小球弹簧模型（解析版）-2025版高一物理寒假讲义

专题10小球弹簧模型

¥

模型讲解

1.小球砸弹簧问题

(1)下落的“三段四点”:

2.恒力推弹簧连接的两物体问题

【例1].如图所示，自由下落的小球，从它接触竖直放置的弹簧开始，到弹簧被压缩到最短的过程中，简

单叙述小球的速度大小和加速度大小的变化情况，并说明理由。

o

【答案】见解析

【详解】开始阶段，弹簧的压缩量较小，因此弹簧对小球向上的弹力小于向下重力，此时合外力大小

F合=mg-kx

方向向下，随着压缩量的增加，弹力增大，合外力减小，则加速度减小，由于合外力与速度方向相同，小

球的速度增大；当

mg=kx

时，合外力为零，此时速度最大；由于惯性物体继续向下运动，此时弹簧对小球向上的弹力大于向下重力,

合外力大小为

F合=履・加8

方向向上，物体减速，随着压缩量增大，物体合外力增大，加速度增大。故整个过程中加速度大小先变小

后变大，速度大小先变大后变小。

【例2】.蹦极是一项广受欢迎的极限运动。如图甲所示为小刚同学某次蹦极时的运动过程示意图，若从蹦

极台跳下开始计时，小刚下落过程中速度随时间的变化如图乙所示。已知小刚的质量m=50kg,弹性绳的

弹力大小满足胡克定律，劲度系数上=100N/m。当小刚下落至/点时弹性绳恰好伸直到原长已知

整个过程中弹性绳的形变始终在弹性限度内，空气阻力可忽略。重力加速度g取lOm/s?。

(1)求小刚下落至N点时所用的时间〃和速率匕；

(2)求小刚下落至8点时离跳台的距离s；

(3)若以/点为坐标原点，向下为正方向建立坐标系，分析小刚由4点运动到3点的过程中，加速度。

随位移x的变化情况，并在图丙中定量画出a-x图线。

【答案】(1)loV^m/s;(2)15m；(3)见解析

【详解】(1)人从开始下落到4点的过程中，由自由落体运动公式得

17

h=lo=29tA

解得，人下落至4点时所用的时间

下落至4点时的速率为

vA=gtA=10V2m/s

(2)由图可知%=0,所以在3点，对人受力分析有

mg=kx

解得，间的距离为

%=5m

所以，人下落至5点时离跳台的距离为

s=片+%=15m

(3)在4点

mg=ma

从4到5过程

mg-kx=ma

整理得

kx

a=g-----

m

取向下为正，图像如下

【例3】.如图1所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为加可视为质点的小球，从离弹

簧上端高为X。处由静止下落，接触弹簧后继续向下运动。若以小球开始下落的位置为坐标原点，沿竖直向

下建立坐标轴Ox,作出小球的加速度。随小球位置坐标x的变化关系如图2所示，弹簧被压缩至最低点时

小球所在位置坐标为X2,不计空气阻力,重力加速度为g。以下判断正确的是（）

B.小球在X/处速度最大

（马-尤|）

C弹簧的劲度系数广台

D.小球运动的最大加速度为（占一%）g

【答案】BCD

【详解】AB.由图可知，小球运动到x/处时达到平衡位置，之前一直向下加速，此时再向下会减速，则在

X/处速度最大，故A错误，B正确；

C.由图2可知

解得

k=^-

现一天

故C正确；

D.由图可知，运到到马有最大加速度，此时有

k{x1-x0)-mg=mam

解得

故D正确。

故选BCDo

综合应用

一、单选题

1.如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定。木块从弹簧正上方H高度处由静止释放。以木块释放点为原

