中考数学复习专项提升：整式与因式分解（练习）含答案及解析

第一章数与式

第02讲整式与因式分解

口题型12判断因式分解的正误

模拟基础练口题型13因式分解

□题型14因式分解的应用

口题型01实际问题中的代数式

口题型15判断整式运算或因式分解的错误步骤

口题型02求代数式的值

口题型16图形类规律探索

□题型03整式的相关概念

口题型17数字类规律探索

口题型04整式的加减

口题型18数式中的新定义问题

口题型05累的混合运算

口题型06整式的乘除重难创新练

□题型07利用乘法公式变形求解

口题型08乘法公式的应用

口题型09整式的化简求值-直接代入法真题实战练

口题型10整式的化简求值-整体代入法

口题型11整式的混合运算

模拟基础练

口题型01实际问题中的代数式

1.（2024・河南信阳•一模）某商场出售一件商品,在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价

最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提价10%,再打八折

C.先提价30%,再降价35%D.先打七五折，再提价10%

2.（2023・安徽池州•一模）某产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%,现因库存积压，按销售价

的八折出售，那么该产品的实际售价为（）

A.（1+14%）（1+0.8）a元B.0.8（1+14%）a元

C.（1+14%）（1-0.8）a元D.（1+14%+0.8）a元

3.（2022・贵州贵阳•一模）贵阳市“一圈两场三改“落地，幸福生活近在咫尺.周末，小高同学从家出发步行

15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min.已知小高同学步行的速度为

每分钟am,贝胪一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（）

A.amB.lOizmC.15amD.25am

4.（2024・安徽•模拟预测）公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆.已知

每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用

为280元.

（1）设租用甲种货车x辆（％为非负整数），试填写下表.

表一：

租用甲种货车的数量/辆37X

租用的甲种货车最多运送机器的数量/台135

租用的乙种货车最多运送机器的数量/台150

表二:

租用甲种货车的数量/辆37X

租用甲种货车的费用/元2800

租用乙种货车的费用/元280

（2）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由.

口题型02求代数式的值

1.（2024.安徽•模拟预测）已知实数a,b,满足a-b=6,ab=-8,贝必?。一ab?的值为.

2.（2024•江西•模拟预测）若（x+8）2+|y—7|=0,则代数式（久+、尸皿，的值是.

3.（2024・湖南岳阳•模拟预测）若a是16的算术平方根，而b的算术平方根是16,则a+6=

4.（2024・湖南•模拟预测）已知2——5x+1=0,则6久2―15久+7=.

5.（2024.北京.模拟预测）已知：2/一5x-11=0,求代数式（2x+1）。一4）一（2x-3尸的值.

□题型03整式的相关概念

1.（2024.内蒙古包头.三模）若单项式-3/y的系数是TH,次数是几，则nm的值为（）

A.9B.3C.-3D.-9

2.（2024.云南楚雄.一模）按一定规律排列的单项式：%3,-4送，9x7,—16/,……第”个单项式是（）

A.（―l）n-1n2x2n-1B.（-l）n+1n2x2n+1

C.（―l）n-1（n+l）2x2n-1D.（—l）n+1（n+l）2x2n+1

3.（2023•海南•模拟预测）多项式a?+4附2+1是（）

A.三次三项式B.二次三项式C.三次二项式D.二次二项式

4.（2024•江西九江•三模）若关于x,y的多项式久2—2/y+团y2的各项系数之和是5,贝心•”代表的数

是.

口题型04整式的加减

1.（2024•重庆渝北•模拟预测）如图1,将边长为他的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2”的图案,

如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（）

图3

A.2m—4nB.2m—3nC.4m—8nD.4m—6n

2.（2024•河南周口•三模）如果单项式：2町^与［擀丫2的和仍为单项式，则（_元）帆=.

3.（2024•山东临沂•模拟预测）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计

了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式“z,〃按如下规律进行操作：

第1次操作后得到整式串m,n,n-m；

第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m；

第3次操作后…

其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动

命名为“回头差”游戏.

则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是.

