中考数学一轮复习强化训练：锐角三角函数（分层训练）解析版

专题07锐角三角函数（分层训练）

\J

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2022・吉林长春•校联考模拟预测）如图，河坝横断面迎水坡N3的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度2C

与水平宽度NC之比），坝高8c=3%,则坡面N8的长度最接近（）（参考数据：V3«1.73,踽=2.24）

A.5.2mB.6mC.6.7mD.9m

【答案】c

【分析】在必西8c中，已知坡面N3的坡比以及铅直高度2C的值，通过解直角三角形即可求出斜面N3的

长.

【详解】解：在RZEU8C中，5C=3TK，tanA=l：2；

^AC-BC-rtanA-6米，

EL4S=Vi4C2+BC2=V32+62=36.7（m）.

故选：C.

【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关

键.

2.（2023上•广西玉林•九年级统考期中）将直角边长为3cm的等腰直角ZL4BC绕点力逆时针旋转15。后得到

回力9C，，则图中阴影部分的面积（）

“362

A.——cmB.3V3cm2C.2V3cm2D.6cm2

2

【答案】A

【分析】根据旋转的性质，旋转角团G4C'=15回，则EB/C'=45团-15团=30。，可见阴影部分是一个锐角为30。的直

角三角形，且已知直角边/C'=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答.

【详解】解：设与8'。'交于。点,

根据旋转性质得NC4C'=15°,而NC4B=45°,

•••^C'AD=/.CAB-^CAC=30°,

又AC=AC=3cm,LC=NC=90°,

CD=AC-tan30°=V3,

阴影部分的面积=1X3xV3=手cm?.

故选：A.

【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形.旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对

对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素：①定点•旋转中心；②旋转方向；③

旋转角度

3.（2023上•四川成都•九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在必048c中，回C=90。，CDSAB,垂足为点

D,下列四个三角比正确的是（）

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA——D.cosA——

ABACBDAD

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义解答即可.

【详解】解：因为EL4c2=90。，CD^AB,

A

AC.CD

所以sinA=cosA=^=，=，

ABAD

故选:B.

【点睛】本题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答.

4.（2022上•山东潍坊•九年级统考阶段练习）如图，已知RtZk/BC,8是斜边边上的高，那么下列结论

正确的是（）

A.CD=AB-tan^B.CD=AD-tanA

C.CD=AC•sinBD.CD=BC•cosA

【答案】B

【分析】ABC,CD是斜边/B边上的高，可得乙4cB=乙4。。=乙8。。=90。，再利用锐角三角函数的定义

逐一分析即可.

【详解】解：团Rt/XZBC,CD是斜边边上的高，

国乙ACB=4ADC=4BDC=9。。,

i“CDBC」nCDAC

团一）

tanZ=—AD=A—C,tanB=—BD=BC

^1CD=AD,tanA,CD=BD•tanB,

故A不符合题意，B符合题意;

CDAC.ACAD

而

sinB—BC=—AB.C0Si4=A—B=A—C,

国CD=BC.sinB,

故C,D不符合题意;

故选B.

【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义并予以应用是解本题的关键.

5.（2022下•全国•九年级统考期中）若的为锐角，且tan，=F，则cos/的值为（）

A.-B.—C.—D.V3

222

【答案】c

【分析】根据特殊三角函数值可进行求解.

【详解】解：Eta1174=y,

回明=30°,

贝!Icos/=f.

故选：C.

【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键.

6.（2023•山东济宁•统考三模）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，在地面。处用高为1

米的测角仪测得路灯A的仰角为30。，再向路灯方向前进2米到达E处，又测得路灯4的仰角为45。（点4,B,

C,D,E,G在同一平面内），则路灯力离地面的高度为（）

A.3米B.（百+1）米C.（百+2）米D.2米

【答案】C

【分析】延长BC交AG于点M,由含45。角的直角三角形的性质可得AM=CM,再根据30。角的正切值进行

求解即可.

【详解】如图所示，延长BC交AG于点M,

由题可知BO=MG=1,DE=BC=2,△ABM和△ACM分别是含30。和45。的直角三角形，

SAM=CM,

设AM=CM=x,则BM=2+x,

0tan3O°=—=—=

BM2+x3

解得：%=V3+1,

EL4G=AM+GM=^3+2.

故答案选C.

【点睛】本题主要考查了利用三角函数测高的知识点，准确构造直角三角形是解题的关键.

