新高考情景下的结构不良问题（四大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（解析版）

热点题型•解答题攻略

专题03新高考情景下的结构不良问题

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01解三角形结构不良.......................................................................1

题型02数列结构不良...........................................................................8

题型03立体几何结构不良......................................................................17

题型04圆锥曲线结构不良......................................................................28

♦>-----------题型探析・明规律-----------O

题型01解三角形结构不良

【解题规律•提分快招】

一、“结构不良问题”的解题策略

(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；

(2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分,

但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分.

二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某

个定理的信息.

(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；

(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

(3)以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

三、“边化角”或“角化边”的变换策略

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

(2)若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；

(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.

【典例训练】

一、解答题__

1.（2024・北京•三模）在VABC中，2=巫，cosA=巫.

a510

（1）求证：VABC为等腰三角形；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使VABC存在且唯一，求6的值.

条件①：/B=j条件②：VA2C的面积为:；条件③：A3边上的高为3.

62

【答案】⑴证明见解析

⑵何

【分析】（1）设。=5加（m>0）,根据余弦定理及已知可得c=5加，所以。=。，可得结果；

（2）若选择条件①，可得/A=/C=|J,可得cosA=近二旦,与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关

124

系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.

【详解】（1）在VABC中，2=巫，cosA=—,设。=5=JT金m>0,

a510

根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得25m2=10m2+c2-2cxMmx巫,

10

整理得c2—2mc-15m2=0）

因为c>0,解得c=5相（负值已舍去），所以。=。，

所以VABC为等腰三角形.

（2）若选择条件①：若48=9，由（1）可知。=。，及ZA=NC=1J,

612

me.5兀,兀兀、7171.71.71^6-A/2A/10

所以cosA=cos——=cos—+—=cos—cos—sin—sin—=-----------w------,

12U6）4646410

所以VABC不存在.

若选择条件②：在VA6C中，由cosA==>sinA=Vl-cos2A=3y,

1010

由（1）a=5m,b=m>0,

所以S=—bcsinA=—xVTOmx5mx=-m2=—,

jc221022

解得m=1（负值已舍去），即匕=质.

若选择条件③：在VA3C中，由边上的高为3,得加inA=3,

由cosA=nsinA=^1-cos2A=,解得b-^/10・

1010

2.（2024.四川宜宾.二模）在VA5C中，角A5,C所对的边分别是。也c,在下面三个条件中任选一个作为

条件，解答下列问题，三个条件为：

①2Zxx>sA=ccosA+acosC；②asiriB=A/§/?COSA；③cosC+（cosB—\Z§sinNcosA=0.

（1）求角A的大小；

⑵若。=夕/+。=4,求》c的值.

【答案】（1）所选条件见解析，4=］；

（2）3.

【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；若选②：利用正弦定理边化角即可结果；

若选③：利用三角恒等变换分析求解；

（2）利用余弦定理分析求解.

【详解】（1）若选①：因为2Z?cosA=ccosA+acosC,

由正弦定理可得2sinBco&A=sinCcosA+sinAcosC=sin（C+A）=sinB,

且3W（O,TI）,贝!|sin3>0,可得cosA=；,

且Ae（O,;i）,所以A=方；

若选②：因为asinB=,由正弦定理可得sin4sinB=A^sin2cosA,

且Be（O,兀），贝（Jsin3>0,可得tanA=^,

且人«0,兀），所以4=1；

若选③：因为cosC+（cosB->/§sin8）cosA=。，

则-cos（A+3）+cosAcosB-VSsinBcosA=0,可得sinAsinB=A/3sinBcosA

且3e（O,7i）,贝！|sin3>0,可得tanA=V^,

且Ae（0,7r）,所以A=5.

IT

（2）由（1）可知：A=-,

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2Z?ccosA=（Z?+c）2-2bc-2bccosA,

即7=16—2》c—Z?c,解得历=3.

3.（2024•全国•模拟预测）在①（2-sinA）cos_B-l=cosAsinB-2cos5sinC；②（2〃一c）cos5=Z?cosC两个

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,

c,且

A

(2)若点D在BC的延长线上，且比＞=2BC,AD=3,求VABC面积的最大值.

