浙江省四校2024-2025学年高一年级上册12月联考数学试题（含答案解析）

浙江省四校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={-1,0,123},4={-1,0,1,2},5={0,1,3},则/n(”)=()

A.{-1,0,1}B.{-1,2}C.{0,1}D.{3}

2.已知命题0：玉x1—x0+—<0,则命题p的否定为()

A.GR,XQ—XQ+—>0B.E.R,—x0+—<0

9191

C.VxGR,x-x~\—«0D.VxER,X-X-\—>0

44

3.二次函数y=。/+加+。的图象如图所示，则反比例函数y=@与一次函数y=bx+c在同

试卷第1页，共4页

4.已知。，6都是实数，则”是“0>6>0”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若〃=0.3°,,5=0.4%c=21og83,则。，b,。的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

6.已知函数/（》）=2（：05N72+”4在区上有且仅有1个零点,则实数〃二（）

A.2B.3C.4D.5

7.已知函数/（x）满足/（x）+/=1+x,贝!l/(2)=()

39

AB.-D.

-44-I4

叫，若正实数°,植，互不相等,

8.已知函数/（%）=且/⑷=/优）=〃。）,则

e+l-x,x>e

"C的取值范围为()

D.1一,e+l

A.(l,e+l)B.(e,e+l)C-KT

二、多选题

9.已知。<6<0,CGR,则下列不等式成立的是（）

11qa…b11J

A.—<一B.ac3<be3C.------<—D.—Va<—\-b

baa+caba

sinxsinx«cosx

10.对于函数/（X）='."给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）

Icosx,sinx>cosx

A.该函数是以兀为最小正周期的周期函数

B.该函数的图象关于直线》='兀+E（后eZ）对称

4

C.当且仅当％=兀+E（左EZ）时，该函数取得最小值-1

D.当且仅当2E<x<g+2E（keZ）时，号

11.已知。>1,b>\,\=2",-^-=log2Z7,则以下结论正确的是（）

a-1b-1

BL'=]

A.a+T=/?+log2/7

-2"log2/)

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11

c.a——<—D.a+b>4

b2

三、填空题

12.已知实数机，〃满足2加=9〃=18,则工+工=

mn

13.已知sin[e-]j=一且夕贝Ijcos[5+。]=.

一一，，一sin/sin5sinC.,,,

14.对于V/3C,若存在△44G，满足一-=--=——=1,则称V/8C为"A类三

cos4cosBxcosa

角形”，贝U“A类三角形”一定满足有一个内角为定值，为.

四、解答题

sin(兀+a)+cos—+a

15.已知')12J」.

cos(兀-a)

⑴求tana的值；

…qsina—3cosa人

(2)求一----------的值

sina+cosa

16.已知命题P：DXER,不等式2/+4X+7-%>0恒成立；命题g：上£R,使

x2-2mx+m+2<0成立.

(1)若命题)为真命题，求实数机的取值范围；

⑵若命题夕国中恰有一个为真命题，求实数加的取值范围.

17.已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度x(单位：摄氏度)与保鲜时间，(单位：小时)之间

的函数关系式为t(x)=e3“该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间

约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时.

(1)求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；

(2)若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度

设置应该不高于多少摄氏度？

18.已知定义在R上的函数函x)满足〃x+y)=〃x)+/(y)+3,且当x>0时，/(x)>-3.

⑴求/(0)的值，并证明〃x)+3为奇函数

⑵求证：/(无)在R上是增函数

(3)若/⑴=2,解关于x的不等式/(x?+x)+/(I-2%)>9

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19.若函数y=/(x)对定义域内的每一个值为，在其定义域内都存在唯一的马,使

/(%)/(%)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.

(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；

⑵若函数/(x)=2'i在定义域[见〃](加＞0)上为“依赖函数”，求用”的取值范围；

(3)已知函数〃卜)=(工-°)2.22在定义域1-,4上为“依赖函数”，若存在实数xe|-,4

使得对任意的teA,不等式〃(x)2T2+(s—)x+4都成立，求实数s的最大值.