点，取竖直向下为正方向。木块的位移为外所受合外力为R运动时间为人忽略空气阻力，弹簧在弹性

限度内。关于木块从释放到第一次回到原点的过程中。其尸图像或NT图像可能正确的是（）

【答案】B

【详解】AB.在木块下落H高度之前，木块所受合外力为木块的重力保持不变，即

F=mg

当木块接触弹簧后，弹簧弹力向上，则木块的合力

F=mg-k^y-H^

到合力为零前，随着》增大尸减小；当弹簧弹力大于木块的重力后到最低点,之后，木块开始反弹，过程中

木块所受合外力向上，随着V减小厂增大，反弹过程，随着y减小，图像向x轴负方向原路返回，故A错

误、B正确；

CD.在木块下落H高度之前，木块做自由落体运动，根据

12

了=/广

速度逐渐增大，了一图像斜率逐渐增大，当木块接触弹簧后到合力为零前，根据牛顿第二定律

mg-k(y—H^=F=ma

木块的速度继续增大，做加速度减小的加速运动，所以V—图像斜率继续增大，当弹簧弹力大于木块的重

力后到最低点过程中

F=k(y_H)-mg

木块所受合外力向上，木块做加速度增大的减速运动，所以了一图斜率减小，到达最低点后，木块向上运

动，经以上分析可知，木块先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，再做匀减速直线运

动到最高点，而C图中H点过后速度就开始逐渐减小，实际速度还应该增大，直到平衡位置速度到达最大,

然后速度逐渐减为零；D图前半段速度不变，不符合题意，正确V-示意图如下

故CD错误。

故选B。

2.某跳水运动员在3m长的踏板上起跳，我们通过录像观察到踏板和运动员要经历如图所示的几个位置，

其中。/为无人时踏板静止点，2为人站在踏板上静止时的平衡点，C为人在起跳过程中人和踏板运动的最

低点，已知板形变越大时板对人的弹力也越大，则下列说法正确的是()

A.人和踏板由C到2的过程中，人向上做加速度增大的加速运动

B.人和踏板由。到2的过程中，人处于失重状态

C.人和踏板由5到4的过程中，人处于失重状态

D.人和踏板由2到4的过程中，人处于超重状态

【答案】C

【详解】根据题意可知，/为无人时踏板静止点，此时弹力为0,2为人站在踏板上静止时的平衡点，此时

弹力的大小等于人重力的大小

AB.人和踏板由。到3的过程中，弹力大于人的重力，且逐渐减小，则人向上做加速度减小的加速运动,

具有向上的加速度，人处于超重状态，故AB错误；

CD.人和踏板由8到/的过程中，弹力小于人的重力，且逐渐减小，则人向上做加速度增大的减速运动,

具有向下的加速度，人处于失重状态，故C正确，D错误。

故选C。

3.光滑水平面上，有一木块以速度v向右运动,一根弹簧固定在墙上，如图所示，木块从与弹簧接触到弹

簧被压缩到最短的过程中，下列说法正确的是（）

V

/

WWWWW/

V

A.木块做匀速直线运动B.木块做匀减速直线运动

C.木块的速度减小，加速度增大D.木块的速度增大，加速度增大

【答案】C

【详解】木块与弹簧接触后，所受的合力为弹簧的弹力，弹力逐渐增大，根据牛顿第二定律知加速度逐渐

增大，加速度方向水平向左，与速度方向相反，木块做减速运动，所以木块做加速度增大的减速运动。

故选C。

4.如图所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧正上方有一个小球自由下落。从小球接触弹簧上端到

