中考数学压轴题专项突破：平行四边形的存在性问题（含答案及解析）

专题10平行四边形的存在性问题

一、知识导航

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

(1)对应边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:

X-X=*口-XC

(1)对边平行且相等可转化为:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解为点8移动到点A,点c移动到点。，移动路径完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)对角线互相平分转化为：\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解为AC的中点也是8D的中点.

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

当AC和为对角线时，结果可简记为：A+C=B+D(各个点对应的横纵坐标相力口)

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问:若坐标系

中的4个点A、B、C、。满足“A+C=B+。''，则四边形4BCD是否一定为平行四边形？

反例如下:

D

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点''并不是完全等价的转化,

故存在反例.

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

(1)四边形ABC。是平行四边形：AC、8。一定是对角线.

(2)以A、B、C、。四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.

二、典例精析

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动’'和"两定两动''两大类问题.

1.三定一动

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点。使得以A、B、C、。四个点为顶点的四边形是

平行四边形.

思路1:利用对角线互相平分，分类讨论:

设。点坐标为(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴为对角线时,可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、，…、(1+3=5+加八/、

(2)AC为对角线时，。二0,解得2—1,4；

[2+5=3+〃—

,、，[1+5=3+机/、

⑶AB为对角线时，2+3=5+〃'解得。3(3，。).

2

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此处特指点的横纵坐标相加减)

2.两定两动

已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上，点。在y轴上，且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边

形，求C、D坐标.

【分析】

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)当A8为对角线时，，c°，解得o＞故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)当AC为对角线时，，八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃？\m=-2

(3)当AD为对角线时，，^,解得，，故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

3

“三定一动’'的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动’'中动点是在平面中，横纵坐标都不确

定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，

用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若把一个字母称

为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量x2.

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究

其原因，在于平行四边形两大性质：

(1)对边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

[x.+x=x+x

但此两个性质统一成一个等式：《*crBn"n,

〔以+%=%+%

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未

知量.

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题.

三、中考真题演练

1.(2023•山东淄博・中考真题)如图，一条抛物线丫=0?+云经过二。18的三个顶点，其中。为坐标原点,

点A(3,-3),点B在第一象限内，对称轴是直线尤=',且一。的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

⑵求点8的坐标；

(3)设C为线段A3的中点，尸为直线上的一个动点，连接AP,CP,将△ACP沿CP翻折，点A的对应

点为A.问是否存在点P,使得以A，P,C,3为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合

条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4

2.（2023・广东广州•中考真题）已知点在函数＞=-口》＜0）的图象上.

（1）若机=-2,求〃的值；

⑵抛物线y=（x-〃z）（x-〃）与X轴交于两点M,在N的左边），与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E.

①加为何值时，点E到达最高处;

②设GMV的外接圆圆心为C,.C与y轴的另一个交点为R当m+〃20时，是否存在四边形尸GEC为平

行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.

3

3.（2023・山东•中考真题）如图，直线，=-》+4交x轴于点8,交＞轴于点C,对称轴为尤=]的抛物线经

过BC两点，交无轴负半轴于点A.尸为抛物线上一动点，点尸的横坐标为机，过点尸作无轴的平行线交

抛物线于另一点加，作无轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交，轴于点O.

（1）求抛物线的解析式;

3

（2）若0＜根＜],当为何值时,四边形CDNP是平行四边形?

4.（2023•山东聊城•中考真题）如图①，抛物线＞=加+版-9与x轴交于点A（-3,0）,B（6,0）,与y轴交于

点C,连接AC,2c点尸是无轴上任意一点.

5

⑴求抛物线的表达式；

(2)点。在抛物线上，若以点A,C,P,。为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点。的坐标；

5.(2023•山东枣庄•中考真题)如图，抛物线》=-炉+法+，经过4(-1,0)](0,3)两点，并交x轴于另一点

直线AM与轴交于点Z).

(1)求该抛物线的表达式;

(3)若点尸是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点。，使得以。，M,P,。为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请亶谈写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2023•甘肃武威・中考真题)如图1,抛物线＞=7+乐与无轴交于点A,与直线丁=-%交于点3(4,T),

点C(O,~4)在y轴上.点P从点8出发，沿线段8。方向匀速运动，运动到点。时停止.

