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文档简介
专题05尺规作图
考点类型
考点L尺规作图——作线段
考点2:尺规作图——作角
模块五图形的变换
05讲尺规作图
口^」知识一遍过
(一)作线段
已知:线段4,作一条线段AB,AB=a?
作法:①用直尺画射线AC
②用圆规在射线AC上截取AB=a
二线段AB即为所求
(二)作角
已知:ZAOB
求作:ZAOB=ZAO'B'
作法:①以0为圆心,任意长为半径画弧,交0A与点D,交0B于点E;
②作射线O'B'
③以。'为圆心,0D长为半径画弧,交08于点E'
④以E'为圆心,ED长为半径画弧,交上一步所画的弧与D'
⑤过。'作射线O'A,NAO'B'为所求
(三)作角平分线
作法:①在0A和0B上分别截取OD、0E,使0D=0E。
②分别以D、E为圆心,以大于工DE的长为半径作弧,两弧在/AOB内交于点C
2
③作射线0C,则0C就是/AOB的平分线
(四)作垂直平分线
作法:①以A为圆心大于长为半径作弧,以B为圆心大于‘AB长为半径作弧,两弧交于C、D两点
22
②连接CD,即为所求
考点一遍过
考点1:尺规作图一一作线段
典例L(2024上•福建泉州•九年级统考期末)如图,在RtZkABC中,ABAC=90°.
C
AB
(1)延长AC至点M使得4N=4B;过点N作ND1BC,与BC的延长线交于点。(要求:尺规作图,不写作
法,要保留作图痕迹);
⑵在(1)的条件下,延长B4至点M,使得AM=AC,求证D,M,N三点共线.
【变式1](2024上•福建泉州•八年级校考期末)如图,直线MN||PQ,直线4B分别与MN,PQ相交于点4B.
⑴尺规作图(保留作图痕迹):
①作NM4B的角平分线与PQ交于点C;
②在射线2N上找一点D,使AB=AD-,
⑵连接CD,若四边形4BCD的对角线8D=6,47=8,则四边形力BCD的面积为,直线MN与直线PQ
的距离为.
【变式2】(2023上•八年级课时练习)如图,Rt△力BC中,AACB=90°.尺规作图:(不写作法,保留作图
痕迹)
⑴在斜边力B上找一点D,使4D=AC;
⑵作NB4C的平分线,交BC于点、E,连结DE;
⑶在(1)、(2)的条件下,请判断ABDE的形状,并说明理由.
【变式3】(2023•江苏南京•统考一模)如图,已知线段a.求作AABC,使N4=90。,AB=AC,且分别满
足下列条件:
」一
(1)5C=a.
(2)AABC的周长等于a.
(要求:尺规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明.)
考点2:尺规作图一一作角
典例2:(2023•福建泉州•校联考模拟预测)如图,在△力8c中,4B边上有一点Z).
⑴尺规作图:在47上取一个点E,使得AADEs△4CB(尺规作图,保留作图痕迹)
⑵在(1)的基础上,若力。=3cm,AC-6cm,BC=5cm,求DE的长度.
【变式1](2023•黑龙江绥化•统考模拟预测)如图,在△ABC中,。是4B边上的一点.
⑴请用尺规作图法,在AABC内,求作乙4DE,使=DE交AC于点E(不要求写作法,保留作图
痕迹);
⑵在(1)的条件下,若券=2,DE=4,求的长.
【变式2](2023•福建泉州,统考二模)如图,在RtzkABC中,ZXCB=90°,zX<ZB.
⑴在4B的延长线上,求作点D,使得ACBDs^ACD(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若48=5,SNBC=5,求tan/CDB的值.
【变式3】(2023•福建泉州•统考模拟预测)如图,在△ABC中,点E分别在边BC、4C上,S.DESAB.
⑴求作乙。F4,使得点尸在边4C上,且NDB4=NA;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
⑵在(1)的条件下,若。C=(BC,NB=45。,NC=30。,BC=15+15V3,求线段。尸的长.
考点3:尺规作图一一作角平分线
典例3:(2023•山东青岛・统考模拟预测)如图,在△ABC中,Z_C=90。,AB=10,BC=6,P是边48上的
一点,以P为圆心,PB为半径作。P.
⑴尺规作图:求作OP,使得OP与直线4C相切;(保留作图痕迹)
(2)求⑴中G)P的半径.
