中考数学几何专项冲刺复习：直角三角形存在性问题巩固练习（提优）含答案及解析

直角三角形存在性问题巩固练习

1.如图，0为坐标原点，四边形O43C为矩形，A(10,0),C(0,8),点尸在边2C上以每秒1个单位

长的速度由点C向点3运动，同时点。在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点8运动，运动时间

为/秒G>0).

(1)若反比例函数图象经过尸点、。点，求。的值;

(2)若。。垂直平分AP,求a的值;

(3)当。点运动到A8中点时，是否存在。使为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说

明理由;

2.如图，抛物线？=加+岳:-4(aNO)与x轴交于A(4,0)、8(-1,0)两点，过点A的直线y=-x+4

交抛物线于点C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在直线AC上有一动点£,当点E在某个位置时，使的周长最小，求此时E点坐标；

(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线4一(7一8—。一4上运动时，是否存在使△8CE为直角三

角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数以=§(x>0)的图象上一点，一次函数以=-x+2的图象

经过点A,交y轴于点8,△A08的面积是3.

（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；

（2）观察图象，当yi>>2时，直接写出尤的取值范围；

（3）在y轴上是否存在点P,使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明

理由.

4.如图，二次函数y=4刀一3）2-1的图象与％轴交于4,B两点（点A在点2左侧），与y轴交于点C,

顶点为D.

（1）求点A,B,。的坐标；

（2）连接CD,过原点。作OE_LC〃，垂足为H,OE与该图象的对称轴交于点E,连接AE,AD,求/D4E

的大小；

（3）设点E关于点。的对称点为R分别以E,尸为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否

存在一点P,使得过尸向两个圆各作一条切线PM,PN（M,N为切点），且PM,PN刚好可以作为一个斜

边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图所示，抛物线与直线y=x-1交于A、B两点，点A的纵坐标为-4,点2在y轴上，

直线A8与x轴交于点F,点P是线段A8下方的抛物线上一动点，横坐标为优，过点尸作PCLx轴于C,

交直线AB于D

（1）求抛物线的解析式；

（2）当机为何值时，线段尸。的长度取得最大值，其最大值是多少？

（3）是否存在点尸，使△必。是直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

6.如图1,一次函数y=-x+10的图象交无轴于点A,交y轴于点艮以尸（1,0）为圆心的。尸与y轴相

切，若点尸以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时。尸的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大,

设运动时间为t（5）

（1）点A的坐标为，点8的坐标为,ZOAB=0；

（2）在运动过程中，点尸的坐标为,O尸的半径为（用含/的代数式表示）；

（3）当。尸与直线相交于点£、尸时

①如图2,求U凯寸，弦EF的长；

②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt^PEF,若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理

由（利用图1解题）.

7.如图，A,8是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+6过点8,与x轴交于点C.

（1）求A,B,C三点的坐标；

（2）点。是折线A-8-C上一动点.

①当点。是AB的中点时，在x轴上找一点E,使M+班的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留

作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标.

②是否存在点。，使△AC。为直角三角形，若存在，直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，抛物线y=(x-m)2+w的顶点尸在直线y=2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A,与y轴的

交点为Q.

(1)当=时，求力的值；

(2)当AQ〃尤轴时，试确定抛物线的解析式；

(3)随着顶点P在直线y=2x上的运动，是否存在直角△B4。？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存

9.如图，当尤=2时，抛物线y=加+法+。取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与无轴交

于点A、B.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)若点M(x,州)，N(x+1,/)都在该抛物线上，试比较yi与”的大小；

(3)。是线段AC的中点，E为线段AC上一动点(A、C两端点除外)，过点E作y轴的平行线所与抛物

线交于点F.

①设点E的横坐标为x,是否存在x,使线段所最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；

②是否存在点E,使△〃斯是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，已知平行四边形ABCD,ADLBD,AD=2乘,BD=2AD,过。点作。EJ_AB于E,以。£为直

角边作等腰直角三角形。ER点厂落在。C上，将△£»£尸在同一平面内沿直线。C翻折，所得的等腰直角

三角形记为△PQR,点R与。重合，点0与B重合，如图①，平行四边形ABCD保持不动，将△PQR沿

折线。-2-C匀速平移，点R的移动的速度为每秒4个单位，设运动时间为3当R与C重合时停止运动.

