直角三角形的边角关系（易错必刷30题8种题型专项训练）解析版

第6章直角三角形的边角关系

（易错必刷30题8种题型专项训练）

・题型目录展示♦

A锐角三角函数的定义A解直角三角形的应用

A锐角三角函数的增减性A解直角三角形的应用-坡度坡角问题

A特殊角的三角函数值A解直角三角形的应用-仰角俯角问题

A解直角三角形A解直角三角形的应用-方向角问题

♦题型通关专训♦

一.锐角三角函数的定义（共8小题）

1.正方形网格中，/AO8如图放置，则cos/AOB的值为（)

D•亨

【解答】解：如图，C为边上的格点，连接AC,

根据勾股定理，40=五口”=2病,

AC=412+32=>/10，

0c=4J+32=,

所以，4。2=4。2+。。2=2。，

所以，△AOC是直角三角形，

cosNAOB=2ZL.

A02^52

故选：B.

/一R

2.在Rt^ABC中，AC=8,BC=6,则cosA的值等于（）

Bc.4或近

-454

【答案】c

【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况:

①当为斜边，ZC=90°,

VAC=8,BC=6,

；•AB=VAC2+BC2=V82+62=18

cosA=-^k=_§_=A

AB105

②当AC为斜边，ZB=90°,

由勾股定理得：AB-《AC2-BC之=$2=2^7，

.­.COSA=AB=2VL=VL;

AC84

综上所述，cosA的值等于2或近.

54

故选：C.

3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上，若点A的坐标为（0,3）,tan/

ABO=M，则菱形ABC。的周长为（）

B.6MC.1273D.873

【答案】D

【解答】解：：点A的坐标为（0,3）,

；.AO=3,

VtanZABO=V3>

.•・世=如,

B0

:.工7,

B0

:.BO=M，

「△A02是直角三角形,

；•AB=VA02+B02=Vs2+(V3)2=^12S

.菱形的四条边相等,

菱形ABCD的周长为2a义4=8次.

故选：D.

4.己知在RtZXABC中，ZC=90°,AC=V15>AB=4,则cosB的值是（）

A.B.Ac.AD.2/lL

43415

【答案】c

VZC=90°,AC=Vl5>AB=4,

BC=VAB2-AC2=V16-15=1，

/.cosB=-^-=—,

AB4

故选：C.

5.如图，在△ABC中，/C=90°,AC=5,若cos/A=A,则BC的长为（

13

D.18

【答案】B

【解答】解：:△ABC中，ZC=90°,AC=5,COSZA=A,

13

••5•I_—5

AB13

：.AB=13f

BC=VAB2-AC2=12,

故选：B.

6.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、。都在格点上，则/。48的正弦值是叵.

—5—

【答案】见试题解答内容

在RtZ\AC°中，A°=YAC240c2=442+22=屈=2^，

2

sinZOAB=/=_=^§_.

OA2755

故答案为：逐.

5

7.如图，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中/

ABC的正弦值是2匹.

—5—

B

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由图可知，AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,AB2=32+42=25,

.♦.△ABC是直角三角形，且NAC2=90°,

sinNABC=蚂='后.

AB5

故答案为：

5

8.如图，在△ABC中，ZC=90°，AC=6,若cos&=2,则8C的长为8.

5

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：在△A8C中，ZC=90°,AC=6,cosA=旦，

5

/.8$4=曳-=巨=旦，

ABAB5

：.AB=10,

BC=7AB2-AC2=V102-62==8­

故答案为：8.

二.锐角三角函数的增减性（共1小题）

9.若NA是锐角，且sinA=2，则（）

3

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】A

【解答】解：,../A是锐角，且sinA=」<』=sin30°,

32

.".0°<ZA<30°,

故选：A.

三.特殊角的三角函数值（共2小题）

10.在△ABC中，如果NA、满足|tanA-1|+（cosB-A）2=0,那么在C=75°

【答案】见试题解答内容

【解答】解：:△ABC中，|tanA-1|+(cosB-A)2=0

2

tanA=l,COSB=A

2

-45°,ZB=60°，

:"C=75

故答案为：75°.

11.计算:

(1)tan45°-sin30°cos60°-cos245°；

(2)3tan30°-tan245°+2sin60°.

【答案】(1)1:

4

(2)273-1.

【解答】解:(1)tan45°-sin30°cos60°-cos245°

=i-AxA-(亚)2

222

=1-1-1

42

=1.

4

(2)3tan30°-tan245°+2sin60°

=3义立,-12+2X2Z1.

32

=V3-1+V3

=2,5/3-1.

四.解直角三角形(共5小题)

12.如图，在△ABC中，点。是角平分线A。、BE的交点，若AB=AC=10,BC=12,贝！Jtan/的值

【答案】A

【解答】解：如图:

作。尸于F,

,：AB=AC,A。平分/8AC.