【答案】(1)8=5

⑵随

8

【分析】(1)①由三角恒等变换可得；②由正弦定理和正弦展开式可得；

(2)由余弦定理和基本不等式求出。再求出面积最值即可.

【详解】(1)选①，因为(2-sinA)cos5-l=cosAsin5—2cosBsinC,

所以2cosB-sinAcosB—l=cosAsinB-2cosBsinC,

即2cosB-l=cosAsinB-2cosBsinC+sinAcos=sin(A+5)-2cosBsinC,

因为A+3=7T-C,

所以2cosB-l=sinC—2cosBsinC=(1-2cosB)sinC,

所以(2cosB—l)(l+sinC)=O,

因为A,3£(0,兀)，所以1+sinCwO,

所以2cos3—1=0,BPcosB=—,

2

所以5

选②，由(2〃一c)cosB=bcosC及正弦定理得(2sinA—sinC)cosB=sinBcosC,

所以2sinAcosB—sinCeosB=sinBcosC,

即2sinAcos_B=sinjBcosC+sinCcos_B=siii(_B+C),

因为B+C=7i-A,

所以2sinAcosB=sinA,

因为A,5«0,7i),所以sinAwO,

1兀

所以COSB=5,所以8=(

(2)如图:

A

因为AD=3f

由余弦定理，AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosA,

22

所以9=c?+4Q2-4accos§,BPc+4a—2ac=9,

.____9

因为，+4/之2,4a2c2=4诋,所以2。。49,即砒工万，

当且仅当/=4片，即。=2〃=3,等号成立，

所以SABC=—dcsinB<—x—x^-=^^-,

由22228

所以VABC面积的最大值为名8.

8

4.(2024・四川南充・三模)已知函数/(x)=4cos[x-胃sinx-2sin[-]+2x)-l.

⑴求函数/(x)的单调递增区间；

(2)在VABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，记VABC的面积为S,从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①/(A)=l；@S=—ab-(§)a2=b2+be.

2

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴唱,E+菅，(壮Z)

(2)证明见解析

【分析】(1)先将原函数化成一角一函数形式，然后由正弦函数性质，确定单调递增区间即可；

(2)若①②n③，先由S=；浦确定C的值，然后利用"4)=1确定A的值；进而得到B的值，有余弦

定理及勾股定理得出结论即可；若由①③n②，先求A,再求C,最后得出结论；若由②③n①，先求

C,进而求出AB,最后求出〃4)=1.

【详解】⑴由函数/00=43,一£卜11苫一2$出〔-1+2尤]-1,

/(x)=273cosxsinx+2sin2x+2cos2x-l,

化简得:/(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+—

所以%兀-二+工(％EZ),

36'

jrjr

所以函数7'(X)的单调递增区间为kTi--,kTi+-，他eZ).

3o_

(2)若①②n③

11TT

由S=—"/?=—QbsinC,所以sinC=l,所以C=一,

222

由/(A)=l,知2sin(2A+「=l,因为C=(所以

J-J-।।c4兀，兀7兀)r*r**t、rz>4兀5TL.7L

所以2A+、w二，所以2A+^=~^,A=w,

6<66J663

所以--

236

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be>

将02=/-廿代入得：2b2-bc=0,c=2b,a=6b,

所以片=c2-〃=3〃=b2+2b2=〃+历.

若由①@=②，由由/(A)=l,知2"24+胃=1,

।../c\c4兀/兀13兀1c-t、rcA兀571.71

由Aw(O,兀),2A+1£—,所以2A+：=L，A=q,

6166J663

由余弦定理：a2=b2+c2-2Z?ccosn*a2=b2+bc,

所以=2Z?C,C=2/?,a=®,所以"=_|,

所以S=gQZ?sinC=giZ?.

11jr

若由②③0①，由S=5〃/?=5。以由。，所以sinC=l,所以。=万,

所以。2=。2一/,。2=/+历，所以《2一匕2=及+bc,

再由S=；〃csin5=；4b得：b=csinB,

所以/=2片sir?3+Fsin5,所以2sir?5+sin5—1=0,

所以sinB=；,Be(0,g],B=*,即4=n一=

212/6263

所以/（A）=l.

5.(2024•全国•模拟预测)已知VABC中，内角A,氏C的对边分别为。，瓦c,且

cosC-Gbcos2A=上asinAsin8-csinA.