4.（2024.河北邢台•模拟预测）在计算题：“已知，M=口，N=2x2-4x+3求2M-N”时，嘉琪把“2M-N”

看成-2N”，得到的计算结果是-/+4%-4.

（1）求整式M；

(2)若请比较2M与N的大小，并说明理由.

5.(2024.河北秦皇岛.一模)已知整式(a?+ab)-ab-b2-5),其中“★”处的系数被墨水污染了.当a=3,

b=-2时，该整式的值为30.

(1)则★所表示的数字是多少？

(2)嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由.

□题型05幕的混合运算

1.(2024.河北.模拟预测)下列运算中，与2a2b.(-26)2运算结果相同的是()

A.2b■(2abYB.-8a2+b3C.(-2a)2-b3D.-(2a2b)3

2.(2020・四川乐山・中考真题)已知37n=4,32m-4n=2.若9皿=久，贝h的值为()

A.8B.4C.2A/2D.V2

3.(2023・湖北襄阳・模拟预测)(a3)2+(a・a3)+a2=.

4.(2024•广东江门•一模)计算：

(1)(72024+/)。-V18-cos45。+

(2)—(a2)2•a2-(―62)3+(2a3b3)2.

口题型06整式的乘除

1.(2024.陕西渭南•模拟预测)下列计算错误的是()

23232

A.2m(m+1)=2m+2mB.(—3mn)=9n16rl2

C.m2n—2mn2=—mnD.m6-r-m2=m4

2.(2024.河北.模拟预测)已知一台计算机的运算速度为1.2X109次/秒，这台计算机9X秒运算的次数

用科学记数法表示为()

A.10.8x1012B.1.08x1014C.1.08x1028D.1.08x1013

3.(2024•湖北武汉•模拟预测)若mX4%2y2-12%2y3—16%3y2,则7n=()

A.4%—3yB.-4x+3yC.4%+3yD.-4%—3y

4.(2023•陕西西安•二模)先化简,再求值：[(%+2y)(x-2y)+(%+2y)2-2xy]+2%,其中久=5,y=-8.

5.(2024・河北•模拟预测)如图1是一个长为相，宽为〃的矩形(机＞几).用7张图1中的小矩形纸片，按

图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示.若大矩形的长是宽的1.

m

图1图2

⑴求团与几的关系；

（2）若图2中，大矩形的面积为18,求阴影部分的面积.

口题型07利用乘法公式变形求解

1.（2024.湖南娄底.模拟预测）已知a+6=7,ab=6,贝U（a—6/-6（6-a）+9=.

2.（2024・江苏宿迁•模拟预测）若“尤2是方程/+2x-1010=0的两个根，则好+好=.

3.（2024•浙江宁波•二模）已知a—6=b—c=—1,a2+b2+c2=y,贝!Jab+6c+ac=.

4.（2024.河南安阳•模拟预测）阅读与思考：

若m+n=l,mn=—6,则由完全平方公式（a+b）?=a2+2ab+炉可得：m2+n2=（m+n）2—2mn—

1-2x（-6）=13.请根据你的理解完成下列计算：

已知工+工=3,-=2.求代数式之+3的值.

xyxy”

口题型08乘法公式的应用

1.（2024•广西南宁•模拟预测）阅读材料：

例：求代数式2/+4%-6的最小值.

解:2/+4乂-6=2（%+I）2—8.

可知：当％=-1时，2/+4%-6有最小值，最小值是一8.

根据上面的方法可求多项式a?+一4a+66+18的最小值是.

2.（2024•河北唐山.模拟预测）探究活动：

a一

图①图②

（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是—（写成两数平方差的形式）；

（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（写成多项式乘法的形式）;

(3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式—.

知识运用：

(4)用合理的方法计算：7.52x1.6-2.52x1.6.

3.(2024•河北石家庄•二模)现有如图1所示的甲、乙、丙三种卡片，卡片的边长如图所示(a>6).如图2,

用1张甲、1张乙和2张丙卡片可以拼成一个边长为(a+b)的正方形，用两种方式表示该正方形面积可以得

到等式：Ca+b)2=a2+2ab+b2,也就验证了完全平方公式.