7.(2023上•山东德州•八年级校考期中)AABC为等腰直角三角形，fflC=90",D为BC上一点，且AD=2CD,

贝I]E1DAB=()

A.30°B.45°C.60°D.15°

【答案】D

【分析】在RtlSADC中，由黑得到EIADC=60。，而taADCndSOnEIB+EIDAB,根据等腰直角三角形即可求出

0ADC.

【详解】解：在RifflADC中，EIC=90°,sin0CAD=^^

aaCAD=30°,

fflADC=60°

而I3ADC=I3B+回DAB

EEABC为等腰直角三角形，0C=9O°,

EBB=45。

00DAB=15°.

故选：D.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性质，掌握这些知识点是

解题关键.

8.(2023•吉林长春•统考一模)如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对

面有一座高15米的瞭望塔力B,测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部4测得信

号塔顶C的仰角为a,则信号塔CD的高为()

A.(15+亮)米B.(15+25•sina)米

C.(15+高)米D.(15+25•tana)米

【答案】D

【分析】过点工作4E1CD,垂足为E,4B=DE=15米，4E=BD=25米，从而求出CE=(%-15)米,

然后在RtAACE中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【详解】解：过点N作4E1CD,垂足为E

则4B=DE=15米，AE=BD=25米,

设CD=x米，

0C£=C。-DE=（X—15）米，

在RtAACE中，Z.CAE=a,

CEX-15

回tana=—

AE25

回％=15+25•tana,即CD=(15+25•tana)米

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

9.（2023下黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，线段4B和CD分别表示甲、

乙两幢楼的高，力于点B,CD1BD于点D,从甲楼4处测得乙楼顶部C的仰角a=30。，测得乙楼底部

点。的俯角0=60。，且48=24米，贝UCD为（）米.

A.34B.36C.32D.24+8百

【答案】C

【分析】首先由咏，CDWD,可得四边形是矩形，则可求得DE的长，然后由三角函数的性质，

求得CE的长，即可求得答案.

【详解】解：^AB^BD,CD^BD,

团四边形43DE是矩形，

SDE=AB=24m,

团在RZEHED中，力石=氤=,=8/（刈，

团在RfEXCE中，CE=AE-tana=8V3Xy=8（m）,

回CD=DE+CE=24+8=32（机）.

故选：C.

【点睛】此题考查了仰角与俯角的知识.注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.

10.（2022•河北衡水•校考模拟预测）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30。的方向航行10km到4处，

然后右转40。再航行5百km到B处.在点4的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那

么它的航向是（）

,'E

A.北偏东10。B.北偏东30。C.北偏东35。D.北偏东40。

【答案】C

【分析】连接BC,由题意得:/.ACP=/.ACD=90°,Z.PAC=30°,PA=10km,/.BAE=40。,AB=5gkm,

根据coszJMC=含=cos30°=曰得出AC=AB,进而根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：如图，连接

由题意得：4ACP=4ACD=90°,APAC=30°,PA=10km,乙BAE=40°,AB=5百km,

Z.BAC=180°-4PAC-Z.BAE=180°-30°-40°=110°,

cosZ-PAC=—=cos300=

PA2

：.AC=yPX=乎X10=5V3(km),

AC=AB,

4ACB=^ABC=|x(180°-4BAC)=|x(180°-110°)=35°,

即B处在C处的北偏东35。方向，

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键.

11.（2023,重庆・重庆八中校考一模）小明在某个斜坡上，看到对面某高楼BC上方有一块宣传"中国国际

进口博览会"的竖直标语牌CD,小明在/点测得标语牌顶端。处的仰角为42。，并且测得斜坡的坡度为

z-1：V3（B、C、。在同一条直线上），已知斜坡Z2长20米，高楼高19米（即BC=19米），则标语牌CZ）

的长是（）米.（结果保留小数点后一位）

（参考数据：sin420=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.9,V3«1.73）

A.2.3B.3.8C.6.5D.6.6

【答案】D

【分析】作AEE1BD于E.分别求出BE、DE,可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可.

【详解】解：如图，作于瓦

回斜坡的坡度为i=l：V3,

0tanEL45F=丝=2,

BFV33

EIEL45F=30o,

,11

EL4尸=-48=-X2O=1O,

22

BF=V3^=10V3,

尸=10,AE=BF=\G6.

