备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题13 几何体的展开图（解析版）

专题13几何图形初步

课标要求考点考向

1.了解几何体的基本概念、基本性质和分类。

考向一几何体的展开图

2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点常见的

的意义；几何体考向二点、线、面、体

3.理解角的概念，能比较角的大小．认识度、分、秒，会

直线、

对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；

射线、考向一直线、射线、线段

4.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相

线段

等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的性质；

考向一角的运算

识别同位角、内错角、同旁内角；

5.理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点角考向二角平分线

画已知直线的垂线；

考向三余角和补角

►考向一几何体的展开图

1．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关

键．

由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．

【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．

故选：D．

2．（2024·江西·中考真题）如图是43的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展

开图的方法有（）

A．1种B．2种C．3种D．4种

【答案】B

【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构

特征进行判断，即可得出结论．

【详解】解：如图所示：

共有2种方法，

故选：B．

3．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展

开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（）

A．校B．安C．平D．园

【答案】A

【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．

【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，

故选：A．

4．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如

图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要块；如图③，将长、宽、高

分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样

完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要块．

【答案】12144

【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形

（体）的特征，即可解答．

【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，

2,3的最小公倍数是6，

如图，

6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，

需图②的个数：6212（个）；

同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4,3,2的长方体，

用4312个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，

宽，高为12，12，12的正方体，

此时需要：2346144（个）．

故答案为：12；144．

5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它

制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AEFB），恰好得到纸盒的展开图，

并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图

1图2图3

AD

(1)直接写出的值；

AB

(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开

图图样是（）

图4

A．B．

C．D．

(3)

卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ

规格（单位：cm）304020808080

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼

品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），

并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所

用卡纸的总费用．

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不

要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考

虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草

稿用）

【答案】(1)2；

(2)C；

(3)见解析．

【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关

知识是解题的关键．

（1）由折叠和题意可知，GHAEFB，AHDH，四边形EFNM是正方形，得到EMEF，即AGEF，

即可求解；

（2）根据几何体的展开图即可求解；

（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡

纸可制作1个正方体，即可求解．

【详解】（1）解：如图：

上述图形折叠后变成：

由折叠和题意可知，GHAEFB，AHDH，

∵四边形EFNM是正方形，

∴EMEF，即AGEF，

∴GHAGAEFBEF，即AHAB，

∵AHDH，

ADAHDH

∴2，

ABAB

AD

∴的值为：2．

AB

（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间

相隔一个几何图形，且字体相反，

∴C选项符合题意，

故选：C．

（3）解：

卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ

需卡纸的数量（单位：张）132

所用卡纸总费用（单位：元）58

根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：

∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：

型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：

型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则

102231127（个），

∴所用卡纸总费用为：

202533158（元）．

►考向二点、线、面、体

6．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．

【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，

故选：C．

►考向一直线、射线、线段

7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推

力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（）

A．垂线段最短

B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．两点确定一条直线

D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】A

【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点O有

OBAB，进而利用垂线段最短得到OAOB即可解题．

【详解】解：过点O有OBAB，

OAOB，

即得到F1的力臂OA大于F2的力臂OB，

其体现的数学依据是垂线段最短，

故选：A．

8．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴

含的数学道理是．

【答案】两点之间，线段最短

【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．

【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，

其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短

故答案为：两点之间，线段最短．

►考向一角的运算

9．（2024·海南·中考真题）如图，直线m∥n，把一块含45角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，

点B在直线n上，A90，若125，则2等于（）

A．70B．65C．25D．20

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线CD平行于直线m，易得m∥CD∥n，

根据平行线的性质可得3125，由ACB45可求出4的度数，再由平行线的性质可得2的度数．

【详解】解：如图，过点C作直线CD平行于直线m，

∵直线m∥n，

∴m∥CD∥n，

∴3125，42，

由题意可得ACB45，

∴4452520，

∴2420，

故选：D．

10．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）

A．20B．40C．60D．80

【答案】C

【分析】本题考查了钟面角，用30乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12

份，每份是30，根据时针与分针相距的份数，可得答案．

【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30260，

故选：C．

11．（2024·北京·中考真题）如图，直线AB和CD相交于点O，OEOC，若AOC58，则EOB的大

小为（）

A．29B．32C．45D．58

【答案】B

【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．

根据OEOC得到COE90，再由平角AOB180即可求解．

【详解】解：∵OEOC，

∴COE90，

∵AOCCOEBOE180，AOC58，

∴EOB180905832，

故选：B．

12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线

l2上，若l1∥l2，125，则2的度数是（）

A．45B．35C．30D．25

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．

由平行线的性质可求出3125，又由三角板中CAB60，根据角的和差即可求出2．

【详解】解：如图，∵l1∥l2

∴3125，

∵在三角板ABC中，CAB60，

∴2CAB3602535．

故选：B

考向二角平分线

13．（2024·四川·中考真题）如图，AB∥CD，平分BAC，130，则2（）

𝐴

A．15B．C．45D．

【答案】B30°60°

【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据BAD1、2BAD即可

求解.