⑴求角A；

(2)若a=近，角A的平分线交边BC于T,在下列三个条件中选择一个作为己知，求AT.

®AC-BA=-3;②点A在以反C为焦点的椭圆生匚+空=1上；③VABC的面积为还.

2592

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)A=1；

⑵AT=空.

【分析】(1)正弦定理边化角，化简后利用内角和消去角3,化简整理即可得解；

(2)选①或③，先利用数量积定义或三角形面积公式求出6c,然后结合余弦定理可得8+c=5,再由

|7rlTT17T

丹csin==、2TsinB+：cATsinm即可得解；选②，利用椭圆定义求出》+c,结合余弦定理求出儿,

232626

I7rl7rlTT

再由一Z?csin—=—ATsin—+—c-ATsin—即可得解.

232626

【详解】(1)由正弦定理可得gsinAcosC-君sinBcos2A="sii?AsinB-sinCsinA,

则y/3sinAcosC+sinCsinA=esinB.

在VABC中，A+B+C=7i,贝人皿3=5抽(4+。).

所以君sinAcosC+sinCsinA二在sinACOSC+A/3COSAsinC>

即sinCsinA=6cosAsinC.

又C£(0,7i),sinCw。，所以tanA=J^.

qr

因为0<4<兀，所以A=^.

(2)若选择①，解答过程如下.

由24AC=—3得6c-cosO—NBAC)=-3,即bc-U=-3,所以bc=6.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosABAC=(b+c)2-3bc,

即7=@+C)2-18,所以6+C=5.

从而一匕csin巴=工力ATsin—+—c-ATsin—=—(Z>+c)-ATsin-,

2326262'6

即Lx6x^^二!x5x』AT，所以AT=.

22225

c

若选择②，解答过程如下.

椭圆的长轴长为2x|=5,则结合椭圆定义得在VABC中有6+c=5,

由余弦定理得/=b2+c2-2/?ccosABAC=(b+c)2-3bc,

即7=25—3历，所以〃c=6.

—bcsin—=—b-ATsin—+—c-ATsin—=—(&+(?)•ATsin—,

23262626

即工X6X3=!X5X』AT,所以47=还.

22225

若选择③，解答过程如下.

由三角形面积公式得^6csin«=±3,所以秘=6.

232

由余弦定理得/=/+c?_2bccosZBAC=(Z?+c)2-3bc,

即7=@+C)2-18,所以6+C=5.

}}J^—bcsm—=—b-ATsin—+—c-ATsin—=—(/>+c)-ATsin—,

2326262'6

即工X6X^=LX5X』AT,所以AT=还.

22225

题型02数列结构不良

【解题规律•提分快招】

一、数列中的结构不良问题

1.“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且,

在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

2.数列求和的常用方法：

(1)对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

(2)对于｛4〃｝型数列，其中｛4｝是等差数列，｛2｝是等比数列，利用错位相减法求和；

(3)对于｛q+2｝型数列，利用分组求和法；

（4）对于<三一，型数列，其中｛4｝是公差为2（dwo）的等差数列，利用裂项相消法求和.

3.常见的裂项公式：

（1）〃（〃+左）k\nn+k）'

]=U_J_______

⑵（2^-l）（2n+l）-2^2«-1-2H+1J；

iirii

（3）--------------——------------------------

G+dn+k

T11

⑸（2n-l）（2n+1-l）-27,-1,

【典例训练】

一、解答题

S73

1.（2024•广西贺州•一模）在①邑-3%=0,②邑=14,③”二石这三个条件中任选一个，补充在下面的

问题中，并解答.

设｛%｝是递增的等比数列，其前"项和为S“，且出=4,

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足或="为偶数'求数列间的前2〃项和5

（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）

【答案】⑴4=2”;

【分析】（D选择条件①②③，利用等比数列的通项公式及前〃项和列出方程，求出首项、公比即可得解.

（2）利用分组求和法，结合等差、等比数列"项和公式计算即得.

【详解】（1）由｛%｝是递增的等比数列，出=4,得数列｛见｝的公比0>1,且q4=4,

选择条件①，S2-=0,贝[）4]+。2-34=。，即。2=2q,于是4=q=2,

所以｛〃〃｝的通项公式是。〃=2〃.