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参考答案:

题号12345678910

答案BDDBCADBADBD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】利用补集和交集的定义可求得集合/c（毛8）.

【详解】因为全集。={-1,0,1,2,3},4={-1,0,1,2},5={0,1,3},则加={-1,2},

因此，/0&町=卜1,2}.

故选：B.

2.D

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到答案.

【详解】命题。:mx（）eR,X；—%40的否定为：VxeR,x2—x+—＞0.

故选：D

3.D

【分析】由抛物线开口向下，可得。＜0,可排除A,C,根据抛物线过点（0,0）得c=0,可

知了=必+，过原点可排除B,进而可得正确选项.

【详解】因为二次函数ynaf+bx+c开口向下，所以。＜0,

所以＞的图象必在二四象限，可排除选项A,C

X

因为V=ax2+bx+c过点（0,0）,所以0=0+0+。，所以c=o,

所以y=bx+c即＞=6x过点（0,0）,故选项B不正确，选项D正确；

故选：D.

4.B

【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性.

【详解】取。=1,b=-l,止匕时牛D=0,J2+7,

满足审＜后了,此时“＞6＞0不成立；

答案第1页，共10页

当〃〉b>0时，因为［2+/>2ab，

所以2（/+62）>（0+6）2,

所以4>S+6）2,

综上，<，与之”是“a>b>0”的必要不充分条件.

故选：B.

5.C

【分析】利用幕函数、指数函数的单调性得到。<6<1，又c=21og83=log89>l,即可求出

结果.

【详解】因为y=03'在R上单调递减，所以0=0.3°4<0.30-3,

又>=产在区间(0,+⑹上单调递增，所以0.3°3<0.4°3=6<1,得到a<b<l,

Xc=21og83=log89>1,所以c>6>a,即a<6<c.

故选：C.

6.A

【分析】分析出函数/(x)为偶函数，可得出/(。)=0,即可得出实数。的值.

【详解】函数〃x)=2cosx--+。-4的定义域为R,

因为f(-x)=2cos(-x)-(-x)-+<7-4=2cosx-x2+tz-4=f(x),

所以，函数/(x)为偶函数，

因为函数/■(司=2005》-/+0-4在区上有且仅有1个零点，

则〃。)=2cos0+a-4=a-2=0,解得a=2.

故选：A.

答案第2页，共10页

7.D

【分析】根据题意分别令x=2、x=g和x=7,运算求解即可.

【详解】因为+占)=l+x,

令尤=2,可得/'(2)+y(-l)=3；

令x=；,可得

两式相加可得〃-1)+/[]+2〃2)=；,

令x=_l,可得+=

Q9

则"(2)=5,即/⑵=?

故选：D.

8.B

【分析】首先画出函数/(x)的图象，根据图象得到仍=1，e<c<e+l,即可得到答案.

【详解】/卜)=[?'°<*''的图象如下图所示：

le+l-x,x>e

设Q<6<C,由图知:|lntz|=|lni|,即ln<+ln6=0,得ab=1.

所以abc=c.

函数"e+1-x单调递减，与％轴交于点(e+1,0),

由图知：e<c<e+l.

故选：B

9.AD

【分析】根据作差法、特值法和不等式的性质，依次判断选项即可.

【详解】对选项A,因为。<6<0,所以工=胃<0,即故A正确.

baabba

对选项B,a<b<0,当。=0时，ac3=be3,故B错误.

答案第3页，共10页

对选项C,a<b<0,当c=0时，b+c=",故c错误.

a+ca

对选项D,由选项A知：—<—,a<b<Q,所以—a<—I-b,故D正确.

baba

故选：AD

10.BD

【分析】由函数的解析式，先做出函数的图像，再根据函数的定义，分别对每个命题中的函

数性质进行分析判断，由函数的图像研究函数的性质，并由图像研究出的结论判断和函数有

关的命题的真假.

