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专题10平行四边形的存在性问题

一、知识导航

考虑到求证平行四边形存在,必先了解平行四边形性质:

(1)对应边平行且相等;

(2)对角线互相平分.

这是图形的性质,我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:

X-X=*口-XC

(1)对边平行且相等可转化为:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解为点8移动到点A,点c移动到点。,移动路径完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)对角线互相平分转化为:\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解为AC的中点也是8D的中点.

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样,但其实可以化为统一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

当AC和为对角线时,结果可简记为:A+C=B+D(各个点对应的横纵坐标相力口)

以上是对于平行四边形性质的分析,而我们要求证的是平行四边形存在性问题,此处当有一问:若坐标系

中的4个点A、B、C、。满足“A+C=B+。'',则四边形4BCD是否一定为平行四边形?

反例如下:

D

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点''并不是完全等价的转化,

故存在反例.

虽有反例,但并不影响运用此结论解题,另外,还需注意对对角线的讨论:

(1)四边形ABC。是平行四边形:AC、8。一定是对角线.

(2)以A、B、C、。四个点为顶点是四边形是平行四边形:对角线不确定需要分类讨论.

二、典例精析

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动’'和"两定两动''两大类问题.

1.三定一动

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点。使得以A、B、C、。四个点为顶点的四边形是

平行四边形.

思路1:利用对角线互相平分,分类讨论:

设。点坐标为(m,力),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴为对角线时,可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、,…、(1+3=5+加八/、

(2)AC为对角线时,。二0,解得2—1,4;

[2+5=3+〃—

,、,[1+5=3+机/、

⑶AB为对角线时,2+3=5+〃'解得。3(3,。).

2

当然,如果对这个计算过程非常熟悉的话,也不用列方程解,直接列算式即可.

比如:D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此处特指点的横纵坐标相加减)

2.两定两动

已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上,点。在y轴上,且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边

形,求C、D坐标.

【分析】

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)当A8为对角线时,,c°,解得o>故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)当AC为对角线时,,八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃?\m=-2

(3)当AD为对角线时,,^,解得,,故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

3

“三定一动’'的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动’'中动点是在平面中,横纵坐标都不确

定,需要用两个字母表示,这样的我们姑且称为“全动点”,而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上,

用一个字母即可表示点坐标,称为“半动点

从上面例子可以看出,虽然动点数量不同,但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若把一个字母称

为一个“未知量”也可理解为:全动点未知量=半动点未知量x2.

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量,都是根据图形决定的,像平行四边形,只能有2个未知量.究

其原因,在于平行四边形两大性质:

(1)对边平行且相等;

(2)对角线互相平分.

[x.+x=x+x

但此两个性质统一成一个等式:《*crBn"n,

〔以+%=%+%

两个等式,只能允许最多存在两个未知数,即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未

知量.

由图形性质可知未知量,由未知量可知动点设计,由动点设计可化解问题.

三、中考真题演练

1.(2023•山东淄博・中考真题)如图,一条抛物线丫=0?+云经过二。18的三个顶点,其中。为坐标原点,

点A(3,-3),点B在第一象限内,对称轴是直线尤=',且一。的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式;

⑵求点8的坐标;

(3)设C为线段A3的中点,尸为直线上的一个动点,连接AP,CP,将△ACP沿CP翻折,点A的对应

点为A.问是否存在点P,使得以A,P,C,3为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合

条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

4

2.(2023・广东广州•中考真题)已知点在函数>=-口》<0)的图象上.

(1)若机=-2,求〃的值;

⑵抛物线y=(x-〃z)(x-〃)与X轴交于两点M,在N的左边),与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E.

①加为何值时,点E到达最高处;

②设GMV的外接圆圆心为C,.C与y轴的另一个交点为R当m+〃20时,是否存在四边形尸GEC为平

行四边形?若存在,求此时顶点E的坐标;若不存在,请说明理由.

