一次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）

清单04一次函数(13个考点梳理+题型解读+提升训练)

【清单01】自变量取值范围

初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：

(1)函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；

(2)函数关系式为分式形式：分母0

(3)函数关系式含算术平方根：被开方数0；

(4)函数关系式含0指数：底数0。

【清单02】函数定义

像S=40f,y=40%,s=口,这样，用关于自变量的数学式子表示

函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式

【清单03］正比例函数的定义

一般地，形如y=kx(k=0)函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

【清单04】正比例函数图像和性质

正比例函数图象与性质用表格概括下:

k的符号图像经过象限性质

Ay

二，第一、三象限y随x的增大而增大

k>0

第二、四象限y随x的增大而较少

k<0

【清单05】待定系数法求正比例函数解析式

1.正比例函数的表达式为y=Ax("W0),只有一个待定系数"，所以只要知道除(0,0)外的自变量与函数的

一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出次的值，从而确定表达式.

2.确定正比例函数表达式的一般步骤：

⑴设一一设出函数表达式，如y=4x(4W0)；⑵代一一把已知条件代入丫=1«中；

(3)求一一解方程求未知数左(4)写一一写出正比例函数的表达式

【清单06】一次函数的定义

如果y=kx+b(k,b是常数，kW0)的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。

注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。

【清单07】一次函数图像和性质

一次函数图象与性质用表格概括下:

k>0k<0

增减

性从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大

大而增大而较少

b>0b=0b<0b<0b=0b<0

图像

A个y

(草

图)干三

不

、-一、三、四一、二、四二、四二、三、四

经过

一、二、三

象限

与yb>0,交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b<0,交点在y轴负半轴上

轴的

交占

位置

【提分要点】：

1.若yrk,x+b8产。口yrk2x+ba产0）两直线平行,则k=kz；

2.若yLkiX+%左产o）与y^kx+ba产o）两直线垂直，则匕上=-1

【清单08】一次函数的平移

1、一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向

右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。

口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。

2、一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移

m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。

口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）

【清单9】求一次函数解析式

用待定系数法求一次函数解析式的步骤:

基本步骤：设、歹I）、解、写

⑴设:设一般式y=kx+b

⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）

⑶解：解出k、b；

⑷写：写出一次函数式

【清单10］［一次函数与一元一次方程的关系

直线y=kx+b（kWO）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=O（发力。）的解.求直线

y=kx+b（"¥。）与x轴交点时，

b

（1）可令y=0,得到方程kx+b=O（AW〃），解方程得_x=----------------，

一女一

（2）直线y=kx+b交x轴于点（0,―匕）,就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.

k

畋型情单

【考点题型1］函数的定义

【典例1】下面平面直角坐标系中的曲线不表示y是x的函数的是（）

【变式1-1】下列各曲线中表示y是x的函数的是（）

【变式1-2】下列图象中，表示y是x的函数的是（）

【变式1-3】下列关系式中，y不是尤的函数的是（）

A.\y\=%B.y=x2+2x+1

C.y=3%+1D.y=3(%—1)2—4

【考点题型2】函数的自变量取值范围

【典例2】已知y=，K一3,贝！|支的取值范围是（）

A.x<3B.%>3C.x>3D.%<3

【变式2-1】函数y=言的自变量尤的取值范围是（）

A.x之一2B.x>—2C.x4一2D.x<—2

【变式2-2】在函数y=浮中，自变量式的取值范围是（）

A.x>2BB..%WC.x>2D.%>2且x丰0

【考点题型3】函数的图像

【典例3】如图1,在长方形4BCD中，动点尸从点B出发,以每秒2个单位长度的速度，沿

BC—CD—D4运动至点A停止，设点P运动的时间为xs,△ABP的面积为y.如果y关于x的变化情

况如图2所示，则AABC的面积是（）

图2

A.10B.20C.40D.80

【变式3-1］如图1,在矩形4BCD中，点尸从点A出发，匀速沿-»BD向点。运动，连接DP,设点P

的运动距离为x,DP的长为y,y关于久的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长

为.

【变式3-2］如图1,在长方形4BCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、D4运动至点4停止，设点P的

运动的路程为x,A4BP的面积为y,如果y关于久的函数图象如图2所示，则长方形力BCD的周长

是

【考点题型4】正比例函数的定义

【典例4］下列函数⑴y=-x；（2）y-5x+2；（3）y=；；⑷y=x2-4中，是正比例函数的

有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式4-1】下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（）

2

A.y=%+3B.y=-C.y=x7D.y=4x

【变式4-2］下列函数中，正比例函数是（）

3o

A.y=-2xB.y=-C.y=3x2D.y=2%—4

【变式4-3】一个正比例函数的图象过点（-1,5）,则该函数的解析式是（）

11

A.y=5xB.y=—5xC.y=-xD.y=——x

【考点题型5】判断正比例函数图像所在象限

【典例5】在平面直角坐标系中，函数y=：*的图象大致是（)

