有理数（6个考点清单+16种题型解读）（原卷版）

专题01有理数（6个考点清单+16种题型解读）

考点侪单

【清单01有理数】

有理数：

（1）凡能写成e（p，q为整数且p*o）形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.

「正整数'正整数

正有理数・

〔正分数整数＜零

（2）有理数的分类：①有理数＜零②有理数•负整数

'负整数:正分数

负有理数，分数＜

、负分数〔负分数

【清单02数轴】

数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.

【清单03相反数与绝对值】

相反数：（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0;

相反数的商为-1.

相反数的绝对值相等

绝对值：

（1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值等于它的相反数；

1a（a＞。）[a（tz＞0）

（2）绝对值可表示为：|a卜＜0（a=0）或|。|=（,

[-a（a＜0）[-a（。＜。）

【清单04比较有理数大小】

有理数比大小：

（1）正数永远比0大，负数永远比。小；

（2）正数大于一切负数；

（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；

（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

【清单05有理数的混合运算】

倒数：乘积为1的两个数互为倒数；

有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数与零相乘都得零；

（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。

有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即其无意义.

有理数乘方的法则：（1）正数的任何次哥都是正数；

（2）负数的奇次幕是负数；负数的偶次幕是正数；

乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幕；

【清单06科学记数法】

科学记数法：把一个大于10的数记成axion的形式，其中a是整数数位只有一位的数即lWa<10,这种记数

法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1,整数位数=10的指数+1

近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.

混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：不省过程，不跳步骤。

型侪单

【考点题型一正数与负数】

【例1】下列语句中错误的有（）个.

①不带“一”号的数都是正数；②如果。是正数，那么一。一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的

数；④0℃表示没有温度.

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1］在下列各数中：-；，-H）-+（-3）,-H，0其中是负数的有（）个.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-2］在数轴上点A表示数2,点B与点A相距3个单位长度，点B表示的数是,如果把105

分的成绩记作+5分，那么96分的成绩记作分.

211

【变式1-3］已知下列各数：-屋-2于3.14,0,0.2,-216,6,,,其中正数有；负数有.

【变式1-4］将下列各数填入表示它所在集合的圈里.

5,-1,+2023,-0.101001,2-,0.98%,-1.7,

25

整数集合正数集合负数集合分数集合

【考点题型二有理数的分类】

452

【例2】下列各数：1,8.6,-7,0,-4-,+101,-0.05,一9中，（）

563

A.只有1,-7,+101,-9是整数

B.其中有三个数是正整数

C.非负数有1,8.6,+101,0

42

D.只有-4j,-0。5是负分数

【变式2-1］在数0,y,一1j，0,3,0.141041004…（相邻两个1,4之间的0的个数逐次加1）,

22

亍中，有理数的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式2-2］把下列各数填在相应的集合中.（注意：只填序号）

①8,②（T严3,③T）.4,©-,⑤0,@-ly,⑦一（一5）,©-|-3|,⑨乃

正数集合｛_...｝；

负数集合｛」..｝;

整数集合｛_...｝；

分数集合｛」..｝;

非负整数集

【变式2-3］把下面个各数填入相应的大括号内

421

-13.5,5,0,-10,3.14,+27,-一，-15%,—.

53

整数集合：｛...)

非负整数集合：｛...｝

负分数集合：｛...｝

正有理数集合：｛...｝.

【变式2-4］把下列各数填入相应的集合中：-(+0.75),-29%,-0.332,-1,0,|-200|

1.010010001...,—,0.3,—(+5).

整数集合｛_...｝

负有理数集合｛_...｝

非正分数集合｛

【考点题型三数轴】

【例3】如图，数轴上的点A、2分别对应实数。、b,下列结论中正确的是()

--11------i->

a--0------b

A.a+b<0B.-a^-b<0C.a—b<0D.—a—b>0

【变式3-1］如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0,1,2,3.先让圆周上表示

数字。的点与数轴上表示-1的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示-2023的点与圆周上表示

哪个数字的点重合？()

A.0B.1C.2D.3

【变式3-2］如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是-2024，若。4=03,则点2表示的数是.

