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文档简介
题型七函数与四边形存在性问题
【要点提炼】
一、平行四边形存在性
例1、如图直角坐标系中有三个点A、B、C,坐标平面内是否存在点D,使以A、B、C、D为顶点的
四边形为平行四边形
①画出D存在的所有情况和位置,如图
②代数法
以AC为对角线以AB为对角线以BC为对角线
XA+XC=XB+XDxA+xB=xc+xDxc+xB=xA+xD
yA+%=%+%yA+%=%+如yc+%=以+如
二、菱形存在性
例2、如图直角坐标系中有一点B,C为X轴上一点,坐标平面内是否存在点D,使以A、B、C、D
为顶点的四边形为菱形
①画出所有可能存在的点C的位置,使用的方法为以0、B、C三点做等腰三角形的方法,即两圆一
线
②代数法
以其中一个情况为例,如图,当我们确定0、B、C的位置后,可以以0C、0B为邻边做出菱形0CDB,
该四边形可以看作是以0D为对角线的平行四边形,则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方
程,再用两点间距离公式加入一个0B=0C的方程即可求解
xo+xD=xB+xc
%+如=%+Jc
V(%-%了+(%-%了=J(%-4丫+(%-%丫
三、矩形存在性
例3、如图直角坐标系中有一点B,C为x轴上一点,坐标平面内是否存在点D,使以A、B、C、D
为顶点的四边形为矩形
①画出所有可能存在的点C的位置,使用的方法为以0、B、C三点做直角三角形的方法,即两线一
②代数法
以其中一个情况为例,如图,当我们确定0、B、C的位置后,可以以0C、0B为邻边做出矩形0CDB,
该四边形可以看作是以0C为对角线的平行四边形,则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方
程,而由于矩形对角线相等,再用两点间距离公式加入一个0C=BD的方程即可求解
xo+xc=xB+xD
yo+yc=yB+yD
2(如-力尸
如。-xc)+(y0-ycy=-*J+
【专题训练】
1.(2020•广安)如图,抛物线y=/+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,过点A的
直线/交抛物线于点C(2,"力.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点尸是线段AC上一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最大时点尸
的坐标.
(3)点尸是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点。,使得以点A,C,D,尸为顶点的四边形
是平行四边形?如果存在,请直接写出所有满足条件的点。的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】解:(1)将A(-b0),B(3,0)代入y=/+6x+c,
得到E7注二°n
19+3b+c=0
解得
-2x-3.
(2)将C点的横坐标x=2代入y=7-2x-3,得y=-3,;.C(2,-3);
直线AC的函数解析式是y=-x-1.
设尸点的横坐标为x(-1WXW2),则P、E的坐标分别为:P(x,-X-1),£-2x-3);
:尸点在E点的上方,PE=(-%-1)-(x2-2x-3)=-/+x+2,
=-(x-1)2+1,
V-l<0,
.,.当x同时,PE的最大值=5,此时尸-|).
(3)存在.
理由:如图,设抛物线与y的交点为K,由题意K(0,-3),
VC(2,-3),
.•.CK〃x轴,CK=2,
当AC是平行四边形AC为。i的边时,可得。1(-3,0).
当AC是平行四边形AHCD2的对角线时,AD2=CK,可得。2(1,0),
当点F在x轴的上方时,令y=3,3=/-2x-3,
解得尤=1士夕,
:.F3(1-V7,3),F4(1+V7,3),
由平移的性质可知£)3(4-V7,0),。4(4+V7,0).
综上所述,满足条件的点D的坐标为(-3,0)或(1,0)或(4-V7,0)或(4+V7,0).
2.(2020•葫芦岛)如图,抛物线>=以2+热+。(°#0)与x轴相交于点A(-1,0)和点8,与y
轴相交于点C(0,3),作直线BC.
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点使求点。的坐标;
7
(3)在(2)的条件下,点尸的坐标为(0,一),点M在抛物线上,点N在直线BC上.当以Z),
2
F,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点N的坐标.