在RtE14D£中，Z）£'=^£,»tan42o=10xl.73x0.9=15.57,EL8Z）=Z）E+5£=15.57+10=25.57,

SCD=BD-8c=25.57-19=6.6（机），

答：标语牌CD的长约为6.6m.

故选：D.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用一一仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解题的关

键是学会添加常用辅助线而构造直角三角形解决问题.

12.（2023•浙江杭州,校联考一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点B,C,。都在这

些小正方形的格点上，AB,CD相交于点E,则sin04&C的值为（）

B•瞽C-1

【答案】A

【分析】过A作AF回CD,构造出直角三角形，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出AF的长，然后利

用相似三角形的性质求出AE的长，根据正弦函数的定义即可得出答案.

【详解】过A作AFEICD于F,

在RtAADB中，BD=3,AD=3,由勾股定理得：AB=V32+32=3V2,

在RtACAD中，AC=1,AD=3,由勾股定理得：CD=V12+32=710,

由三角形的面积公式得：|xCDxAF=|xACxAD,

V10xAF=lx3,

解得：AF=察,

0AC0BD,

回回CEA回回DEB,

嗡噫，

4=缶

团AE=¥

3V10「

0sin0AEC=^=>=^

4

故选A.

【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、锐角三角形函数等知识点，能够正确作出辅助

线是解此题的关键.

13.（2023•陕西•统考二模）如图，在AABC中，点。为AABC的内心，乙4=60。，BD.CD=2:1,BD=4,

则ADBC的面积为（）

A.3B.2C.2A/3D.3旧

【答案】C

【分析】过点8作BH1CD于点H.由点。为AABC的内心，乙4=60。，得乙BDC=120。，贝吐8川/=60。,

由BD=4,BD:CD=2:1得BH=26,CD=2,于是求出ADBC的面积.

【详解】解：过点B作1CD于点心

回点。为AABC的内心，乙4=60。，

S/.BDC=90°+-ZX=90。+工x60°=120°,

22

贝此=60°,

EIBD=4,BD-.CD=2:1

WH=2,BH=2V3,CD=2,

0ADBC的面积为X2X2V3=28,

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

14.（2023•河南南阳•统考二模）如图，反比例函数y=：（kK0）第一象限内的图象经过zL48C的顶点2,C,

AB=AC,且BCly轴，点力，C,的横坐标分别为1,3,若NB4C=120。，贝峡的值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】先表示出CD,AD的长，然后在RtEIACD中利用I3ACD的正切列方程求解即可.

【详解】过点2作/WLBC,

团点4、点C的横坐标分别为1,3,

且4C均在反比例函数y=［第一象限内的图象上，

k

团CD=2,AD=k-,

3

团48=/C,Z.BAC=120°,AD1BC,

^ACD=30°,Z.ADC=90°,

An

团tan团ACD二一，

DC

0DC=V371D,即2=g（k-§,=V3.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握

各知识点是解答本题的关键.

15.（2023上•九年级单元测试）如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过

来.此时，测得小船C的俯角是NFDC=30。，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平

行于4c所在的直线，迎水坡4B的坡度为i=4:3,坡长4B=10.5米，则此时小船C到岸边的距离C4的长为

（）米.（b=1.7,结果保留两位有效数字）

A.11B.8.5C.7.2D.10

【答案】D

【分析】把N8和C。都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点8和点。到CA的距离，进

而利用俯角的正切值可求得CH长度.即为/C长度.

【详解】过点3作3砒4c于点£,延长。G交CN于点“，得和矩形

0z=—设8E=4x,贝lj/£=3x,AB=Sx.

AE3

MB=10.5,取=2.1,勖E=8.4,4氏6.3.

ST）G=1.6,BG=QJ,[?ir>/f=DG+G//=1.6+8.4=10,AH=AE+EH=63+Q7=7.

在Rt团CD”中，fflC=0FDC=3O°,DH=10tan30°=—=—,0C^17.

fCH3

又EIC77=C4+7,§P17=CA+7,回C/=17-7=10（米）.

故选D.

【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识.注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难

点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键.

二、填空题

16.（2023广东东莞冻莞市东华初级中学校考模拟预测）已知△ABC中，ZC=90°,cosX=|,AC=6,那

么48的长是.

【答案】10

【分析】根据余弦的定义：即邻边与斜边的比，进行解答即可.

【详解】在RtAABC中，

AAC3”,

cosA=—=AC=6,

AB5

•••AB—10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解本题的关键.

