中考数学复习题型训练：概率（学生版）

专题41概率【十二大题型】

►题型梳理

【题型1事件的分类】.........................................................................2

【题型2根据概率公式计算概率1...............................................................................................3

【题型3由概率求数量1............................................................................................................4

【题型4列举法求概率】.......................................................................4

【题型5画树状图法/列表法求概率1...........................................................................................5

【题型6几何概率】...........................................................................6

【题型7由频率估计概率1........................................................................................................8

【题型8放回实验概率计算方法】..............................................................9

【题型9不放回实验概率计算方法】............................................................9

【题型10游戏公平性】........................................................................10

【题型11概率的实际应用】....................................................................11

【题型12概率与统计综合】....................................................................13

，举一反三

【知识点概率】

1.随机事件

必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。

不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。

必然事件和不可能事件统称确定性事件。

随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。

2.概率

(1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0<P(不确定事件)<1。

(2)一般地，如果在一次试验中，有“种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中

的m种结果，那么事件A发生的概率尸(Z)=竺。

n

3冽表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果,

通常采用列表法。

4.树状图法求概率

通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果,

通常采用树状图法求概率。

5.利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这

个事件发生的概率。

在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟

实验。

【题型1事件的分类】

【例1】（2023•广东中山•二模）如图，电路图上有4个开关，、B、C、。和1个小灯泡，同时闭合开关/、

B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光.下列操作中，"小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）

______/______/—

AB

―/______/—

CD

A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关

C.只闭合3个开关D.闭合4个开关

【变式1-1］（2023•浙江宁波•二模）下列事件中属于不可能事件的是（）

A.投掷一枚骰子，朝上的点数为3

B.13个人中有两个人生日在同一个月份

C.从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球

D.两点之间，线段最短

【变式1-2］（2024•山西朔州•一模）如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事

件的是（）

A.掷得的点数和为5B.掷得的点数和为9

C.掷得的点数和大于15D.掷得的点数和小于13

【变式1-3]（17-18七年级下•江西萍乡•期末）某一超市在"五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商

品可参加抽奖一次，中奖的概率为，小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（）

A.能中奖一次B.能中奖两次

C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

【题型2根据概率公式计算概率】

【例2】（2023•山东济宁•三模）从有理数-1,0,1,2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线y=-久+1

上的概率是（）

A1-CiDi

6B5J4U-3

【变式2-1]（2023•海南省直辖县级单位•二模）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，

黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）

1115

A.5B.疝C.-D.-

【变式2-2]（2023•安徽合肥•二模）平行四边形48CD的对角线NC、5。相交于。，给出的四个条件

①4B=BC；②442c=90。；③OA=OB；@ACLBD,从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD

是正方形的概率是（）

【变式2-3]（2023•江苏•模拟预测）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相

同.现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄

球的概率相等的方案是（）

A.增加2个白球B.减少2个黄球

C.增加1个白球、减少1个黄球D.增加4个白球、3个黄球

【题型3由概率求数量】

【例3】（2023•浙江宁波•模拟预测）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形

的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2,4,6,....2n（每个区域内标注1个数字，

且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件"指针所落区域标注的数字

大于8"的概率是1则n的取值为（）

0

A.10B.8C.12D.4

【变式3-1]（2023•辽宁葫芦岛•一模）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜

色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为g则随机摸出一个黄球的概率为

（）

A1-C-D

4B3J12U-2

【变式3-2]（2023•福建福州•一模）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会

徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰

墩墩的卡片共有"张.从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是:则”的值是.

【变式3-3]（2023•山东济南•中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3

个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是:，

则盒子中棋子的总个数是.

【题型4列举法求概率】

【例4】（2023・广东肇庆•三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一

排4B,C,D,£五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与

自己车票相符座位的坐法有（）

A.40B.45C.50D.55

【变式4-1]（2023•山西太原•一模）在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电

阻及若干条导线连接如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是.

【变式4-2］（2023•江苏苏州•一模）如图，三根同样的绳子4&、BB］、穿过一块木板，姐妹两人分别

站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等.

⑴姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为;

⑵在互相看不见的条件下，姐姐从左端/、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端&、Bi、Ci

三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.