：.ZODB=90°.BD=CD=6.

，根据勾股定理得：AD=V100-36=8.

「BE平分NABC.

OF=OD,BF=BD=6,A尸=10-6=4.

设0。=。/=羽则40=8-x,在RtZSA。尸中，根据勾股定理得:

(8-x)2=X2+42.

••x~~3.

JOD=3.

在RtZXOBD中，tanNOBZ)=_2R=g=Ji.

BD62

法二：在求出AF=4后

'：tanZBAD=^-=^..

AFAD

A0F=_6

'T■?1

：.0F=3.

：.OD=OF=3.

tanZ.0BD=^-=—.

BD2

故选：A.

13.将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABC。，ZABC=ZACD=90°,ZADC=60°,ZACB=

45°,连接8。，贝UtanNCH。的值等于（)

B

---、D

C

ABc+]D一]

-T-~4~-3,2

【答案】D

【解答】解：如图所示，连接BD过点。作OE垂直于8C的延长线于点E

•.•在RtZXABC中，ZACB=45°,在RtZXACD中，ZACD=90°

：.ZDCE=45°,

■:DELCE

/.ZC£D=90°,ZCDE=45°

：.设DE=CE=l,则CZ)=6

在RtAACD中,

'：ZCAD=3O°,

：.tanZCAD=^-,贝1」47=五，

AC

在RtZXABC中，ZBAC=ZBCA=45°

:.BC=M，

：.在RtABED中，tan/C8£)=^=—4=立一1

BE1啦2

故选：D.

14.阅读理解：为计算tanl5°三角函数值，我们可以构建Rt^AC2（如图），使得NC=90°,NA2C=30°,

延长CB使连接A。，可得到/。=15°,所以tanl5°=运=—匚=-----2-^/3

CD2W3(2W3)(2^3)

=2-类比这种方法，请你计算tan22.5。的值为()

A.V2+1B.V2-1C.A/2D.A

2

【答案】B

【解答】解：如图:

在RtzXACB中，ZC=90°，ZABC=45°，延长CB使连接AD,

：.ZBAD=ZD=22.5°,

设AC=BC=1,则A8=BD=&AC=&,

:.CD=BC+BD=\+近,

在RtZXAOC中，tan22.5°=至=—1^=6-1,

CD1W2

故选：B.

15.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如

图，改变边长为2的正方形A8CD的内角，变为菱形A8CO,若/042=45°,则阴影部分的面积是

)

A.B.5-V2C.5+2我D.5-2A/2

22

【答案】D

【解答】解：设BC与C'D'交点为5

贝！|BE_LC'D',因此C'E=BC•COSC,,

;四边形43C'D'为菱形，则NC'=/D'AB=45°,

：.CE=BC'•cosC,=2X亚=&，

2

同理・sinU=&,

：.D'E=2-&,BE=6,

.•.梯形。'E54面积为：

S'=(D'E+A8)XBEX工=2如-1,

2

阴影面积为：S=SSABCD-S'

=2X2-(2A/2-1)

=5-272.

故选：D.

16.我们给出定义：如果两个锐角的和为45°,那么称这两个角互为半余角.如图，在△ABC中，ZA,Z

5

【解答】解：过点2作2OLAC,交AC的延长线于点

..BC啦

•AC=3

:.设BC=2jia,AC=3a,

VZA,NB互为半余角，

AZA+ZB=45°,

：.ZDCB=ZA+ZB^45°,

BCsin45°=2企。•亚=2。,

在RtZXCDB中，BD

2

CZ)=BCcos45°=2&a•V^_=2tz,

2

*：AC=3af

AD—AC+CD=3a+2a=5a,

在RtZXABD中，tanA=坨=&_=2,

AD5a5

故答案为：2.

5

五.解直角三角形的应用（共3小题）

17.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形A3C,其中A3=AC,ZABC=27°,BC=44cm,则高

AO约为（）

(参考数据:sin27°心0.45,cos27°^0.89,tan27°心0.51)

C.19.58cmD.22.44cm

【答案】B

【解答】解:'：AB^AC,BC=44cm,

•.BD='CD=22cm,AZ)_L3C,

VZABC=27°,

AtanZABC=-^.«0.51,

BD

A。心0.5IX22=11.22cs,

故选：B.

18.如图2,有一块四边形的铁板余料ABC。，经测量AB=50ow,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC

=A,若要从这块余料中裁出顶点〃、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,则该矩形的面积为余44

3

cm2.

D

A

B

【答案】1944.