17.（2023•福建泉州•校联考一模）机器人沿着坡度为1:7的斜坡向上走了5鱼米，则机器人在竖直方向上升

的高度为米.

【答案】1

【分析】设机器人在竖直方向上升的高度为X米,根据坡度的概念用X表示出水平距离,根据勾股定理计算，

得到答案.

【详解】设机器人在竖直方向上升的高度为X米，

回坡度为1：7,

回水平距离为7x米，

由勾股定理得，x2+(7x)2=(5V2)2,

解得，x=l,

团机器人在竖直方向上升的高度为1米，

故答案是：1.

【点睛】考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是

解题的关键.

18.(2023上•安徽安庆•九年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习)如图，河坝横断面迎水坡的坡

比为1：鱼(坡比是坡面的铅直高度2c与水平宽度NC之比)，坝高BC=4m,则坡面N2的长度是m.

【答案】4V3

【分析】在火38c中，已知坡面的坡比以及铅直高度8c的值，通过解直角三角形即可求出斜面的

长.

【详解】解：在火烟48c中，8c=4米，=V2；

^AC-BC-rtcinA—4:y/2.1

...AB=心+(4V2)2=4V3,

故答案为：4V3.

【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，解题的关键是熟练运用勾股定理.

19.(2023•江苏苏州•统考二模)如图，平面直角坐标系xOy中，EL405=60°,点8在x轴的正半轴

上，点尸是x轴正半轴上一动点，连接4P,以/尸为边长，在4P的右侧作等边EAPQ.设点尸的横坐标为

x,点0的纵坐标为乃则歹与x的函数关系式是.

【答案】y=yX(X>0).

【分析】先求证加。8是等边三角形，并作出辅助线证得团。AP酿BAQ,得出^AOP=^ABQ=60°f

进一步求彳物QBH=60。,根据QH=y,〃Q=0B・sin6O°,得出y=fx(x>0).

【详解】连接50,过点。作0曲轴于H.

o

94O=BO,^L4OB=60f

团的08是等边三角形，

^AO=AB,回。/8=60°.

国曲0是等边三角形，

^AP=AQf回四0二60°,

团团。4厌配40,

回团CM尸二皿0,

团团04脱勖4QSAS),

^\OP=BQ=x,^\AOP=^ABQ=60°.

函480=60°,

团团。5/7=180°-60°-60°=60°.

团Q"=y,〃0=Q8・sin6O°,

眇=jx(x>0).

故答案为：y=—x(x>0).

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构

建求得是解题的关键.

20.(2023•江苏苏州•统考一模)如图，在回。中，乙4cB=ND=60。，AC=3,贝崛。的直径为.

【答案】2V3

【分析】如图，先判定AABC是等边三角形，AEOC=60°,再在RtAOEC中，根据60度角的正弦计算即可.

【详解】解：如图，作。E1BC于£,连接。B,OC,

融48(?是等边三角形，/.BOC=120°,

团BC=AC=3,

团0E1BC,

回BE=EC=-,

2

团OB=OC,

i

回4EOC=-Z-BOC=60°,

2

Hsin60°=—,

oc

HOC-V3,

团圆O直径为25/l

故答案为：2用

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上

述知识是解题的关键.

21.（2023,浙江杭州•校考三模）如图，将A/BC沿8C翻折得到△O8C,再将△O8C绕C点逆时针旋转60。

得到△尸EC,延长50交£尸于“，已知0Age=30。，05^C=9O°,AC=1,则线段DE的长为—，四边形CD/7F

的面积为一.

【分析】利用解直角三角形得到BC=2/C=2,AB=V3,再利用翻折、旋转的性质知/C=CD=CF=L

EL4c2=E1BCD=MCE=6O°,CE=CB=2,EF=BD=AB=W,H£=0ABC=3O。，贝UZ)E=1,接着计算出亚

然后利用S四边形CDHF=SACEF—SADEH进行计算・

【详解】解：aa48c=30°,勖/C=90°,AC=1,

^BC=2AC=2,

^AB^BC2-AC2=V22-l2=V3,

由翻折、旋转的性质知ZC=CD=CF=1,EL4CB=^BCD^FCE=60Q,

KIEL4c尸=180°,

即点/、C、/三点共线，

EICE=C8=2,EF=BD=AB=43,E1£=EL43c=30°,

ELD£=2-1=1,

在RtAOEH中，DH[DE],

S四边形CDHF=SACEF—S"DEH

1vB13V3

=-x1xV3一一x1x—

223

=V3

-3.