【详解】解：∵AB∥CD，130，

∴BAD130

∵平分BAC，

∴��2BAD30

故选：B

14．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，BA平分CBD，若

∠AOD=58o，则A的度数为（）

A．65B．55C．50D．75

【答案】A

【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据

1

圆周角定理得到ABCABD，再根据圆周角定理得到ACB90，ABCABDAOD25，

2

然后利用三角形的内角和定理求解即可．

【详解】解：∵BA平分CBD，

∴ABCABD，

∵AB是O的直径，∠AOD=58o，

1

∴ACB90，ABDAOD25，则ABC25，

2

∴A180CABC180902565，

故选：A．

考向3余角和补角

解题技巧/易错易混

1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的

两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．

2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的

补角可以有很多个

15．（2024·甘肃·中考真题）若A55，则A的补角为（）

A．35B．45C．115D．125

【答案】D

【分析】根据和为180的两个角互为补角，计算即可．

本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．

【详解】A55。

则A的补角为18055125．

故选：D．

16．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，

则图中与AEF互补的角有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出

AEFCGE180，得出结合对顶角的性质AEFDGF180，根据邻补角的定义得出

AEFBEG180，即可求出中与AEF互补的角，即可求解．

【详解】解∶∵AB∥CD，

∴AEFCGE180，

∵CGEDGF，

∴AEFDGF180，

又AEFBEG180，

∴图中与AEF互补的角有CGE，DGF，BEG，共3个．

故选∶C．

17．（2024·甘肃兰州·中考真题）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（）

A．100°B．80°C．40°D．10°

【答案】A

【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．

【详解】解：∵∠A＝80°，

∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．

故选A．

【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．

一、单选题

1．（2024·贵州·模拟预测）如图所示的长方体的截面是（）

A．长方形B．正方形C．三角形D．三棱柱

【答案】C

【分析】本题考查几何体的截面图形．根据题中图示，可得图中的截面是三角形．

【详解】解：图中沿着长方体的三个顶点截图，其截面是一个三角形．

故选：C．

2．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（）

A．a与bB．b与dC．b与cD．c与d

【答案】C

【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：

射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度．

【详解】A、线段不能向两边延伸，

∴a与b不会相交，故本选项错误；

B、射线d向右上方方向延伸，

∴b与d不会相交，故本选项错误；

C、射线c向左下方方向延伸，

∴b与c会相交，故本选项正确；

D、射线d向右上方方向延伸，射线c向左下方方向延伸，

∴c与d不会相交，故本选项错误；

故选：C．

3．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上

的汉字是()

A．美B．丽C．中D．国

【答案】B

【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握

正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”．

【详解】解：由图可知，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“丽”，

故选：B．

4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开

（外表面朝上），其展开图可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三

条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答．

【详解】

解：观察，

∴其展开图可能是，

故选：D．

5．（2024·山西·模拟预测）如图，这是某几何体的展开图，则该几何体需要剪开的棱数为（）

A．2条B．3条C．4条D．5条

【答案】D

【分析】此题考查了三棱柱的展开图，掌握三棱柱的展开图是解题的关键．

首先得到这个几何体是三棱柱，然后根据三棱柱的棱数和展开图中没有剪开的棱数求解即可．

【详解】根据题意的，这个几何体是三棱柱

∵三棱柱共有9条棱，展开图中有4条棱没有剪开

∴该几何体需要剪开的棱数为945（条）．

故选：D．

6．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），

其长度分别为21km，24km，19km，而两地的直线距离为12.1km，解释这一现象的数学知识最合理的是（）

A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．公垂线段最

短

【答案】C

【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的

关键．

【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，

故选：C．

7．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从它的上面看到的平

面图形是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】本题考查从不同方向看几何体．解答本题的关键是掌握从上面看的观察位置．