【解答】解：如图，延长54、CD交于点E,过点E作EHLBC于点H,

交尸。于点G,如图，设矩形PQMN,

\ZB=ZC,

：.EB=EC,

VBC=108cm,且EH_L2C,

BH=CH=AfiC=54cm,

2

VtanB=^H=A,

BH3

EH=鱼BH=AX54=12cm,

33

：.EG=EH-GH=12-QM,

'.,PQ//BC,

:.△EQPs^EBC,

•PQ=EG即PQ=72-QM

"BCEH'l0872

：.PQ=3-(72-QM),

2

设

贝US矩形尸(72-x)=-2Cx-36)2+1944,

22

・••当x=36时，S矩形PQMN最大值为1944,

所以当QW=36时，矩形PQMN的最大面积为1944cm2,

答：该矩形的面积为1944CM?.

故答案为：1944.

19.胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔A8垂

直于桥面BC于点8,其中两条斜拉索4。、AC与桥面8C的夹角分别为60°和45°,两固定点。、C

之间的距离约为33根，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：&-1.41,VS^I.73）.

【答案】78m.

【解答】解：在RtZiADB中，ZADB=60°,tanZADB=^-,

BD

：.BD=—-=-^-,

tan60°v3

在RtZXABC中，/C=45°,tan/C=胆，

BC

：.BC=——=AB,

tan45°

•：BC-BD=CD=33m,

妈=33,

V3_

.•.42=99+33、/^^78（m）.

2

答：主塔AB的高约为78%

六.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）

20.如图，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡

面上的距离A8为（）

।5米鎏

a

A.5cosaB.——-——C.5sinaD.——-——

cosCLsinCL

【答案】B

【解答】解：如图，过点B作BCL4尸于点C.

；BC=5米，ZCBA=Za.

：.AB=―—=―-----

cosacosa

21.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形A8CD斜面坡度i=3：4是

指坡面的铅直高度与水平宽度BF的比.已知斜坡8长度为20米，/C=18°,求斜坡A2的长.（结

果精确到。」米）（参考数据：sinl8°-0.31,cosl8°«0.95,tanl8°-0.32）

【答案】斜坡A8的长约为10.3米.

【解答】解：过点。作。EL8C,垂足为E,

•..斜面的坡度，=3：4,

•AF=2

"BF了

.•.设A歹=3x米，则BF=4x米,

22=5x

在Rt^AB尸中，AB=A/Ap2+BF2=>y（3x）+（4x）（米"

在RtZVJEC中，ZC=18°,CD=20米,

.\DE=CD-sinl8°^20X0.31=6.2（米）,

：.AF=DE=6.2^i,

3x=6.2,

解得：

15

.•.48=5x210.3（米），

斜坡AB的长约为10.3米.

七.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）

22.荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽.现在塔底低于地面约7米，某校学生

测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面4处测得塔顶的仰角为

30°,再向古塔方向行进。米后到达8处，在8处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约

为24.1米（73^1-73,结果精确到0.1）.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长交CD于E,则CD=40,DE=1,

；.CE=33,

:NCBE=45°=NBCE,ZCAE^30°,

：.BE=CE=33,

.•.AE=〃+33,

tanA=-^,

AE

.\tan30°=-33,即33百=a+33,

a+33

解得a=33（A/3-1）q24.1,

.，.a的值约为24.1米，

故答案为：24.1.

c

D

23.在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量.如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端2的

仰角为60°,沿山坡向上走20根到达。处，测得建筑物顶端8的仰角为30°.已知山坡坡度i=3：4,

即tan0=旦，请你帮助该小组计算建筑物的高度A8.

4

（结果精确到0.1加，参考数据：73^1.732）

【解答】解：过点。作垂足为E,过点。作垂足为R

在RtzXDEC中，tan0=1旦=3,

EC4

设DE=3x米，则CE=4x米，

•:D呼+CC=DC2,

(3x)2+(4x)2=400,

；・％=4或%=-4（舍去）,

：.DE=AF=12^i,CE=16米,

设BF=y米，

：.AB=BF+AF=（12+y）米，

在RtZVJB/中，/BDF=3Q°,

:.DF=—^_=*=«y（米），

tan300®

3

.,.AE—DF—y/^y米，

J.AC^AE-CE=（V3y-16）米，

在RtZXABC中，ZACB=6Q°,

.".tan60o=旭=±2+/.=«,

AC<3y-16

解得：y=6+8«,

经检验：y=6+8向是原方程的根，

AAB=BF+AF=18+873^31.9（米），

建筑物的高度AB约为31.9米.

