指数与指数函数（原卷版）-2025年高考数学题型重难点专项突破

热点专题2-4指数与指数函数

近3年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新高考I卷，第6题,5分

从近五年的高考情况来看，指数

年北京卷，第题分

20247,5运算与指数函数是高考的一个

2023年新高考I卷第4题，5分重点也是一个基本点，常与纂函

(1)指数赛的运算性质

数、二次函数、对数函数、三

(2)指数函数的图像与性

2023年乙卷第4题，5分角函数综合，考查数值大小的比

质

较和函数方程问题.在利用指数

2022年甲卷第12题，5分

函数的图像与性质应用上，体现

2020年新高考n卷第11题，5

了逻辑推理与数学运算素养.

分

模块一、热点题型解读(目录)

【题型1］指数赛的运算

【题型2】指数函数过定点问题

【题型3】求指数函数的解析式

【题型4】指数函数的图象及应用

【题型5】比较指数幕的大小

【题型6】解指数方程或不等式

【题型7】指数型复合函数单调性

【题型8】指数型函数的值域问题

【题型9】指数函数的实际应用

【题型10］指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合

【题型11］指数函数的综合性问题

【题型1］指数幕的运算

基础知识1

【方法技巧】

(1)灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数赛形式去求解.

(2)运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母.

指数与根式的概念

1,n次方根的定义

(1)定义：一般地，如果无”="，那么X叫做a的n次方根，其中〃>1,且"eN*

(2)偶次方根的被开方数要为非负数

2、根式

(1)定义：式子布叫做根式，这里n叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)性质：(”>1,且〃eN*)

厂仆厂、,卜,“为奇数，

间，〃为偶数.

3、分数指数赛的意义

(1)分数指数赛的意义

正分数指数第■:规定：=板"(。>0,根,

-™1]

负分数指数霹：规定：a"=-=-n=^(a>O,m,z;eN*,n>l)

an7。

(3)性质：0的正分数指数赛等于0,。的负分数指数属没有意义

4、分数指数赛的注意事项：

(1)分数指数森是指数概念的又一推广，分数指数赛〃蓝不可理解为二个。相乘，它是根式的一种

an

新的写法.

在这样的规定下，根式与分数指数赛是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

(2)把根式化成分数指数幕的形式时，不要轻易对里•进行约分.

(3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数森，

如(―5户=,(—5丫有意义，但(—5,=*—5丫就没有意义.

5、无理数指数幕

一般地，无理数指数森废(a>0,。为无理数)是一个确定的实数.

有理数指数赛的运算性质同样适用于无理数指数赛.

【注意】(1)对于无理数指数赛，我们只需要了解两点：

①它是一个确定的实数；②它是有理数指数霹无限逼近的结果.

(2)定义了无理数指数周之后，氟的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.

6、实数指数赛的运算性质

①a"‘a"=a"""(a〉01,seR).

②(a''y=amn(«>0,r,5GR).

m

③(3=ab"'(a>0,b>0,reR).

1.(1)闻:(0喘+(2野一脸;

(2)已知无+y=U,xy=9,求一+后的值.

x2+y2

【巩固练习1］化简或求值:

256

(1)+8°-XV2+(V2XV3);

1_3_]

(2)(0.25)-2-(-2)2x(23+10(2-73)-10x3明

/--<1vl「(_1Y1

⑶(7+4巾一818+325_2X图.+次x43I;

(4)2a^b2-6a2+-(〃>0且〃>0).

£_£

【巩固练习2】己知层+不?=3,求下列各式的值.

33

(1)a+a'；(2)a2+a2；(3)〃+/+2.

。2+〃2+3

【巩固练习3】计算(一64)9+[(—3)4门一(/一1)。+，3|=()

131111

A.--B.--C.--D.-

2222

【题型2】指数函数过定点问题

基础知识

指数函数图象都经过点(0，1),y=ax+m+〃恒过定点(-W,"+1).

2.已知函数>=2广2一3(a>0且owl)的图象恒过定点P,则点尸的坐标为.

【巩固练习1】函数/（X）=，M+2（a>0且arl）的图象恒过定点（孙〃），则加+”等于.

【巩固练习2】（2024•山东济宁•一模）已知函数>=。1（。>0且awl）的图象过定点A,且点A在

QO

直线侬:+2"丫=8（m>0,〃>0）上，则-------的最小值是____.

mn2m

【题型3】求指数函数的解析式

基础知识J

y=ax

Q<a<l。>1

图

<L

象

0|~■o\1■

①定义域尺，值域（0,+8）

②/=1,即时x=0,y=i,图象都经过（0,1）点

性

③/=a,即X=1时，y等于底数a

质

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤XV。时，ax>1；尤>0时，0<ax<1XV。时，0va"vl;x>0时，ax>\

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

3.已知y=/（x）是指数函数，若则/［，=.

312

【巩固练习1】已知函数/⑺=国"法（左GZ），若〃"）为偶函数，且在（。,+功是增函数，求“X）的

解析式

【巩固练习2】已知函数“X）是奇函数，且当x>0时，f（x）=W+x+l,那么当x<0时，〃x）的

解析式是（）

A.—+x-lB.———+x-lC.—--x+1D.——-——x+1

10xW10%10x

【题型4】指数函数的图象及应用

基础知识

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称

等变换得到，当。＞1时，指数函数＞=优的图像呈上升趋势；当0＜。＜1时，指数函数＞=优的

图像呈下降趋势.

w

4.(2024•黑龙江•二模)已知函数y=°I+人的图象经过原点，且无限接近直线y=2,但又

不与该直线相交，则而=()

A.-1B.-2C.-4D.-9

5.函数①y=优；②y=N；③丁=。〉=的图象如图所示，〃，b,c,d分别是下列四个数:

b,c,d的值分别是()

1厂5

屋B7D.