【发现】

(1)如图3,嘉淇用这三种卡片拼成一个长为2a+b,宽为a+2b的矩形，仿照例子写出一个关于a,6的

等式；

(2)嘉淇还发现拼成矩形所需卡片的张数和整式的乘法计算结果中各项的系数有关.根据嘉淇的发现，若要

用这三种卡片拼成一个长为a+2b,宽为a+6的矩形，不画图形，试通过计算说明需要丙种卡片多少张？

【应用】

(3)现用甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片小张为正整数)，拼成一个矩形，直接写出m所有可

能的值.

4.(2023•山东青岛•二模)"构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能

发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如

果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面

介绍两则实例：

实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则

弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如实例图一)，后人称之为“赵

爽弦图”，流传至今.他利用直角边为a和从斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形(如

实例图一■),由S大正方形=4S直角三角形+S小正方形得C?=4x+(6—a)2,化简得：a2+b2-c2.

ab.

实例图一

实例二：欧几里得的《几何原本》记载,关于X的方程/+ax=炉的图解法是：画RtAABC,使N4C8=90°,

BC=枭AC=\b\,再在斜边48上载取BD=BC=鼻,则4。的长就是该方程的一个正根(如实例图二).

实例图二

根据以上阅读材料回答下面的问题：

(1)如图1,请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是.乙图要证明的数学公式是

(2)如图2,利用欧几里得的方法求方程/+4尤-4=0的一个正根.

(3)如图3,已知O0,AB为直径，点C为圆上一点，过点C作CD1AB于点D,连接CO,设D4=a,BD=b,

请利用图3证明：^>4ab.

c

B

OD

图3

□题型09整式的化简求值-直接代入法

1.(2024•广东汕头•一模)已知+(2b-I)2=0,贝！12a+46-7的值为.

2.(2024•青海西宁■二模)先化简，再求值：(x-2y(+2(%—y)(x+y)—3x(x—2y),其中x=2,y=-1.

3.(2024・吉林长春•三模)先化简，再求值：[(久+2y)2-(x+2y)(x-2y)]+4y,其中x=1,y=与士

4.(2024.广东东莞.一模)求代数式2(x-y)2+(-4炉)+6/y2)-2孙的值，其中归一3|+Jx+y=0

□题型10整式的化简求值-整体代入法

1.(2024•湖南长沙•模拟预测)已知a2+3ab=5,则(a+6)(a+2b)-2b2的值为.

2.(2023•江苏盐城•模拟预测)若匕+a=3,贝啊一6a+a?—/的值为

3.(2024•福建福州•模拟预测)若实数相满足-I)2+(m-2)2=3,则(zn-l)(m-2)的值是

4.(2024•江苏徐州•模拟预测)关于万的一元二次方程a/+法一3=0的一个根是x=l,则代数式2027-

a-6的值为.

□题型11整式的混合运算

1.(2024•河北•模拟预测)下列运算正确的是()

A.(a+I)2=a2+1B.(a—l)2=a2—1

C.(a+1)+(a—1)=2aD.(a+1)(a-1)=2a—1

2.(2024•广东广州•二模)已知T=(2a+3b)(2a—3b)—a(3a—b)+9块.

⑴化简T;

(2)若a,b互为相反数，求T的值.

3.(2024.河北邯郸•二模)数学课上，老师给出一个整式(a/+6x)—0+1)0—1)(其中a,6为常数，

且表示系数)，然后让同学给a,6赋予不同的数值进行探究.

(1)甲同学给出一组数据，最后计算结果为(x+l)2,请分别求出甲同学给出的a,6的值；

(2)乙同学给出了a=5,b=-4,请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数.

4.(2024•河北张家口•三模)如图1,2,约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的

代数式.

图1图2

(1)求代数式

(2)嘉嘉说，无论x取什么值,M的值一定大于N的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明.