2

选择条件②，83=14,gpax+alq+a1q=14,由q>l,解得q=2,6=2,

所以｛%｝的通项公式是。“=2”.

选择条件③，f=则牛

Se9l-qq（l-/）1+q39

而4>1,解得q=8,即有q=2,%=2,

所以｛%｝的通项公式是。“=2”.

n

（2）由（1）知，当〃为奇数时，bn=2n-l,当〃为偶数时，bn=an=2,

所以&=(伪+&+2+L+b2n_l)+(b2+b4+b6+L+b2n)

=(1+5+9++4/7-3)+(4+42+43++4")

n(l+4«-3)4(1-4")c24n+1-4

=-----------1--------=2〃-n-\-------・

21-43

2.(2024・全国•模拟预测)已知正项数列｛%｝满足q=L

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列｛%｝的通项公式;

条件①：当“22时，=2«-1；

条件②：数列｛4｝与。;均为等差数列；

⑵在（1）的基础上，设S,为数列［51的前〃项和，证明：S11V:.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）条件选择见解析，a„=n2

（2）证明见解析

【分析】（1）选①：借助累加法计算即可得；选②：借助等差数列的定义计算即可得;

（2）结合放缩法与裂项相消法计算即可得.

【详解】（D若选条件①：

当“22时，%=（4-a,T）+（a“T一。九一2）~1一2）+（。2-6）+6

/、（l+2n—l）n

=2〃-1+2（〃-1）-1+-+2—1+1=---------=n99

又6=1=F,因此数列｛“的通项公式为4=*

若选条件②：

由数列｛向｝为等差数列，由%>0,可设亚=kn+b（k〉o）,

2222

贝！］an=kn+2kbn+b,因此2=kn+2kb+—,

nn

又数列I?1为等差数列，因此6=0,从而

又q=l,所以左2=1,因此数列｛q｝的通项公式为4=/；

(2)由(1)知，%=/,因此一=—,

n

715

贝！52=1+^=[<

当〃23时，/>〃(〃—1)>。,

1111

因此二<一^八二-

nnyn-\)n-17――n,

…।11111117_J_7

从而当〃之3时，S<1H----1---------1---------1-----1------------<

42334n-1n4n4

7

综上，s〃<“

3.(2024.青海西宁.二模)已知数列｛%｝,.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的

问题中并解答.(注:如果选择多个条件,按照第一个解答给分.)①数列｛4｝的前〃项和为S.=24-2(〃wN*);

②数列｛%｝的前〃项之积为4=2=(〃eN*),

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵令bn=an+log2an,求数列也｝的前八项和.

【答案】(1)4=2"

2

⑵7>2"+i_2+^

【分析】(1)选①或②均可证明数列｛为｝是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式

求出数列｛4｝的通项公式；

(2)由分组求和法结合等差、等比的前〃项和公式求解即可.

【详解】(1)若选①S“=2〃”-2,

当”=1时，4=2q-2,即％=2,

当〃22时,^Sn=2an-2(I),则$"_1=2%_2(II),

(I)-(II)得:an=2an-2an_lt即。“=2%，

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以。〃=2〃；

若选②，当〃=1时，“1=4=2,即%=2,

n(n+l)

AO2n(n+l)n(n-l)

当“22时，gn=-^=—^,即q=2^一―=2"，

&T22

当〃=1时，q=2符合上式,

所以数列｛风｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以=2"；

(2)因为4F“+log2a”,所以a=2"+〃，

所以7>(21+22+―+2〃)+(1+2+~+小，

贝T=2(1-2)+九(几+1)_2〃+i_2+几+”

1-222

3

4.(2024•陕西西安・模拟预测)在①％=1,%,“3，旬成等比数列，②。2+%=6,%・。5=5,③Z《=6,

i=l

6

»,=21,这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.