将弹簧压缩到最短的过程中，下列图线中关于小球的速度大小V、加速度大小小时间人弹簧形变量x关

系正确的是（）

O

【答案】D

【详解】小球刚接触弹簧的一段时间内，重力大于弹力，则

mg-kx=ma

加速度向下，即小球加速向下运动，随向下位移的增加，弹力变大，当弹力等于重力时，加速度为零，此

时速度最大；以后弹力大于重力，加速度向上，则

kx-mg=ma

即小球向下做减速运动，随弹力的增加，加速度逐渐变大，到达最低点时加速度向上最大，则小球的速度

先增加后减小，加速度先减小后增加，且加速度。随位移x呈线性关系，但是随时间f不是线性关系。

故选D。

5.如图所示，一自由下落的小球，从它接触竖直放置的弹簧开始到弹簧压缩至最短的过程中，小球的加速

度的变化情况是（）

A.变大B.变小

C.先变大再变小D.先变小再变大

【答案】D

【详解】开始阶段，弹簧的压缩量较小，因此弹簧对小球向上的弹力小于向下重力，此时合外力大小

F=mg-kx

方向向下，随着压缩量的增加，弹力增大，故合外力减小，则加速度减小，由于合外力与速度方向相同,

小球的速度增大；当

mg=kx

时，合外力为零，此时速度最大；由于惯性物体继续向下运动，此时合外力大小为

F=kx-mg

方向向上，物体减速，随着压缩量增大，物体合外力增大，加速度增大。故整个过程中加速度先变小后变

大。

故选D。

6.如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，片0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处

由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧至最低点，然后又被弹起离开弹簧的过程中，通过安装在弹簧下端

的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力厂随时间/的变化图像如图乙所示，则（）

O

A.。时刻小球开始减速

B.匕时刻小球速度最大

C.%时刻小球加速度为零

D.小球与弹簧作用时间为4-%

【答案】D

【详解】A.小球4时刻，落到弹簧表面后，开始压缩弹簧，此后弹簧的弹力开始增大，小球受到的合力减

小，但方向仍然向下；当重力等于弹力时合力为零，速度达最大，因此。时刻小球仍然加速，速度没有达到

最大，故A错误；

B.时刻，弹簧弹力最大，小球到达最低点，速度为零，小球的加速度向上最大，并不是速度最大，故B

错误；

C.4时刻，弹簧恢复到原长，此时小球将要离开弹簧做竖直上抛运动，加速度为重力加速度，并不为零，

故C错误；

D.小球4时刻开始接触弹簧，右时刻，弹簧恢复到原长，此时小球将要离开弹簧，小球与弹簧作用时间为

，3-%,故D正确。

故选D。

7.如图甲，轻弹簧竖直固定，一质量加=0.2kg的小球从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧

压缩到最短的过程中（弹簧始终在弹性限度内），其速度v和弹簧压缩量Ax的变化关系如图乙，其中N为

曲线最高点。不计空气阻力，取g=10m/s2,以下说法正确的是（

甲

A.弹簧的劲度系数为2N/m

B.当Ax=0.04m时小球处于超重状态

C.小球刚接触弹簧时速度最大

D.从接触弹簧到压缩至最短过程中,小球的加速度先减小后增大

【答案】D

【详解】A.由图乙知，当Ax=0.1m时,小球的速度最大，此时小球的重力等于弹簧对它的弹力

mg0.2x10

N/m=20N/m

Ax0.1

故A错误;

B.当Ax=0.04m时，小球向下做加速运动，加速度方向向下，小球处于失重状态，故B错误;

C.小球刚接触弹簧时，弹簧的弹力为零，合力向下，小球做加速运动，此时速度不是最大，故C错误;

D.从接触弹簧到弹簧压缩到最短的过程中，小球受到弹簧的弹力和重力两个力作用，弹力先小于重力，后

大于重力，随着弹力的增大，合力先减小后增大，则小球的加速度先减小后增大，故D正确。

故选De

8.如图甲所示，水平面上竖直固定一个轻弹簧，一质量为机=0.20kg的小球，从弹簧上端某高度自由下落,

从它接触弹簧到弹簧被压缩至最短的过程中（弹簧始终在弹性限度内），其速度v和弹簧压缩量Ax之间的函

数图像如图乙所示，其中A为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间能是损失不计。g取lOm/s?,下列说法正