(1)当点。落在BC边上时，求f的值；

(2)记△PQR与△OBC的重叠部分的面积为S,直接写出S与f之间的函数关系式，并写出相应的r的取

值范围；

(3)当△PQA移动到我与8重合时，如图②，再将△PQR绕R点沿顺时针方向旋转a(0°WaW360°),

得到△PiQR,若直线Pi©与直线BC、直线。C分别相交于M、N,问在旋转的过程中是否存在△CMN为

直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，ZACB=9Q°,OC=2O8,tan/ABC=2,点8的坐标为(1,0).抛物

线y=-f+Zzx+c经过A、8两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直无轴于点D,交线段AB于点E,使PE=^DE.

①求点P的坐标和△加2的面积；

②在直线尸。上是否存在点使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

12.如图1,点A坐标为(2,0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点，且在点

A右侧，连接BC,以为边在第一象限内作等边△BCD连接交8C于£.

(1)①直接回答：ZkOBC与△A3。全等吗？

②试说明：无论点C如何移动，始终与。8平行；

(2)当点C运动到使时，如图2,经过。、B、C三点的抛物线为为.试问：刀上是否存在

动点P,使尸为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；

(3)在(2)的条件下，将yi沿龙轴翻折得以，设?与工组成的图形为M，函数y=%x+gm的图象/

与M有公共点.试写出：/与M的公共点为3个时，机的取值.

直角三角形存在性问题巩固练习

1.如图，0为坐标原点，四边形O43C为矩形，A(10,0),C(0,8),点尸在边2C上以每秒1个单位

长的速度由点C向点3运动，同时点。在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点8运动，运动时间

为/秒G>0).

(1)若反比例函数图象经过尸点、。点，求。的值；

(2)若。。垂直平分AP,求a的值；

(3)当。点运动到A8中点时，是否存在。使为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说

【分析】(1)先用/表示出P、。两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；

(2)先根据。。垂直平分AP得出。尸=。4,求出f的值，再由尸0=。4即可得出a的值；

(3)分/。尸。=90°与/尸00=90°两种情况进行分类讨论.

【解答】解：(1)VA(10,0),C(0,8),点尸在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点8运动,

同时点。在边A2上以每秒。个单位长的速度由点A向点2运动，

'.P(68),Q(10,at),

•••反比例函数图象经过P点、。点，

***8f=10at,解得a=

(2)：。。垂直平分4尸，

：.OP=OA,PQ=QA,

.'.yjt2+82=10,解得f=6,

：.Q(10,6a),P(6,8),

•：PQ^QA,

(10-6)2+(6a-8)2=(6a)2,解得a=)；

6

(3)如图，

•.•。为A3的中点,

：.Q(10,4),P(r,8).

当/。尸。=90°时，。产+「。2=0。2,即尸+82+(10-f)2+42=102+42,整理得，产-10什32=0,

•/△=(-10)2-4X32=100-128=-28<0,

.••此方程无解，即此种情况不存在；

当/尸。。=90°时，。。2+/02=0尸2,即102+4?+(107)2+42=H+82,整理得，-20/=-168,解得仁羡

：AQ=4,

at=4,即多=4,解得黑

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、直角三角形的判定与

性质等知识，在解答(3)时要注意进行分类讨论.

2.如图，抛物线y=a/+6x-4QW0)与x轴交于A(4,0)、8(-1,0)两点，过点A的直线y=-x+4

交抛物线于点C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使的周长最小，求此时E点坐标；

(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A-C-8-OfA上运动时，是否存在使△8OE为直角三

角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)先判断出周长最小时8ELAC,即作点8关于直线AC的对称点R连接交AC于点E,联立方

程组即可；

(3)三角形是直角三角形时，由于因此只有/£>2E=90°或/BDE=90°,两种情况，利

用直线垂直求出点E坐标.