【详解】对于选项A：/(0)=sin0=0,/(K)=cos7t=-l,因为兀)不满足

/卜+7)=/(切(7=兀)对所有的x成立，所以/'(x)不是以兀为最小正周期的周期函数，故

选项A错误.

对于选项B：由图像可知，可知选项B正确.

对于选项C:当x=7i+2kn(左wZ)或x=/兀+及兀(k^Z)时，/(x)取得最小值-1,故选

项C错误.

对于选项D：有图像知2E<x<]+2就(后eZ)时，〃力>0,最大值为=孝，可

得0</(x)«Y2;由图像可知在一个周期内只有在2E<x<5+2析内有0</(x)vY2；故

222

选项D正确.

故选：BD

II.ABD

【分析】对于A选项，利用函数〃对=」\与g(x)=2*和〃(切=嚏2》图像交点的横坐标,

以及对称性求得a=log2、，6=2。；

对于B选项，a>1,b>\,----=2a,--=log2b可求得—I--=1,

a-1b-1"ab

对于其他的，则利用不等式基本性质判断，注意取等的条件.

答案第4页，共10页

Y1

【详解】对于选项A：d方分别可以看作函数/(x)='7=l+—-

X-1x-l

与g(尤”2,和〃(x)=log2x图像交点的横坐标，

函数/'(x)的图像关于直线>=x对称，g⑺,h(x)的图像也关于直线N=x对称,

所以两个交点C(a,2"),。屹log?"也关于直线N=x对称，

所以Q=log2Ab=2",故选项A正确.

-a,11llq

对于选项B：由-=2a=b,得至+b=即一+：=1,所以刀+■；----^=1，故选项

a-1ab2log2Z?

B正确.

对于选项C：a--=a+--\>2a---1=1,由图像可知，ae(l,2),

ba\a

所以故选项c错误.

b

对于选项D：a+b=(a+b}\-+^2+”->2+2任4

\ab)ab

当且仅当“=b=2时取等号.但是a*2,所以等号不能取，故选项D正确.

故选：ABD

12.1

【分析】根据指对数互化式和对数的运算性质求解即可.

m

【详解】2=9"=18=>m=log218,»=log918.

lo29

所以工+11gi8+l0gi8=bgiJ8=1.

mnlog218log918

故答案为：1

2V2,2

1n3.--------/72

33

【分析】根据已知角与所求角之间的关系，利用诱导公式与同角三角函数关系求值即可.

答案第5页，共10页

【详解】COsly+0=cos（6-力+兀j

,(211R2V2

I3)3

故答案为：-迪.

3

14.—/135°

4

【分析】由于因为sin4sin3,sinC>0,得cos4，cosg,cosG>0,分△44G为锐角三角

形，VN2C是钝角三角形，不妨设钝角为A,两种情况，根据诱导公式解决即可.

【详解】因为sin4sinB,sinC>0,所以cos4，cos综cosQ>0,

所以qG为锐角三角形,

.兀.

sinA=cosA1=sin

/丁4

2=/，

若V45。也是锐角三角形，由<sin8=cos与=sin，得

C=--C

sinC=cosCl=sin21t

三式相加，得N+5+C、（与三角形内角和定理矛盾），所以假设不成立,

所以V4BC是钝角三角形，不妨设钝角为A,

,71,

7i-A=--4

jr

，得3=万-4

TT

三式相加得8+C-/=-彳,

2

又因为3+。+/=兀，

答案第6页，共10页

所以/=丁.

4

故答案为：?3兀

4

15.（l）tana二；

…sin。-3cosa5

（2）------------------二—

sina+cosa3

【分析】（1）利用诱导公式将题干化简，即可求得tana='

2

（2）对所求的式子两边同时除以cosa,再将（1）得到得结果代入即可.

【详解】（1）由诱导公式sin（4+a）=-sina,cost|-+crI=-sincr

以及cos（4-a）=-cosa,

（兀+）

sina+cos—+a\一sina-sina

所以原式',12J=2tancr

一cosa

cos（兀一a）

即2tana=1,tana--

（2）将sm』_3cosa分子分母同时除以asa

sina+cosa

（因为cosawO,否则tana无意义）,

sina-3cosatana-3八1八、、.