故答案为：1；冬

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了折叠的性质和含30度的直角三角形三边的关系.

22.（2023•陕西宝鸡•统考三模）如图，已知在矩形2BCD中，点E在边BC上，BE=2CE,将矩形沿着过点E的

直线翻折后，点C,D分别落在边BC下方的点L,〃处，且点在同一条直线上，折痕与边力O交于点F,»F

与BE交于点G.设48=g，那么AEFG的周长为.

【答案】6

【分析】连接BC',作1BC于H,则D'在BC上，FH=AB=V3,由翻折的性质得，CE=C'E,证明△EFG

是等边三角形，得出EF=FG=EG,/.FEG=60°,由三角函数求出EF,即可得出AEFG的周长.

【详解】解：连接BC',作FH1BC于如图所示:

则。'在BC上，FH=AB=V3,由翻折的性质得，CE=CE,

BE=2CE,

BE=2C'E,

又•••="=90°,

•••乙EBC'=30°,

/.FD'C=4。=90°,

•••乙BGD'=60°,

.­.乙FGE=Z.BGD'=60°,

•••AD||BC,

•••N4FG=Z.FGE=60°,

11

・•・乙EFG=j(180°-Zi4FG)=:(180°-60°)=60°,

.•.△EFG是等边三角形，

.­.EF=FG=EG,/.FEG=60°,

在RtAEF”中，

••.△EFG的周长=3EF=6,

故答案为6.

【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数；熟练掌握翻折

变换和举行的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

23.（2023•湖北武汉,校考模拟预测）身高1.5m的小明想在校园里测量红旗杆的高度，他从仰角45。的地方靠

近6米后发现仰角变成了60。，则红旗杆的高度约为.（计算结果保留根号）.

【答案】（9+3百）m

【分析】先根据题意画出示意图，再利用直角三角形的边角关系求解即可.

【详解】

如图所示，AB=CD=EF=1.5m,AD=BC=6m,乙HAE=45°,4HDE=60°,AE1HF,

在Rt△口£)£1中，由tanNHDE=器得,

HEDE-tanZ.HDE=aDE,

^/.HAE=45°,

EL4E=HE.

^\AE—AD+DE=6+DE,

06+DE=y[3DE.

EIDE=3V3+3.

0WF=WDE=V3（3V3+3）=9+3V3.

故答案是（9+3/）米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确画出示意图，构造直角三角形是解题的关键.

24.（2022上•吉林长春•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0,2）,点N（4,2）,

以点尸为旋转中心，把点/按逆时针方向旋转60°,得点2,在监（—圣0）,M2（-V3，-1）,M3（1,

【答案】“2

【分析】首先根据条件求出8点坐标,然后计算出总所在直线的函数表达式,最后将各点坐标代入表达式,

即可找到符合条件的答案；

【详解】解：回尸（0,2）,A（4,2）

盟14=PB=4

EB5/P=60°

W点的横坐标为PB-cos60°=4x2=2

B点的纵坐标为2+PB-sin60°=2+4x/=2+2行

回直线尸8过点尸和点8

即8所在直线的表达式为：y=V3x+2

将Mi（-/，0）,M2（-V3,-1）,Ms（L4）,M4（2,y）分别代入表达式，等式成立的只有“2；

故答案为M2.

【点睛】本题考查了60。角的三角函数，涉及了平面直角坐标系等相关知识，掌握并熟练使用相关知识，同

时注意在解题中需注意的事项是本题的解题关键.

25.（2023・湖北随州•统考模拟预测）如图，在正方形4BCD中，点E在边3C上，若tanN瓦4C=5AB=4,

则BE=；若点G是4。中点，点〃是直线CD上的一动点，连GH,将△DGH沿着GH翻折得到△PGH,

连PB交AE于0,连P力、PD,当襄最小值时，则△PAD的面积为.

【分析】作EF12C于尸，设CE=2x,BE=4-2x,在RtACEF中，表示出CF,AF,在RtAAEF中，根

据tanNE"列出方程求得结果；作PKIIBC,交4E于K,APKQ8EQ,根据比例性质得出当案最小

时，PK最大，可得点P在以G为圆心，2为半径的圆上，作PWII2E,切OG于P',交4。的延长线于忆

从而当点P运动到P'时，会最小，解直角三角形GV/P',进而解Rt△力TP',进一步求得结果.