【解答】解：(1):抛物线y=o?+6x-4(a#0)与x轴交于A(4,0)、8(-1,0)两点,

.(16a+4b—4=0

**ta-b-4=0

.(a=1

F=-3，

...抛物线解析式为y=1-3x-4,

作点B关于直线AC的对称点F,连接DF交AC于点E,

由(1)得，抛物线解析式为y=』-3x-4①，

：.D(0,-4),

•.•点C是直线y=-尤+4②与抛物线的交点，

.•.联立①②解得，｛二;(舍)或5:丁,

：.C(-2,6),

VA(4,0),

直线AC解析式为y=-"4,

•・•直线Bb_LAC,且5(-1,0),

・・・直线3/解析式为y=x+l,

设点F(m,m+1),

.「z?n-lm+1x

22

•.•点G在直线AC上，

.m-1,.m+1

..------F4=---,

22

：.F(4,5),

VD(0,-4),

二・直线。/解析式为y=%-4,

直线AC解析式为y=-x+4,

二直线QF和直线AC的交点E等，

(3)'：BD=V17,

由⑵有，点2到线段AC的距离为26=沙="5a=竽＜8£),

VB(-1,0),D(0,-4),

直线BD解析式为y=-4x-4,

△BOE为直角三角形，

：.@ZDBE=90a,

交AC于E,

二直线BE解析式为y=%+%

•.•点E在直线AC：y=-x+4的图象上，

：.E(3,1),

@ZBD£=90°,

J.DELBD交抛物线于E,

二直线DE的解析式为y=%-4,

,/点E在抛物线y=x2-3x-4上，

直线。E与抛物线的交点为(0,-4)和(-,

416

：.E(-,

416

即：满足条件的点E的坐标为E(3,1)或(手，-II).

416

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的

关键是求函数图象的交点坐标.

3.如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数(%＞0)的图象上一点，一次函数以=-x+2的图象

经过点A,交y轴于点8,ZiAOB的面积是3.

(1)求点A的坐标及反比例函数解析式；

(2)观察图象，当力＞”时，直接写出x的取值范围；

(3)在y轴上是否存在点P,使尸为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明

理由.

【分析】(1)在>2=-x+2中，令x=0,则券=2,得到8(0,2),根据三角形的面积SAAOB=3,求得A

(3,-1),由点A是反比例函数(x>0)的图象上，得到左=-3,于是得到结论;

(2)根据图象即可得到x的取值范围;

(3)设尸(0,a),①当/APB=90°,由根据点A的坐标即可得到Pi(0,-1),②当/RIB

=90°,由勾股定理和两点间的距离得到方程32+Q+1)2+32+3』(2")2,于是得到结论.

【解答】解：(1)在y2=-x+2中，令x=0,则以=2,

..一次函数竺=-x+2的图象与y轴相交于点8,

,.B(0,2),又：SAAOB=3,

设ACm,n),

-X2X-

*.m=3,将其代入丁2=-x+2中得〃=-1,

\A(3,-1),

..点A是反比例函数yi=：(尤>0)的图象上,

••仁-3,反比例函数解析式为：尸装

(2)由图象知：当?>”时，x>3；

(3)存在，设P(0,a),

①当NAPB=90°,则AP_LP3,

.”1(0,-1),

②当/B4B=90°,

222

贝I]AP+AB=PB,

即32+(a+1)2+32+32=(2-a)2

：.a=-4,P2(0,-4),

综上所述：P（0,-1）,（0,-4）.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数

的解析式，两点间的距离公式，弄清题意，正确的识别图形是解题的关键.

4.如图，二次函数丫=之。一3）2-1的图象与工轴交于48两点（点A在点8左侧），与y轴交于点C,

顶点为D.

（1）求点A,B,。的坐标；

（2）连接C£>,过原点。作。ELCD垂足为与该图象的对称轴交于点E,连接AE,AD,求ND4E

的大小；

（3）设点E关于点。的对称点为尸，分别以E,E为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否

存在一点P,使得过尸向两个圆各作一条切线PM,PN（M,N为切点），且PM,PN刚好可以作为一个斜

边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）令y=0,即可求出点A、B坐标，根据顶点式可以知道点。坐标.

（2）先求出直线C。解析式，根据OEJ_C。求出直线OE解析式，再求出点E坐标，利用两点间距离公式

求出线段4层，AD2,DE2,由勾股定理的逆定理证明△EAD是直角三角形即可解决问题.

（3）存在.设点P为Cm,w）,求出PM,pM,根据尸肥+「赭=42,列出方程即可解决问题.

【解答】解：⑴令y=0,贝咛（x-3）2-1=0,解得x=3士也

.•.点A坐标（3—衣，0）,点8坐标（3+鱼，0）,

令x=0贝！］y=

二点C坐标（0,1）,顶点。坐标（3,-1）.