3

3.(2023・山东•中考真题)如图,直线,=-》+4交x轴于点8,交>轴于点C,对称轴为尤=]的抛物线经

过BC两点,交无轴负半轴于点A.尸为抛物线上一动点,点尸的横坐标为机,过点尸作无轴的平行线交

抛物线于另一点加,作无轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交,轴于点O.

(1)求抛物线的解析式;

3

(2)若0<根<],当为何值时,四边形CDNP是平行四边形?

4.(2023•山东聊城•中考真题)如图①,抛物线>=加+版-9与x轴交于点A(-3,0),B(6,0),与y轴交于

点C,连接AC,2c点尸是无轴上任意一点.

5

⑴求抛物线的表达式;

(2)点。在抛物线上,若以点A,C,P,。为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点。的坐标;

5.(2023•山东枣庄•中考真题)如图,抛物线》=-炉+法+,经过4(-1,0)](0,3)两点,并交x轴于另一点

直线AM与轴交于点Z).

(1)求该抛物线的表达式;

(3)若点尸是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点。,使得以。,M,P,。为顶点的四边形是平行四

边形?若存在,请亶谈写出所有满足条件的点。的坐标;若不存在,请说明理由.

6.(2023•甘肃武威・中考真题)如图1,抛物线>=7+乐与无轴交于点A,与直线丁=-%交于点3(4,T),

点C(O,~4)在y轴上.点P从点8出发,沿线段8。方向匀速运动,运动到点。时停止.

6

(1)求抛物线y=-£+区的表达式;

⑵当8尸=20时,请在图1中过点尸作即,。4交抛物线于点。,连接PC,0D,判断四边形OCPD的

形状,并说明理由.

7.(2023・四川巴中•中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线6=苏+弧+或"0)经过点A(-l,0)和8(0,3),

其顶点的横坐标为1.

⑴求抛物线的表达式.

(3)若点尸为抛物线>=依2+法+°(。*())的对称轴上一动点,将抛物线向左平移1个单位长度后,。为平移后

抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点“,是否能与A、P、Q构成平行四边形?若能构成,求出。

点坐标;若不能构成,请说明理由.

8.(2023・四川南充・中考真题)如图1,抛物线y=a/+bx+3(a^O)与尤轴交于A(T。),8(3,0)两点,

与y轴交于点c.

7

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P在抛物线上,点。在x轴上,以2,C,P,。为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;

4

9.(2023・四川自贡・中考真题)如图,抛物线>=-§1+法+4与;1轴交于4-3,0),8两点,与V轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及8,C两点坐标;

⑵以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形,求点D坐标;

8

专题10平行四边形的存在性问题

一、知识导航

考虑到求证平行四边形存在,必先了解平行四边形性质:

(1)对应边平行且相等;

(2)对角线互相平分.

这是图形的性质,我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:

X-X=*口-XC

(1)对边平行且相等可转化为:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解为点8移动到点A,点c移动到点。,移动路径完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)对角线互相平分转化为:\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解为AC的中点也是8D的中点.

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样,但其实可以化为统一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

当AC和为对角线时,结果可简记为:A+C=B+D(各个点对应的横纵坐标相力口)

以上是对于平行四边形性质的分析,而我们要求证的是平行四边形存在性问题,此处当有一问:若坐标系

中的4个点A、B、C、。满足“A+C=B+。'',则四边形4BCD是否一定为平行四边形?

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反例如下:

D

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点''并不是完全等价的转化,

故存在反例.

虽有反例,但并不影响运用此结论解题,另外,还需注意对对角线的讨论:

(1)四边形ABC。是平行四边形:AC、8。一定是对角线.

(2)以A、B、C、。四个点为顶点是四边形是平行四边形:对角线不确定需要分类讨论.

二、典例精析

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动’'和“两定两动”两大类问题.

3.三定一动

已知A(1,2)8(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点。使得以A、B、C、。四个点为顶点的四边形是

平行四边形.

思路1:利用对角线互相平分,分类讨论:

设。点坐标为(m,力),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴为对角线时,可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、,…、(1+3=5+加八/、

(2)AC为对角线时,。二0,解得2—1,4;

[2+5=3+〃—

,、,[1+5=3+机/、

⑶AB为对角线时,2+3=5+〃'解得。3(3,。).