【详解】解：①如图1,作EF14C于尸，

在正方形4BC0中，BC=AB=4,AC=V42+42=4V2,

设CE=lx,BE=4—lx,

在Rt△CEF中，由NECF=45。可得，EF=CF=CE-tan/ECF=2%-tan450=2%-y=V2x,

EL4FAC-CF4虎-V2x,

在Rt△/EF中，

^tanZ-EAC=-=

AF3

臼低％=1

4V2-V2X-3，

回％=1,

0CE=2x=2,BE=4—2x=2.

②如下图，作PKIIBC,与4E交于点K.贝UNKPQ=NBEQ,NKPQ=NEBQ,

券=些

PQPK

BE+PK

PK

喷=/+1，

回当我最小时＞

团由G是4。中点知，PG=DG=2,

团点P在以G为圆心，2为半径的圆上,

作PWII4E,切OG于P',

回当点P运动到P'时，武最小，

作P'TIAO于T,连接GP',

SGP'1P'W,

^AWP'+Z.WGP'=90°,

SADAE+ABAE=90°,

EINWGP'=/.BAE,

在Rtz\GWP，中，

pp-1

WP'=GP''tanAWGP'=2-tan^BAE=2x—=2x-=l,

AB2

在RtzkP'WT中，WP'=1,

P'T=WP'-sinz.AWP'=1-sin^AEB=—=:=-=^===—,

AEyJAB2+BE2A/42+222V55

团SAPAD=SA“D=：XADxP'T=（x4x学=".

故答案为：2；

【点睛】本题属于四边形的综合题，难度大，考查了正方形性质，解直角三角形，确定圆的条件，相似三

角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

三、解答题

26.（2023上•上海浦东新•九年级校联考期中）求值2sin30。+10cos60°-4tan45。：

【答案】2.

【分析】先将三角函数值代入，再根据混合运算顺序依此计算可得.

【详解】原式=2x1+10x1—4xl

=2

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握各特殊角的三角函数值.

27.（2024上•安徽池州•九年级统考期末）如图，在AABC中，AB=AC=10,sinfi=1.

⑴求8c的长；

⑵求cosA的值.

【答案】（1）12

【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，三角函数值相等，引

出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

(1)作力DJ.BC,根据sin乙4BD=*求出40,再根据勾股定理求出B0,利用等腰三角形的三线合一的性

AB

质得到BC；

(2)作4C,根据SAABC==SD,得出根据勾股定理得4H,即可得出cos/BAC；

【详解】(1)如图，过点力作4D1BC于点D,

4B="=10,

BC=2BD,

在RtZkZBO中，

vsinZ.ABD=—,

AB

4

•••AD=ABxsinZ.ABD=10x-=8,

22

BD=y/AB-AD="02-82=6,

则BC=2BD=12.

(2)如图，过点B作于H,

•••AH=7AB2-BH2=102一谭)214

5

14

AH7

cosZ-BAC=――=――=—

AB1025

28.(2023•山西•校联考一模)如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是4(0,2),

(1)将△ABC向右平移4个单位长度后得到△4/1G，请画出△A/iQ；

(2)画出△4/iG关于x轴对称的△482。2；

(3)连接。①，求sin/。42c2的值.

【答案】⑴见解析；(2)见解析；(3)三

【分析】⑴将A、B、C三点分别向右平移4个单位即可得到的回AiBiG；

⑵利用关于x轴的点的坐标特征描出A2、B2、C2的坐标，然后顺次连接即可;

⑶利用勾股定理的逆定理证得△O4G是等腰直角三角形，即可解决问题.

【详解】⑴如图，ElAiBiCi为所作;

⑵如图，回A2B2c2为所作；

⑶连接。的，

22

0C2=v2+4=2V5,

0A2=V22+42=2V5,

22

A2C2=V2+6=2V10,

0（2A/5）2+（2V5）2=（2V10）2,

222

0OC2+OX2=A2C2>且。C2=CM2，

0A。42。2是等腰直角三角形，且回。2。42=90°，

03。42c2=45°,

ElsinZ■。42c2=sin45°=—.

【点睛】本题主要考查了平移变换以及轴对称变换，勾股定理的逆定理，锐角三角函数等知识，正确得出

对应点位置是解题关键.