【解析】解:(1)..,抛物线y=ax2+jx+c经过点A(-1,0),C(0,3),
...卜一?+c=0,解得:卜=/
(c=3=3
329
y---%+%+3
抛物线的解析式为:44-
(2)如图1,过点。作CE〃工轴父抛物线于点E,贝ijNECB=NA3C
过点。作OH_LCE于点”,则NOHC=90°,
丁/DCB=/DCH+/ECB=2/ABC,
:.ZDCH=ZABC,
VZDHC=ZCOB=90°,
:./\DCHs丛CBO,
.DHCH
••=,
COBO
39
2
-t+-t+
设点。的横坐标为/,则。(t,443)
cl/3
x(),
39
2
DH---t+-t
44
・・•点3是、=—+/+3与x轴的交点,
39
2
-X-
44
解得XI=4,X2=-L
・・・3的坐标为(4,0),
・•・08=4,
-为2+4t
.44_士
••———,
34
解得九=0(舍去),ti=2.
・,•点£)的纵坐标为:—+3=
Q
则点。坐标为(2,2);
(3)设直线8C的解析式为:y=kx+b,
则{::+3。=°,解得:k=~l,
0=3
直线8c的解析式为:y=-,x+3,
设N(m,—j«i+3),
4
分两种情况:
①如图2-1和图2-2,以。/为边,DN为对角线,N在x轴的上方时,四边形DFNM是平行
四边形,
97
\'D(2,-),F(0,-),
22
3
Af(772+2,—彳m+4)f
4
代入抛物线的解析式得:—弓(血+2)2+[(6+2)+3=—^m+4,
解得:m=士坐,
:.N(y,3—乎)或(—苧,3+苧);
②如图3-1和3-2,以。尸为边,OM为对角线,四边形是平行四边形,
同理得:A/(m-2,—彳m+2),
q
代入抛物线的解析式得:一汽瓶一2)2+久血一2)+3=-1m+2,
解得:加=4±4^,
./,V66V66—/4V66
・・NAT(4A+24—,一三一)A或(4一十一,---);
34D4
综上,点N的坐标分别为:(f,3—苧)或(—,,3+1)或(4+9等,—当^)或(4—
V66
---).
4
3.(2020•阜新)如图,二次函数y=x1+bx+c的图象交无轴于点A(-3,0),2(1,0),交y
轴于点C.点、P(m,0)是x轴上的一动点,PMLx^,交直线AC于点M,交抛物线于点N.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)①若点尸仅在线段A。上运动,如图,求线段MN的最大值;
②若点P在无轴上运动,则在y轴上是否存在点。,使以M,N,C,。为顶点的四边形为菱形.若
存在,请直接写出所有满足条件的点。的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】解:(1)把A(-3,0),8(1,0)代入y=/+6x+c中,得
Ay=x2+2x-3.
⑵①设直线AC的表达式为丫=丘+6,把4(-3,0),C(0,-3)代入v=—.得C—《,八
i—3/c+D=0
解得值:二,
•'•y=-x-3,
・・,点尸(m,0)是1轴上的一动点,且PMLx轴.
.\M(m,-m-3),NQm,nr+lm-3),
MN—(-m-3)-(m2+2m-3)=-m2-3m=-(m+^)2+p
•.•〃=-l<0,
・・・此函数有最大值.
又,・,点尸在线段。4上运动,且-3〈遥<0,
Q9
・・・当相=-5时,有最大值一.
/4
②如图2-1中,当点M在线段AC上,MN=MC,四边形MNQC是菱形时.
/--加2-3m=—42m,
解得/"=-3+鱼或0(舍弃)
:.MN=3近一2,
:.CQ=MN=3戊-2,
02=372+1,
:.Q(0,-3V2-1).
如图2-2中,当MC是菱形的对角线时,四边形MNCQ是正方形,此时CN=MN=CQ=2,可
得。(0,-1).
如图2-3中,当点M在C4延长线上时,MN=CM,四边形MNQC是菱形时,
解得ni=-3-e或0(舍弃),
:.MN=CQ=3y[2+2,
:.OQ=CQ-OC=?>y[2-1,
:.Q(0,3V2-1).
当点P在y轴的右侧时,显然MN>CM,此时满足条件的菱形不存在.
综上所述,满足条件的点。的坐标为(0,-3&T)或(0,-1)或(0,3V2-1).
4.(2020•兰州)如图,二次函数y=#+6尤+。的图象过点A(4,-4),B(-2,m),交y轴于
点C(0,-4).直线2。与抛物线相交于另一点连接A2,A。,点£是线段上的一动点,
过点E作EF//BD交AD于点F.