【变式5-1］正比例函数y=x的图象是（）

【变式5-2］正比例函数y=—［x的图象经过（）

A.第一、二象限B.第二、四象限C.第一、三象限D.第二、三象限

【考点题型6】正比例函数的性质

【典例6】关于正比例函数丫=-3久，下列结论正确的是（）

A.图象不经过原点B.y随x的增大而增大

C.当x=l时，y=3D.图象经过第二、四象限

【变式6-1】下列各点中，在正比例函数y=3x的图象上的是（）

A.（1,3）B.（1,0）C.（2,3）D.（2,-6）

【变式6-2］已知正比例函数y=kx（k<0）的图象上两点4（/,为）、y2）,且均〈比2，则下列

不等式中恒成立的是（）

A.、1+丫2>°B.yi+y2VoC.D.yi—y2Vo

【变式6-3］若点A(—2,zn+1)在正比例函数y=—|x的图象上，则m的值为()

A.-2B.0C.2D.4

【考点题型7】一次函数的定义

【典例7】下列函数中，y是x的一次函数的是（）

A.y=3%—2B.y=--C.y-<+3D.y=x^-x+7

【变式7-1］下列函数中，是一次函数的是（）

6-1

A.y=7x2B.y=x—9C.y==-D.y=——

X'x-1

【变式7-2］下列函数中，y是1的一次函数的是（）

A.y=2x2—3B.y=—3%+1C.y==3D.y2=x

【变式7-3］已知函数y=（zn—B）/771-圉是一次i函数，则zn=_______________.

【考点题型8】判断一次函数图像所在象限

【典例8】已知直线"：y=-for+b与直线％：y=3kx-b在同一平面直角坐标系中的大致图象可能

是（）

A.1NA.

:1'/,D./1、乙

【变式8-1］在平面直角坐标系中，一次函数丫=2久+2的图象大致是（）

——

A.B.C.

【变式8-2］如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y==比t+a的图象在同一平面直角坐标系内的位

置可能是（）

A工14

二

【变式8-3】两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（）

【考点题型9】一次函数图像的性质

【典例9］对于一次函数y=-x-2,下列说法不正确的是（）

A.图象不经过第一象限

B.图象与y轴的交点坐标为（0,-2）

C.图象可由直线y=-x向下平移2个单位长度得到

D.若点（一1,%），（4,无），在一次函数y=-久—2的图象上，则为<无

【变式9-11对于函数y=-2%+4.下列说法错误的是（）

A.y随x的增大而减小B.它的图象与y轴的交点是（0,4）

C.当久<2时，y<0D.它的图象不经过第三象限

【变式9-2］关于一次函数旷=久-2,下列说法不正确的是（）

A.图象经过点（2,0）B.图象经过第二象限

C.函数y随自变量x的增大而增大D.当xN2时，y>0

【变式9-3】对于直线y=1的描述，正确的是（）

A.从左至右呈上升趋势B.不经过第二象限

C.经过点（一2,-2）D.与y轴的交点是

【考点题型10］根据一次函数增减性求含参取值范围

【典例10】已知一次函数y=（k-3）x+5,若y的值随X的值的增大而增大，则上的取值范围是

（）

A.fc>3B.fc<3C.0</c<3D.fc>0

【变式10-1］若一次函数y=（k—3）x+2的函数值y随尤的增大而减小，则k的取值范围是（）

A.fc>3B.k>0C.fc<3D.0<fc<3

【变式10-2】已知一次函数y=（a-l）x+3（a为常数），y随尤的增大而增大.则a的取值范围是

A.a>1B.a<1C.a>1D.a<1

【考点题型11]一次函数的变换问题

【典例11】将正比例函数y=2%的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为.

【变式11-1】将一次函数y=2%-4的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得

到的图象对应的函数表达式是.

【变式11-21将直线y=2%-4向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为.

【变式11-31若直线y=2久-1向左平移3个单位长度，平移后的直线解析式是.

【考点题型12]一次函数与一元一次方程

【典例12]若x=4是方程kx+b=0的解，则直线y=kx+6的图象与x轴交点的坐标为()

A.(4,0)B.(0,4)C.(0,-4)D.(-4,0)

【变式12-1]若关于尤的方程-2x+6=0的解为尤=2,则直线y=-2x+b一定经过点()

A.(2,0)B.(0,3)C.(4,0)D.(2,5)

【变式12-2]如图，直线y=kx+b(k丰0)经过点(—1,3),则方程kx+b=3的解为()

【变式12-3】一次函数y=5尤-1的图象与x轴的交点坐标是.

【考点题型13]一次函数应用

【典例13】襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙

两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示.

有机蔬菜种类进价/(元/kg)售价/(元/kg)

甲m16

乙n18

(1)该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg需要200

元.求利，〃的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg,且不大

于70kg,实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打5折才能售完，

乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量

久（kg）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？

【变式13-1】“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民

的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔.某商场欲购进一

批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1

个乙种型号头盔需要195元.

（1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？

（2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个.已知甲

种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元.若该商场将这两种型号头盔全部售出

可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？

【变式13-2】【新情境】手机功能越来越多，人们利用手机导航、网上购物等等，手机让现代人的生活

更为丰富和便捷.人们对上网流量的需求量越来越大，通讯公司推出了两种“流量包”业务供客户选择，

套餐A：20元的月租，按照0.1元/MB收费；套餐8：无月租，按照0.2元/MB收费.

小思仔细阅读了通讯公司的“流量包”套餐业务，发现网费与上网流量有关联.小思设采用套餐A的网

费为为（元），采用套餐8的网费为（元），上网流量为无（MB）.

（1）请分别直接写出以（元）与x（MB）,yB（元）与x（MB）之间的关系式；

（2）求当上网流量为多少MB时，套餐A,B的费用恰好相同；

（3）如果小思每个月的上网流量都不少于3