AB

------1-------------------------------1------------------------------1-----------►

-20240

【变式3-3］如图，点A和8在数轴上表示的数分别是-20和40,点C在线段A3上移动，图中的三条线段

AB、AC和2C,当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点C在数轴上表示的数

为

-------------1-----------------11----->

ACB

【变式3-4］如图，在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B,点B向右移动(〃+1)个单位得到点C(〃为

正整数)，点A、B、C分别表示有理数a、b、c.

ABC

-4-------i----->

abc

(1)若a、b、c这三个数的和与其中最大的数相等，则。=；

(2)若a、b、c这三个数中只有一个数为正数，且这三个数的和等于6,则正整数〃的最小取值为多少？

【考点题型四化简绝对值】

Q+a+后的结果为()

【例4】a<0,则化简一

a—a

A.-2B.-1C.0D.2

【变式4-1】已知有理数〃、b、。在数轴上对应点的位置如图所示,贝“。_4_忸_4+卜+4化简后的结果是

ba0

A.2cB.2c—2bC.a-b-\-cD.2a+2c

【变式4-2】有理数a、b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中:@ab<0；®a+b<0；@a-b<0；

abc||

®\a\+\b\=Q;⑤。-1|=1-人，正确的有.(只要填写序号).

b0a

【变式4-3］若a>0,回,；若。<o,高=

a

①若言+看肛则空一

-ab

abc

②若abc<0,贝！］--1--1--=

|a|IMId

【变式4-4］如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点8,点A表示设点B所表示

的数为m

AB

-2,-10-^~12

⑴求m的值；

⑵求|aT|+O-6）的值.

【考点题型五绝对值非负性】

【例5】已知|小+5|和g-〃互为相反数，则m+2〃的值为（）

55

A.-5B.——C.-D.0

22

【变式5-1］若k+l|+0—5）2=0,则a+h的值为（）

A.2B.+2C.4D.+4

【变式5-2】式子k-2023|-2的最小值为.

【变式5-3］如图所示，已知线段A3上有两点C、D,S.AC=BD,M、N分别是线段AC和AD的中点，

若线段AB=acm,AC=BD=bcm,且0、。满足（0-13?+弧一10|=0.线段肋V的长度是.

IlliII

ANDMCB

【变式5-4】如图，线段CD在射线AB上运动，AB=m,CD=n,且|加-2川=-母-"尸.

।______।_________।____________।________________

ACDB

（1）求线段45、8的长；

（2）点M、N分别为线段AC、3。的中点，若BC=2,求MN的长；

⑶当S运动到某一时刻时，点。与点3重合，点尸是线段A5延长线上任意一点求证：PA+PB=2PC.

【考点题型六有理数的大小比较】

【例6】当—1<尤<0时，X2>x、一的大小顺序是（）

x

、12c21—121

A.—<x<xB.x<x<—C.—<x<xD.x2<—<x

XXXX

197201093618

【变式6-1】-潦，-品，-/，-三四个数按由大到小的顺序排列，正确的是()

19o201193719

181979362010189361972010

A.----->------->-------->—B.---->----->------〉

191989372011199371982011

201019793618201093619718

C.,〉>----D.—〉------>->--------

201119893719201193719819

_8_9__2_

【变式6-2］比较大小:(1)0-3.14；(2)；(3)

910153

【变式6-31(1)设"0,b>0,且同>同，用“〈”号把。、-。、b、-b连接起来为

(2)设a<0,b>0,且。+6>0,用号把。、-a、b、连接起来为；

(3)设。6<0,a+b<0,且。<0,用号把。、-。、b、一b连接起来为.

【变式6-4］在数轴上表示下列各数，并用〈将他们连接起来.

-5,4—,0,—1—2.5|,+7.

-5-4-3-2-1012345678

【考点题型七数轴上的动点问题】

【例7】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上

0、1、2、3,先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上

(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合…)，则数轴上表示-2018的点与圆周上表示数字重合

的点是().

一4一3一2一10

_____I___I____I___1____I___4

【变式7-1］把长为2022个单位长度的线段AB放在单位长度为1的数轴上，则线段AB能盖住的整点有()

A.2021个B.2022个C.2021或2022个D.2022或2023个

【变式7-2】已知数轴上A、8两点对应的数分别为-10、20,尸为数轴上一动点，对应的数为x,若尸点

到A、B距离的比为3:2,则点P表示的数为.