确的是（）

乙

A.小球刚接触弹簧时速度最大

B.该弹簧的劲度系数为20N/m

C.当Ax=0.30m时，小球的加速度竖直向下

D.从接触弹簧到最低点的过程中，小球的加速度逐渐增大

【答案】B

【详解】A.小球刚接触弹簧时，重力大于弹力，合力向下，合力方向与速度方向相同，所以小球会继续向

下加速，直到弹力等于重力，此时速度最大，故A错误；

BC.由图乙可知最高点对应弹簧压缩量为©1=0/0m,此时速度最大，加速度为零，弹力等于重力，则有

mg=

代入数据解得

k=20.0N/m

则可知当Ax=0.30m时，弹力大于重力，合力向上，小球的加速度方向竖直向上，故B正确，C错误；

D.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，当速度达到最大值之前有

mg-F^=ma

因为重力大于弹力，重力不变，弹力逐渐增大，所以加速度逐渐减小，当速度达到最大值后，小球开始减

速，有

F^-mg=ma

重力不变，弹力大于重力且逐渐增大，则加速度增大，综合可得加速度先减小后增大，故D错误。

故选B。

9.如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，f=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处

由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧至最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如

此反复，通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力/随时间f的变化图像如图乙所示，则

()

A.八时刻小球的速度最大

B.4时刻小球返回出发点

C.G时刻，小球的加速度为零

D.至，3时间内，小球速度先增大后减小

【答案】D

【详解】A.4时刻小球刚接触弹簧，此时小球有向下的加速度会继续加速，此时的速度不是最大，选项A

错误；

B.4时刻弹簧恢复到原长，此时小球将要离开弹簧做上抛运动，选项B错误；

C.白时刻，弹簧弹力最大，小球到达最低点，则小球的加速度向上最大，选项C错误;

D.马至，3时间内，弹簧从压缩量最大到弹簧恢复原长，弹力先大于重力，小球加速度向上，速度增加；然

后弹力小于重力，加速度向下，小球做减速运动，即小球速度先增大后减小，选项D正确。

故选D。

10.如图所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，现将一小球从弹簧顶端由静止释放，在小球向下运动的

过程中（弹簧的形变始终在弹性限度内）（）

A.小球所受弹力大小越来越大B.小球所受合力大小越来越小

C.小球的加速度大小一直增大D.小球运动的速度大小一直增大

【答案】A

【详解】在小球向下运动的过程中，弹簧的形变量逐渐变大，则小球所受弹力大小越来越大；开始时重力

大于弹力，则随着弹力的增加，小球所受合力向下逐渐减小，加速度向下逐渐减小，速度增加；当弹力等

于重力时，合力为零，加速度为零，速度最大；以后弹力大于重力，则合力向上逐渐增加，加速度向上逐

渐增加，速度逐渐减小到零到达最低点。即整个过程中小球受合力先减小后增加，加速度先减小后增加，

速度先增加后减小。

故选Ao

11.如图，轻弹簧一端固定，另一端自由伸长时恰好位于。点。将小物块与弹簧连接，通过小物块将弹簧

压缩到P点后释放，物块可沿水平面运动到。点。若物块与水平面间的摩擦力大小不变，则关于物块的运

A.从尸到。速度先增大后减小，从。到0速度一直减小

B.从尸到。速度一直增大，从。到0速度一直减小

C.从尸到。加速度一直减小，从。到。加速度先减小后增大

D.从尸到O加速度一直减小，从。到0加速度一直增大

【答案】A

【详解】AB.从尸到。过程中，物体水平方向受到弹簧向右的弹力和向左的摩擦力，弹力先大于摩擦力，

后小于摩擦力，则知物体的合力先向右后向左，先加速后减速；从。到。过程，摩擦力和弹簧的弹力方向

均向左，合力向左，物体一直做减速运动，故A正确，B错误；

CD.从尸到。过程中，弹簧的弹力先大于摩擦力，由于弹力减小，故合力减小，加速度减小，后来弹力小

于摩擦力，合力反向增大，则加速度反向增大，故从尸到。加速度先减小后增大。从。到0过程，摩擦力

和弹簧的弹力方向均向左，弹力一直增大，故合力一直增大，加速度一直增大，故CD错误。

故选Ao

12.如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，片0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处