【变式1】(2022•福建厦门•统考模拟预测)如图,已知△ABC,乙4cB=90。.
备用图
⑴求作菱形4DEF,使得D,E,尸分别在边力B,BC,4c上;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接2E,CD,过点E作EG12E,交48于点G,若4G=8,N4GE=60。,求CD的
长.
【变式2】(2022•福建泉州•校考模拟预测)已知:Rt^ABC,ZC=90°.
⑴点E在BC边上,且AACE的周长为4C+BC,以线段AE上一点。为圆心的。0恰与AB、BC边都相切,请
用无刻度的直尺和圆规确定点E、。的位置;
(2)若8c=12,AC=9,求O。的半径.
【变式3】(2011•广东珠海•统考中考模拟)如图,AABC是等腰三角形,AB=AC,乙4=36。.
⑴尺规作图:作NB的角平分线BD,交4C点。(保留作图痕迹,不写作法);
(2)判断ADBC是否为等腰三角形,并说明理由.
考点4:尺规作图一一作三角形
典例4:(2023•福建泉州•统考模拟预测)如图,AABC=70°,AB=BC.
A
BC
⑴求作△BCD及N8CE,满足△BCD为等边三角形,/.BCE=170°,其中48=CE,点。,E与点A在BC的同
侧;(要求:尺规作图,不写作法,保留痕迹)
(2)在(1)的条件下,求NB4E的度数.
【变式1](2022上•福建福州,九年级闽清天儒中学校考阶段练习)如图,点P是等边三角形ABC内一点,
连接B4,PB,PC,将△P48绕点2逆时针旋转60。得到AODB,其中点P的对应点是。.
⑴请画出AQDB(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若力8=2,求24+P8+PC的最小值.
【变式2](2023下•八年级课时练习)在△ABC中,ZC=90°,^CAB=a(0°<a<45°),将△ABC绕点A
逆时针旋转,旋转角为做0。<0<180。),记点8,C的对应点分别为。,E.
/D
⑴若△力BC和线段力。如图所示,请在图中作出AaDE(要求;尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)M是48的中点,N是点M旋转后的对应点,连接MN,CD,BD,则是否存在夕与a的某种数量关系,使
得无论a取何值时,都有MN=CD?若存在,请说明理由,并直接写出此时BC与BD的数量关系;若不存在,
也请说明理由.
【变式31(2022上•福建福州•九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习)如图,点D是等边AABC外部一点,
把ABCD绕点C顺时针旋转60。得到AACE,其中点4,E分别是点B,。的对应点.
⑴利用无刻度的直尺和圆规作出AACE;(保留痕迹,不写作法)
⑵在(1)的情况下,在线段BD上取点P,且PB=PC,若乙4BD=NDBC+41EC,求证:P,C,E三点共
线.
考点5:尺规作图一一作垂直平分线
典例5:(2023•广东清远•统考一模)如图,AABC中,AB=AC>BC
⑴求作边4B的垂直平分线,交力C于点。;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若BD=BC,求乙4的大小.
【变式1](2023•广东潮州二模)如图,在回4BCD中,4c为对角线.
(2)尺规作图:作2C的垂直平分线,分别交力D,BC于点E,尸(不写作法,保留作图痕迹);
⑶若△CDE的周长为10,求E1ABCD的周长.
【变式2](2023•湖北襄阳•统考中考真题)如图,4C是菱形4BCD的对角线.
⑴作边力B的垂直平分线,分别与4B,4C交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,连接FB,若ND=140。,求NCBF的度数.
【变式3](2023•湖北鄂州,校考模拟预测)如图,四边形2BCD中,4B||CD,4C为对角线.
⑴尺规作图:作力C的垂直平分线分别交48、AC.DC于点E、F、G.连接4G,CE(不写作法和结论,保留
作图痕迹);
⑵求证:四边形AECG是菱形(请补全下面的证明过程).
考点6:尺规作图一一作垂线
典例6:(2023•山西忻州•校联考模拟预测)如图,在团4BCD中,BE平分N4BC交AD于点E.
⑴实践与操作:利用尺规作图,过点4作BE的垂线,分别交BE,BC于点F,G;(要求:尺规作图并保留作
图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)猜想与证明:试猜想线段4E与8G的数量关系,并加以证明.
【变式1](2023•广东云浮・统考一模)如图,4B为。。的直径,C为。。上的一点.