【变式7-3】阅读与思考

如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终

点表示的数是-2.参照图中所给的信息，完成填空：

已知A,8都是数轴上的点.

.,,J—V一

-3-2-101234

(1)若点A表示数-3.将点A向右移动5个单位长度至点4.则点4表示的数是；

9

(2)若点A表示数2,将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度至点4,则点人表示的

数是;

(3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0,则点B所表

示的数是.

【变式7-4】已知数轴上两点A,8对应的数分别为-1,3,点尸为数轴上一动点，其对应的数为x.

AB

-5-4-3-2-1012345

(1)若点P为A3的中点，则点P对应的数是一.

(2)数轴的原点右侧有点P,使点尸到点A,点8的距离之和为8.请你求出x的值.

(3)现在点A,点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点尸以每秒6

个单位长度的速度从表示数1的点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P

对应的数.

【考点题型八有理数的四则混合运算】

【例8】计算

(1)(-8)-1+(-25)-(-6)

O

(4)(-125)x1+(-62)x1+(+187)x1

【变式8-1】计算：

⑴『+#24；

⑵-12_(1_0.5)+?[2一(一2)1.

【变式8-2】计算：

⑴—8+5x(—2)-(-4)x3+(-6)；

(2)(—2.5)X38X(T)+(-19)；

125_2_^

(3)-18x-3-9+6-18j

【变式8-3]计算：

(1)-12xh+i-4j+5;

(2)-l2024+(-l0)^|x2-[2-(-3)3].

【变式8-4】计算:

(1)4+(-3)+36+(-17)

(2)f-16|j-25+f-43^1-j-(-37)

4

1351

⑶-----1—

2488

⑷_/0242」1「X

47

【考点题型九有理数的简便运算】

【例9】用简便方法计算:

⑴[1.2：+0.75)x(—24)

(535

⑵丁丁正x(-4)

【变式9-1】用简便方法计算：

22

(1)19?-0.4?(18)+—？(19)

(219卦50.

【变式9-2】用简便方法计算:

5

(2)------+------+------+•••+---------

2x33x44x511x12

⑶

【变式9-3］简便计算:

⑴-L25x(-5)x3x(-8)

x(-12)

ii3

⑶一小-19)_”9_小-19)

(4)(-48)x0.125+48xy+(-48)x|

【变式9-4】用简便方法计算:

【考点题型十有理数混合运算的应用】

【例10】“滴滴”司机沈师傅从上午&00〜9:15在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客.若规定

向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：(单位：千米)+8,-6,+3,-6,+8,+4,-8,-4,+3,+3.

(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？

(2)若汽车每千米耗油0.4升，则&00〜9:15汽车共耗油多少升？

(3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元(不超过3千米)，超过3千米，超过部分每千米2元.则沈师傅

在上午&00-：15一共收入多少元？

【变式10-1】一出租车一天下午2小时内以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行

车里程(单位：公里)依先后次序记录如下：+9,-3,-5,-8,+6.

(1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?

离出发地多远？

(2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收

入是多少？

(3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司

机辛苦一个月后的收入约为多少元？

【变式10-2】金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光・菊世无双主题

菊花展》.景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：(超出预计的人数记为正数，不足

的人数记为负数)

星期一二三四五六日

超出或不足+600-300+800+1100-600+500-700

(1)周六接待游客人数为人；

(2)游客人数最多的一天比最少的一天多人;

（3）本周共接待游客多少人?

【变式10-3］为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月

用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二

级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8

倍收取.为节约用水量，小高记录了屋7月份他家每月1号的水表读数.

1月2月3月4月5月6月7月

水表读数（吨）433450468485500514535

（1）直接写出小高家1月份的用水量_________吨及1~6月平均每月用水量为吨.

（2）已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？

（3）7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨,

试求小高家7月份需缴纳水费多少元？

（4）为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议.