（2）设直线解析式为

（3k+b=-1ffc=

解得/岩,

/.直线CD解析式为y=-|x+|,

"：OE±CD,

直线OE解析式为y=|x,

.,.尤=3时，y=2,

.•.点E坐标(3,2),

/.AE2=(V2)2+22=6,AD1=(V2)2+l2=3,DE2=32=9,

/.AE2+AD2=£>£2,

AZEAD=90°.

(3)存在.

理由：由题意E(3,2),F(3,-4),设点P为(m,4,

•.•点P在抛物线上，

.".«=!(w-3)2-1①

：.PM2=PE2-12=(m-3)2+(w-2)2-1,PN2=PF2-12=(m-3)2+(w+4)2-1,

■:PW+P用=H,

(w-3)2+(z?-2)2-1+(m-3)2+(n+4)2-1=42,

整理得到(ZM-3)2+(71+1)②

由①②得到加=3,n=-1,

，点P坐标(3,-1).

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数.两点间距离公式、勾股定理、非负数的性质等知识，解题

的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点，学会理由参数解决问题，本题有一定的代数技巧，巧用非负

数的性质这个突破口，属于中考压轴题.

5.如图所示，抛物线y=『+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，点A的纵坐标为-4,点2在y轴上，

直线A8与无轴交于点R点P是线段48下方的抛物线上一动点，横坐标为出过点尸作PC,无轴于C,

交直线AB于D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当机为何值时，线段如的长度取得最大值，其最大值是多少？

(3)是否存在点P,使△必。是直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

【分析】(1)由直线方程得到点A、3的坐标，然后把点A、8的坐标代入二次函数解析式列出关于系数的

方程组，通过解方程组来求系数的值即可；

(2)根据直线上点坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征得到：P(m,m2+4m-1),D(m,m-1).所

以由两点间的距离和二次函数的最值的求法进行解答即可；

(3)如图2,当/4尸。=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出。的坐标，由△APOs△尸c。列出比例

式求解即可；如图3,当/切。=90°时，作AE_Lx轴于E,根据比例式表示出A。，再由

列出比例式求解.

【解答】解：(1)-1交于A、B两点，

.,.当x=0时，y=-1,BPB(0,-1).

当y=-4时，x=-3,即a(-3,-4).

:抛物线y=/+6尤+c与直线y=x-1交于A、B两点,

.(-1=c

"I-4=9-3b+c'

解得｛:二fl，

则该抛物线的解析式为：y=f+4x-l；

(2):点P的横坐标是m,且点P在抛物线y=/+4x-1上，PCLx轴，

:,P(m,m2+4m-1),D(m,m-1).

・・,点尸在线段AB的下方，

・•・-3<m<0,

/.P£>=1-4m-m-l+m=-3m-m=-(m+-)+-.

24

当根=-1时，线段尸。取得最大值，最大值是:

(3)如图1所示：当/AP£>=90°,设尸(m,m2+4m-1),DCm,m-1).

.\AP=m+3,CD=1-m,0C=-m,CP=\-4m-m2,

:・PD=1-4m-m2-l+m=-3m-m2.

在直线y=x-l中，当y=0时，x=l,

：.F(1,0),

：.OF=lf

：.CF=1-m,AF=442.

C_Lx轴于C,

・•・NPCF=ZAPD,

：.CF//AP,

：.丛APDs丛FCD,

,AP_DP日口瓶+3_-3m-m2

CFCD1-m1-m

解得m=-1或m=-3(舍去)，

：.P(-1,-4).

如图2所示：当NB4Z)=90°时，作AE_Lx轴于E,

ZAEF=90°,CE=m+3,EF=4,AF=4y/2,PD=m-1-(-l+4m+m2)=-3m-m2.

・・・PC_Lx轴,

：.ZDCF=90°,

・•・NDCF=/AEF,

：.AE//CD.

.4_472

3+mAD'

.\AD=V2(3+m).

"：APAD^AFEA,

,PDAD日口-37?1-7712V2(3+m)

FAAE4A/24

m--2或m--3(舍去)

：.P(-2,-5).

当NAPD=90°时

.••点A与点P关于对称轴对称

VA(-3,-4)

：.P(-1,-4)

综上，存在点P(-2,-5)或尸(-1,-4)使△力。是直角三角形.