⑴过点B作。。的切线PB,交4C的延长线于点P(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
⑵在(1)的条件下,若。D1BC,垂足为。,OD=2,PC=9,求P8的长.
【变式2](2023•江苏连云港•统考中考真题)如图,在AABC中,AB=AC,以力B为直径的。。交边力C于
点O,连接BD,过点C作CEII4B.
⑴请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作O。的切线,交CE于点F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字
母)
(2)在(1)的条件下,求证:BD=BF.
【变式3】(2023•广东广州•校考二模)在RtAABC中,乙4=90。,AB=6,AC=8,点。为边BC的中点.
⑴尺规作图,过点。作DE1BC交边4C于点E;
(2)求ED、EC的长;
⑶点P为射线4B上的一动点,点。为边4C上的一动点,且NPDQ=90。,若BP=2,求CQ的长.
考点7:尺规作图一一作等腰、等边三角形
典例7:(2022下•福建龙岩•八年级统考期末)如图,在AaBC中,AB=AC,射线CM||4B.
⑴在线段A8上取一点E,使得CE=CB,在射线CM上确定一点。,使4CDE是以CE为底边的等腰三角形(尺
规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,连接4D,求证:AD=BC.
【变式1](2023•浙江杭州・统考一模)如图,有一块三边长分别为3cm,4cm,5cm的三角形硬纸板,现要从中
剪下一块底边长为5cm的等腰三角形.
(1)在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形(不写作法,保留作图痕迹).
(2)当剪下的等腰三角形面积最大时,求该等腰三角形的面积.
【变式2](2022•福建莆田,统考一模)阅读下列材料,完成相应任务.
已知:如图,直线。|加忻,点力在直线上.
求作:等边三角形4BC,使其点B,C分别落在直线小,71上.
作法:①在直线机上取点D,连接4D,向右作等边三角形N4DE,使点E落在直线/,小之间;
②在直线m上取点P(点P在点。左侧),作乙4EC=N4DP交直线n于点C;
③在射线DP上截取DB=CE;
④连接ZB,AC,BC.
△4BC就是所求作的等边三角形.
(1)使用直尺和圆规,依上述作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)请你根据上述作法,证明△ABC所求作的等边三角形.
【变式3](2023•山东德州•统考三模)如图,已知回PBC,在射线BC上任取一点D,以线段BD的中点。为
圆心作回0,且国。与PB相切于点E.
⑴求作:射线BP上一点A,使回ABD为等腰三角形,且AB=AD.(要求:运用直尺和圆规,保留作图痕迹,
不写作法)
⑵求证:AD是回O的切线.
⑶若BD的长为8cm,0PBC=3O°,求阴影部分的面积
考点8:尺规作图一一作圆的切线
典例8:(2023•福建福州•闽清天儒中学校考模拟预测)如图,点尸是。。外一点,连接。P交。。于点/.
⑴过点P作O。的两条切线P4PB,切点分别为A,B(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,连接AB,求证:点/是A48P的内心.
【变式1](2023•河南周口・统考一模)如图,为。。的直径,C为。。上的一点.
⑴过点B作。。的切线PB,交4C的延长线于点P(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
⑵在(1)的条件下,若。D1BC,垂足为D,OD=2,PC=9,求PB的长.
【变式2](2023•江苏徐州,校考三模)如图,已知尸是。。外一点.按要求完成下列问题:
•P
⑴作图:(保留作图的痕迹)
①连接OP,与。。交与点A,延长4。,与。。交于点&
②以点尸为圆心,OP长为半径画弧,以点。为圆心,长为半径画弧;
③两弧相交于点C,连接。C,与。。交于点。,连接DP,BD.
(2)证明:DP为。。的切线;
⑶计算:利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据,可计算出弧BD与弦BD所围"弓形”的面积为
cm?.(结果保留根号或精确到0.1cm)
【变式3](2023•河南•校联考二模)如图1,小明在。。外取一点P,作直线P。分别交。。于两点8、A,
先以P为圆心P。的长为半径画弧,再以。为圆心4B的长为半径画弧,两弧相交于点。,连接。Q交。。于
⑴请你写出小明得出PC为O。的切线的核心依据:;
(2)如图2,继续作点C关于4B的对称点。,连接CD交2B于点E,连接BD.
①求证:4PCD=2乙BDC;
②若。。的半径为15,BE=6,求PC的长.
考点9:无刻度直尺作图
典例9:(2022,湖北武汉•校考模拟预测)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个
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