(1)求二次函数y=^r+bx+c的表达式;
(2)判断△ABD的形状,并说明理由;
(3)在点E的运动过程中,直线8。上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形,请判断此时AG
与2。的数量关系,并求出点£的坐标;
(4)点X是抛物线的顶点,在(3)的条件下,点尸是平面内使得/£尸尸=90°的点,在抛物线
的对称轴上,是否存在点。,使得尸。是以/尸。”为直角的等腰直角三角形,若存在,直接
写出符合条件的所有点。的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】解:⑴:二次函数尸#+bx+c的图象过点A(4,-4),点C(0,-4),
.CC=-4
••14+4b+c=—4'
解得{:二二;,
...二次函数的解析式为产32_X-4.
(2)△A3。是直角三角形,理由:
B(-2,机)在y=寺x2-x-4,
:.B(-2,-1),
/.直线0B的解析式为y=
1
y--X
由2
1解得[1二(即点B)或后鼠,
y-X2X4
4--
84
A44
AB=v62+32=3V5,AD=V42+82=4V5,BD=V102+52=5V5,
222
:.BD=AB+ADf
:.ZBAD=90°,
J△ABO是直角三角形.
(3)结论AG=扣。.
理由:如图1中,连接AG,交EF于H.
M
•・•四边形AEG尸是矩形,
:・AH=HG,EH=FH,
■:EF〃BD,
AEAH
•__i
••—i,
EBGH
:・AE=BE,
•,»E(1,—77),
..EH_AHFH
EH=FH,
*BG~AGDG‘
:・BG=GD,
':ZBAD=90°,
1
:.AG=^BD.
(4)如图2中,设石厂的中点为K,P(x,y),连接尸K.
,:E(1,-p,F(6,0),
母,*卜+(乔=攀
VZEPF=90°,
・••点尸在以Eb为直径的OK上运动,
•••△尸。”是等腰直角三角形,NPQH=90°,
:.ZQHP=45°,
•・,抛物线的顶点”(2,-5),
・,・直线PH的解析式为y=x-7,
1
':PK=^EF,
Q
解得y=_4或一甲
:.Q(2,-4)或(2,一椅)
5.(2020•济南)如图,矩形。4BC的顶点A,C分别落在无轴,y轴的正半轴上,顶点2(2,2次),
反比例函数y=((尤>0)的图象与BC,分别交于。,E,BD=
(1)求反比例函数关系式和点E的坐标;
(2)写出。E与AC的位置关系并说明理由;
(3)点/在直线AC上,点G是坐标系内点,当四边形8CFG为菱形时,求出点G的坐标并判
断点G是否在反比例函数图象上.
【解析】解:(1),:B(2,2V3),则BC=2,
1
而BD=
••・。。=2—怖=<故点。2V3),
222
将点。的坐标代入反比例函数表达式得:2V3=1,解得k=3百,
故反比例函数表达式为y=学,
当x=2时,y=邛^,故点石(2,—;
,入3L-3V3-L
(2)由(1)知,D(-,2V3),点、E(2,一),点5(2,2百),
22
则30=2,BE=*
1A/3
tlBD71EBV1BD
XBC-2-4’48-2V3-4-BC
.,.DE//AC;
(3)①当点尸在点C的下方时,
当点G在点尸的右方时,如下图,
过点尸作轴于点X,
,/四边形BCFG为菱形,则BC=CF=FG=BG=2,
在Rt/XOAC中,0A=8C=2,0C=AB=2®
则tan/OCA=故/0cA=30°,
则FH=1FC=1,CH=CF*COSZOCA=2x苧=百,
故点尸(1,V3),则点G(3,国),
当x=3时,>=空=百,故点G在反比例函数图象上;
②当点尸在点C的上方时,
同理可得,点G(1,3V3),
同理可得,点G在反比例函数图象上;
综上,点G的坐标为(3,次)或(1,3V3)都在反比例函数图象上.
6.(2020•辽阳)如图,抛物线y=o?_2倔'+c(。/0)过点。(0,0)和A(6,0).点B是抛
物线的顶点,点。是x轴下方抛物线上的一点,连接。3,OD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,当/8。。=30°时,求点。的坐标;
(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交无轴于点C,交线段OD于点E,点厂是线
段OB上的动点(点F不与点O和点B重合),连接EF,将沿EF折叠,点B的对应点
为点8',与的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点H,使以点E,F,G,
X为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点X的坐标,若不存在,请说明理由.
备用图
【解析】解:(1)把点。(0,0)和A(6,0)代入产办2_2倔r+c中,
得至436a—12旧+c=0'
_V3
解得Cl=
。=0
抛物线的解析式为尸争2-2
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