【变式4-3］（2023•安徽蚌埠•一模）某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：ug/n?）如下表所示:

日期12345678910

AQI/(ug/m3)283144374178451135029

AQI不高于75ug/m3表示空气质量优良.如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区的

空气质量都是优良的概率是.

【题型5画树状图法/列表法求概率】

【例5】（2023•江苏盐城•一模）把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠

表£示数1210.1

百十个

（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是二

⑵现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求

构成的数是三位数的概率.

【变式5-1］（2024・陕西西安•一模）周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然

景观十分丰富，汉家离宫唐家园林，星罗棋布.小刚和小强两人准备从4楼观台国家森林公园，B.黑河

国家森林公园，C.沙河湿地公园，D.终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩.

楼观台国家森林公园黑河国家森林公园沙河湿地公园终南山鼓楼观景区

⑴小刚选择的景点是"沙河湿地公园”的概率为」

（2）请用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率.

【变式5-2］（2023•安徽•模拟预测）奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到的杂种

第一代豌豆都呈黄色.他假设纯种黄豌豆的基因是YY,纯种绿豌豆的基因是yy,则杂种第一代豌豆的基因

是Yy,其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是黄色基因，豌豆就呈黄色，故第一代的所有

豌豆均呈黄色.将杂种第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y,y与母本的两个基因Y,y再随机配对，将产

生4种可能的结果：

第一代［Yy（父本）］|Yy（母本）

第二代［Y父丫母］|丫父端|丫,也|以父加

Y父,y父表示来自父本的基因

Y母,y母表示来自母本的基因

⑴求第二代出现黄豌豆的概率.

⑵如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄豌豆出现的概率为，请列举一种符合要求的配对方案，

并说明理由.

【变式5-3］（2023•云南昆明•三模）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀.春节有4部影

片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》.小亮和小丽两

名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表

示为4《飞驰人生2》表示为B,《第二十条》表示为C.假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素

影响，且每一部电影被选到的可能性相等.记小亮同学的选择为久，小丽同学的选择为外

⑴请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（久,为所有可能出现的结果总数；

（2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率.

【题型6几何概率】

【例6】（2023•河南郑州•三模）如图，在矩形4BCD中，以点。为圆心，2D长为半径画弧，以点C为圆心，

CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB=1,则该点取自阴影

部分的概率为.

【变式6-1]（2023•山东东营•一模）一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴

【变式6-2]（2023•广东云浮•一模）"七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为"东方魔板图①是由

该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞

【变式6-3]（2023•四川成都•三模）如图，A48C三边的中点D,E,尸组成△£>££尸三边的中点

M,N,P组成△AWP,将与△£（二）涂成阴影.假设可以随意在aZBC中取点，那么这个点取在阴影

部分的概率为

B

【例7】（2024•河南周口•一模）斯蒂芬・库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于NBA金州勇士

队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录:

罚球总数4001000160020002887

命中次数348893143218022617

罚球命中率0.870.8930.8950.9010.906

根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为（精确到0.1）

【变式7-1］（2023•四川自贡•中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100

条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出

100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是_________鱼池

（填甲或乙）

【变式7-2］（2023•内蒙古呼和浩特•三模）《卖油翁》中，翁曰："我亦无他，惟手熟尔如图，已知铜

线的直径为3cm,厚度为0.2cm,一枚铜钱的平均密度约为9g/cm3.为计算铜钱的质量，做如下实验：将一

滴油随机滴在铜钱上，重复加次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为九次.由此可以估计，一枚铜钱的质量

约为g（用含ni,n,兀的式子表示）.

【变式7-3］（2023•河北秦皇岛•三模）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸

球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述

过程.如图所示为"摸到白球"的频率折线统计图.

（1）请估计：当"足够大时，摸到白球的频率将会接近（结果精确到0.1）,假如小李摸一次球，

小李摸到白球的概率为;

（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；

⑶在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在|,需要往盒子里再放入多少个白球？

【题型8放回实验概率计算方法】

【例8】（2023•广东深圳•模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1,

2,3,4,5.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球.两次取出的小球标号之和为偶数的概率

是（）

213312

A-iB.元C,-D.-

【变式8-1]（2023•北京顺义•二模）不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1,2,3,

4.随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字

不相同的概率是.

【变式8-2]（2023•河南南阳•二模）甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制

成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），

三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（）

1111

A.目B,-C--D.—

【变式8-3]（2023•重庆江北•二模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字-1、-2、1、2,

将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a,放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为人

则函数y=ax+b的图像不经过第二象限的概率是.