29.（2023上•辽宁鞍山•九年级统考期中）如图，将△4BC绕点C顺时针旋转一定角度得到AEDC,若点/、

D、E在同一条直线上，ZXCB=15°,ABAC=45°,

⑴求乙4CD的度数；

（2）若8c=6,求的长.

【答案】⑴75。

（2）3+373

【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后的对应

角.

(1)由旋转的性质可得C4=CE,^CAB^^CED,再由等腰三角形的性质可得NC4E=NE=45。，再利

用三角形的内角和及外角的性质可得答案.

⑵过点C作CH14E于“点，在Rt中，求得sin4WC=黑=f，再求得=38，DH=3,再

在在Rt△4cH中求得CH=AH=3百，最后求得结果.

【详解】(1)由旋转知：C4=CE,△CABm^CED,

0CD=CB,NE=ABAC=45°,Z.DCE=NBC4=15°,

^/.CAE=NE=45°,

国乙4CE=180°-Z.CAE一4E=180°-45°-45°=90°,

0ZXCP=ZACE-乙DCE=90°-15°=75°；

(2)过点。作CH于8点，

由（1）得：CD=CB=6,ACAE=45°,

0ZF=45°,乙DCE=15°,

0ZXDC=NE+乙DCE=15°+45°=60°,

在RtADHC中，/.ADC=60°,CD=6,

.CHV3

smZ-ADC=—=一,

CD2

0CW=?CD*x6=3V3,DH=VCD2-CH2=心一（3百『=3.

在RtA2CH中ZC40=45°,tanzCXD=黑=1,

EICH=AH=3V3,

EL4D=AH+DH=3+3V3.

30.（2024上•北京平谷•九年级统考期末）如图，在△ABC中，乙48。=135。，AB=2&，sin"=|,求BC的

长.

A

【答案】5C=V21-2

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点4作4。1BC交底CB延长线于点。，由乙4BC=135。,

得乙4BD=45。，易得AD=BD=2,根据sin/C=|=桀，求出4C,即可求出BC的长.

【详解】解：如图，过点N作力D1BC交底CB延长线于点。，

.­.Z.ABD=180°-Z.ABC=45°,

•••AD=BD,

•••AD1BC,AB=2V2

.­./.ADB=90°,

•••yjAD2+BD2=72AD2=AB=2VL

AD=BD=2,

・..2AD

••sinzc=5-=—AC,

AC=5,

0C£>=ylAC2-AD2=V21

BCCD-BD=VH-2.

31.（2022・重庆・西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立

即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在/地，小代家住在8地，健身馆在C地，在/处测得

健身馆C在N的北偏东15。方向上，在3处测得健身馆C在8的北偏西45。方向上，8在N的北偏东60。方

向上.某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在NC上的。处汇合，小明沿着/C方慢

跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟至UD(参考数据：V3«1.73,V2«1.41,V6«2.45)

⑴求小明家/到小代家5的距离；(结果精确到0.1m)

⑵他们在。处汇合的时间恰好为13：57,若他们要在预定的14：00到达健身馆C,请问他们汇合之后的

速度至少应为多少？

【答案】⑴小明家4到小代家8的距离约为1229.4m；

(2)他们汇合之后的速度至少应为245m/min.

【分析】(1)过点。作。£1348于点E,根据题意可得血^=45。，EZ)A4=30。，AD=180x5=900(m),然后利

用含30度角的直角三角形即可解决问题;

(2)过点。作DR3BC于点R根据题意可得回。=60。，M)AF=45。，SD=180x5=900(m),利用锐角三角函

数可得CD,设他们汇合之后的速度为vm/min,进而列式3V=300前，进而即可解决问题.

【详解】(1)如图，过点。作。的43于点E,

根据题意可知：ELEU£=45°,SDA4=30°,80=180x5=900(m),

1

'S\DE=AE=-BD^50m,

2

EL8£,=V3Z)£=450V3m,

SL4B=AE+BE=450+450V3=450(V3+1)=1229.4(m).

IB小明家/到小代家B的距离约为1229.4m；

(2)如图，过点。作。脱8C于点R

根据题意可知：0C=6O°,ELD5F=45°,8D=900m,

ElZ)F=5Z)x5z7745o=900xy=450V2(m),

BCD=CD==300V6(m),

sin60V3

2

设他们汇合之后的速度为vm/min,

0C£>=(14：00-13：57)v=3v(m),

03v=3OOV6,

0v=lOOV6=：245(m/min),

回他们汇合之后的速度至少应为245m/min.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义.