1=1

问题：已知数列｛《,｝是公差为正数的等差数列，.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵数列，去，的前〃项和为s“，对任意的〃eN+有根-3<S.〈根恒成立，求机的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴见="

7

(2)2<m<-

【分析】(1)若选择条件①，根据等比中项的性质求出d,即可求出通项公式；选择条件②，利用下标和

性质得到6+4=6,从而求出可、生，即可求出通项公式；选择条件③，直接利用等差数列通项公式求出

公差d,即可得解；

(2)由⑴可得圻爰，利用错位相减法求出S,,再判断S”的单调性，即可求出S”的范围，依题意可

'。1

77Z—J<一

得2,解得即可.

m>2

【详解】(1)选择条件①：因为数列｛%｝是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>。)，

又4=1,a,,a3,为成等比数列，

所以即(l+2d)~=1+8〃，解得d=l或&=。(舍去)，

所以。“=〃；

选择条件②，因为g+%=6,%•%=5,又％+〃4=+。5=6,

解得或［又数列｛4｝是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0),

所以则1=冬子=1,所以%=〃；

口=55-1

36

选择条件③：因为±4=6,

1=11=1

663

则==15,设公差为d(d>o),

三4z=lz=l

%+%+%=6

即,所以9d=%+。5+“6—(q+“2+/)=9,贝!!d=l,

。4+%+4=15

所以q+q+d+q+2d=6,解得〃i=l,所以4=〃.

（2）由⑴可得墨专，

]217

所以号,=矛+中++子①，

两边同乘以I■得N=*+京++号②,

-fl-—

①—②得&=LL+_L_JL=212人上二

22222"2M.12n+12"2"+12"+1

1----

2

所以S“=2-九岁+2・

因为s.+「s”=变-3=黄>0,所以S“单调递增，

于是当〃=1时，S.取得最小值3.

因为詈〉0,所以S“<2.

「、f1

所以S“e-,2,故由一3<S“<风〃eN*）得2,解得24加

L）[m>22

5.（2024・四川德阳•三模）已知｛4｝是等差数列，也“｝是等比数列，且也“｝的前”项和为

S„,2o1=Z?1=2,a5=5（^-0,）,在①仇=4（d-4），②%i=E,+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问

题的解答.

⑴求数列（«„｝和也｝的通项公式；

⑵设数列[去]的前〃项和为1,是否存在办“eN*,使得（=勺若存在，求出所有满足题意的〃“；若不

存在，请说明理由.

【答案】⑴%="（〃eN*）,」=2”,（"N*）

⑵m=L〃=2

【分析】（1）根据等差数列定义可求得见=〃，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得

2=2"；

(2)利用错位相减法求出7；=2-号，易知金=心，又"?eN*可得"=1,〃=2.

【详解】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,

由2%=2,%=5(%_/)可得4+4d=5(fl|+3d-al-2d"),解得q=d=\-

所以a“=q+(n_l)d=〃，

即数列｛4｝的通项公式为凡="(〃eN*)

设等比数列也｝的公比为4,

若选择条件①，&=4(2-4),

由a=2且4=4(%-4)，可得如4=4(如3_如2),

即/-44+4=0,解得q=2,

所以也｝是以伪=2为首项，公比为2的等比数列，可得2=2x2^=2"(〃eN*)；

即数列也｝的通项公式为4=2"("eN*)；

若选择条件②，bn+l=Sn+2,

令及=1,贝旭=1+2=4,所以公比4=1=2,此时S“=2"+J2,经检验满足题意,

即｛2｝是以伪=2为首项，公比为2的等比数列，

所以2=2"(〃wN*)

(2)假设满足题意得以〃存在，

123n-1n

因为北=5+域+吩+…+万工+升

一11123n-1n

所以5々=^+于+m+…+亍+诃’

1-邛

两式相减可得工1n2nIn.

7=l+±+2_+A+...+_-------------------------------------^3]1--------------，

〃234n2〃+i]2〃+i2〃2〃+i

222222l—

2

所以<=2-岁，

因为竽〉0,所以(=2-/<2；

zz+2

所以由(=品可得2-个=加，即〃z<2,又加£N",

所以加=1,即2--—=1,解得〃=2,

因此满足题意的相，”存在，且〃7=1,"=2.

6.(2024•广东广州三模)已知数列｛%｝的各项均为正数，%>%，记S”为｛%｝的前w项和.

(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛““｝是等差数列；②数列是等差数列；③%=2%.

(2)若％=1,在(1)的条件下，将在数歹£%"｝中，但不在数歹U｛2"”｝中的项从小到大依次排列构成数列也“｝,

求数列出｝的前20项和.