【变式10-4】下表是中国移动两种套餐计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流

量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）

主叫通活（分接主叫超时部分（元/分超出流量部分（元

月租费（元）上网流量（G）

钟）听钟）/G）

套餐免

3820030.2010

费

套餐603006免0.108

二费

(1)若某月小张主叫通话时间为240分钟，上网流量为4G,则他按套餐一计费需一元，按套餐二计费需一元;

(2)若某月小张接套餐二计费需82元，主叫通话时间为360分钟，则小张该月上网流量为多少G?

(3)若某月小张上网流量为5G,是否存在某主叫通话时间"分钟)，按套餐一和套餐二的计费相等？若存在，

请求出t的值；若不存在，请说明理由.

【考点题型十一有理数的乘方运算】

【例11】计算：

(2)-32X23；

(3)(-3)2X(-2)3；

(4)-2X32;

(5)(-2x3)2；

⑺-(-2)4；

(8)(-1严

(9)-23+(-3)2.

【变式11-1】计算:

⑴(-2)6.

⑵(-10)1

⑶(-0.1)3.

⑸-(-2)5.

(6)-34.

(8)-0.24.

⑼-卜I；

【变式11-2】观察下列两组算式:

①2?>32与（2>3）2；

（1）每组两个算式的结果是否相等？

（2）根据（1）的结果猜想°%,等于什么？

/1、2020

⑶用（2）的结论计算（x（-5）202°-

【变式11-3】阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算.

122017

计算：1+2+2+...+2.

解：^S=l+21+22+---+22017,

则2S=21+22+23+...+22018,

所以2S—S=(2i+22+23+—+22°i8)-(l+2i+22+3+22°r7)

=2'+22+23+...+22018-1-21-22----22017

=22018-1，

即1+21+2?+…+22°18=2如8—1.

按照上面的方法，计算：1+3+3?+…+32°%

【变式11-4］我们把“"个相同的数。相乘”记为“优”，例如23=2x2x2=8.

⑴计算：26=_-54=_.

(2)观察以下等式：

(X-1)X(X+1)=X2-1

(X—1)X(x~+X+1)=尤3—1

。-1)*(尤3+*2+*+1)=--1

由以上规律，我们可以猜测(尤-1)X(x"+%"-1+…+x+1)=_.

(3)计算:32011+32010+---+3+1.

【考点题型十二科学记数法】

【例12】特色产业激发乡村发展新活力.据报道，截至2023年10月9日，全国已建设180个优势特色乡

村产业集群，全产业链产值超过4600000000000元，辐射带动1000多万户农民.数字4600000000000用科

学记数法表示为（）

A.4.6xlO13B.4.6xl012C.46xl013D.46xl012

【变式12-1]2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报

告.报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取

得新的重大成就.2021年国内生产总值达114万亿元，增长8.1%.将1140000用科学记数法表示应为（）

A.0.114xl07B.1.14xl05C.1.14xl06D.11.4xl04

【变式12-2】2024年4月25日，搭载神州十八号载人飞船的长征二号F摇十八运载火箭在酒泉卫星发射中

心成功发射.神舟十八号载人飞船与长征二号厂遥十八运载火箭组合体的总重量达4000多千克.将40000

用科学记数法表示为.

【变式12-3】今年春节，无锡首条市域轨交S1线也实行为期9天的免费乘坐，引发了往来锡澄两地的万千

市民的搭乘热情.免费期间S1线总客流量达到约2287000人次，数据2287000用科学记数法表示为.

【变式12-4】电动车厂本周计划每天生产100辆电动车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，

实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如表：根据上面的记录，问：

星期一二三四五六H

增减（辆）-5+7-3+10-9-24

（1）生产最多的一天比生产最少的一天多多少辆？

（2）本周实际生产的电动车总量与计划量相比较是增加还是减少，总计增加或减少多少辆？

（3）若每台电动车的售价是1000元，则本周的生产总额是多少元？（结果用科学计数法表示）

【考点题型十三算“24"点】

【例13】“算24点”的游戏规则是：用“+,义，…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算,

要求最终算出的结果是24,例如，给出2,2,2,8这四个数，可以列式（2+2+2）x8=24.以下的4个数

用"+,-，x,”四种运算符号不能算出结果为24的是（）

A.1,6,8,7B.1,2,3,4C.4,4,10,10D.6,3,3,8

【变式13-1]“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合

运算，使结果为24或一24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A,J,Q,K分别代表1,11,12,13,例