【点评】本题考查了二次函数综合题.解题过程中，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数、

二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离以及相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大.解

题过程中，还有注意机的取值范围，才能正确求得点P的坐标.

6.如图1,一次函数y=-x+10的图象交无轴于点A,交y轴于点8.以尸(1,0)为圆心的OP与y轴相

切，若点P以每秒2个单位的速度沿无轴向右平移，同时。尸的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大,

设运动时间为r(s)

(1)点［的坐标为(10,0)，点L的坐标为(0,10),ZOAB^45°；

(2)在运动过程中，点，的坐标为(l+2r,0),G尸的半径为1+r(用含J的代数式表示);

(3)当。尸与直线A2相交于点E、尸时

①如图2,求/=］时，弦所的长；

②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt^PER若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理

(2)根据题意可得尸(1+2/,0),半径为1+九

(3)①如图1中，作尸KL43于K,连接尸£.在RtZXAPK中，由NPK4=90°,ZPAK=45°,巩=4,

推出PK=/B4=2或，在RtZ\PEK中，根据EK='PE?—PK?计算即可.

②分两种情形。、如图2中，当点P在点A左侧时，点尸与点A重合时，/EPF=90°；b、如图3中，当

点尸在点A右侧时，点尸与点A重合时，NEPF=90°.分别列出方程求解即可，

【解答】解：⑴-x+10的图象交x轴于点A,交y轴于点8,

.,.A(10,0),B(0,10),

：.OA=OB=10,

VZAOB=90",

：.ZOAB=ZOBA=45°,

故答案分别为(10,0),(0,10),45°.

(2)由题意产(l+2f,0),。。半径为1+f,

故答案分别为(1+260),1+t.

(3)①如图1中，作PK_LAB于K,连接PE.

当仁|时，P(6,0),半径为3.5,

在RtZXAPK中，VZPKA=90°,/B4K=45°,出=4,

：.PK=—B4=2V2,

2

在R3EK中，EK=<PE2-PK2=—,

2

:.EF=2EK=V17.

②存在.

。、如图2中，当点尸在点A左侧时，点F与点A重合时，ZEPF=90°

0P+B4=0A,

・'.1+2什l+/=10,

b、如图3中，当点尸在点A右侧时，点尸与点A重合时，ZEPF=90°.

由OP-PF=OA,

l+2z-(1+/)=10,

・"10,

综上所述，上手或10s时，存在以点尸为直角顶点的RtZXPEE

【点评】本题考查圆的综合题、垂径定理、等腰直角三角形的性质、一次函数等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型.

7.如图，A,8是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+6过点8,与x轴交于点C.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)点。是折线A-8-C上一动点.

①当点。是AB的中点时，在x轴上找一点E,使EQ+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置(保留

作图痕迹，不要求写作法和证明)，并求E点的坐标.

②是否存在点。，使△AC。为直角三角形，若存在，直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A、2的坐标；然后把2点坐标代入y=-2x+6求

出b的值，确定此函数解析式，然后再求C点坐标；

(2)①根据轴对称-最短路径问题求得点E的位置，由待定系数法确定直线DBX的解析式为y=-3x-4,

易得点E的坐标；

②存在.分两种情况：当点。在上时，当点。在BC上时.当点。在上时，不难得/BAC=45°,

由等腰直角三角形求得。点的坐标为(-1,3)；

当点。在上时，设交y轴于点足证△AOF与△BOC全等，得0尸=2,点尸的坐标为(0,2),求

得直线AD的解析式为y=1%+2,与y=-2x+4组成方程组，求得交点D的坐标为《，当).

【解答】解：⑴在y=x+4中，

令x=0,得y=4,

令y=0,得x=-4,

・・・A(-4,0),B(0,4).

把B(0,4)代入y=-2x+b,

得b=4

J直线BC为：y=-2x+4.

在y=-2x+4中,

令y=0,得x=2,

・・・C点的坐标为(2,0)；

(2)①如图

:点。是AB的中点，A(-4,0),B(0,4).

：.D(-2,2).

点8关于x轴的对称点Bi的坐标为(0,-4).

设直线DBi的解析式为y=kx+b.

把D(-2,2),Bi(0,-4)代入，得仁2卜+/

6=-4

解得k=-3,b=-4.

故该直线方程为：y=-3%-4.

令y=0,得石点的坐标为(一£0).