6

（1）求抛物线y=-£+区的表达式；

⑵当8尸=20时，请在图1中过点尸作即，。4交抛物线于点。，连接PC,0D,判断四边形OCPD的

形状，并说明理由.

7.（2023・四川巴中•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线6=苏+弧+或"0）经过点A（-l,0）和8（0,3）,

其顶点的横坐标为1.

⑴求抛物线的表达式.

（3）若点尸为抛物线>=依2+法+°（。*（））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，。为平移后

抛物线上一动点.在（2）的条件下求得的点“，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出。

点坐标；若不能构成，请说明理由.

8.（2023・四川南充・中考真题）如图1,抛物线y=a/+bx+3（a^O）与尤轴交于A（T。），8（3,0）两点,

与y轴交于点c.

7

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，点。在x轴上，以2,C,P,。为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

4

9.(2023・四川自贡・中考真题)如图，抛物线＞=-§1+法+4与；1轴交于4-3,0),8两点，与V轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及8,C两点坐标；

⑵以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标;

8

专题10平行四边形的存在性问题

一、知识导航

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

(1)对应边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:

X-X=*口-XC

(1)对边平行且相等可转化为:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解为点8移动到点A,点c移动到点。，移动路径完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)对角线互相平分转化为：\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解为AC的中点也是8D的中点.

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

当AC和为对角线时，结果可简记为：A+C=B+D(各个点对应的横纵坐标相力口)

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问:若坐标系

中的4个点A、B、C、。满足“A+C=B+。''，则四边形4BCD是否一定为平行四边形？

9

反例如下:

D

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点''并不是完全等价的转化,

故存在反例.

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

(1)四边形ABC。是平行四边形：AC、8。一定是对角线.

(2)以A、B、C、。四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.

二、典例精析

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动’'和“两定两动”两大类问题.

3.三定一动

已知A(1,2)8(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点。使得以A、B、C、。四个点为顶点的四边形是

平行四边形.

思路1:利用对角线互相平分，分类讨论:

设。点坐标为(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴为对角线时,可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、，…、(1+3=5+加八/、

(2)AC为对角线时，。二0,解得2—1,4；

[2+5=3+〃—

,、，[1+5=3+机/、

⑶AB为对角线时，2+3=5+〃'解得。3(3，。).

10

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此处特指点的横纵坐标相加减)

4.两定两动

已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上，点。在y轴上，且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边

形，求C、D坐标.

【分析】

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)当A8为对角线时，，c°，解得o＞故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)当AC为对角线时，，八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃？\m=-2

(3)当AD为对角线时，，^,解得，，故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

11

“三定一动’'的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动’'中动点是在平面中，横纵坐标都不确

定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，

用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若把一个字母称

为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量x2.

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究

其原因，在于平行四边形两大性质：

(1)对边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

[x.+x=x+x

但此两个性质统一成一个等式：《*crBn"n,

〔以+%=%+%

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未

知量.

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题.

三、中考真题演练

1.(2023•山东淄博・中考真题)如图，一条抛物线丫=0?+云经过二。18的三个顶点，其中。为坐标原点,

点A(3,-3),点B在第一象限内，对称轴是直线尤=',且一。的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

⑵求点8的坐标；

(3)设C为线段A3的中点，尸为直线上的一个动点，连接AP,CP,将△ACP沿CP翻折，点A的对应

点为A.问是否存在点P,使得以A，P,C,3为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合

条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】⑴y=§无2-3尤

12

（2）（6,6）

33或卜

(3)存在,尸点的坐标为

2；2

b9

【分析】(1)根据对称轴为直线X=-将点A代入，进而待定系数法求解析式即可求解；

2a4

(2)过点A作斯，y轴交于E点，过8点作交于尸点，继而表示出的

面积，根据OAB的面积为18,解方程，即可求解.