【答案】(1)证明见详解

(2)588

d2(d\

【分析】(1)选①②作条件证明③:设e=212)=k，n+加,然后根据对应相等,讨论&=0和dH0

an而+&_1)

时加=。或加即可得证；选①③作条件证明②：由①③可得叫，得&=中,则号包-相=；,

即可得证；选②③作条件证明①：由②③可得£=贝!|2S“=("+1”"，则有2s1=次*(〃之2),两

anL

式作差可得,

+=2)，然后用累乘法化简可得见=叫，则得aaa

n+i-n=^艮F)可得证.

a%.—in-1

(2)当％=1时，由⑴可知，an=n,则％,=2",2%=2"，得到数列｛%｝取20项时，数列｛%｝中有

25项，去掉数列｛2%｝中的5项，然后分别求和相减即可.

【详解】(1)选①②作条件证明③：

&

因为数列｛%｝是等差数列，数列是等差数列,

a„

d2d

——Tl+n

设s“2

k'n+m''

andn+—d)

、d2(d

所以5〃+p-—n=k'dn1+d+k'%—k'd)n+m'(同一d),

2

­=k'd

2

所以q———上4+(IT1t-k)d,

加(q—d)=0

当d=0时，./wO,「.4=qw2q,

当dwO时，k=-

29

若m'=0,贝!I%一万=]%_,,「•q=0,不合题意，

若机工0,则q=d,:.4_；=*,

r

ka｝+（相'=；"i+[加=，d,

••・加=；，满足题意，「•％="+d=2q,得证.

选①③作条件证明②：

设等差数列｛4｝的公差为d,

由%=2%得d=%,则an=4+（〃_1）1=吗,

所以S/（4+4）/（%+叫）,

〃—2—2

几（q+叫）

所以S,=2二九+1,

an叫2

qq

o--〃+i_H+1+1n+11

所以KI--------

22-

%+lan2

所以数列是等差数列，得证.

选②③作条件证明①：

因为数列是等差数列，%=2%,

所以公差为丛一县=幺*一色=；,首项为工=1,

ci?ayCl?CLy/

则鸟■=1+J("T)=—L即2S“=(n+l)a.，则有2S“T=m1(”之2),

an乙/

两式作差得2%=(n+1)%-叫＞T，即+='(心2),

G”_1H.—1

Q”1a-%nn-\n-22

所以j-x-^x-^xL—=---x----x----xLTx-,

an_xan_2an_3axn-1n-2n—31

即卜〃,即为=㈣(〃22),又q=1适合上式,

所以%=〃4，则a,#]-%-㈣=%,所以数列｛%｝是等差数列，得证.

(2)当q=1时，由(1)可知，%=〃，贝！|。2〃二2"，2""=2〃，

当数列｛2｝取20项时，设数歹!]｛%｝中取x项，去掉数列｛2"”｝中的>项,

x—y=20—

则有c，(其中X、y取正整数),

2x>2y

则当x=25,y=5时2X25=50>32=25,不等式组成立,

当％=26,y=6时，2x26=52<64=26,不等式组不成立,

所以取x=25,y=5时，设数列也｝的前20项和为盘,

则^20=%+&+++。50—(21+22+2^+24+2,)

25(2+50)2(1-25)

—--------------------L=650—62=588，

21-2

即数列出｝的前20项和是588.

题型03立体几何结构不良

【解题规律•提分快招】

一、空间向量与立体几何的求解公式

(1)异面直线成角：设a,b分别是两异面直线/i，/2的方向向量，则/1与/2所成的角。满足：COS0=船;

(2)线面成角：设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为"，a与”的夹角为

则直线/与平面a所成的角为。满足：sin。=|侬川=耨.

同||〃|

(3)二面角：设小，几2分别是二面角a—/一夕的两个半平面a，4的法向量，

则两面的成角夕满足：cos9=cos<m，〃2〉=浸信;

注意：二面角的平面角大小是向量为与小的夹角或是向量〃1与小的夹角的补角，具体情况要判断确定.

⑷点到平面的距离：

%

晨

O

如图所示，已知AB为平面a的一条斜线段，”为平面a的法向量，

则点B到平面a的距离为：|动尸噜©,即向量仍在法向量n的方向上的投影长.

|九|

二、几种常见角的取值范围

.IT..TT

①异面直线成角e(o,-］；②二面角口0,利；③线面角口0,-］；④向量夹角口0,兀］

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量证明空间中的平行关系

⑴线线平行：设直线/1和h的方向向量分别为VI和V2，则或/1与/2重合)=1〃V2.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为V,平面a的法向量为小则/〃a或/uauv_La.