②存在，〃点的坐标为(-1,3)或(/Y).

附：当点。在A8上时，由OA=OB=4得到：ZBAC=45°,由等腰直角三角形求得。点的坐标为(-1,

3)；

当点。在BC上时，如图，设AD交y轴于点凡

在△AO尸与△BOC中，

(ZFA0=NCB0

\A0=B0

UXOF=/-BOC

：.AAOF^ABOC(ASA).

.•.OP=OC=2,

...点尸的坐标为(0,2),

易得直线AD的解析式为y=；x+2,与y=-2x+4组成方程组卜=5久+2,

2（y=-2x+4

（4

解得｛J

...交点。的坐标为《，Y）.

【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最

短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决

问题.

8.如图，抛物线y=（尤-机）2+〃的顶点尸在直线y=2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A,与y轴的

交点为

（1）当=时，求相的值；

（2）当AQ〃尤轴时，试确定抛物线的解析式；

（3）随着顶点P在直线y=2x上的运动，是否存在直角△B4。？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存

【分析】（1）由抛物线的顶点在y=2x上可知w=2s,然后由-1可求得加的值；

（2）先求得点。、点A的坐标（用含机的式子表示），然后根据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等

列出关于根的方程，从而可求得加的值；

（3）先求得直线A。、尸。的一次项系数“k”的值（用含机的式子表示），然后依据相互垂直的两条直线的

一次项系数的乘积是-1,分别列出关m的方程求解即可.

【解答】解：（1）:抛物线的解析式为y=（x-m）2+n,

P（.m,ri）.

顶点P在直线y=2x上，

••ri=2m.

又,：m=n-1,

•\m=2m-1.

解得：m=l.

(2)9：n=2m,

・•・抛物线的解析式为y=(x-m)2+2m.

)•当x=0时，y=m2+2m,

・,•点。的坐标为(0,m2+2m).

由y=(x-m)2+2根与y=2x得：2x=(x-m)2+2m,解得：处=根，X2=m+2.

当％=加时，y=2m,即点尸的坐标为(m,2m),

当％=根+2时，y=2加+4,即点A的坐标为(m+2,2m+4).

•・・AQ〃元轴,

.*.m2+2m=2m+4,解得：m=2或m=-2.

,・,当加=-2时，点A与点。与原点重合，与A。〃工轴不符，

/.m--2不合题意.

••771=2.

.♦・抛物线的解析式为丫=(x-2)2+4.

(3)*.*Q(0,m2+2m),P(m,2m),A(m+2,2m+4),

二直线A。的一次项系数="普^=+2,直线产。的一次项系数=迎嘿胆=—根.

①当NAQP=90°时，-»?(-m+2)=-1,解得砌=m2=1,则尸(1,2)；

②当/人尸。=90°时，-mX2=-l,解得根=5则P0，1)；

③当/以。=90°时，(-机+2)X2=-1,解得机=|,则P(|,5).

综上所述，点尸的坐标为(1,2)或G，1)或P(|,5).

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，依据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等、相互垂

直的两条直线的一次项系数的乘积是-1列出关于m的方程是解题的关键.

9.如图，当x=2时，抛物线尸加+灰+。取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与无轴交

于点A、B.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)若点〃(x,竺)，NCx+1,>2)都在该抛物线上，试比较》与”的大小；

(3)。是线段AC的中点，E为线段AC上一动点(A、C两端点除外)，过点E作y轴的平行线EF与抛物

线交于点F.

①设点E的横坐标为x,是否存在x,使线段所最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；

②是否存在点E,使是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

VA

【分析】(1)由当x=2时，抛物线y=^+bx+c取得最小值-1,可得抛物线〉=加+法+。的顶点坐标为(2,

-1),即可得>=加+云+c=a(%-2)2-1,又由抛物线与y轴交于点C(0,3),即可求得抛物线的解析

式;

(2)由%->2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-lx,然后分别讨论当x为何值时，?与”的

大小；

(3)①首先求得点A与8的坐标，继而求得直线AC的解析式，再设点E的坐标为：(x,3-%),则点F

的坐标为：(x,l-4x+3),即可求得答案；

②由E/〃OC,可得/Z)EF=45°,则在△。所中只能以点。，尸为直角顶点，然后分别求解即可求得答

案.