口题型12判断因式分解的正误

1.(2024.安徽阜阳•模拟预测)下列因式分解正确的是()

A.x2+1=(x+I)2B.x2+2x—1=(x—I)2

C.2x2—2=2(x2—1)=2(x+l)(x—1)D.x2—x+2—x(x—1)+2

2.(2022.河北•一模)下列关于4a+2的叙述，错误的是()

A.4a+2的次数是1B.4a+2表示a的4倍与2的和

C.4a+2是多项式D.4a+2可因式分解为4(a+1)

3.(2024•河北秦皇岛.一模)对于①2x-孙=久(2-y),②(x-3>=/_6x+9,从左到右的变形，表述

正确的是()

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

4.(2023•河北石家庄•二模)数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运

算，分解因式和整式乘法也是互逆运算.请回答下列问题：

(l)(T)(a+b)2=a2+2ab+b2,@a2+2ab+b2=(a+b)2,(3)x—3xy=x(l—3y),(4)(x+3)(x—l)—x2+2x—

3是因式分解的(在括号内写序号)；

(2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：a—b,x-y,x2-y2,a2-

b2,x+y,a+b分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十.现将(/-丫2)。2一(久2一因式分解，

结果呈现的密码信息可能是哪四个字？

□题型13因式分解

1.(2024.湖北恩施•模拟预测)把a2人—2a+/分解因式正确的是()

A.h(a2—2ab+b2)B.a2b—b2C.b(a—Z))2D.(a+b)2

2.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)把多项式3a2b-12协+12b分解因式的结果是.

3.(2024.湖南长沙.模拟预测)已知(久+3)(%—2)+久(％—2)可因式分解成(a%+b)(2%+c),其中b,c

均为整数，求(a+b)，的值.

4.(2024•浙江宁波•模拟预测)用两种不同的方法计算：(a+2)2-a(a+2).(方法一：运用完全平方公式

计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做)

口题型14因式分解的应用

1.(2024.山西长治.模拟预测)在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而

诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要

T.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式a4-非因式分解的结果是

(a—b)(a+b)(a2+b2),若取a=8,b=8时，则各个因式的值是：a—b=0,a+b=16,a2+b2=128,

把这些值从小到大排列得到016128,于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式27a3-

3ab2,取a=4,6=1时，请你写出用上述方法产生的密码.

2.(2024.四川成都.模拟预测)定义：若4九3-371-2("正整数，且0<n<500)等于两个连续正奇数的

乘积，则称“为“彗星数”.则“彗星数””的最小值为,最大值为.

3.(2024・山西运城•模拟预测)已知a,b,c为△48C的三边，且满足a2c2—炉02=一试判定AABC的

形状.

4.(2024•河北•模拟预测)有一列数：4,12,20,....这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我

们把这样的正整数称为“好数如：

第1个数：4=22-02.

第2个数：12=42—22.

第3个数：20=62—42.

(1)设两个连续偶数为2k和2k-2(其中左取大于1的整数)，由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？

请通过计算加以说明？

(2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”.

口题型15判断整式运算或因式分解的错误步骤

1.(2024.江西南昌.模拟预测)下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务.

(1)计算：(2a-3b)(2Q+3b).

解：原式=(2a)2—(3b)2=4q2—9b2.

(2)计算：(2a-36)(a+3b).

解：原式=2a2—(3b)2=2a2—9b2.

任务一：在上述解题过程中，(1)中所利用的公式是乘法公式中的.(填“完全平方公式”或“平方差

公式”)

任务二：请判断小华(2)的解答是否正确，若错误，请直接写出(2)中计算的正确答案.

任务三：计算：(2a-3b)2.

2.(2024.河北沧州.模拟预测)已知多项式2=(a+2)2—a(4—6)—9

(1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示.

A—(a+2)2—a(4-b)-9.=a2+2a+4—4a+ab-9

①②③④

=a2—a+ab—S

在标出①②③④的几项中出现错误的是；请你写出正确的解答过程；

(2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值.”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可

求出多项式A的值.”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值.

3.(2022・山西大同•二模)(1)|一1|一(兀一2022)°+Q1-2tan45°

(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.

因式分解：(3a+b)2-(a+36产

解：原式=(9a2+6ab+b2)—(a2+6ab+9b2)第一步

=8a2-8b2第二步

=8(a2—fa2)第三步

任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是公式；

②第三步进行因式分解用到的方法是法.

任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是.