画出从上向下看得到的平面图形，判断即可．

【详解】解：从上面看，得到的图形为：

故选：C．

8．（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）

组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，

不正确的是（）

A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形

B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形

C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形

D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形

【答案】D

【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键．

【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成

正方形

故选：D．

9．（2024·湖南·模拟预测）如图，在ABCD中，E是AB边上一点，若DE,CE分别是ADC,BCD的平

分线，若ABCD的周长为18，则AB的长为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到

ADEAED，BCECEB，进而得到ADAE，BEBC，由平行四边形ABCD的周长18，即可求

解．

【详解】解：∵DE、CE分别是ADC、BCD的平分线，

∴ADECDE，DCEBCE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，ADBC，

∴CDEDEA，DCECEB，

∴ADEAED，BCECEB，

∴ADAE，BEBC，

1

AEBEADBCAB，

2

平行四边形ABCD的周长18．

ABADCDBC3AB18，

AB6，

故选：C．

10．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、

C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（）

A．A、B、C三点在一条直线上

B．连接CB、BD，则△CBD是直角三角形

C．连接AB，AB∥PQ

D．连接AB、BD，则ABBD

【答案】D

【分析】本题考查了直线、三角形的分类、平移的性质，垂直的定义，理解网格的特点，掌握相关知识点

是解题关键．

【详解】解：A、连接AB并延长，点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不

符合题意；

B、连接CB、BD，取格点E，DBE90，而CBDDBE，即△CBD是钝角三角形，结论错误，不符

合题意；

C、连接AB，将点A向上平移三个单位，再将点B向上平移三个单位，点B不在直线PQ上，即AB、PQ不

平行，结论错误，不符合题意；

D、由网格可知，ABBD，结论正确，符合题意；

故选：D．

二、填空题

11．（2024·广西·二模）从A地到B地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这是

因为．

【答案】两点之间，线段最短

【分析】此题主要考查了线段的性质，正确记忆线段的性质是解题关键．

根据线段的性质：两点之间线段最短即可得出答案．

【详解】解：从A地到B地有多条道路，人们一般会选中间的直路，而不会走其它的曲折的路，

这是因为两点之间，线段最短．

故答案为：两点之间，线段最短．

12．（2024·山西·模拟预测）已知直线m∥n，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m

上，F30，另一直角三角板一直角边与直线n重合，C45，若BC∥EF，则MDE．

【答案】15/15度

【分析】】把EF分别向两方延长交直线m于点H，交直线n于点G，先根据直角三角形的两个锐角互余可

得ABC45，然后利用平行线的性质可得BGHABC45，再利用平行线的性质可得

DHEBGH45，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得DEF60，从而利用三角形的外角性质进