【解答】解：(1)•.•当x=2时，抛物线>=加+云+。取得最小值-1,

抛物线y=G?+bx+c的顶点坐标为：(2,-1),

y—ax^+bx+c—a(x-2)2-1,

•..抛物线与y轴交于点C(0,3),

：.4a-1=3,

解得：a=\,

二抛物线的解析式为：尸(x-2)2-l=f-4x+3；

(2)-,2=(x2-4尤+3)-[(x+1)~-4(x+1)+3]=3-2x,

...当3-2x>0,即尤<|时，州>”；

当3-2x=0,即x=|时，yi=y2；

当3-2x<0,即尤>|时，yi<y2;

(3)①存在x=|,使线段取最长.

令y=0,BPx2-4x+3=0,

解得：xi=l,X2=3,

・,•点A(3,0),点B(1,0),

设直线AC的解析式为：y=mx+n,

则hm+n=O'

解得：｛彳［3"L

直线AC的解析式为：y=-x+3,线段AC的中点。的坐标为：(|,|),

设点E的坐标为：(x,3-x),则点尸的坐标为：(x,x2-4x+3),

：.EF=(3-x)-(X2-4X+3)=«+3L(X-|)2+£

.•.当X=|时，最长，其值为：；

24

@'：EF//OC,

；.NDEF=45°,则在中只能以点Z),尸为直角顶点,

若以点F为直角顶点，则。尸，ER止匕时△DE/S/XAC。，

所在直线为：y=|,

由X?-4X+3=|,解得：X尸与史，血=智电＞3(不符合题意，舍去),

2+V10

将户咨电代入y=-x+3,得点E的坐标为:)；

2

若点。为直角顶点，贝！JOfUAC,此时△OE/s/xocA,

;点。为线段AC的中点，

二。厂所在直线过原点。，其关系式为y=x,

•*..r-4x+3=x,

解得：制=咨m，融=手＞3(不符合题意，舍去)，

将％=手代入y=-x+3,得点E的坐标为：(手，手).

【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及

二次函数的最值问题.注意方程思想与数形结合思想的应用.

10.如图，已知平行四边形42CD,AD±BD,AD=2底BD=2AD,过。点作OE_L43于E,以。E为直

角边作等腰直角三角形。ER点尸落在。C上，将△OEF在同一平面内沿直线。C翻折，所得的等腰直角

三角形记为△PQR,点R与。重合，点。与斤重合，如图①，平行四边形A8CD保持不动，将△PQR沿

折线。-8-C匀速平移，点R的移动的速度为每秒b个单位，设运动时间为t,当R与C重合时停止运动.

(1)当点。落在BC边上时，求/的值；

(2)记△PQA与△OBC的重叠部分的面积为S,直接写出S与/之间的函数关系式，并写出相应的f的取

值范围；

(3)当△PQR移动到R与B重合时，如图②，再将绕R点沿顺时针方向旋转a(0°WaW360°),

得到△PQiR,若直线尸i0i与直线BC、直线。C分别相交于M、N,问在旋转的过程中是否存在△CMN为

直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据同角的三角函数设未知数，利用勾股定理求AE、DE的长度，由翻折和平移的性质得到

PD=DF=4,PR=RQ=4,利用勾股定理求的长，从而得到的长，根据速度为有求出f；

(2)分四种情况分类讨论，①当0＜日装时，如图2,重叠部分是四边形GRQH,根据面积公式求梯形GRQH

的面积就是S；②当告VK4时，如图3,重叠部分是五边形GRNMH,S=SAPRQ-SAPGH-SAMNQ，代入面

积公式计算即可；③如图4,先计算当尸。经过点C时仁芳，当4＜名芳时，如图5,重叠部分为四边形

GRMH,根据5=5八依2-542-弘际，代入求出；④当日VW6时，如图6,重叠部分为三角形GRC,

代入面积公式计算即可;

(3)根据旋转的度数，分三种情况讨论：①如图7,/CNM=90。,CN=PN-PC=2&-2；②如图8,

/CMN=90°,利用余弦求CN的长；③如图9,ZCW=90°,CN=PC+PN=2+2也.