(3)先得出直线。3的解析式为，=无，设尸(//),当为平行四边形的对角线时，可得AP=AC,当BC

为平行四边形的对角线时，BP=AC,进而建立方程，得出点P的坐标，即可求解.

h9

【详解】(1)解：,・•对称轴为直线％=-(•=：,

2a4

Q

b=——。①，

2

将点A(3,-3)代入y=ax-+bxn，

：.9a+3b=-3@,

'2

a=—

联立①②得，［3,

b=-3

2

二解析式为y=无；

(2)设如图所示，过点A作轴交于E点，过8点作B尸，防交于尸点，

尸（私-3）,E（0,-3）,

贝！JOE=3,AE=3,AF=m—3,BF=^m2—3m+3,

13

1f2\1

=—mx—m2-3m+3+3——x3x=18

,・°AOB2（3）2

解得：加=6或m=-3（舍去）,

（3）存在点P,使得以A，P,C,5为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

VA（3-3）,B（6,6）,

设直线08的解析式为y=履,

**•6k=6,解得：k=l9

・•・直线03的解析式为丁二%,

设尸（口）,

如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，BC//A.P,

BC=A,Pf

AC=BC,

AC=AXP,

由对称性可知AC=A。，AP=\P,

：.AP=AC,

J（，-3）2+t+3）2=Jn+卜一目

3

解得：

•・•尸点的坐标为［l，l］或1I，-|）

如图3,当BC为平行四边形的对角线时，BP//A.C,BP=AlC,

14

图3

由对称性可知，AC=AiC,

：.BP=AC,

解得：，=捶+6或/=-垣+6,

22

-至+6、

P点的坐标为

2

7

3屋1

综上所述,P点的坐标为_----------1-0

2

7

7

2.(2023•广东广州•中考真题)已知点P(〃〃)在函数y=G(x<0)的图象上.

(1)若机=-2,求〃的值；

(2)抛物线y=(x-〃z)(x-")与无轴交于两点M,在N的左边)，与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E.

①加为何值时，点E到达最高处；

②设GMN的外接圆圆心为C,C与y轴的另一个交点为R当m+〃大0时，是否存在四边形尸GEC为平

行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)〃的值为1;

(2)@m=-A/2;②假设存在，顶点E的坐标为，或"

22

【分析】(1)把m=—2代入y=——(%<0)得〃=一不二1,即可求解；

x-2

+T111

(2)@x=-------,^y=(x-m)(x-n)=——(m-n)2=-2——(m+n)2<-2,即可求解；

244

15

11(in+nli

②求出直线75的表达式为：y=得到点C的坐标为一^，-不；由垂径定理知，点C在

FG的中垂线上，则FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3；由四边形尸GEC为平行四边形，则

17

CE=FG=3=yc-yE=---yE,求出左二一万，进而求解.

22

【详解】(1)解：把机=一2代入y=-一(％＜。)得〃=一一-=1；

x-2

故〃的值为1;

(2)解：①在y=(x-〃j)(x-")中，令y=0,则(x-〃z)(无一")=。，

解得X='"或％=”，

,N(n,O),

2

点P(利①在函数y=——(％<0)的图象上，

x

:.mn=-2,

«YYl+Yl/=,、/、1..7-1/

令兀=----,y=(x—m)(x—n)=——(m-n)=—2—(m+n)<—2,

244

即当m+几=0,且mn=-2,

则疗=2,解得：机=-&(正值已舍去)，

即〃z=-时，点E到达最高处；

②假设存在，理由：

对于/=，当x=0时，y=mn=-2,即点G(0,-2),

由①得M(加,0),N(n,0),GO-2),E(^^,--(m-n)2),对称轴为直线x=丝士,

242

由点M(m,0)、G(0,-2)的坐标知，tan/OMG="=2,

OM-m

作MG的中垂线交MG于点T,交，轴于点S,交x轴于点K,则点7(；加，-1

则tanNMKT=——m,

2

则直线方的表达式为：y=-1m(x-1m)-l.

16

“m+n…1I、1I

当％=—时，y=--m(x--m)-l=~-,

„,.s।一、t「m+nI)

则点c的坐标为[--一I.

由垂径定理知，点C在尸G的中垂线上，则FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3.

四边形FGEC为平行四边形,

贝I]CE=FG=3=外一为=一3一，

7

解得：%=一万，

I,7

J!Lmn=-2,

贝！Jm+n=±y[6)

顶点E的坐标为一半,-g，或

3

3.(2023・山东•中考真题)如图,直线y=-x+4交无轴于点8,交y轴于点C,对称轴为龙=］的抛物线经

过BC两点，交》轴负半轴于点A.尸为抛物线上一动点，点尸的横坐标为m,过点尸作x轴的平行线交

抛物线于另一点作无轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交了轴于点O.