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当然,如果对这个计算过程非常熟悉的话,也不用列方程解,直接列算式即可.

比如:D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此处特指点的横纵坐标相加减)

4.两定两动

已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上,点。在y轴上,且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边

形,求C、D坐标.

【分析】

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)当A8为对角线时,,c°,解得o>故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)当AC为对角线时,,八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃?\m=-2

(3)当AD为对角线时,,^,解得,,故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

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“三定一动’'的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动’'中动点是在平面中,横纵坐标都不确

定,需要用两个字母表示,这样的我们姑且称为“全动点”,而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上,

用一个字母即可表示点坐标,称为“半动点

从上面例子可以看出,虽然动点数量不同,但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若把一个字母称

为一个“未知量”也可理解为:全动点未知量=半动点未知量x2.

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量,都是根据图形决定的,像平行四边形,只能有2个未知量.究

其原因,在于平行四边形两大性质:

(1)对边平行且相等;

(2)对角线互相平分.

[x.+x=x+x

但此两个性质统一成一个等式:《*crBn"n,

〔以+%=%+%

两个等式,只能允许最多存在两个未知数,即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未

知量.

由图形性质可知未知量,由未知量可知动点设计,由动点设计可化解问题.

三、中考真题演练

1.(2023•山东淄博・中考真题)如图,一条抛物线丫=0?+云经过二。18的三个顶点,其中。为坐标原点,

点A(3,-3),点B在第一象限内,对称轴是直线尤=',且一。的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式;

⑵求点8的坐标;

(3)设C为线段A3的中点,尸为直线上的一个动点,连接AP,CP,将△ACP沿CP翻折,点A的对应

点为A.问是否存在点P,使得以A,P,C,3为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合

条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2

【答案】⑴y=§无2-3尤

12

(2)(6,6)

33或卜

(3)存在,尸点的坐标为

2;2

b9

【分析】(1)根据对称轴为直线X=-将点A代入,进而待定系数法求解析式即可求解;

2a4

(2)过点A作斯,y轴交于E点,过8点作交于尸点,继而表示出的

面积,根据OAB的面积为18,解方程,即可求解.

(3)先得出直线。3的解析式为,=无,设尸(//),当为平行四边形的对角线时,可得AP=AC,当BC

为平行四边形的对角线时,BP=AC,进而建立方程,得出点P的坐标,即可求解.

h9

【详解】(1)解:,・•对称轴为直线%=-(•=:,

2a4

Q

b=——。①,

2

将点A(3,-3)代入y=ax-+bxn,

:.9a+3b=-3@,

'2

a=—

联立①②得,[3,

b=-3

2

二解析式为y=无;

(2)设如图所示,过点A作轴交于E点,过8点作B尸,防交于尸点,

尸(私-3),E(0,-3),

贝!JOE=3,AE=3,AF=m—3,BF=^m2—3m+3,

13

1f2\1

=—mx—m2-3m+3+3——x3x=18

,・°AOB2(3)2

解得:加=6或m=-3(舍去),

(3)存在点P,使得以A,P,C,5为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:

VA(3-3),B(6,6),

设直线08的解析式为y=履,

**•6k=6,解得:k=l9

・•・直线03的解析式为丁二%,

设尸(口),

如图所示,当BP为平行四边形的对角线时,BC//A.P,

BC=A,Pf

AC=BC,

AC=AXP,

由对称性可知AC=A。,AP=\P,

:.AP=AC,

J(,-3)2+t+3)2=Jn+卜一目

3

解得:

•・•尸点的坐标为[l,l]或1I,-|)

如图3,当BC为平行四边形的对角线时,BP//A.C,BP=AlC,

14

图3

由对称性可知,AC=AiC,

:.BP=AC,

解得:,=捶+6或/=-垣+6,

22

-至+6、

P点的坐标为

2

7

3屋1

综上所述,P点的坐标为_----------1-0

2

7

7

2.(2023•广东广州•中考真题)已知点P(〃〃)在函数y=G(x<0)的图象上.

