有理数的乘除【九大题型】（人教版）原卷版

专题L4有理数的乘除【九大题型】

【人教版】

衣

型

L题1

r

1有理数乘除法则概念辨析】......2

型

k题

r2倒数的概念及运用】.........

型

k题2

r3有理数乘除法的简单混合运算】

型

k题3

r4有理数乘除法运算律的运用】..

型

k题4

r5有理数乘除法的运算步骤问题】

型

k题6

r有理数乘除法与绝对值的综合】

型

题6

k7

r•

型有理数乘除法中的规律计算】..

题7

k8

•

型

r题8有理数乘除法的实际应用】......

k10

9有理数乘除法中的新定义问题】

【知识点1有理数乘法的法则】

①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

②任何数同零相乘，都得0.

③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当

负因数有奇数个

时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

【知识点2有理数除法的法则】

①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得

0.

【题型1有理数乘除法则概念辨析】

【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（）

A.5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负

B.-1乘以任何有理数等于这个数的相反数

C.3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数

D.绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大

【变式1-1］（2022春•埔桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（）

A.若a>0,b<0,则—X）B.若a>b,则a-6>0

a

b

C.右a<0,b<0,则ab<0D.右a>b,a<0,则一<0

【变式1-2］（2022•广东一模）己知。+6>0且a（6-1）<0,则下列说法一定错误的是（

A.<a>0,b>lB.a<-1,b>\C.TWa<0,b>lD.a<0,b>0

【变式1-3］（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则：=-1；②若

b<O<a,且⑷<依，贝加+例=-\a\+\b\；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个,

dccd

则积为负；④当x=l时，Ix-4|+|x+2|有最小值为5；⑤若工=二，则一=工；其中错误的

bdab

有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【知识点3倒数的概念】

乘积是1的两个数互为倒数.

①“互为倒数”的两个数是互相依存的；

②0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；

③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

④互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.

【题型2倒数的概念及运用】

【例2】（2022秋•温江区月考）若3a-12没有倒数，贝Ua=—；已知m-11的倒数为一点

则m+1的相反数是—.

【变式2-1］（2022•杨浦区校级期中）如果a+3的相反数是-5%那么。的倒数是.

【变式2-2］（2022秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，根的绝对值为2.

（1）直接写出a+b,cd,m的值；

（2）求m+cd+^^的值.

m

【变式2-3］（2022•大邑县期末）已知。与2互为相反数，x与3互为倒数，则代数式。+2+|

-6x|的值为（）

A.0B.-2C.2D.无法确定

【题型3有理数乘除法的简单混合运算】

【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（）

A.-30X--20X（--）=—

777

D.―勺+(+-)X(——)=0

5527

【变式3-1](2022•东昌府区校级月考)(1)(-|)X(-3i)4-(-li)+3

524

(2)[(+工)-(--)-(4-1)]4-(—--)

L735J105

【变式3-2](2022•安图县期末)计算:

(1)2+(-山X-.

19224

(2)-125X0.424-(-7)

【变式3-3](2022•沙市区校级期中)计算:

(1)(--)X(-3-)4-(-1i)4-3；

524

(2)(-8)^-X(-1i)4-(-9).

32

【题型4有理数乘除法运算律的运用】

【例4】(2022•诸城市期中)写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则:

(-0.4)X(-0.8)X(-1.25)X2.5

=-(0.4X0,8X1.25X2.5)(第一步)

=-(0.4X2.5X0.8X1,25)(第二步)

=-[(0.4X2.5)X(0.8X1.25)](第三步)

=-(1X1)=-1.

第一步：;第二步：;第三步:

【变式4-1](2022•平谷区期末)计算：己—三+工)X(-24).

248

【变式4-2](2022•红谷滩区校级期中)用简便方法计算

(1)99-x(-9)

18

(2)(-5)X(-3-)+(-7)X(-3-)+12X(-3-)

777

【变式4-3](2022•红河州校级期中)用简便方法计算:

771q

(1)-13X--0.34X-+-X(-13)--X0.34

3737

(2)X(-60)

+34515

【题型5有理数乘除法的运算步骤问题】

【例5】(2022•利辛县月考)下面是小明同学的运算过程.

计算：-54-2x|.

解：-54-2X|——54-(2x|)…第1步

=-5+1…第2步

=-5…第3步

请问：(1)小明从第一步开始出现错误；

(2)请写出正确的解答过程.

【变式5-1］（2022•海陵区期中）计算：（一募）X（-|）.

解：（-£）X（―|）

=-|.②

（1）找错：第一步出现错误;

（2）纠错：

【变式5-2］（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程:

计算：54-C--2--2）+6

32

解：54-（--2--2）X6

32

=5+（--）X6-®

6

=5+（-25）…②

=一三…③

回答：

（1）上面解题过程中有两处错误,第一处是第一步，错因是

第二处是—，错因是.

（2）正确结果应是.

