斜中半问题（解析版）

遨）>模型讲解

2

【证明】：

,.,CD是△ABC的中线

：.AD=BD=1.AB,

2

•：CD=^AB,

2

:.AD=CD=BD,

：.ZA=ZACDf/B=/DCB,

在△ABC中，NA+N5+NACD+N0C3=18O°

ZA+ZB+ZA+ZB=180°,

ZA+ZB=90°,

AZACB=ZACD+ZDCB=90°,

•••△ABC为直角三角形.

4模型一】

在RtaABC中，AB=BC；在RtaADE中，AD=DE；连接EC,取EC的中

点M,连接DM和BM.若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合,

强图，求证:，且.贝！J：(1)BM=DM(2)BM±DM

y

【证明】:

VZABC=ZAD£=90°,

：.ZEDC=9Q°,

:点/是CE的中点,

：.BM=1.CE,DM^l-CE,

22

：.BM=DM,

；.N1=N2,N3=/4,

'：ZBME=Z1+Z2,ZEMD=Z3+Z4,

；.NBMD=2(Z1+Z3),

,/AABC等腰直角三角形,

...NBCA=45°,

ZBMD=90°,

BM=DM且BMLDM.

3

A

【模型二】

已知：在RtZkABC中，ZACB=90°,且AB的长度恒定，CD是斜边AB

的中线，P为平面内一定点（在C运动轨迹之外），连接PC,贝!I：PC+CD的

相小值为PD.J

A

【证明工

•.,AD是斜边BC的中线

：.BD=CD=AD,且长度一定

；.C的运动轨迹为：以D为圆心，CD为半径的圆上。

•.,当P、C、D三点不共线时，PC+CD>PD

...当P、C、D三点共线时，PC+CD=PD

/.PC+CD的最小值=PD

4

例题演练

1.如图，在四边形ABC。中，NBCD=/BAD=90°,AC,8。相交于点E,

点G,”分别是AC,8。的中点，若N8EC=80°,那么/GHE等于（）

【解答】解：连接AH,CH,

:在四边形ABC。中，ZBCD^ZBAD=90°,反是3。的中点,

：.AH=CH=1-BD.

2

:点G时AC的中点，

：.HG是线段AC的垂直平分线，

；./EGH=90°.

：/BEC=80°,

：.ZGEH=ZBEC=80°,

：.ZGHE=90°-80°=10°.

故选：B.

2.如图，在△ABC中，点。是边A8上的中点，连接CD,将△BCD沿着CO

翻折，得到△£<?£>,CE与AB交于点F,连接AE.若48=6,C£）=4,AE

=2,则点C到AB的距离为（）

5

/

V

A.-LB.4/2C.D.2V2

3

【解答】解：连接BE,延长CD交BE于点G,作CHLAB于点H,如图所

示，由折叠的性质可得：BD=DE,CB=CiE,则CG为BE的中垂线，故BG

=yBE-

•.•。为AB中点，

BD=AD,SACBD=SACAD,AD—DE,

；・/DBE=/DEB,/DEA=/DAE,

VZEDA+ZDEA+ZDAE=18O°,

BP2ZZ)EB+2ZZ)EA=180o,

：.ZDEB+ZDEA=90°,

即NBEA=90°,

在直角三角形A班中，由勾股定理可得：

BE=dAB?-AE2=A/36-4=

：.BG=2V2，

*.*SAABC=2S^BDC,

•••2X•D・BG=/AB・CH，

.CH=2CD・BG=2x4x2证=诉

AB63

故选：c.

A

6

3.如图，在等边△ABC中，AB=6,ZAFB^90°,则CF的最小值为（）

C.6遭-3D.3a

-3

【解答】解：如图取45的中点E,连接EF、EC.

「△ABC是等边三角形，AE=EB,

：.AB=BC=6,ZCBE=6Q°,

：.CE=BC'sm600=3«,

VZAFB=90°,AE=EB,

.-.EF=AAB=3,

2

CFNEC-EF,

...当E、F、C共线时，PC的值最小，最小值为3T-3,

故选：D.