(1)求抛物线的解析式；

3

(2)若。<m<5，当机为何值时，四边形CDVP是平行四边形？

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式；

(2)结合平行四边形的性质，通过求直线MN的函数解析式，列方程求解;

【详解】(1)解：在直线>=一》+4中，当x=0时，y=4,当y=0时，x=4,

点3(4,0),点。(0,4),

设抛物线的解析式为y=+k,

17

a+%=0

把点8（4,0），点。（0,4）代入可得，

a+2二4

Q=-1

解得

k三

4

二・抛物线的解析式为y=—1%—+等=一'+3%+4;

(2)解：由题意，尸(私-加之+3帆+4),

**•PN=—m2+3m+4，

当四边形CDV尸是平行四边形时，PN=CD,

OD=—m2+3m+4—4=—m2+3m，

Z>(0,m2-3m),N(m,0),

设直线脑V的解析式为丁=幻+病-3根,

把N（〃0）代入可得左即+苏-3m=0,

解得勺=3—

/.直线脑V的解析式为y=（3-m）x+m2-3m,

3

又•・・过点尸作工轴的平行线交抛物线于另一点M,且抛物线对称轴为%=1,

—m,—m2+3m+4）

（3—m）2+m2—3m——m2+3m+4,

解得（不合题意，舍去），"7,=%二包；

T323

4.（2023•山东聊城中考真题）如图①，抛物线>=加+法-9与犬轴交于点4（-3,0）,5（6,0）,与y轴交于

点C,连接AC,点尸是无轴上任意一点.

18

⑴求抛物线的表达式；

（2）点。在抛物线上，若以点A,C,P,。为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点。的坐标；

【分析】（1）将A（—3,0）,3（6,0）代入〉=62+版-9,待定系数法确定函数解析式；

131Q

（2）由二次函数y=；V-1x-9,求得点CQ-9）,设点P（肛0）,点。（“3"-衬9）,分类讨论：当AC

为边，AQ为对角线时，当AC为边，钎为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求

解；

【详解】（1）将A（TO）,3（6,0）代入>=^2+"-9,得

（9a-3b-9=0”万

*"7Qn'解得3

ib=——

I2

13

；・抛物线解析式为：y=1x2-j%-9

13

（2）二次函数>=］尤2一］彳一9,当x=0时，y=-9

.•.点C（0,-9）

13

设点p（机⑼，点。（",万〃2--n-9）,

当AC为边，A。为对角线时，

四边形ACQ尸为平行四边形，

AAQ,CP互相平分

13

-n2--n-9=-9解得，71=0（舍去）或”=3

点。坐标（3,-9）；

19

2222

3

：.-n2-n-9=9

22

二点0坐标(|+2乎,9)或47,9)

综上，点0坐标(3,-9),或弓+上乎⑼或W，9)；

5.(2023•山东枣庄•中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-l,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B,

直线AM与轴交于点D

20

(1)求该抛物线的表达式；

(3)若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点。，使得以。，M,P,0为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请申谈写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；

(3)分DM,DP,MP分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：V抛物线y=-x2+次+c经过A(-1,O),C(0,3)两点,

J—1—Z?+c=O[b=2

解得：。

[c=3[c=3

••y=-%2+2x+3；

(3)解：存在；

y=-x2+2尤+3=-(x-l)2+4,

对称轴为直线x=l,

设尸(pj),Q。,"),

当以。，M,P,。为顶点的四边形是平行四边形时:

1+P=0+1

①DM为对角线时:

%+〃=4+2

当夕=。时，t=3,

〃=3,

2(1.3)；

0+p=l+l

②当DP为对角线时:

2+%=4+〃

21

P=2

2+f=4+〃

当p=2时，Z=-22+2X2+3=3,

••H=1,

Q(L1)；

…fl+7?=0+l

③当MP为对角线时：|4+r=2+w.

[n-t=2

当p=0时，t=3,

••〃=5,

•••2(1,5)；

综上：当以。，M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q。,3)或。(LI)或0(1,5).

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题.正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函

数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

6.(2023•甘肃武威・中考真题)如图1,抛物线、=-X2+灰与x轴交于点A,与直线'%交于点以4,-4),

22

点c(o,-4)在y轴上.点尸从点8出发，沿线段8。方向匀速运动，运动到点。时停止.