(3)面面平行：设平面a和£的法向量分别为"1，"2,则a〃£<=M〃“2.

六、用向量证明空间中的垂直关系

⑴线线垂直：设直线/1和/2的方向向量分别为V1和吸，则/」/26」丫261叩2=。.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为小贝！］

(3)面面垂直：设平面a和/的法向量分别为的和设2，贝！I

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法

【典例训练】

一、解答题

1.(2024.北京西城•二模)如图，正方体ABCD-ABiGR的棱长为2,E为BC的中点，点”在8,上.再从

下列三个条件中选择一个作为己知，使点M唯一确定，并解答问题.条件①：M4=MC；条件②：EM±AD；

条件③：RW〃平面

⑴求证：M为2R的中点；

(2)求直线加欣与平面MCD所成角的大小；

⑶求点E到平面"CD的距离.

注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

⑶*

【分析】(1)分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证；

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，求得向量弱=(0,-1,1)和平面的法向量为加=(1,0,-1),利

用向量的夹角公式，即可得出结果.

(3)由(2)可知，直线皿与平面所成的角为6,利用"=卜in。计算即可.

【详解】(1)证明：选条件①：由=

根据正方体ABC。-ABC2的对称性，此时点〃为22上的任意一点，所以不成立；

选条件②：EM±AD.

连接C2，在正方体ABCD-ABCR中，由平面CD2G，

因为CRu平面CDDG,所以BC，C2,

又因为£711_140,AD//BC,所以£M_LBC,

因为EM,CQu平面8CQ,所以EM//CR,

又因为E为3c的中点，所以M为B2的中点.

选择条件③：EM〃平面CDD£.

连接CB，因为应欣〃平面C£)2£,项fu平面8c2，

且平面BCD。平面CD2G=Cp,所以EM//C〃，

因为E为BC的中点，所以M为82的中点.

(2)在正方体ABCZ)-ABC?中，DA,DC,OQ两两互相垂直，建立空间直角坐标系,

如图所示，则£>(0,0,0),C(0,2,0),E(l,2,0),1),

—,uuu

所以。C=(0,2,0),DM=(1,1,1),EM=(0,-LI),

um,uCx—y—U

设平面MCZ)的法向量为m=(x,y,z),贝",

m-DM=x+y+z=0

令x=l,则y=O,z=—l.于是“=(1,0,-1),

I/.\i\m-EM\i

设直线EM与平面MCD所成的角为6,贝(Jsin6=cos(m,EM)\=片~L=

1'A网声叫2

所以直线EM与平面MCD所成角的大小为30°,

(3)点E到平面"CD的距离为1=,Msin0=V^xsin30=#.

2.（2024.北京东城•一模）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCZ）为正方形，AB=4,EF=l.

EF

⑴求证：AB//EF；

（2）若H为CD的中点，M为8”的中点，EMLBH,EM=26,再从条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知，求直线CP与平面ADE所成角的正弦值.

条件①：ED=EA；

条件②：AE=5.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分

【答案】（1）证明见解析

⑵迈

14

【分析】（1）先证明AB〃平面EFC£>,再利用线面平行的性质证明AB//。；

（2）选①②：证明平面ABC。，建立以M为原点的空间坐标系，求出平面ADE的法向量，利用线

面角公式求解

【详解】（1）证明：底面ABC。为正方形，则AB〃CD,又4BO平面跳CD,C£>u平面EFC£）,

则AB〃平面又平面EFCD平面EFBA=EF,ABu平面跳R4,故AB//EF.

（2）选①，取中点G,连接EG,MG,因为£D=E4,所以EGLAD,

易知GM为梯形ABHD的中位线，则MGLAD,

又MGcEG=G,MG,EGu平面EGM,故">_1_平面EGM,EA/u平面EGM,

则40，£”,应1/，3”,40,^^平面488,且AD,出/必相交，故而，平面ABC。，

延长GM交BC于P,则P为中点，易得EF//MP,EF=MP,故硝必为矩形.

以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标