7

法强化训练

1.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,BDLAC,点E为AC的中点，ZDBE=30°,

BD=2M，则BC的长为上

【解答】解：：BO_LAC,NDBE=30：2。=2«，

：.DE=2,BE=4,

:在Rt/VIBC中，ZABC=90°，点E为AC的中点，

；.EC=AE=BE=4,

：.CD=CE+DE=6,

BC=VDC2+BD2=762+（2V3）2=4V3,

故答案为：4/3-

2.如图，在△ABC中，AB=6,。、E分别是AB、AC的中点，点尸在OE上，且。尸=

3FE,当时，BC的长是8.

AZAFB=90°,又。是A8的中点,

.-.DF=AAB=3,

2

,:DF=3FE,

：.EF=1,

：.DE=4,

：£）、E分别是A3、AC的中点，

：.BC=2DE=S,

故答案为：8.

二.选择题（共6小题）

3.如图，在四边形ABCZ）中，ZBCD=ZBAD=90°,AC,8。相交于点E,点G,4分

别是AC,8。的中点，若/BEC=80°,那么等于（）

【解答】解：连接AH,CH,

:在四边形ABCD中，ZBCD=ZBAD=90°,”是8。的中点,

/.AH=CH=AB£).

2

:点G时AC的中点，

HG是线段AC的垂直平分线，

ZEGH=9Q°.

VZB£C=80°,

：./GEH=NBEC=80°,

:.NGHE=90°-80°=10°.

故选：B.

4.如图，△ABC中，BC=18,若BD_LAC于。点，CE_LA8于后点，F,G分别为8C、

的中点，若E£）=10,则PG的长为（）

9

A

A.2^14B.V106

【解答】解：连接EF、DF,

\'BD±AC,P为8c的中点,

;.DF=^BC=9,

2

同理，EF=%C=9,

：.FE=FD,又G为。E的中点，

：.FG±DE,GE=GD=1~DE=5,

由勾股定理得，rc=JEF2_EG2=2Vi4,

故选：A.

BFC

5.如图，在矩形ABC。中，E,尸分别是边A8,C£＞上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF

与对角线AC交于点。，且NBEF=2/BAC,FC=2,则AB的长为（）

D.___________P____C

A.8«C.4爪

【解答】解：如图，连接8。,

:四边形ABC。是矩形，

J.DC//AB,ZDCB=90°

J.ZFCO^ZEAO,

10

在△AOE1和△口?尸中，

，ZA0E=ZF0C

'ZFC0=ZEA0*

AE=CF

AAOE会△COF,

：.OE=OF,OA^OC,

•；BF=BE,

：.BO.LEF,ZBOF=90°,

,?/FEB=2/CAB=NCAB+NAOE,

J.ZEAO^ZEOA,

：.EA=EO=OF=FC=2,

在RTABFO和RT^BFC中，

[BF=BF,

lFO=FC，

RTABFO咨RTABFC,

:.BO=BC,

在RTAMC中，\'AO=OC,

：.BO=AO=OC=BC,

；.ABOC是等边三角形，

/.ZBCO^6Q°,ZBAC=30°,

：.ZFEB=2ZCAB=6Q°,"：BE^BF,

...△BEP是等边三角形，

：.EB=EF=4,

：.AB=AE+EB=2+4=6.

故选：D.

Dt---------------

6.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,点A、。分别在x轴、y轴上，当点A

在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是

()

11

C.2，^D.6

【解答】解：取AC的中点。，连接。。、DB,

"：OB^OD+BD,

...当。、D、8三点共线时08取得最大值，

•。是AC中点，

：.0D=^AC=2,

2

在Rt/XBCZ）中，BD==722+22=2^2-OD=X.AC=2,

：.点B到原点0的最大距离为2+2立，

故选：A.

7.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=3Q°,BC=6,。为AB上一动点（不与点

A重合），△AE。为等边三角形，过。点作OE的垂线，尸为垂线上任一点，G为跖的

中点，则线段8G长的最小值是（）

C.D.6

【解答】解：如图，连接。G,AG,设AG交。E于点H,

12

•：DE±DF,G为跖的中点，

：.DG=GE,

...点G在线段DE的垂直平分线上，

：44即为等边三角形，

C.AD^AE,

点A在线段DE的垂直平分线上，

：.AG为线段DE的垂直平分线，

：.AG±DE,ZDAG=1ZDAE=3O°,

2

...点G在射线AH上，当8GLAH时，8G的值最小，如图所示，设点G，为垂足，

VZACB=90°,ZCAB=3Q°,

ZACB=ZAG'B,ZCAB=ZBAG,

则在△BAC和△BAG中，

,ZACB=ZAG/B

'ZCAB=ZBAG?，

AB=AB

（AAS）.