⑴求抛物线yn-V+foc的表达式；

⑵当8尸=20时，请在图1中过点尸作即，。4交抛物线于点。，连接PC,0D,判断四边形OCPO的

形状，并说明理由.

【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)作尸交抛物线于点。，垂足为"，连接尸C,0D,由点尸在丁=-%上，可知尸"，

ZPOH=45°,连接5C,得出05=4后，讽OH=PH=^OP=显又26=2,当芍=2时，

22

DH=%=—4+3X2=2,进而得出PD=OC,然后证明PD〃OC,即可得出结论；

【详解】(1)解：:抛物线y=3+桁过点B(4,T),

・•・-16+4Z?=-4,

：.b=3,

y——彳2+3x；

(2)四边形OCPD是平行四边形.

理由：如图1,作尸交抛物线于点。，垂足为H,连接尸C,0D.

:点尸在丁=一》上，

OH=PH,NPOH=45。,

连接BC,

OC=BC=4,

•,OB=45/2>

23

,•*BP=2V2，

OP=OB-BP=26，

OH=PH=—OP=—X2A/2=2，

22

当4=2时，DH=JD=-4+3X2=2,

/.PD=DH+PH=2+2=4,

VC（0,-4）,

，OC=4,

PD=OC,

；OC_Lx轴，PD_Lx轴，

PD//OC,

...四边形OCPO是平行四边形；

7.（2023・四川巴中•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线'=62+汝+，（。W0）经过点4（-1,0）和8（0,3）,

其顶点的横坐标为1.

（1）求抛物线的表达式.

（3）若点尸为抛物线y=ax2+6x+c（aw0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，。为平移后

抛物线上一动点.在（2）的条件下求得的点M,是否能与A、尸、。构成平行四边形？若能构成，求出。

点坐标；若不能构成，请说明理由.

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（3）由⑴知，y=*+2x+3向左平移后的抛物线为y=-/+4,由⑵知加@,，）4㈠,。），设

尸（1,孙）,。（尤2，坨），假设存在以A、P、。、M为顶点的平行四边形.根据中点坐标公式，分类讨论即可

求解，①当以AM为对角线时，②当以AQ为对角线时，③当以AP为对角线时.

【详解】（1）解：抛物线的顶点横坐标为1

.•.对称轴为x=l

24

A(-1,O)

，与x轴另一交点为(3,0)

设抛物线为y=a(x+D(尤-3)

QB(0,3)

a=-1

y=—(x+l)(x—3)

抛物线的表达式为y=-X2+2X+3

(3)由(1)知，＞=-尤2+2工+3向左平移后的抛物线为、=一_?+4

315

由(2)知M,A(T0)

2'T

设P(L力),。(&,%)，假设存在以A、P、Q、加为顶点的平行四边形.

①当以AM为对角线时,

平行四边形对角线互相平分

.产+%=%+/,即7+]]+%

。o--------=-------

Q在抛物线y=-x2+4上

15

••=J

.二。的坐标为

②当以A。为对角线时

11+—

同理可得之士%=/+〜即]+%、2

222-2

733

••・%=5则坨=：

Q的坐标为

25

③当以A尸为对角线时

3

%、+/=%+时,gn-i+iXQ+2

2―2，-------=--------

Zz22

37

.••%=一/则为二

Q的坐标为

综上所述：存在以A、P、。、”为顶点的平行四边形.

【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形

的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8.(2023・四川南充・中考真题)如图1,抛物线y=o?+bx+3(叱0)与x轴交于A(-l,0),以3,0)两点,

与y轴交于点c.

B\xEB\x

⑴求抛物线的解析式；

⑵点尸在抛物线上，点。在％轴上，以aC,尸，。为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

【分析】(1)将A(T,0),3(3,0)两点代入抛物线的解析式即可求解；

(2)根据尸，。的不确定性，进行分类讨论：①过C作CP〃尤轴，交抛物线于《，过A作6Q1〃BC,交x

轴于可得为=3,由-f+2x+3=3,可求解；②在尤轴的负半轴上取点。2,过。2作。2鸟〃BC,交抛

物线于8,同时使2£=8C,连接C2、BP2,过鸟作鸟轴，交x轴于。，