行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键．

【详解】解：把EF分别向两方延长交直线m于点H，交直线n于点G，

CAB90，C45，

ABC90C45，

BC∥EF，

BGHABC45，

mn，

DHEBGH45，

EDF90，F30，

DEF90F60，

DEF是△DEH的一个外角，

MDEDEFDHE15，

故答案为：15

13．（2024·全国·模拟预测）如图，在VABC中，B=60，ADC110，AD是VABC的角平分线，则BAC

的度数是．

【答案】100/100度

【分析】本题考查了三角形的外角和角平分线的定义．通过三角形的外角得出BAD的度数，再通过角平

分线得出BAC的度数．

【详解】解：BBADADC，B=60，ADC110，

BAD50，

AD是VABC的角平分线，

BADCAD50，

BAC100，

故答案为：100．

14．（2024·陕西·模拟预测）如图，线段AB10，以AB为斜边构造等腰直角VABC和直角△ABD，C、D

CE

在AB两侧，BE平分ABD交CD于点E，则的最小值为．

CD

21

【答案】/2

22

2

【分析】证出A，C，B，D共圆，E为△ABD的内心，则CBCECAAB52，故当CD为该圆直

2

径时，CD最大AB10，即可得出答案．本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、

圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明CBCE是解题的关键．

【详解】解：以AB为斜边构造等腰直角VABC和直角△ABD

ACBADB90，BACABC45，

ACBADB180，

A，C，B，D共圆，

ADCABC45，BDCBAC45，

ADCBDC，

CD平分ADB，

BE平分ABD，

E为△ABD的内心，

ABEDBE，

CBEABCABE45ABE，CEBBDCDBE45DBE，

CBECEB，

2

CBCECAAB52，

2

当CD为该圆直径时，CD最大AB10，

CE522

的最小值为，

CD102

故答案为：2．

2

15．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB4，ABC60，点E，F分别是BD，CD上

1

的点，若BE2CF，则AFAE的最小值是．

2

【答案】25

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾

股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

1

根据题意构造相似三角形，作DCM30，取CMAB2，连接AC，AM，得到ABE∽MCF，进

2

11

而得出AFAEAFFM，当A,F,M三点共线时，AFFM的值最小，即AFAE的值最小，最后

22

利用勾股定理即可解出．

1

【详解】作DCM30，取CMAB2，连接AC，AM，如图所示，

2

在菱形ABCD中，ABC60

ABEDCM30，

BE2CF,AB2CM，

ABE∽MCF，

AE2FM，

1

AEFM

2

1

AFAEAFFM，

2

1

当A,F,M三点共线时，AFFM的值最小，即AFAE的值最小，

2

在菱形ABCD中，ABC60，

BCD120，VABC是等腰三角形，

ACD60，ABAC4，

ACM90，

在RtACM中，AC4,CM2，

AMAC2CM2422225，

故答案为：25．

16．（2024·安徽·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼

出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中EF的长为．

【答案】26

【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是

理解图形．

根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作EHFG交FG的延长线于点H，算出EHHG1，HF5，

再根据勾股定理即可求解；

【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴GFAB4,MGMF,MGF45,EGM90，

过点E作EHFG交FG的延长线于点H，

则EGHGEH45，

22121

EHHGEGAC421，

22424

HF145，

EFEH2HF226，

故答案为：26．

三、解答题

17．（2024·陕西·模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周得到

一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是4cm的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？

212

（V圆柱rh，V圆锥rh）

3

1

【答案】cm

4

【分析】本题考查圆锥的体积公式，熟练运用圆锥的体积公式是解题的关键．根据题意可知，所得圆锥的

1

底面半径是2cm，设这个圆柱的高是hcm，根据题意，得22342h，即可求出圆柱的高．

3

【详解】解：由题意可知，所得圆锥的底面半径是2cm，

1

高是3cm，设这个圆柱的高是hcm，根据题意，得22342h，

3

1

解得h，

4

1

这个圆柱的高是cm，

4

1

故答案为：cm．

4

18．（2024·福建·模拟预测）如图，已知AB，OAOB，与BC相交于点E，则OE平分AOB吗？

说明理由．𝐴

【答案】OE平分AOB，理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．掌握全等三角形的判定和性质是关键．全

等三角形的判定条件有四种：SSS，SAS，ASA，AAS．要说明OE平分AOB，可证明OCE≌ODE或

者OAE≌OBE．缺少边的条件，可通过证明ACE≌BDE获得．

【详解】解：OE平分AOB．理由如下：

在OAD和OBC中，

AB

OAOB

AOBBOA

∴OAD≌OBC（ASA）

∴OCOD，

∴OA−OCOB−OD，即ACBD．

在ACE和BDE中，

AECBED

AB

ACBD

∴ACE≌BDE（AAS）

∴ECED

在OCE和ODE中，

OCOD

OEOE

CEED

∴OCE≌ODE（SSS）

∴COEDOE，

∴OE平分AOB．

19．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线yax2bxc交轴于点A1,0，B3,0，交y轴于点C，

CAB60，点E是线段AB上一动点，作EF//AC交线段BC于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，延长线段EF交抛物线于点G，点D是AC边中点，当四边形ADGF为平行四边形时，求出G点

坐标；

(3)如图2，M为射线EF上一点，且EMEB，将射线EF绕点E逆时针旋转60，交直线AC于点N，连

接MN，P为MN的中点，连接AP，BP，问：APBP是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若