【解答】解：(1)如图1,当点。落在BC边上时，点R运动的路程就等于RQ的长,

■:ADLBD,DE±AB,

：.ZADB=ZDEA^90°,

・•.tan3=*ED

AE

\9BD=2AD,

・EDc

••一

AE21

设AE=x,则EO=2x,

由勾股定理得：(2x)2=(2V5)2

5/=20,

%i=2,X2=-2(舍)，

：.AE=2,DE=4,

・・・ADEF是等腰直角三角形,

:・DE=DF=4,

由翻折得：PD=DF=4,PR=RQ=4,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZDBC=ZADB=90°,

由平移得：RQ//DC,

：・NBRQ=NBDC,

/.tanZBRQ=tanZBDC,

.BC_BQ_2V5_1

.,BD-BR_4V5-2'

设BQ=x,贝(]8R=2x,

由勾股定理得：f+(2x)2=42,

解得：为=?，刀2=—?(舍)，

：.BR=2x=^-,

：.RD=BD-BR=4甚-第=胃

12V5

—12

t=-7=^=—

V55

(2)分四种情况:

由勾股定理得：DC=AB=J(4西尸+(2遍尸=10,

①当O0W昔时，如图2,重叠部分是四边形GRQH,

贝ljDR=V5f,

在RtZXDGH中，tanNCO3="='

DG2

设RG=x,则OG=2x,

.•・x2+(2x)2=(V5z)2,

解得：x=±t,

**•RG=t,

:・GH=PG=4-t,

2

：.S=SMGRQH=I(GH+RQ)・GR=|(4-汁4)"=-|t+4f；

②当当V/W4时，如图3,重叠部分是五边形GRNMH,

图3

同理得：GR=t,PG=GH=4-t,DR=网,

:.RB=A任一或t,

4

.,.BDANT=--V--5---V--5-t

2

'JRN//DC,

・RNBR

••—,

DCBD

4V5-V5t

.RN_

••10_4遍，

:・RN=5-%

4

，NQ=4-RN=4-5+-t=-t-1,

上44

过M作MT_LRQ于T,

tanZMNQ=tanZRNB=箓=需=2,

:,MT=2NT,

・.,NQ=45°,ZMTQ=90°,

：.MT=TQ,

：.NT=-NQ=-(-?-1)=-t--

3匕341239

：.MT=2NT=q-t--2,

63

:・S=SAPRQ~SAPGH-SAMNQ，

=l4X4-i(4-r)2--(-r-1)(-r+-),

2X22463

③如图4,当尸。经过点C时，过C作CN,尸。于N,

••.RC=J(|)2+C)2=竿,

：.BD+BR=BD+BC-RC=4小+2V5一空若花,

这时t=十代=芳；

当时，如图5,重叠部分为四边形GRAffl,

'：BD+BR=痘t,

.\BR=yj5t-4A/5,/?C—6A/5—V56

cosZG7?C=黑=等，

RC10

.RG_4V5

・,6V5-V5t-10，

：.RG=U-2t,

・・.PG=4-(12-2r)=2L8,

:・S=SAPRQ-SAPGH-SARMQ，

2

=lX4X4--x(2r-8)-ix4x^,

2223

=-2/2+16f——；

3

④当gvtW6时，如图6,重叠部分为三角形GRC,

图6

由③得RG=12-23贝！JCG=6-f,

:.S=SAGRC=|CG*/?G=I(12-2f)(6-t)=F-12t+36；

-|t2+4(0<t<y)

综上所述:4863'5'

-2t2+16t-y(4<t<y)

t2-12t+36(甘<t<6)

(3)存在，分三种情况:

①如图7,NCNM=90°,

'：DN//AG,

：.ZAGM=ZCNM=90°,

.•.△BGPi是等腰直角三角形,

：.BG=^=2y/2,

由(1)得：CP=2,

,:PN=BG=2正,

：.CN=PN-PC=2y[2-2；

②如图8,/CMN=90：

VBC=2V5,BM=2^2,

:.CM=2近+2V5,

PCCM

cos/NCM=—=—,

BCCN

._2__2但+2%

-2V5-CN'

:.CN=^(2V2+2V5)=2V10+10；

③如图9,NCNM=90°,

,:PN=BG=2笆,PC=2,

：.CN=PC+PN=2+2近；

综上所述：CN的长为2a-2或2旧+10或2+2/.

【点评】本题是几何变换的综合题，考查了平行四边形、等腰直角三角形的性质；同时还运用了同角的三

角函数列比例式求边的长，比利用三角形相似列比例式要简单；在求重叠部分图形的