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在NC上的。处汇合，小明沿着NC方慢

跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D（参考数据：V3~1.73,&-1.41,V6»2.45）

⑴求小明家/到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）

（2）他们在。处汇合的时间恰好为13：57,若他们要在预定的14：00到达健身馆C,请问他们汇合之后的

速度至少应为多少？

32.（2023•湖南邵阳•统考一模）某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号

发射塔，如图所示.小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点力测得发射塔顶端。点的仰角是45。，测

得发射塔底部C点的仰角是30。.请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度.（结果精确到0.1米，次〜1.732）

33.(2023,江苏苏州•统考二模)计算：2cos60。-(-3)3+(n-V3)0-|-21.

34.（2023,江西,校联考模拟预测）如图1,一扇门ABCD,宽度AB=lm,A到墙角E的距离AE=0.5m,设

门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA团EB，），边BC靠在墙BC的位置.

B''

图1图2

（1）求EIBAB,的度数;

（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BBT设弧BB，与两墙角线围成区域（如图2）的面积

为SE）,求S的值（兀=3.14,V3=1.73,精确到0.1）.

35.（2022•广东东莞,石龙三中校考三模）如图，N8为。。的直径CE与。。相切于点。，与8/的延长线交

于点E,EF1C。交CO延长线于点尸，连接。。，CB,已知CB=3,EB=4/FEB=AFCB.

⑴求证：C5是。。的切线;

（2）求O。的半径；

⑶连接求sin/FBE.

【能力提升】

36.(2023上•湖南娄底•九年级统考期末)构建几何图形解决代数问题是"数形结合”思想的体现，在计算tanl5。

时，如图1,在RtAZCB中，NC=90°,/.ABC=30°,延长CB使8。=AB,连接4D,得=15°,所以tanl5°=

今=战=而言法同=2一旧.类比这种方法,

图1图2

⑴类比这种方法，求得tan22.5。=

⑵如图2,锐角乙4BC=a,已知tana=zn,求证：tan£=恒视二.

37.(2023下•福建龙岩•九年级校考期中)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad),如

图①，在AABC中，AB=AC,顶角/的正对记作sada,这时sad4=詈=露容易知道一个角的大小与

这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

(l)sad90°=.

⑵对于0。<4<180°,的正对值sad力的取值范围是

⑶如图②，已知sinA=|,其中NA为锐角，试求sadA的值.

38.(2023上,山东潍坊•九年级统考阶段练习)根据以下素材，探索完成任务

探究纸伞中的数学问题

A

我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1,伞不

素二学/B/D\C

管是张开还是收拢，4P是伞柄，伞骨=

材

AC,5.AE=^AB,AF=^AC,。点为伞圈，

1\P

DE=DF.I

佟11

A

伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收

.E(F)

素拢时伞骨的示意图，此时伞圈。滑动到D'的

材位置，且/、E、D'三点共线，测得Dr

250cm,AE=20cm,伞完全张开时NB4C=

P

120°,如图1所示.(参考值：V600«24.5)332

A

\\

项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往B\E\DC

素是斜打的，且都是平行的.如图3,某一天，

材雨线与地面夹角为60。小明同学站在伞

3圈。点的正下方G处，记为GH,止匕时，发

现身上被雨淋湿，测得BN=150cm.

1VGM

图3

问题解决

任

务判断力P位置(1)求证：4P是乙B4C的角平分线

1

任

探究伞圈移动距离(2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈。移动的距离;

务

2

任

（3）求伞至少向下移动距离多少，使得人站在G处身上

务拟定撑伞

不被雨淋湿.（直接写出答案）

3

39.（2023•河南信阳•校考三模）天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年（1267）,为七级六

角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位，某校数学"综合与实践”小组的同学把"测量善济塔的高度”

作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，他们在善济塔前的一棵树底

部。处测得塔顶N处的仰角为a,在塔底部8处测得大树顶部C处的仰角为0,测得树高CD为10m,为了

减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量

数据如下表（不完整）.

课题测量天王寺善济塔的高度

A

C/4

测量示s1说明：线段CD表示大树，线段48表示天王寺善济塔，点3,。在同

意图1i一条直线上，且点B,C,D都在同一竖直平面内

DB

测量项目