不存在，请说明理由．

323

【答案】(1)yx2x3；

33

43

(2)G1,或G2,3；

3

(3)存在，27．

【分析】（1）用待定系数法解题；

（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对

边相等的性质，列出m的方程即可；

（3）证明点P在直线y3上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．

【详解】（1）解：∵点A1,0，

∴OA1，

在RtAOC中，CAB60，

∴ACO30，

∴AC2AO2，OC3，

∴C0,3，

把点A1,0，B3,0，C0,3代入抛物线yax2bxc中得

3

a

3

abc0

23

9a3bc0，解得b，

3

c3

c3

323

∴抛物线的解析式为yx2x3；

33

（2）如图中，连接DG，AF，

∵A1,0，C0,3，B3,0，

ADDC，

13

∴D,，

22

33

∴直线CB的解析式为yx3，设Fm,m3，

33

∵四边形ADGF是平行四边形，

∴ADFG，AD//FG，

1333

∴Gm,m，

232

323

把点G的坐标代入yx2x3，

33

2

3333123113

得到，mmm3，解得m或，

32323222

43

∴G1,或G2,3．

3

（3）如图，过点M作MTAB于T，过点N作NJAB于J，过点P作PHAB于H，连接BM，

设AEt，则EB4t，

∵EMEB，MEB60，

∴MEB是等边三角形，

∵MTEB，

3

∴MT(4t)，

2

∵AENEAN60，

∴ANE是等边三角形，

∵NJAE，

3

∴NJt，

2

∵NJ∥PH∥MT，NPPM，

∴JHHT，

1

∴PHNJMT3，

2

∴点P的运动轨迹是直线y3，

作点A关于直线y3是对称点A'，连接A'B交直线y3于P'，

连接P'A，此时P'AP'B的值最小，

2

最小值A'B234227．

【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性

质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．

20．（2024·重庆·模拟预测）已知VABC为等边三角形，D，E分别为线段AC，AB上一点，AECD，CE

与BD交于点F．

(1)如图1，若ABD3ACE，BF13，求EF的长；

(2)如图2，H为射线BC上一点，连接HF，将线段HF绕点F逆时针旋转120得GF，连接BG，若

HGACE60，证明：BGBF2CF；

(3)如图3，在（2）的条件下，AB1，D为线段AC上的动点，F，G随着D的运动而运动，连接CG，

3

当BGCG取得最大值时，直接写出GFH的面．

3

【答案】(1)2

(2)证明见解析

73

(3)

12

【分析】（1）过点E作EGBD，如图所示，由等边三角形性质及全等三角形判定与性质得到ACECBD，

设ACECBD，则ABD3ACE3，由460，解得15，由等腰直角三角形及含30的

直角三角形性质，设FGx，则EF2x，BGEG3x，列方程求解即可得到答案；

（2）延长CE交BG于J，在GB上取GIFC，如图所示，根据等边三角形性质、三角形全等的判定与性

质，通过构造的AEC≌CDB(SAS)、HFC≌FGI(SAS)、JFI≌FBC(AAS)将线段转化到一条线上即可得证；

（3）将AB绕点B逆时针旋转60，得到AB，以GC为底边，向左作顶角为120的等腰△GKC，延长FJ到

点L，使JLFC，由LJB≌CFB(SAS)，得到LBCB1，由GAB≌LBC(SAS)，得到GALB1，由

BCKC3KB3333

，KBC∽GAC，得到，即：KB，在△GKB中，GBGC，此

ACGC3GA3333

时BKC60，点J，K重合，JGJC，JFBFFC，得到GBBC，在Rt△GBH中，求出GH的长，

在GFH中，求出FM的长，即可求解．

【详解】（1）解：过点E作EGBD，如图所示：

在等边VABC中，ACBC，AACBABC60，

在△AEC和△CDB中，

AECD

AACB60，

ACBC

AEC≌CDB(SAS)，

ACECBD，

设ACECBD，则ABD3ACE3，

460，

解得15，

在Rt△BGE中，EGB90，EBG45，则BEG45，

BEFAACE75，

GEF30，

在Rt△EFG中，设FGx，则EF2x，

由勾股定理可得EGEF2FG23x，

BGEG3x，

BF133xx，

解得x1，则EF2x2；

（2）证明：延长CE交BG于J，在GB上取GIFC，如图所示：

在等边三角形ABC中，ACBC，AACBABC60，

在△AEC和△CDB中，

AECD

AACB60，

ACBC

AEC≌CDB(SAS)，

ACECBD，

FCB是VFCH的一个外角，

FCBHHFC，

FCBACE60HHFCACE，HGACE60，

HFCG，

将线段HF绕点F逆时针旋转120得GF，

FHFG，HFCGFE60，

在HFC和FGI中，

FHFG

HFCG，

GIFC

HFC≌FGI(SAS)，

GFIH，

由HFCGFE60知，HFCGFIJFI60，则HFCHJFI60，

HHFCACE60，

JFIACE，即JFICBD，

FJB是△FJI的一个外角，

FJBJFIJIFJFIGGFI60，

BFJ是FBC的一个外角，

BFJFCBCBD60，

△BFJ是等边三角形，则BFFJBJ，

JIFGGFI，FCBHHFC，

JIFFCB，

在JFI和FBC中，

JIFFCB

JFIFBC，

BFFJ

JFI≌FBC(AAS)，

JIFC，

BGBJJIIFBF2CF；

（3）解：将AB绕点B逆时针旋转60，得到AB，则ABAB1，ABC120，以GC为底边，向左作

3

顶角为120的等腰△GKC，则GKGC，延长FJ到点L，使JLFC，则LC2FCJFGB，连接LB，