任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确

的解答过程.

4.(2023•浙江嘉兴•一模)因式分解(3x+y)2-(x+3y)2.小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两

边的值不相等.下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务.

小禾的解法：小禾的检验：

(3%+—(x+3y产当％=0,y—1时，

=(3x+y+%+3y)(3x+y—x—3y)①(%+)一(%+3y78(%+y)(%+2y)

=(4%+4y)(2x+4y)②=12-328x1x2

=8(%+y)(%+2y)③=1-9=16

V-8W16

・・・分解因式错误

任务：

（1）小禾的解答是从第步开始出错的，错误的原因是

（2）请尝试写出正确的因式分解过程.

口题型16图形类规律探索

1.（2024.贵州贵阳.一模）如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当*=1时，三角数

为1,当n=2时，三角数为3,则当n=10时，三角数为（）

・

•••

••・・••

••••••••••

n=\n=2n=3〃=4

A.100B.110C.55D.50

2.（2024.黑龙江大庆.模拟预测）烷煌是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化

合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如

图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢

原子的个数是.

,小内兴芦

①②③④

3.（2024山西•模拟预测）樟卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂.下图结构为固

定禅槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图

所示，则当有"个连接结构时，总长度为cm.

Sqm

8cm

4.（2024.安徽六安.模拟预测）如图,图案1中“☆”的个数为1x2,“★”的个数为詈，图案2中“☆”的个数

为2x3,“★”的个数为誓，图案3中“☆”的个数为3x4,“★”的个数为等；….

★

★★

★

★★★★★★

★★★★☆☆☆☆

★★☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

图案1图案2图案3

(1)图案5中“☆”的个数为二

(2)图案“中，“★”的个数为二(用含w的式子表示)

(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案〃中“★”的个数是“☆”的个数的|,求力的值.

口题型17数字类规律探索

L(2024.湖南.模拟预测)有一组数,按以下规律排列：4,1,号，桂-亲•…则这组数的第n个

数为.

2.(2024.山西•模拟预测)在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就

4.(2024.安徽.模拟预测)【观察・发现】给出一些按一定规律排列的等式:

第1个等式：4x1x2+1=(2xl+l)2；

第2个等式：4x2x3+l=(2x2+l)2；

第3个等式：4x3x4+l=(2X3+1)2；

【归纳•证明】根据上述等式的规律，解答下列问题：

⑴写出第5个等式：；

(2)试猜想第"个等式，并证明.(用含"的式子表示，”为正整数)

口题型18数式中的新定义问题

1.(2024・陕西汉中•二模)对于任意的实数a、b,定义运算a回6=a(b+1),当x为实数时，Q+1)回Q—3)

的化简结果为()

A.x2—x—2B.%2—2%—3C.%2+%+2D.x2+2%+3

2.(2024.河北保定.一模)定义一种新运算，规定尸(a,b)=ab,例尸(1,2)=1x2=2.

(1)已知2=F(x+2y,x—2y),B=F(4y,x—2y),分别求A,B；

⑵通过计算比较A与B的大小.

3.(2024.陕西西安.模拟预测)【定义新知】

如果a,b,c是整数，且a。=b,那么我们规定一种记号(a,b)=c,例如4?=16,那么记作(4,16)=2.

【尝试应用】

(1)(2,8)=；

【拓展提升】

(2)若k、m、ri、p均为整数，且(k,9)=zn,(k,27)=n,(k,243)=p,求证：m+n—p.

4.(2024・浙江•模拟预测)对于实数a,6,定义新运算“㊉”，规定如下：a㊉6=(a+6-1尸—2a6

如1㊉2=(1+2-一2(1X2)=0

(1)求3©5的值；

(2)若》为某一个实数，记x㊉3的值为小，1㊉(2-久)的值为n,请你判断zn-n的值是否与x的取值有关?

并给出证明.

重难创新练

1.(2023・四川德阳•中考真题)在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计

了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式相，“按如下规律进行操作：

第1次操作后得到整式中优，"，n—m；

第2次操作后得到整式中加，w,n-m,-m；

第3次操作后…

其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动

命名为“回头差”游戏.