由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧至最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如

此反复，通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力/随时间/的变化图像如图乙所示，则

()

A.〃时刻小球速度最大

B.f2至打时间内，小球速度一直增大

C.”至H时间内，小球速度先增大后减小

D.△时刻小球返回出发点

【答案】C

【详解】A.小球落到弹簧表面后，开始压缩弹簧，此后弹簧的弹力开始增大，小球受到的合力减小，但方

向仍然向下，当重力等于弹力时合力为零，速度达最大，故力时刻小球速度没有达到最大，故A错误；

BC.力至右这段时间内，小球受到的弹力逐渐变小，开始弹力大于重力，小球做加速运动，当弹力等于重

力时，速度最大，当弹力小于重力时，小球做减速运动，故小球的速度先变大后变小，故C正确，B错误;

D.打时刻弹力为0,则此时小球刚脱离弹簧，故D错误。

故选Co

二、多选题

13.一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床面与运动员间的弹力随时间变化的规律通过传感器用计

算机绘制出来，如图所示。取当地的重力加速度g=10m/s2。结合图像，以下说法正确的是（）

C.该运动员离开蹦床时的速度为20m/s

D.该运动员离开蹦床后上升的最大高度为5m

【答案】AD

【详解】A.该运动员由最低点向上运动到离开蹦床的过程中，加速度先向上，后向下，则运动员先处于超

重状态后处于失重状态，故A正确；

B.由题中图象可知运动员运动前

mg=Fo=5OON

解得

m=50kg

陷落最深时由图可知F,„=2500N,此时根据牛顿运动定律有

Fm-rng=rnam

可得最大加速度

am=40mzs2

故B错误;