所以一----------二------又由（1）知tana=7代入上式得

sina+cosatana+12

sina-3cos。Jana-3_2_5

sina+cosatana+1，+]3

2

,,siner-3cosa5

故-----------二一；

sina+cosa3

16.（l）mG（-oo,5）

⑵冽E[—1,2]U[5,+8）.

【分析】（1）由劣＜0得到关于根的不等式，解得即可；

（2）首先求出命题夕为真时参数的取值范围，再分夕真q假、夕假夕真两种情况讨论.

【详解】（1）命题P：kx£R,不等式2/+4X+7-冽＞0恒成立，为真命题，

则A[=16-8（7-加）=8刃-40＜0,解得加＜5,即实数机的取值范围为（-。,5）.

（2）命题夕：HXER,使x?一2加l+加+2＜0成立,

答案第7页，共10页

当夕为真命题时八2=4m2-4(m+2)=4m2-4m-8>0,

即4(加+1)(加一2)〉0,解得加<一1或加>2,

/.mG(-8,-1)“2,+8).

当命题夕应中恰有一个为真命题时，

fm<5

①)为真命题，夕为假命题，即〜所以-"加V2；

[-1<m<2

[m>5

②夕为假命题，夕为真命题，即。4_欠_1”(2+“)’所以冽25；

综上可得：[T2M5,+8).

17.(1)768小时

⑵2摄氏度

[8a+z>=43244)4

【分析】(1)由题意有6型k,则/=某=[，代入x=4,计算即可得44)；

e=5765764

(2)令e"+"N1024,结合指数函数的性质计算即可得.

Ka+b-43241?4

【详解】⑴依题意得卡"6'则4市丁,

Q6a+b半

当I时，«)=1=768

e2a

4

即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为768小时;

e2fl)^3>1024-即576-f21024,

(2)令e3"21024,得e6*

1

则成嘤=修力

所以

因为函数是单调递减函数,L-34-2,

2

解得尤42,

故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2摄氏度.

18.(1)/(0)=-3,证明见解析；

答案第8页，共10页

(2)证明见解析；

(3)(一℃,T)U(2,+8).

【分析】(1)利用赋值法计算，再利用奇函数定义推理得证.

(2)根据给定的等式，利用增函数的定义推理即可.

(3)求出”3),结合给定等式化不等式为“X2-X+1)>43),再利用单调性求解即得.

【详解】⑴定义在R上的函数满足〃x+y)=〃x)+〃y)+3,

取尤=>=0,则/(0)=/(0)+/(0)+3,所以〃0)=-3,

VxeR,取了=一工，则/(o)=/(x)+/(-x)+3=-3,

于是f(x)+3=3=-[/(-x)+3],

所以〃x)+3为奇函数.

(2)Vx15x2eR,^<X2,贝!|%-网>0,由当x>0时，/(x)>-3,得/'区一再)>一3,

x+

7(-^2)=fli(/一X])]=/(X1)+/(X2-X1)+3>/(X1),

所以〃x)在R上是增函数.

(3)由3(1)=2,得/(2)=/■⑴+〃l)+3=7J(3)—(2)+3=12,

不等式f(x2+x)+/(I-2x)>9<=>/(x2+x)+/(I-2x)+3>12,

M!J/(X2-X+1)>/(3),由(2)知，X2-X+1>3,BPx2-x-2>0,解得x<-l或x>2,

所以原不等式的解集为(-8,-1)0(2,+8).

19.(1)不是“依赖函数”，理由见解析；

(2)(0,1)

(3)最大值为葭41.

【分析】(1)由“依赖函数”的定义进行判断即可；

(2)先根据题意得到了(M/GDul,解得：m+n=2,再由〃解出0〈机<1,根

据加的范围即可求出mn的取值范围；

4「4一

(3)根据题意分§VaV4,a>4,考虑/'(x)在-,4上单调性，再根据“依赖函