浙江中考数学二轮复习题型专练：函数与四边形存在性（解析版）

题型七函数与四边形存在性问题

【要点提炼】

一、平行四边形存在性

例1、如图直角坐标系中有三个点A、B、C,坐标平面内是否存在点D,使以A、B、C、D为顶点的

四边形为平行四边形

①画出D存在的所有情况和位置，如图

②代数法

以AC为对角线以AB为对角线以BC为对角线

XA+XC=XB+XDxA+xB=xc+xDxc+xB=xA+xD

yA+%=%+%yA+%=%+如yc+%=以+如

二、菱形存在性

例2、如图直角坐标系中有一点B,C为X轴上一点，坐标平面内是否存在点D,使以A、B、C、D

为顶点的四边形为菱形

①画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以0、B、C三点做等腰三角形的方法，即两圆一

线

②代数法

以其中一个情况为例，如图，当我们确定0、B、C的位置后，可以以0C、0B为邻边做出菱形0CDB,

该四边形可以看作是以0D为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方

程，再用两点间距离公式加入一个0B=0C的方程即可求解

xo+xD=xB+xc

%+如=%+Jc

V(%-％了+(%-%了=J(%-4丫+(%-%丫

三、矩形存在性

例3、如图直角坐标系中有一点B,C为x轴上一点，坐标平面内是否存在点D,使以A、B、C、D

为顶点的四边形为矩形

①画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以0、B、C三点做直角三角形的方法，即两线一

②代数法

以其中一个情况为例，如图，当我们确定0、B、C的位置后，可以以0C、0B为邻边做出矩形0CDB,

该四边形可以看作是以0C为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方

程，而由于矩形对角线相等，再用两点间距离公式加入一个0C=BD的方程即可求解

xo+xc=xB+xD

yo+yc=yB+yD

2(如-力尸

如。-xc)+(y0-ycy=-*J+

【专题训练】

1.(2020•广安)如图，抛物线y=/+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的

直线/交抛物线于点C(2,"力.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点尸是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最大时点尸

的坐标.

(3)点尸是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点。，使得以点A,C,D,尸为顶点的四边形

是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；如果不存在，请说明理由.

【解析】解：(1)将A(-b0),B(3,0)代入y=/+6x+c,

得到E7注二°n

19+3b+c=0

解得

-2x-3.

(2)将C点的横坐标x=2代入y=7-2x-3,得y=-3,；.C(2,-3)；

直线AC的函数解析式是y=-x-1.

设尸点的横坐标为x(-1WXW2),则P、E的坐标分别为：P(x,-X-1),£-2x-3)；

：尸点在E点的上方，PE=(-%-1)-(x2-2x-3)=-/+x+2,

=-(x-1)2+1,

V-l<0,

.,.当x同时，PE的最大值=5,此时尸-|).

(3)存在.

理由：如图，设抛物线与y的交点为K,由题意K(0,-3),

VC(2,-3),

.•.CK〃x轴，CK=2,

当AC是平行四边形AC为。i的边时，可得。1(-3,0).

当AC是平行四边形AHCD2的对角线时，AD2=CK,可得。2(1,0),

当点F在x轴的上方时，令y=3,3=/-2x-3,

解得尤=1士夕，

：.F3(1-V7,3),F4(1+V7,3),

由平移的性质可知£)3(4-V7,0),。4(4+V7,0).

综上所述，满足条件的点D的坐标为(-3,0)或(1,0)或(4-V7,0)或(4+V7,0).

2.(2020•葫芦岛)如图，抛物线>=以2+热+。(°#0)与x轴相交于点A(-1,0)和点8,与y

轴相交于点C(0,3),作直线BC.

(2)在直线BC上方的抛物线上存在点使求点。的坐标；

7

(3)在(2)的条件下，点尸的坐标为(0,一)，点M在抛物线上，点N在直线BC上.当以Z),

2

F,M,N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标.