32.(2023,湖南邵阳•统考一模)某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号

发射塔，如图所示.小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点4测得发射塔顶端。点的仰角是45。，测

得发射塔底部C点的仰角是30。.请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度.(结果精确到0.1米，遮〜1.732)

【答案】信号发射塔DC的高度为65.9米.

【分析】有题意得4048=45。，NC28=30。，DBLAB,8C=90,然后在Rt△ABC与Rt△280中解直角

三角形即可.

【详解】解：由题意得：^DAB=45°,2LCAB=30°,DB1AB,BC=90

回在Rt△ABC与Rt△ABD中

AB==二=90V3,4DAB=Z.ADB=45°,

tan^CAB叵

3

SBD=48=90V3

0£)C=DB-BC=90V3-90«65.9

即信号发射塔DC的高度为65.9米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意找到所需的直角三角形并灵活应用三角函数成为

解答本题的关键.

33.（2023,江苏苏州•统考二模）计算：2cos60。-（-3）3+（n-V3）0-|-21.

【答案】点

【详解】试题分析：直接利用零指数幕的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幕的性质分别化简得出答

案.

试题解析：

解：原式=2x工+2+1-2

227

_1

27,

点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

34.（2023•江西•校联考模拟预测）如图1,一扇门ABCD,宽度AB=lm,A到墙角E的距离AE=0.5m,设

E,A,B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA回EB，），边BC靠在墙BC的位置.

（1）求EIBAB'的度数;

（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB',设弧BB，与两墙角线围成区域（如图2）的面积

为S（m2）,求S的值（n=3.14,73=1.73,精确到0.1）.

【答案】（1）120°；（2）1.3m2

【分析】（1）连接AB，，在RMEAB',利用cos/£;4B'=至=工求出NE4B'进而求出I3BAB，的度数即可;

ABr2

（2）根据S=SAEW+S扇松BB，计算即可.

【详解】解：（1）如图，连接AB，,

B'-

团EA回EB',

团团AEB'=90°,

团AB=AB'=lm,AE=0.5m,

・•.B'E=Vl2-0-52=0.5V3m,

,•,COSZ£XB,=S=1

回团EAB'=60°,

团团BAB'=120°.

（2）S=S4EAB'+S扇形ABB'

11V3120-7T-I2

=-X—X——I---------————

222360

V371

-------1----

83

~1.3m2.

【点睛】本题考查解直角三角形、扇形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

35.(2022・广东东莞•石龙三中校考三模)如图，45为。。的直径CE与。。相切于点。，与8/的延长线交

于点£,EF1C。交CO延长线于点尸，连接OD,CB,已知=3,=4,=乙汽方.

⑴求证：C8是。。的切线;

(2)求。。的半径；

(3)连接求sinNFBE.

【答案】⑴证明见详解；

(2)|;

(3)y.

【分析】(1)根据三角形内角和定理及切线的判定方法可得结论；

(2)利用切线的性质及勾股定理可得答案；

(3)延长C2,EF交于点P,利用全等三角形的判定与性质可得EP=PR再根据直角三角形的性质、勾股

定理及解直角三角形可得答案.

【详解】(1)证明：在回。斯和回03c中，

^FEB=^FCB,^\EOF^\BOC,

EB£尸0=回08。=90°,

回08是半径，

团C8是O。的切线；

(2)ffl0C5£=9O°,BC=3,BE=4,

EICE=V42+32=5,

团CD,C8是O。的切线，

EICD=C8=3,

前£=2,

设O。的半径为x,

^OD=OB=x,

EI0E=4-x,

在R/EIODE中，%2+22=(4-%)2,

取=|,即00的半径为去

(3)如图，延长C8,跖交于点尸,

E

0CD,C8是。。的切线，

^\ECF=^\PCF9

团CREPE,

000^=007^=90°,

在团CFE和田。五产中，

Z.ECF=Z.PCF

CF=CF

"FE=乙CFP=90°

^CFE^ICFP(£4S),

^\EF=PF,

mEBP=90°,

^\EF=PF=BF,

^\FPB=^FBP,

团团P+团产。尸=90°,^\FBP^FBE=90°,

^FBE=^\FCP,

团即明E二团OC5,

回OB=三,BC=3,

2

回心卜+(I)?=苧

3r

的施。。8=丝=袅=空，

0C辿5

2

HsinElFS^y.

【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、垂径定理及勾股定理，正确作出

辅助线是