~23r2%出

【巩固练习1】函数/a)=qj的图像如图所示,其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

A.<2>1,b<0B.a>l,b>0C.0<6?<1,b>0D.0<a<l,b<0

【巩固练习2】若函数〃力=优+6的图象如图所示，且〃-1)=0,则实数。，匕的值可能为()

D.a=—.b=—2

2

【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数y=/,y=bx,y=cx,y=，的图像，则实

数。、b、c、d的大小关系满足()

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.d<c<b<a；D.c<d<a<b.

【题型5】比较指数幕的大小

基础知识

比较指数幕的大小

常用方法有：

(1)对于底数相同，指数不同的两个赛的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个赛的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幕的大小比较，可先化为同底的两个霹，或者通过中间值来比

较.

22^

6.若a===则&b、c的大小关系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

7.（2024・四川.模拟预测）设。=0.5。，4,b=0.411,c=1.105,贝lj（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【巩固练习1】（2024•云南•二模）若〃=2~2力=6一1,。=2：则（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

201920212019

【巩固练习2】设垩1产"=［期产，尸］网2严，则mb,c的大小关系是（）

（2022）（2022J12022）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【巩固练习3】已知々=2。」为=0.33,°=0.3。/，则。也。的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【题型6】解指数方程或不等式

基础知识

简单指数不等式的解法

1、形如。/⑺>^（耳的不等式，可借助丁=优的单调性求解

2、形如$（"）>匕的不等式，可将》化为以。为底数的指数赛的形式，再借助>=优的单调性求解

3、形如优>//的不等式，可借助两函数>=优，>=//的图象求解

8.（2024•河北邯郸•一模）不等式10-6,-3工21的解集为.

【巩固练习1］若x满足不等式，则函数'=2'的值域是（）

4

【巩固练习2】已知函数外处=/，那么不等式/'（2工-3）<〃5）的解集为

【巩固练习3】不等式9*-4x3*+27<0的解集为

【题型7】指数型复合函数单调性

判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.

解决步骤

第一步：求函数的定义域.

第二步：将函数分解成内层函数和外层函数.

第三步：判断内层函数和外层函数的单调性.

第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性.

9.函数y=5-*+e3的单调递减区间是（）

A.[2,+co）B.（-8,2]C.（-<»,1]D.

10.（2024.辽宁.一模）若函数〃%）=3一2A歌在区间（1,4）内单调递减，则，的取值范围是（）

A.（一8,4]B.[4,16]C.（16,+oo）D.[16,+oo）

11.（2024.福建福州.模拟预测）设函数=在区间（1,2）上单调递减，则，的取值范围是（）

A.（-00,2]B.（一8,4]C.[2,+oo）D.[4,+oo）

2x2-3x+l

【巩固练习1]函数y的单调递减区间为（

3

A.(l,+oo)—oo,——,+co

44

312

【巩固练习2】已知函数〃尤）=/+/卜伏ez），若〃"）在（0,+8）上减函数，求左的取值范围.

【巩固练习3]（2023•重庆巴蜀中学高一校考）已知函数/（幻=小4，-0-2）2'+1在（-2,+8）上单

调递增，则。的取值范围为（）

A.[0,4]B.(0,4][2,+co)D.{0}U[2,E)

【题型8】指数型函数的值域问题

解决步骤

第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数.

第二步：由自变量的范围求内层函数的值域.

第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域.

12.函数/（幻=2*3,*©[0,3]的值域是（）

A.；,8B.（-®,8]C.3，+°°]D.（0,8]

【巩固练习1】函数y=（5-3的值域是.

【巩固练习2】已知函数/（耳=4'-2田+4,xe[-l,l],则函数y=/（x）的值域为（）.

、「13~1「13-

A.[3,+oo）B.[3,4]C.3,—D.

【巩固练习3】函数f（x）=9-l+W+1在~1,+8）上的值域为.

【题型9】指数函数的实际应用

基础知识

1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的

衰变等。

2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。

指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。

13.心理学家有时用函数卬）=250（l-e力来测定人们在时间*min）内能够记忆的单词量乙其中

上表示记忆率.心理学家测定某学生在lOmin内能够记忆50个单词，则该学生在30min从能记忆

的单词个数为（）

A.150B.128C.122D.61

14.（2024・安徽合肥•二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间

被称做半衰期，记为T（单位:天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为工,心.开

始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的!，则几石满足

的关系式为（）

c512512c512512

A--2+7=可B.2+-----=——

1T2

c1512I512

c2+,1512,512

C.-2+log2—=log2—D.°g2^p=log2—

【巩固练习1］己知某种果蔬的有效保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）近似满

足函数关系y=（Ct,6为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在4℃的保鲜时间为216小时,

在16℃的有效保鲜时间为8小时，那么在8。＜2时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.

【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，。个这种病毒在f天后将繁殖到个.已知

经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.且再过根天后病毒的数量将达到原来的16倍,则机=（）

A.4B.8C.12D.16

【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是4C,空气的温度是引C,那么rmin

后物体的温度，（单位：℃）可由公式，=，+（6!-稣卜柞求得，其中左是一个随着物体与空气的接

触情况而定的正常数.现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39℃.要

使物体的温度变为21℃,还要经过分钟.

【题型10］指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合

基础知识

1、已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，再利用数形结合的方法来解决.

2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层

是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律

求解.

15.已知函数〃幻=一为定义在R上的奇函数‘求实数〃的直

（・贵州毕节•三模）已知函数/（》）==£

16.2024是奇函数，若〃2023）＞/（2024）,则实数a的值

e+。

为（）

A.1B.-1C.±1D.0

17.已知函数/（力