则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是()

A.m+nB.mC.n—mD.2n

2.(2024•重庆・中考真题)一个各数位均不为。的四位自然数”=诬而，若满足a+d=b+c=9,则称这

个四位数为“友谊数”.例如：四位数1278,+8=2+7=9,1278是“友谊数”.若abed是一个“友谊

数”，且b-a=c-b=1,则这个数为；若M=■是一个“友谊数”，设尸(M)=小且弛喑t电是

整数，则满足条件的M的最大值是.

3.（2024•江苏盐城•中考真题）发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图1

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成

点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有〃个籽，每列有左个籽，行

上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（小左均为正整数，n>k>3,d>0）,如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为,共铲行，则铲除全部籽的路径总长

为;

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为；

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.

专三三［牛1牛…

图1图2图3

4.（2024・安徽.中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为/-f（x,y均为自

然数）”的问题.

（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下5为正整数）：

N奇数4的倍数

表示结果1=I2-024=22-02

3=22-l28=32-l2

5=32-2212=42-22

7=42-3216=52-32

9=52—4220=62-42

一般结论2n—1=n2—(n—l)24n=______

按上表规律，完成下列问题：

(0)24=()2—()2；

(0)4n=；

(2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为久2一y2(x,y

均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：

假设4n—2=/—V，其中刈y均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若Y，y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数，

则/—y2=(2k)2—(2m)2=4(fc2—Hi?)为4的倍数.

而4n-2不是4的倍数，矛盾.故久，y不可能均为偶数.

②若x,y均为奇数，设x=2k+l,y=2m+1,其中k,zn均为自然数，

则/—y2=Qk+I)2—(2m+l)2=为4的倍数.

而4九-2不是4的倍数，矛盾.故久，y不可能均为奇数.

③若久，y一个是奇数一个是偶数，则/-y2为奇数.

而4n-2是偶数，矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数.

由①②③可知，猜测正确.

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

5.(2023•湖南张家界•中考真题)阅读下面材料：

将边长分别为a,a+Vb,a+2迎，a+3历的正方形面积分别记为S「S2>S3,S4.

则52—S]=(a+—a?

=[(a+Vh)+a]>[(a+Vh)-a]

=（2a+Vb）-y[b

=b+2a4b

例如：当a=1,6=3时，S2-Si=3+2V3

根据以上材料解答下列问题：

（1）当a=1,6=3时，S3-S2=,S4-S3=；

（2）当a=l,6=3时，把边长为a+nVF的正方形面积记作又+「其中〃是正整数，从（1）中的计算结果，

你能猜出土+i-S"等于多少吗？并证明你的猜想；

（3）当a=1,b=3时，令I[=52—S]，I2=S3—S2,5=S4—S3,…，7=Sn+i—Sn,且T=t1+打+5+

…+t50,求T的值.

真题实战练

一、单选题

1.（2024.江苏徐州.中考真题）下列运算正确的是（）

A.%3+X3=X6B./.%9=%27c.（x2）3=x5D.X34-X=%2

2.（2023•江苏南通中考真题）若小一4a—12=0,则2a2一8a—8的值为（）

A.24B.20C.18D.16

3.（2024.海南.中考真题）下列计算中，正确的是（）

A.a84-a4=a2B.（3a）2=6a2C.（a2）3=a6D.3a+2b=Sab

4.（2024・四川巴中・中考真题）下列运算正确的是（）

A.3a+b=3abB.a3-a2=a5

C.a8-ra2=a4(aW0)D.(a—b)2=a2—b2

5.（2023•吉林・中考真题）下列各式运算结果为不的是（）

A.(a2)3B.a2+a3C.a2•a3D.a10+a2

6.（2024・云南・中考真题）分解因式：a3—9a=（）

A.a(a—3)(a+3)B.a(a2+9)C.(a—3)(a+3)D.a2(a—9)

7.（2023・湖北宜昌・中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律.如图是某年8月份的日历，任意选择其

中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为〃，则下列叙述中正确的是（）.