CD.运动员运动稳定后每次腾空时间为

A/=8.7s-6.7s=2s

故最大高度为

■加）2=5m

该运动员离开蹦床时的速度为

%=gx-^AZ=10m/s

故C错误，D正确；

故选AD。

14.一轻质弹簧竖直悬挂，上端固定在天花板上，下端连接一质量为m的小球。如图甲所示，将小球从某

处由静止释放，以小球释放的位置为坐标原点。，竖直向下为正方向建立x轴，小球向下运动过程中加速

度随位移变化的“-x图像如图乙所示。已知重力加速度为g,不计空气阻力，则（）

B.弹簧的劲度系数誉

A.小球下落过程中的机械能守恒

C.小球运动过程中速度的最大值为舟1D.小球向下运动的最大位移大于2%

【答案】BC

【详解】A.小球下落过程中，由于弹簧弹力对小球做功，所以小球的机械能不守恒，故A错误；

B.根据图乙a-x图像结合比例关系可知，当小球的加速度为g时，小球对应的位移为此时小球的合

力等于重力，则弹簧刚好处于原长状态；当小球的位移为飞时，小球的加速度为0,根据受力平衡可得

解得弹簧的劲度系数为

上强

2%

故B正确；

C.根据图乙可知，在0~x。内小球向下加速运动，所以在与处小球的速度达到最大，根据

v2=2ax

结合图像与横轴围成的面积可得

1…12

-xl.5g-x0=-vm

解得小球运动过程中速度的最大值为

%=j|gx。

故C正确；

D.根据图乙可知，在0~%内小球向下加速运动，结合对称性可知，在不~2%小球向下减速运动，在2x0处

小球的速度刚好减为0,则小球向下运动的最大位移等于2%,故D错误。

故选BC。

15.蹦床运动中，体重为60kg的运动员在/=()时刚好落到蹦床上，对蹦床作用力大小尸与时间，的关系如

图所示。假设运动过程中运动员身体始终保持竖直，在其不与蹦床接触时蹦床水平。忽略空气阻力，重力

A.，=0.15s时，运动员的重力势能最大

B.f=0.30s时，运动员的速度大小为lOm/s

C.Z=l.OOsHt,运动员恰好运动到最大高度处

D.运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为4600N

【答案】BD

【详解】A.根据牛顿第三定律结合题图可知=0.15s时，蹦床对运动员的弹力最大，蹦床的形变量最大，

此时运动员处于最低点，运动员的重力势能最小，故A错误；

BC.根据题图可知运动员从f=0.30s离开蹦床到f=2.3s再次落到蹦床上经历的时间为2s,根据竖直上抛运

动的对称性可知，运动员上升时间为1s,则在"1.3s时，运动员恰好运动到最大高度处，f=0.30s时运动

员的速度大小

v=10xlm/s=10m/s

故B正确，C错误；

D.同理可知运动员落到蹦床时的速度大小为10m/s,以竖直向上为正方向，根据动量定理

F•Nt—mg-AZ=mv—(-mv)

其中

△t-0.3s

代入数据可得

F=4600N

根据牛顿第三定律可知运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为4600N,故D正确。

故选BD-

16.如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，f=0时刻，将一金属小球从弹膂正上方某一高度处由静止

释放，小球落到弹簧上压缩弹簧至最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复,

通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力尸随时间，的变化图像如图乙所示。则()

O

A.。时刻小球速度最大B.L时刻小球速度最大

C.72至右时间内，小球速度先增大后减小D.右至时间内，小球处于完全失重状态

【答案】CD

【详解】A.小球落到弹簧表面后，开始压缩弹簧，此后弹簧的弹力开始增大，小球受到的合力减小，但方

向仍然向下；当重力等于弹力时合力为零，速度达最大，故。时刻小球速度没有达到最大，故A错误；

B.当重力等于弹力时合力为零，速度达最大，之后弹力继续增大，弹力大于重力，小球向下做减速运动，

最低点时弹力最大，由图可知才2时刻弹力最大，小球速度为0,故B错误；

C.至匕这段时间内，小球受到的弹力逐渐变小，开始时弹力大于重力，小球向上做加速运动，当弹力等

于重力口寸，速度最大；当弹力小于重力时，小球向上做减速运动，故小球的速度先增大后减小，故C正确;

D.与至i这段时间内，弹簧的弹力为0,说明小球离开弹簧，只受重力作用，具有向下的加速度g,小球

处于完全失重状态，故D正确。

故选CDo

17.蹦极运动是年轻人喜爱的一种惊险刺激运动。如图所示，质量为加的人(人视为质点)系上一原长为

〃的弹性绳从/点无初速度跳下，下降的最低点距离/点心几次上下运动后停止在距离/点口处。不计

空气阻力，重力加速度g,贝!I：()

A.弹性绳拉直前的瞬间人的速度为其以

B.人在最低点时处于静止状态，绳子拉力为T=mg

C.弹性绳拉直以后，人在到达最低点前，他的速度会先增加再减小

D.弹性绳拉直以后，人一直做减速运动，直到速度减为零

【答案】AC

【详解】A.由自由落体规律可知

2g4=v2

故弹性绳拉直前的瞬间人的速度为

A正确；

B.人在最低点时速度减为零，此时合力方向向上，绳子的拉力大于重力，B错误；

CD.弹性绳拉直以后，刚开始时，弹性绳的拉力小于人的重力，人做加速度减小的加速运动，直到弹性绳

的拉力等于人的重力，之后弹性绳的拉力大于人的重力，人做加速度增大的减速运动，直到速度减为零，

到达最低点，C正确，D错误。

故选AC。

18.“反向蹦极”是一项比蹦极更刺激的运动。如图所示，弹性轻绳的上端固定在。点。拉长后将下端固定在

体验者的身上，人再与固定在地面上的拉