如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2,于是张毅同学列出的算式为（一4）x（-

3—6+2）=24,现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或一36,

下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑

桃2换成黑桃4（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【变式13-2】你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，

添加“+、-、x、+”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24,其中A,J,Q,K分别

代表1,11,12,13,小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是（写出一个即可）

【变式13-3】算“24”是一种常见的数学游戏.一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，

要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数

进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去.在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到

达迷宫中心.请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为.

【变式13-4】如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：

T||+4RIM

（1）从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？

（2）从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？

（3）将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24,写出运算式子.（写出一种即可）

【考点题型十四程序流程图与有理数计算】

【例14】按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2,第一次得到的结果为1,第二次得到的

结果为4,…第2024次得到的结果为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式14-1］按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为-3,则最后输出的结果可能是（）

A.-6B.-15C.-42D.12

【变式14-2］按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为-10,则输出的值为

轴入X------>.(5)----->X(-2)3—>9——>输出

【变式14-3］按如图所示程序进行计算，输出的结果等于.

输入-20

输出

【变式14-4］根据下图所示的程序回答问题:

|取绝对值|u2

(D你认为输入的两个数。和。是什么关系时，其输出结果为0?;

(2)当小明输入-54和这33两个数时，输出的结果是：；

(3)当小明输入-'和■■这两个数时，输出的结果是4,被墨水污染的那个数为：

【考点题型十五有理数的定义运算】

【例15】定义一种关于整数〃的“H”运算：(1)当〃是奇数时，结果为3〃+5,(2)当"为偶数时，结果为£

(其中人是正整数，且使得我为奇数)；并且运算重复进行.例如：〃=12时，第一次经“4”运算的结果是

3,第二次经运算的结果是14,第三次经运算的结果是7,第四次经运算的结果是26……若

〃=58,则第2024次经“””运算的结果是()

A.29B.92C.23D.74

【变式15-1】定义：。是不为1的有理数，我们把」一称为。的差倒数，如：2的差倒数是1二=-1,-1的

L-a1一2

111

差倒数是匚=已知％=-万，出是的的差倒数，〃3是。2的差倒数，。4是。3的差倒数，…，。2024=()

A.-1B.—C.—D.3

23

【变式15-2］对有理数a,b,定义运算★如下：aitb=a2+2b-l,贝|(-2内3=—.

【变式15-3】定义运算：a®b=a(1-b).下列结论：020(-2)=6；②gb=b®a；③若a疑=0,则。=0

或少=1；④若a+8=0,则(a㊈<3)+(6区6)=2m.其中正确的是.(填序号即可).

【变式15-4】小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义

了一种新运算“㊉"，运算规则为：a®b-axb-a-b.

⑴计算(-2)㊉2的值;

(2)填空：5㊉(-3)_(-3)㊉5(填或“=”或"V")；

⑶求(-3)㊉］4㊉］的值.

【考点题型十六绝对值计算中的最值】

【例16］结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

-5-4-3-2-1012345

(1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是；表示-3和2的两点之间的距离是；表示-5和-4的

两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数机和数〃的两点之间的距离等于.

(2)如果表示数a和一2的两点之间的距离是3,那么。=.

(3)若数轴上表示数。的点位于T与2之间，求I。+4|+|。-2］的值；

(4)当。=时，卜+5上|。-1+|(7-4|的值最小，最小值是.

【变式16-1］如图所示，在数轴上有AB,C三点，点尸从数轴上表示4的点开始往左运动，速度为1个单

位卜，运动时间为ts.

-

5

(1)当t=3s时，线段PC=；线段PB=

(2)当r=6s时，PB+PC=；

(3)当/为何值时，PB+PC的值最小？

(4)当点尸运动到何处时，PA+PB+PC最小?

【变式16-2】探索材料1(填空)：数轴上表示数机和数w的两点之间的距离等于1〃?-川.例如数轴上表示

数3和-1的两点距离为|3-(-1)|=