(1)若机=-2,求〃的值;

(2)抛物线y=(x-〃z)(x-")与无轴交于两点M,在N的左边),与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E.

①加为何值时,点E到达最高处;

②设GMN的外接圆圆心为C,C与y轴的另一个交点为R当m+〃大0时,是否存在四边形尸GEC为平

行四边形?若存在,求此时顶点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)〃的值为1;

(2)@m=-A/2;②假设存在,顶点E的坐标为,或"

22

【分析】(1)把m=—2代入y=——(%<0)得〃=一不二1,即可求解;

x-2

+T111

(2)@x=-------,^y=(x-m)(x-n)=——(m-n)2=-2——(m+n)2<-2,即可求解;

244

15

11(in+nli

②求出直线75的表达式为:y=得到点C的坐标为一^,-不;由垂径定理知,点C在

FG的中垂线上,则FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3;由四边形尸GEC为平行四边形,则

17

CE=FG=3=yc-yE=---yE,求出左二一万,进而求解.

22

【详解】(1)解:把机=一2代入y=-一(%<。)得〃=一一-=1;

x-2

故〃的值为1;

(2)解:①在y=(x-〃j)(x-")中,令y=0,则(x-〃z)(无一")=。,

解得X='"或%=”,

,N(n,O),

2

点P(利①在函数y=——(%<0)的图象上,

x

:.mn=-2,

«YYl+Yl/=,、/、1..7-1/

令兀=----,y=(x—m)(x—n)=——(m-n)=—2—(m+n)<—2,

244

即当m+几=0,且mn=-2,

则疗=2,解得:机=-&(正值已舍去),

即〃z=-时,点E到达最高处;

②假设存在,理由:

对于/=,当x=0时,y=mn=-2,即点G(0,-2),

由①得M(加,0),N(n,0),GO-2),E(^^,--(m-n)2),对称轴为直线x=丝士,

242

由点M(m,0)、G(0,-2)的坐标知,tan/OMG="=2,

OM-m

作MG的中垂线交MG于点T,交,轴于点S,交x轴于点K,则点7(;加,-1

则tanNMKT=——m,

2

则直线方的表达式为:y=-1m(x-1m)-l.

16

“m+n…1I、1I

当%=—时,y=--m(x--m)-l=~-,

„,.s।一、t「m+nI)

则点c的坐标为[--一I.

由垂径定理知,点C在尸G的中垂线上,则FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3.

四边形FGEC为平行四边形,

贝I]CE=FG=3=外一为=一3一,

7

解得:%=一万,

I,7

J!Lmn=-2,

贝!Jm+n=±y[6)

顶点E的坐标为一半,-g,或

3

3.(2023・山东•中考真题)如图,直线y=-x+4交无轴于点8,交y轴于点C,对称轴为龙=]的抛物线经

过BC两点,交》轴负半轴于点A.尸为抛物线上一动点,点尸的横坐标为m,过点尸作x轴的平行线交

抛物线于另一点作无轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交了轴于点O.

(1)求抛物线的解析式;

3

(2)若。<m<5,当机为何值时,四边形CDVP是平行四边形?

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式;

(2)结合平行四边形的性质,通过求直线MN的函数解析式,列方程求解;

【详解】(1)解:在直线>=一》+4中,当x=0时,y=4,当y=0时,x=4,

点3(4,0),点。(0,4),

设抛物线的解析式为y=+k,

17

a+%=0

把点8(4,0),点。(0,4)代入可得,

a+2二4

Q=-1

解得

k三

4

二・抛物线的解析式为y=—1%—+等=一'+3%+4;

(2)解:由题意,尸(私-加之+3帆+4),

**•PN=—m2+3m+4,

当四边形CDV尸是平行四边形时,PN=CD,

OD=—m2+3m+4—4=—m2+3m,

Z>(0,m2-3m),N(m,0),

设直线脑V的解析式为丁=幻+病-3根,

把N(〃0)代入可得左即+苏-3m=0,

解得勺=3—

/.直线脑V的解析式为y=(3-m)x+m2-3m,

3

又•・・过点尸作工轴的平行线交抛物线于另一点M,且抛物线对称轴为%=1,

—m,—m2+3m+4)