【解析】解：(1)..,抛物线y=ax2+jx+c经过点A(-1,0),C(0,3)，

...卜一?+c=0,解得：卜=/

(c=3=3

329

y---%+%+3

抛物线的解析式为:44-

(2)如图1,过点。作CE〃工轴父抛物线于点E,贝ijNECB=NA3C

过点。作OH_LCE于点”，则NOHC=90°，

丁/DCB=/DCH+/ECB=2/ABC,

：.ZDCH=ZABC,

VZDHC=ZCOB=90°,

：./\DCHs丛CBO,

.DHCH

••=,

COBO

39

2

-t+-t+

设点。的横坐标为/,则。(t,443)

cl/3

x(),

39

2

DH---t+-t

44

QQ

・・•点3是、=—+/+3与x轴的交点,

39

2

-X-

44

解得XI=4,X2=-L

・・・3的坐标为（4,0）,

・•・08=4,

-为2+4t

.44_士

••———,

34

解得九=0（舍去），ti=2.

・,•点£)的纵坐标为：—+3=

Q

则点。坐标为(2,2)；

(3)设直线8C的解析式为：y=kx+b,

则｛：:+3。=°，解得:k=~l,

0=3

直线8c的解析式为：y=-,x+3,

设N（m,—j«i+3），

4

分两种情况:

①如图2-1和图2-2,以。/为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行

四边形，

97

\'D(2,-)，F(0,-),

22

3

Af(772+2,—彳m+4)f

4

代入抛物线的解析式得：—弓(血+2)2+[(6+2)+3=—^m+4,

解得：m=士坐,

:.N(y,3—乎)或(—苧,3+苧)；

②如图3-1和3-2,以。尸为边，OM为对角线，四边形是平行四边形,

同理得：A/（m-2,—彳m+2），

q

代入抛物线的解析式得：一汽瓶一2）2+久血一2）+3=-1m+2,

解得：加=4±4^,

./,V66V66—/4V66

・・NAT（4A+24—，一三一）A或（4一十一，---）；

34D4

综上，点N的坐标分别为：（f,3—苧）或（—,,3+1）或（4+9等，—当^）或（4—

V66

---）.

4

3.（2020•阜新）如图，二次函数y=x1+bx+c的图象交无轴于点A（-3,0）,2（1,0）,交y

轴于点C.点、P（m,0）是x轴上的一动点，PMLx^,交直线AC于点M,交抛物线于点N.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点尸仅在线段A。上运动，如图，求线段MN的最大值；

②若点P在无轴上运动，则在y轴上是否存在点。，使以M,N,C,。为顶点的四边形为菱形.若

存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：（1）把A（-3,0）,8（1,0）代入y=/+6x+c中，得

Ay=x2+2x-3.

⑵①设直线AC的表达式为丫=丘+6,把4(-3,0),C(0,-3)代入v=—.得C—《，八

i—3/c+D=0

解得值:二，

•'•y=-x-3,

・・,点尸(m,0)是1轴上的一动点，且PMLx轴.

.\M(m,-m-3),NQm,nr+lm-3),

MN—(-m-3)-(m2+2m-3)=-m2-3m=-(m+^)2+p

•.•〃=-l<0,

・・・此函数有最大值.

又,・,点尸在线段。4上运动，且-3〈遥<0,

Q9

・・・当相=-5时，有最大值一.

/4

②如图2-1中，当点M在线段AC上，MN=MC,四边形MNQC是菱形时.

/--加2-3m=—42m,

解得/"=-3+鱼或0(舍弃)

:.MN=3近一2,

:.CQ=MN=3戊-2,

02=372+1,

：.Q(0,-3V2-1).

如图2-2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN=MN=CQ=2,可

得。（0,-1）.

如图2-3中，当点M在C4延长线上时，MN=CM,四边形MNQC是菱形时,

解得ni=-3-e或0（舍弃）,

：.MN=CQ=3y[2+2,

：.OQ=CQ-OC=?>y[2-1,

：.Q(0,3V2-1).

当点P在y轴的右侧时，显然MN>CM,此时满足条件的菱形不存在.

综上所述，满足条件的点。的坐标为(0,-3&T)或(0,-1)或(0,3V2-1).

4.(2020•兰州)如图，二次函数y=#+6尤+。的图象过点A(4,-4),B(-2,m),交y轴于

点C(0,-4).直线2。与抛物线相交于另一点连接A2,A。，点£是线段上的一动点，

过点E作EF//BD交AD于点F.

