导学案数学第六章平面向量及其应用

6.1平面向量的概念【学习目标】1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的概念.2.理解平面向量的几何意义与几何表示.3.理解相等向量的含义及共线向量的概念.【素养达成】数学抽象直观想象数学抽象、逻辑推理一、向量的概念及表示1.向量的概念既有大小又有方向的量.2.向量的几何表示(1)有向线段:以A为起点,B为终点的有向线段记作,其大小称为向量的长度(或称模),记作||;(2)字母:可以用字母a,b,c,…表示.3.特殊向量零向量的长度为0,单位向量的长度为1个单位长度.【教材挖掘】(P1)物理学中常称向量为矢量,数量为标量,你还能举出物理学中的一些向量和数量吗?提示:速度、位移、力、加速度等都是既有大小又有方向的量,所以它们是向量.质量、路程、密度、功、时间等都是只有大小,没有方向的量,所以不是向量.二、相等向量与共线向量1.相等向量长度相等且方向相同的向量,记作a=b.2.共线向量(1)平行向量①方向相同或相反的非零向量,记作a∥b;②规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.(2)共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.【版本交融】(苏教P6)若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作a.零向量的相反向量仍是零向量.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)海拔、温度、角度都是向量.(×)提示:海拔、温度、角度都是数量,只有大小没有方向,不是向量.(2)若用有向线段表示的向量与不相等,则点M与N不重合.(√)提示:若用有向线段表示的向量与不相等,则终点一定不相同,即点M与N不重合.(3)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.(√)提示:方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是方向相反的向量,因而是共线向量.(4)若a与b都是单位向量,则a=b.(×)提示:若a与b都是单位向量,而单位向量方向不一定相同,故不能得到a=b.类型一向量的表示及应用(直观想象)【典例1】(教材提升·习题T1)在如图的方格纸中(规定小方格的边长为1),画出下列向量.(1)画出||=3,点A在点O的正西方向的向量;(2)画出||=32,点B在点O的北偏西45°方向的向量;(3)求出||的值.【解析】(1)因为||=3,点A在点O的正西方向,故如图所示:(2)因为||=32,点B在点O的北偏西45°方向,故如图所示:(3)||==3.【总结升华】用有向线段表示向量的步骤(1)确定向量的起点;(2)确定向量的方向;(3)根据向量的长度确定向量的终点.【即学即练】如图,某人从A点出发,向西走了200m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点,发现D点在B点的正北方.(1)作出,,(图中1个单位长度表示100m);(2)求的模.【解析】(1)根据题意可知,B点在坐标系中的坐标为(2,0),又因为D点在B点的正北方,所以CD⊥BD,又||=2003,所以||=2002,即D,C两点在坐标系中的坐标为(2,22),(4,22),即可作出,,如图所示:(2)如图,作出向量,由题意可知,CD∥AB且CD=AB=200m,所以四边形ABCD是平行四边形,则||=||=2003,所以的模为2003.类型二相等向量与共线向量(直观想象)角度1相等向量与共线向量的确定【典例2】(教材提升·例2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:(1)分别找出与,相等的向量;(2)找出与共线的向量;(3)找出与的模相等的向量;(4)向量与是否相等?【解析】因为O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,所以OA=AE=OD=DE=OC=CF=BF=BO,AB=CD=BC=AD.(1)由题中图形可得:=,=;(2)由题中图形可得,与共线的向量有:,,;(3)与的模相等的向量有:,,,,,,;(4)向量与不相等,因为它们的方向不相同.角度2相等向量与共线向量的应用【典例3】(2024·郑州高一检测)已知四边形ABCD,下列说法正确的是()A.若=,则四边形ABCD为平行四边形B.若||=||,则四边形ABCD为矩形C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形D.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形【解析】选A.A选项,若=,则||=||且∥,则四边形ABCD为平行四边形,故正确;B选项,如图,||=||=2,但是四边形ABCD不是矩形,故错误;C选项,若∥,且||=||,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故错误;D选项,若||=||,且∥,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,故错误.【总结升华】相等向量与共线向量(1)相等向量与共线向量的确定:要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等与平行关系;(2)相等向量与共线向量的应用:可以判断线段与线段相等或平行,但判断直线平行时,除说明向量共线外,还需要说明向量所在的线段无公共点.【即学即练】在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),分别写出下列向量.(1)共线向量;(2)相反向量;(3)相同的向量;(4)模相等的向量.【解析】(1)a与d是共线向量,b与e是共线向量;(2)a与d是相反向量;(3)题图中无方向相同的向量,所以向量a,b,c,d,e中无相同的向量;(4)由题图可知|a|=|c|=|d|=5,|b|=2,|e|=22,所以模相等的向量为a,c,d.【补偿训练】如图,O是正六边形ABCDEF的中心.(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个?(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个?【解析】(1)因为ABCDEF为正六边形,所以中心O到各顶点的距离相等,且均等于正六边形的边长.因此题图中所示的向量中与的模相等的向量有,,,,,,,,,,,共11个.(2)由题知,图中所示的向量中与共线的向量有,,,,共4个.类型三向量概念的综合应用(数学抽象、逻辑推理)【典例4】(1)(2024·德州高一检测)下列说法错误的是()A.||=||B.e1,e2是单位向量,则|e1|=|e2|C.若||>||,则>D.两个相同的向量的模相等【解析】选C.对于A,||=||,故A正确;对于B,e1,e2是单位向量,则|e1|=|e2|=1,故B正确;对于C,若||>||,则,不能比较大小,故C错误;对于D,两个相同的向量的模相等,故D正确.(2)(2024·湛江高一检测)下列说法:①若|a|=0,则a=0;②若a=b,则|a|=|b|;③若a∥b,则|a|=|b|.其中错误的是__________(填序号).

【解析】由零向量的定义可知,①正确;两个向量相等时,两个向量的模一定相等,②正确;两个向量共线,与模是否相等无关,③错误.答案:③【总结升华】向量概念辨析的注意点(1)向量既有大小又有方向,不能比较大小;(2)判断两个向量是否平行或共线,只要看两个向量的方向是否满足相同或相反即可;(3)零向量的方向是任意的,零向量与任意向量平行;(4)单位向量的长度是1个单位长度,方向不一定相同.【即学即练】给出下列四个说法:①向量就是有向线段;②零向量是没有方向的;③两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等;④若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上.其中正确说法的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.对于①