(3—m)2+m2—3m——m2+3m+4,

解得(不合题意,舍去),"7,=%二包;

T323

4.(2023•山东聊城中考真题)如图①,抛物线>=加+法-9与犬轴交于点4(-3,0),5(6,0),与y轴交于

点C,连接AC,点尸是无轴上任意一点.

18

⑴求抛物线的表达式;

(2)点。在抛物线上,若以点A,C,P,。为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点。的坐标;

【分析】(1)将A(—3,0),3(6,0)代入〉=62+版-9,待定系数法确定函数解析式;

131Q

(2)由二次函数y=;V-1x-9,求得点CQ-9),设点P(肛0),点。(“3"-衬9),分类讨论:当AC

为边,AQ为对角线时,当AC为边,钎为对角线时,运用平行四边形对角线互相平分性质,构建方程求

解;

【详解】(1)将A(TO),3(6,0)代入>=^2+"-9,得

(9a-3b-9=0”万

*"7Qn'解得3

ib=——

I2

13

;・抛物线解析式为:y=1x2-j%-9

13

(2)二次函数>=]尤2一]彳一9,当x=0时,y=-9

.•.点C(0,-9)

13

设点p(机⑼,点。(",万〃2--n-9),

当AC为边,A。为对角线时,

四边形ACQ尸为平行四边形,

AAQ,CP互相平分

13

-n2--n-9=-9解得,71=0(舍去)或”=3

点。坐标(3,-9);

19

2222

3

:.-n2-n-9=9

22

二点0坐标(|+2乎,9)或47,9)

综上,点0坐标(3,-9),或弓+上乎⑼或W,9);

5.(2023•山东枣庄•中考真题)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-l,0),C(0,3)两点,并交x轴于另一点B,

直线AM与轴交于点D

20

(1)求该抛物线的表达式;

(3)若点尸是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点。,使得以。,M,P,0为顶点的四边形是平行四

边形?若存在,请申谈写出所有满足条件的点。的坐标;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可;

(3)分DM,DP,MP分别为对角线,三种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解:V抛物线y=-x2+次+c经过A(-1,O),C(0,3)两点,

J—1—Z?+c=O[b=2

解得:。

[c=3[c=3

••y=-%2+2x+3;

(3)解:存在;

y=-x2+2尤+3=-(x-l)2+4,

对称轴为直线x=l,

设尸(pj),Q。,"),

当以。,M,P,。为顶点的四边形是平行四边形时:

1+P=0+1

①DM为对角线时:

%+〃=4+2

当夕=。时,t=3,

〃=3,

2(1.3);

0+p=l+l

②当DP为对角线时:

2+%=4+〃

21

P=2

2+f=4+〃

当p=2时,Z=-22+2X2+3=3,

••H=1,

Q(L1);

…fl+7?=0+l

③当MP为对角线时:|4+r=2+w.

[n-t=2

当p=0时,t=3,

••〃=5,

•••2(1,5);

综上:当以。,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,Q。,3)或。(LI)或0(1,5).

【点睛】本题考查二次函数的综合应用,是中考常见的压轴题.正确的求出函数解析式,熟练掌握二次函

数的性质,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.

6.(2023•甘肃武威・中考真题)如图1,抛物线、=-X2+灰与x轴交于点A,与直线'%交于点以4,-4),

22

点c(o,-4)在y轴上.点尸从点8出发,沿线段8。方向匀速运动,运动到点。时停止.

⑴求抛物线yn-V+foc的表达式;

⑵当8尸=20时,请在图1中过点尸作即,。4交抛物线于点。,连接PC,0D,判断四边形OCPO的

形状,并说明理由.