(1)求二次函数y=^r+bx+c的表达式；

(2)判断△ABD的形状，并说明理由；

(3)在点E的运动过程中，直线8。上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG

与2。的数量关系，并求出点£的坐标；

(4)点X是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点尸是平面内使得/£尸尸=90°的点，在抛物线

的对称轴上，是否存在点。，使得尸。是以/尸。”为直角的等腰直角三角形，若存在，直接

写出符合条件的所有点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：⑴：二次函数尸#+bx+c的图象过点A(4,-4),点C(0,-4),

.CC=-4

••14+4b+c=—4'

解得｛:二二;，

...二次函数的解析式为产32_X-4.

(2)△A3。是直角三角形，理由：

B(-2,机)在y=寺x2-x-4,

：.B(-2,-1),

/.直线0B的解析式为y=

1

y--X

由2

1解得［1二(即点B)或后鼠，

y-X2X4

4--

84

A44

AB=v62+32=3V5,AD=V42+82=4V5,BD=V102+52=5V5,

222

：.BD=AB+ADf

：.ZBAD=90°,

J△ABO是直角三角形.

(3)结论AG=扣。.

理由：如图1中，连接AG,交EF于H.

M

•・•四边形AEG尸是矩形,

:・AH=HG,EH=FH,

■:EF〃BD,

AEAH

•__i

••—i,

EBGH

:・AE=BE,

•,»E(1,—77)，

..EH_AHFH

EH=FH,

*BG~AGDG‘

:・BG=GD,

'：ZBAD=90°,

1

：.AG=^BD.

(4)如图2中，设石厂的中点为K,P(x,y),连接尸K.

,:E(1,-p,F(6,0),

母，*卜+(乔=攀

VZEPF=90°,

・••点尸在以Eb为直径的OK上运动，

•••△尸。”是等腰直角三角形，NPQH=90°,

：.ZQHP=45°,

•・,抛物线的顶点”(2,-5),

・,・直线PH的解析式为y=x-7,

1

'：PK=^EF,

Q

解得y=_4或一甲

：.Q（2,-4）或（2,一椅）

5.（2020•济南）如图，矩形。4BC的顶点A,C分别落在无轴，y轴的正半轴上，顶点2（2,2次）,

反比例函数y=（（尤>0）的图象与BC,分别交于。，E,BD=

（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；

（2）写出。E与AC的位置关系并说明理由；

（3）点/在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形8CFG为菱形时，求出点G的坐标并判

断点G是否在反比例函数图象上.

【解析】解：（1）,:B（2,2V3）,则BC=2,

1

而BD=

••・。。=2—怖=<故点。2V3）,

222

将点。的坐标代入反比例函数表达式得：2V3=1,解得k=3百,

故反比例函数表达式为y=学，

当x=2时，y=邛^，故点石（2,—；

,入3L-3V3-L

（2）由（1）知，D（-,2V3）,点、E（2,一）,点5（2,2百）,

22

则30=2，BE=*

1A/3

tlBD71EBV1BD

XBC-2-4’48-2V3-4-BC

.,.DE//AC；

(3)①当点尸在点C的下方时，

当点G在点尸的右方时，如下图,

过点尸作轴于点X,

,/四边形BCFG为菱形，则BC=CF=FG=BG=2,

在Rt/XOAC中，0A=8C=2,0C=AB=2®

则tan/OCA=故/0cA=30°,

则FH=1FC=1,CH=CF*COSZOCA=2x苧=百，

故点尸(1,V3),则点G(3,国)，

当x=3时，＞=空=百，故点G在反比例函数图象上;

②当点尸在点C的上方时，

同理可得，点G(1,3V3)，

同理可得，点G在反比例函数图象上；

综上，点G的坐标为（3,次）或（1,3V3）都在反比例函数图象上.

6.（2020•辽阳）如图，抛物线y=o?_2倔'+c（。/0）过点。（0,0）和A（6,0）.点B是抛

物线的顶点，点。是x轴下方抛物线上的一点，连接。3,OD.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当/8。。=30°时，求点。的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交无轴于点C,交线段OD于点E,点厂是线

段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF,将沿EF折叠，点B的对应点

为点8',与的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点H,使以点E,F,G,

X为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点X的坐标，若不存在，请说明理由.

备用图

【解析】解：（1）把点。（0,0）和A（6,0）代入产办2_2倔r+c中,

得至436a—12旧+c=0'

_V3

解得Cl=

。=0

抛物线的解析式为尸争2-2