日一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.左上角的数字为a+1B.左下角的数字为a+7

C.右下角的数字为a+8D.方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数

8.（2024•江苏徐州•中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5〜7个数可能为（）

A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318

9.（2024.云南・中考真题）按一定规律排列的代数式：2x,3/,4%3,5%4,6%5,--第九个代数式是（）

A.2xnB.（n—l）xnC.nxn+1D.（n+l）xn

10.（2024・四川巴中•中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,则。G=（）

125^51256432V3

A.----B.C.-L）.---

64642727

二、填空题

11.（2023・四川乐山・中考真题）若相、"满足3zn—n—4=0,则8m+2皿=.

12.（2024•黑龙江大庆•中考真题）已知。+工=4，则的值是

aaz

13.（2024・北京・中考真题）分解因式：x3-25%=.

14.（2023•江苏苏州•中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1,3）和（一1,2）,则/-

b2=.

15.（2024・四川德阳・中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8

分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后,

乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b,你认为a可以是（填上一个数字即可）.

三、解答题

16.(2024.内蒙古通辽・中考真题)先化简，再求值：(2a+b)(2a—b)-(a+b)(4a-b),其中a=-y[2,b=2.

17.(2023•浙江嘉兴・中考真题)观察下面的等式：32-I2=8X1,52-32=8X2,72-52=8x3,92-72=

8x4,•••

⑴写出192—172的结果.

(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含"的等式表示，”为正整数)

(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.

18.(2024•内蒙古.中考真题)某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进

行研究，两块试验田共产粮1000kg,种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田

产粮量的1.2倍少100kg,其中“丰收1号”小麦种植在边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方

形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为(a-l)m的正方形试验田中.

(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；

(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

19.(2023•河北•中考真题)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1).某同

学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3,其面积分别为Si.S2.

乙乙乙乙乙丙

(1)请用含。的式子分别表示Si，52；当a=2时，求S1+S2的值；

(2)比较Si与S2的大小，并说明理由.

20.(2023・山东青岛•中考真题)如图①，正方形A8CD的面积为1.

(1)如图②，延长到使=延长BC到Bi，使B】C=CB,则四边形的面积为一

(2)如图③，延长48到4，^A2B=2BA,延长BC到&,使82c=2C8,则四边形力4外。的面积为

⑶延长4B到使4通=让4延长BC到%，使%C=nCB,则四边形A4rBM的面积为

第一章数与式

第02讲整式与因式分解

口题型03整式的相关概念

模拟基础练1口题型04整式的加减

口题型05幕的混合运算

口题型01实际问题中的代数式

口题型06整式的乘除

□题型02求代数式的值

口题型07利用乘法公式变形求解口题型16图形类规律探索

口题型08乘法公式的应用□题型17数字类规律探索

口题型09整式的化简求值-直接代入法□题型18数式中的新定义问题

口题型10整式的化简求值-整体代入法

口题型11整式的混合运算重难创新练

口题型12判断因式分解的正误

□题型13因式分解

真题实战练

口题型14因式分解的应用

口题型15判断整式运算或因式分解的错误步骤

模拟基础练।

□题型01实际问题中的代数式

1.(2024・河南信阳•一模)某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价

最低的是()

A.先打九五折，再打九五折B.先提价10%,再打八折

C.先提价30%,再降价35%D.先打七五折，再提价10%

【答案】D

【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调

价方案逐一计算后，比较大小判断即可.

【详解】解：设原件为x元，

选项A：：先打九五折，再打九五折，

二调价后的价格为0.95xX0.95=0.9025%%,

选项B：:先提价10%,再打八折，

二调价后的价格为(1+10%)xX0.8=l.lxX0.8=0.88x元，

选项C：：先提价30%,再降价35%,

.,.调价后的价格为=(1+30%)xx(1-35%)=1.3%x0.65=0.845x元，

选项D：：先打七五折，再提价10%,

.•.调价后的价格为0.75%X(1+10%)=0.75%X1.1=0.825万元,

V0.825%<0.845%<0.88%<0.9025%

故选：D

2.(2023•安徽池州•一模)某产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%,现因库存积压，按销售价

的八折出售，那么该产品的实际售价为()

A.(l+14%)(l+0.8)a元