【变式5-3］（2022秋•无为县月考）阅读下列材料：

计算：%（*+J

1.11111111

解法-：原式=或制—X3--x4+—xl2=

24.4241224242424

121,1

解法二:原式=，+1+四）=—：———x6=―.

2412244

解法三：原式的倒数=（i-1+i）4--=(i-i+—)X24=x24-iX24+—X24=4.

34122434123412

所以，原式/

（1）上述得到的结果不同，你认为解法—是错误的;

（2）请你选择合适的解法计算：（一号）+（”卷+|-”.

【题型6有理数乘除法与绝对值的综合】

【例6】（2022•余姚市校级期中）⑴三个有理数历乩c满足赤>0,求回+%+回的

abc

值.

（2）三个有理数a,b,c满足Hc<0,求回+回+回的值；

abc

（3）若a,b,c为三个不为。的有理数，且蚂+粤+回=-1,求陪的值.

abc\abc\

【变式6-1］（2022•雁峰区校级期末）已知非零有理数a,b,c满足ab>0,bc>0.

（1）求怨+胃+粤的值；

ab\ac\be

（2）若a+b+c<0,求蚂+白+回+出的值.

a\b\cabc

【变式6-2]（2022•河西区期中）已知国=3,1=7

（1）若x<y,求x-y的值；

（2）若孙>0,求无+y的值；

（3）求fy-町2+21的值.

【变式6-3]（2022•雨花区月考）若。+6+c<0,abc>0,贝Ug一3•总+4•里的

\ab\be\ac\abc

最大值为（）

A.6B.8C.10D.7

【题型7有理数乘除法中的规律计算】

【例7】（2022•上蔡县期中）考察下列每一道算式，回答问题：

算式：63X67=422172X78=5616

561X569=31920091814X1816=3294224

（1）两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有何特征？

（2）根据四个式子的计算，请你猜想符合上述特征的两个数相乘的运算规律.

（3）再举两道符合上述特征的计算题，并用你猜想的规律进行计算.

6X5X4X3

【变式7-1】已知方=言=3,/=姿=1。，或==15,…观察以上规律计算

1X2X3X4

CQ=,Cfo=45,贝!Ja=.

【变式7-2］（2022•夏邑县期中）有一列数的，④，俏，…斯，若ai=f从第二个数开始,

每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数.

（1）试计算。2，。3，。4；

（2）根据以上计算结果，试猜测。2016、。2017的值.

【变式7-3］（2022•厦门期末）已知一些两位数相乘的算式：

62X11,78X69,34X11,63X67,18X22,15X55,12X34,54X11

利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：

（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；

（2）分别计算你选出的算式.观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、

直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；

（3）证明你发现的规律；

（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将

它们写在横线上：.

【题型8有理数乘除法的实际应用】

［例8］（2022•江宁区校级月考）天龙顶国家山地公园，位于岑溪市南渡镇吉太附近，距

岑溪市35公里，天龙顶是桂东最高峰，史上早已成名，被誉为“土主龙楼”天龙顶形成

于远古冰川，由整块红色砂岩劈凿而成，拔地而起，是极限攀岩、野外露营及登山爱好

者的天堂.某年寒假，小昌与小勇一起去游天龙顶，他们想知道山的高度.小昌说可以

利用温度计测量山峰的高度，小昌在山顶测得温度约是小勇此时在山脚测得温度

约是8.6℃,已知该地区每年增加100米，气温大约下降0.8℃,小昌很快算出了答案，

你知道天龙顶的高度约是多少米吗？

【变式8-1］（2021秋•北京期中）

妈妈身高多少厘米?

【变式8-2］（2022•常州期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示,

运出用负数表示）：

进出数量（单位：-34-12-5

吨）

进出次数F133厂

一（1）这天仓库的原料比原来增加或减少了多少吨?

（2）根据实际情况，现有两种方案：

方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；

方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；

从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由.

【变式8-3]（2022•台湾）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品

或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示.

碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20公克且不超过40公克为例，此范

围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40公克等11个偶数；碳足迹数据标

示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所

不.

碳排放量碳足迹数据标示

20.2公克20公克

20.8公克20公克

21.0公克20公克或22公克皆可

23.1公克24公克

请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程.

（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大

值分别为多少公克？

（2）承（1）,当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标

示的所有可能情形.

【题型9有理数乘除法中的新定义问题】

【例9】（2022•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*6=4",如2*3=

4X2X3=24.

(1)求3*(-4)的值；

(2)求(-2)*(6*3)的值.

【变式9-1]（2022•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十

位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的〃倍（"为正整数），

我们就说这个自然数是一个。喜数”.例如：24就是一个“4喜数”，因为24=4X（2+4）；

25就不是一个。喜数”，因为就不“（2+5）.

（1）判断44和72是否是。喜数”？请说明理由；

（2）请求出所有的“7喜数”之和.

【变式9-2]（2022•丰台区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在

15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称

为“铺地锦”.

例如：如图1,计算46X71,将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用

乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方

向相加得3266.

（1）如图2,用“格子乘法”计算两个两位数相乘，贝Ux=—,y