【题型9不放回实验概率计算方法】

【例9】（2023•河南周口•模拟预测）豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏

曲剧种.如图，豫剧爱好者小华购买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝

麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙.小华将它们背面朝上放在桌面

上（邮票背面完全相同），先让乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙

抽到第三枚《朝阳沟》的概率是（）

【变式9-1]（2023・湖北武汉•模拟预测）甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机

抽起一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（）

1121

A-36C,5D，4

【变式9-2]（2023•河南南阳•一模）"二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为"中

国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将"立春""立夏""秋分""大寒"四张邮票中的两张送

给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放

回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是"立春'和"立夏"的概率是.

【变式9-3]（2023・广东梅州•一模）一个不透明的箱子里装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色不同外

其他都相同，则从箱子中先后不放回摸出两个球，则摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为.

【题型10游戏公平性】

[例10]（2023•河北石家庄•模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针

A.公平B.对甲有利C.对乙有利D.公平性不可预测

【变式10-1】（2023•河南•三模）哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,

2,3,将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一

张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方—•（填"公

平"或"不公平"）

【变式10-2】（2023,湖北咸宁•模拟预测）桌面上放有形状大小相同的甲、乙两组扑克牌，它们背面朝上，

甲组扑克牌是红桃2,红桃3和黑桃4；乙组扑克牌是黑桃5、黑桃6、红桃7,

（1）洗匀后随机从甲组扑克牌中摸出一张牌以上面的数作为个位数字，从乙组扑克牌中摸出一张以其上的数

作为十位数字，组成的两位数是偶数的概率是一；

（2）黄震和程祥约定了一个游戏规则：从洗匀后的甲、乙两组扑克牌中各随机摸出一张牌，若摸出的两张牌

花色相同，则黄震胜；若花色不同，则程祥获胜，这个游戏规则是否对双方公平？请用列表法或树状图法

说明.

【变式10-3】（2023•安徽•二模）甲、乙两名同学正在玩下表中的三个游戏，游戏规则如表所示，游戏过程

中应不放回地取球.下列说法正确的是（）

游戏1游戏2游戏3

袋子中球的数量和颜色2个红球和2个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球

取球规则取1个球依次取2个球依次取2个球

取到红球好甲胜两个球同色好甲胜两个球同色好甲胜

获胜规则

取到白球好乙胜两个球不同色玲乙胜两个球不同色玲乙胜

A.甲在游戏1取胜的概率为:B.甲在游戏3取胜的概率为:

4o

C.游戏2对甲、乙双方都公平D.乙在游戏2中最容易取胜

【题型11概率的实际应用】

【例11】（2023•广东二模）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；

若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通

过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是60%,坏天气的机会是40%,则作出决策为

（填"出海"、"不出海"）.

【变式11-1】（2023•山西•一模）某商场，为了吸引顾客，在"元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物

满200元者，有两种奖励方案供选择：

方案一：是直接获得20元的礼金卷；

方案二：是得到一次摇奖的机会.规则如下：己知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘/、B,这两个转盘

除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割

线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少.

指针指向两红一红一蓝两蓝

礼金券（元）18918

/款8款⑴请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针

分别指向一红区和一蓝区的概率.

⑵如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为

实惠.

【变式11-2】（2023•江苏连云港•一模）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足

同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物"从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术

节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有/、B,C共3

个选项，第二道单选题有N、B、C、。共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次"求助"的机

会没有用（使用"求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.

（1）如果小明第一题不使用"求助"，那么小明答对第一道题的概率是—;

⑵如果小明决定第一题不使用"求助"，第二题使用"求助"，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；

⑶从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助（直接写出答案）

【变式11-3】（2023•辽宁营口•一模）某体育馆有/,8两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C,

D,E三个出口，其中C、D出口有2个通道，£出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，

规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开.甲、乙、丙三名观众分

别从两个入口中随机选择一个入口进入.

（1）求甲从/口进入，C口离开的概率；

（2）求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率.

⑶学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，九年级150人，九年级160人，比赛结

束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、

。、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由.

【题型12概率与统计综合】

【例12]（2023•辽宁丹东•中考真题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了"安全知识答题”活

动.该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一

般），D（