24.在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼

顶部〃的仰角是58°,沿着山坡向上走75米到达8处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°,已知

斜坡A2的坡度i=3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼的高度.（图中的点A,

B,M,N,C均在同一平面内，N,A,C在同一水平线上，参考数据：tan22°-0.4,tan58°«1.6）

M

【答案】见试题解答内容

【解答】解：过点2作BE,AC,垂足为E,过点B作BLaWN,垂足为D,

贝I」BE=DN,DB=NE,

,斜坡AB的坡度i=3：4,

•BE=2

',而T

.,.设8E=3a米,则AE=4a米，

在RtZXABE中，AB=VAE2+BE2=V（3a）2+（4a）2=5a（米），

VAB=75米，

.,.5a=15,

••ct~—15,

.*.rW=2E=45米，AE=60米，

设NA=x米，

/.BD=NE=AN+AE=（x+60）米，

在RtzXAW中，NM4M=58°,

：.MN=AN-tan58°F.6x（米），

：.DM=MN-DN=（1.6x-45）米，

在RtZkMDB中，ZMBD=22°,

•*.tan22°=述=1,旅一必生0.4,

DBx+60

解得：x=57.5,

经检验：x=57.5是原方程的根，

；.MN=1.6x=92（米），

大楼MN的高度约为92米.

25.如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成.如图2,是灯杆，C。是灯管支

架，灯管支架C£＞与灯杆间的夹角/2。。=60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他

们在地面的点E处测得灯管支架底部。的仰角为60°,在点/处测得灯管支架顶部C的仰角为30°,

测得AE=3〃z,EF=8m（A,E,尸在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：

（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；

（2）求灯管支架C。的长度（结果精确到0.1加，参考数据：V3^1.73）.

图I图2

【答案】（1）灯管支架底部距地面高度的长为3我米；

（2）灯管支架CD的长度约为1.2米.

【解答】解：（1）在RtZYDAE中，ZAED=60°,AE=3m,

.'.AD—AE,tan60°=3^/^（米），

灯管支架底部距地面高度A。的长为3如米；

（2）延长FC交48于点G,

"：ZDAE^90°,NA尸C=30°,

：.ZDGC=90°-ZAFC=60°,

•：ZGDC=60°,

.\ZZ）CG=180°-ZGDC-ZDGC=60°,

...△QGC是等边三角形，

：.DC=DG,

；AE=3米，EF=8米，

：.AF=AE+EF=U（米），

在RtzXAPG中，AG=AF'tan30°=11X近=且在（米）,

33

：.DC=DG^AG-AZ）=11V3-3V3=—V3^1-2（米），

33

...灯管支架CD的长度约为1.2米.

26.小明为了测量楼房的高度，他从楼底的8处沿着斜坡向上行走20m到达坡顶。处.已知斜坡的

坡角为15°.（以下计算结果精确到0.1〃z）

（1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值；

（2）小明的身高即是1.6加，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°,求楼房A5的高度.（sinl5°心

0.2588cosl5°^0.9659tanl5°心0.2677)

口

口

口

口

□

□

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）在中，

VZCBZ）=15°,BD=20,

：.CD=BD^sinl5°,

CD^5.2m；

答：小明与地面的垂直距离CD的值是5.2m；

（2）在RtZ\APE中，VZAEF=45°,

：.AF=EF=BC,

由（1）知，BC=BD«cosl5°^19.3（加），

；.A2=AF+£>E+C£）=19.3+1.6+5.2=26.1（m）.

答：楼房AB的高度是26.1怔

27.《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥

梁.直至近代，重差测量法仍有借鉴意义.

如图2,为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆8C和。E,两杆间距8。相距6米，

D、B、7/三点共线.从点B处退行到点R观察山顶A,发现A、C、尸三点共线，且仰角为45°；从点

。处退行到点G,观察山顶4发现A、E、G三点共线，且仰角为30°.（点区G都在直线上）

（1）求FG的长（结果保留根号）；

（2）山峰高度A8的长（结果精确到0.1米）.（参考数据：72^1.41,73^1,73）

A

【答案】(1)/G的长为(4+2^3)米;

(2)山峰高度AH的长约为10.2米.

【解答】解：（1）由题意得：CBLFH,ED±HG,

在Rt△尸2C中，ZBFC=45°,BC=2,

：.BF=―匹—=2（米），

tan450

在中，NG=30°,DE=2,

；.DG=―—=-^-=2A/3（米），

tan300叵

3

•.,BD=6米，

：.FG=BD+DG-BF=6+2y/3-2=（4+2百）米,

...尸G的长为（4+273）米；

（2）设A”=尤米，

在RtZXA叱中，ZAFH=45°,

:.FH=—期—=无（米），

tan450

,:FG=（4+2A/3）米，

：.HG=HF+FG=（x+4+2百）米，

在RtZ\A”G中，ZG=30°,

：.HG=―—=-^-=V^AH,

tan300叵

3

X+4+2A/"5=