.•.BG=BC=6,

故选：D.

8.如图，G）M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点P是。M上的任意一点，PAL

PB,且B4、PB与x轴分别交于A、8两点，若点A、点B关于原点。对称，则48的最

小值为（）

13

【解答】解：连接0P,

'：PA±PB,

：.ZAPB=90°,

\'AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM，交OM于点P,当点P位于P位置时，OP'取得最小值,

过点M作MQLx轴于点Q,

：.OM^5,

又〈MP'=2,

：.OP'=3,

：.AB=2OP'=6,

故选：D.

三.解答题（共3小题）

9.如图，RtZkABC中，ZCAB=90°,ZACB=30°,。是A8上一点（不与A、8重合）,

DE,BC于E,若尸是CD的中点，请判断的形状，并说明理由.

14

【解答】解：△幺E的形状为等边三角形；理由如下：

:在RtzXCA。中，ZCAD=90°,尸是斜边C。的中点,

：.PA^PC^1-CD,

2

，ZACD=Z.PAC,

：.ZAPD=ZACD+ZPAC=2ZACD,

同理：在RtZ\CED中，PE=PC=1~CD,/DPE=2NDCB,

2

J.PA^PE,即△出£是等腰三角形，

AZAPE=2ZACB=2X30°=60°,

/.△B4E是等边三角形.

10.已知：在RtZXABC中，AB=BC；在中，AD=DE；连接EC,取EC的中点

M,连接。M和

（1）若点。在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1）,求证：BM=DM,

且

（2）如果将图（1）中的△AOE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图（2）,那么（1）

中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明.

【解答】解：（1）是等腰三角形,

理由是：VZABC=ZADE=90°,

AZ££)C=90°,

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:点M是CE的中点，

：.BM=^CE,DM=LCE,

22

：.BM=DM,

.•.N1=N2,N3=/4,

ZBME=Z1+Z2,ZEMD=Z3+Z4,

：./BMD=2(Z1+Z3),

ZVIBC等腰直角三角形，

AZBCA=45°,

：.NBMD=90°,

/.BM=DM且BM1DM；

故答案为：8加=。用且8〃_1。加.

(2)：(1)中的结论仍成立，

延长。M至点R使得。连接C。和ER连接8。，连接BP、FC,延长即交

AC于点H.

•：DM=MF,EM=MC,

/.四边形CDEF是平行四边形，

J.DE//CF,ED=CF,

'：ED=AD,

：.AD=CF.

'.,DE//CF,

ZAHE^ZACF.

VZBA£>=45°-ZDAH=45°-(90°-ZAHE)=/AHE-45°,NBCF=NACF

-45。，

：.ZBAD=ZBCF.

y."：AB=BC,

：.AABD沿4CBF,

：.BD=BF,ZABD=ZCBF,

ZABD+ZDBC^ZCBF+ZDBC,

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；.NDBF=/ABC=90°.

在RtZXOBF中，由DM=MF,得8M且8M_LZ)M.

1.△ABC为等边三角形，AB=S,AOLBC于点。，E为线段A。上一点，A£=2«.以

AE为边在直线A。右侧构造等边三角形AER连接CE,N为CE的中点.

(1)如图1,EP与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长；

(2)如图2,将△AEP绕点A逆时针旋转，旋转角为a,M为线段跖的中点，连接。N,

MN.当30°<a<120°时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；

(3)连接8N,在绕点A逆时针旋转过程中，当线段8N最大时，请直接写出△

AOV的面积.

【解答】解：(1)如图1中，连接BE,CF.

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「△ABC是等边三角形，AD±BC,

.•.AB=BC=AC=8,BD=CD=4,ZBAD=ZCAD^30°,

：.AD=『iBD=4危,

「△AM是等边三角形，

：.ZEAF^60°,

，NEAG=/GAP=30°,

:.EG=GF,

,:AE=2册,

：.DE=AE=2-/j,

B£=VBD2+DE2=742+(2V3)2=2^

「△ABC,△?!£/是等边三角形，

：.AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAF,

：.^\BAE^/\CAF(SAS),

：.CF=BE=2板,

:EN=CN,EG=FG,

；.GN=1CF=47-

2

(2)结论：ZDNM=120°是定值.

18

图2