【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可;

(2)作尸交抛物线于点。,垂足为",连接尸C,0D,由点尸在丁=-%上,可知尸",

ZPOH=45°,连接5C,得出05=4后,讽OH=PH=^OP=显又26=2,当芍=2时,

22

DH=%=—4+3X2=2,进而得出PD=OC,然后证明PD〃OC,即可得出结论;

【详解】(1)解::抛物线y=3+桁过点B(4,T),

・•・-16+4Z?=-4,

:.b=3,

y——彳2+3x;

(2)四边形OCPD是平行四边形.

理由:如图1,作尸交抛物线于点。,垂足为H,连接尸C,0D.

:点尸在丁=一》上,

OH=PH,NPOH=45。,

连接BC,

OC=BC=4,

•,OB=45/2>

23

,•*BP=2V2,

OP=OB-BP=26,

OH=PH=—OP=—X2A/2=2,

22

当4=2时,DH=JD=-4+3X2=2,

/.PD=DH+PH=2+2=4,

VC(0,-4),

,OC=4,

PD=OC,

;OC_Lx轴,PD_Lx轴,

PD//OC,

...四边形OCPO是平行四边形;

7.(2023・四川巴中•中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线'=62+汝+,(。W0)经过点4(-1,0)和8(0,3),

其顶点的横坐标为1.

(1)求抛物线的表达式.

(3)若点尸为抛物线y=ax2+6x+c(aw0)的对称轴上一动点,将抛物线向左平移1个单位长度后,。为平移后

抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点M,是否能与A、尸、。构成平行四边形?若能构成,求出。

点坐标;若不能构成,请说明理由.

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;

(3)由⑴知,y=*+2x+3向左平移后的抛物线为y=-/+4,由⑵知加@,,)4㈠,。),设

尸(1,孙),。(尤2,坨),假设存在以A、P、。、M为顶点的平行四边形.根据中点坐标公式,分类讨论即可

求解,①当以AM为对角线时,②当以AQ为对角线时,③当以AP为对角线时.

【详解】(1)解:抛物线的顶点横坐标为1

.•.对称轴为x=l

24

A(-1,O)

,与x轴另一交点为(3,0)

设抛物线为y=a(x+D(尤-3)

QB(0,3)

a=-1

y=—(x+l)(x—3)

抛物线的表达式为y=-X2+2X+3

(3)由(1)知,>=-尤2+2工+3向左平移后的抛物线为、=一_?+4

315

由(2)知M,A(T0)

2'T

设P(L力),。(&,%),假设存在以A、P、Q、加为顶点的平行四边形.

①当以AM为对角线时,

平行四边形对角线互相平分

.产+%=%+/,即7+]]+%

。o--------=-------

Q在抛物线y=-x2+4上

15

••=J

.二。的坐标为

②当以A。为对角线时

11+—

同理可得之士%=/+〜即]+%、2

222-2

733

••・%=5则坨=:

Q的坐标为

25

③当以A尸为对角线时

3

%、+/=%+时,gn-i+iXQ+2

2―2,-------=--------

Zz22

37

.••%=一/则为二

Q的坐标为

综上所述:存在以A、P、。、”为顶点的平行四边形.

【点睛】本题考查了二次函数综合,二次函数的平移,待定系数法求解析式,线段最值问题,平行四边形

的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8.(2023・四川南充・中考真题)如图1,抛物线y=o?+bx+3(叱0)与x轴交于A(-l,0),以3,0)两点,

与y轴交于点c.

B\xEB\x

⑴求抛物线的解析式;

⑵点尸在抛物线上,点。在%轴上,以aC,尸,。为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;

【分析】(1)将A(T,0),3(3,0)两点代入抛物线的解析式即可求解;

(2)根据尸,。的不确定性,进行分类讨论:①过C作CP〃尤轴,交抛物线于《,过A作6Q1〃BC,交x

轴于可得为=3,由-f+2x+3=3,可求解;②在尤轴的负半轴上取点。2,过。2作。2鸟〃BC,交抛

物线于8,同时使2£=8C,连接C2、BP2,过鸟作鸟轴,交x轴于。,

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