广东省肇庆市高中数学 第二十三课 两角差的余弦公式教学设计 新人教A版必修4

广东省肇庆市高中数学第二十三课两角差的余弦公式教学设计新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：两角差的余弦公式

2.教学年级和班级：广东省肇庆市高中一年级全体学生

3.授课时间：2023年3月15日星期三上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析重点难点及解决办法重点：

1.理解两角差的余弦公式推导过程，掌握公式形式。

2.能够灵活运用两角差的余弦公式进行三角函数的计算。

难点：

1.推导两角差的余弦公式的逻辑严密性和证明过程。

2.在具体问题中正确应用公式进行计算，避免错误。

解决办法：

1.通过引导学生回顾和运用和差化积公式，逐步引导至两角差的余弦公式，强调公式的推导过程。

2.设置一系列基础练习题，帮助学生熟悉公式的形式，并通过变式练习加强学生对公式应用的理解。

3.对于难点问题，采用小组讨论和个别辅导相结合的方式，帮助学生克服理解障碍，并鼓励学生自主探索解题方法。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生理解两角差的余弦公式的概念和推导过程。

2.讨论法：组织学生分组讨论，鼓励学生提出问题，共同探讨解决方法，提高学生的参与度和思考能力。

3.练习法：设计多样化的练习题，让学生在练习中巩固知识，提高解题技巧。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示公式推导过程，直观展示几何图形和计算步骤。

2.互动软件：使用数学软件进行动态演示，帮助学生直观理解公式的应用。

3.网络资源：引导学生利用网络资源查找相关资料，拓宽知识面，提高自主学习能力。教学过程一、导入新课

（老师）同学们，我们之前学习了三角函数的和差公式，今天我们将继续探索三角函数的另一个重要公式——两角差的余弦公式。首先，请大家回顾一下和差化积公式，思考如何将这个方法应用于两角差的余弦公式的研究。

（学生）回顾了和差化积公式，知道了它是将两角和或差的形式转换为积的形式。

二、新课讲授

1.两角差的余弦公式推导

（老师）接下来，我们来推导两角差的余弦公式。首先，请同学们画出两个角A和B，并作出它们的差角C。

（学生）画出了两个角A和B，并作出了它们的差角C。

（老师）现在，我们将角A和B放在直角坐标系中，并分别作出它们的正弦和余弦线。接下来，请同学们观察这两条线与角C的关系。

（学生）观察了正弦和余弦线与角C的关系。

（老师）根据正弦和余弦的定义，我们可以得到角A的正弦和余弦值，以及角B的正弦和余弦值。现在，请同学们尝试推导出角C的正弦和余弦值。

（学生）尝试推导角C的正弦和余弦值。

（老师）很好，现在我们得到了角C的正弦和余弦值。接下来，我们需要将这些值代入和差化积公式中，推导出两角差的余弦公式。

（学生）代入和差化积公式，推导出两角差的余弦公式。

2.两角差的余弦公式应用

（老师）现在我们已经得到了两角差的余弦公式。接下来，让我们通过一些例题来巩固这个公式。

（学生）认真听讲，准备跟随老师一起解答例题。

（老师）例题一：已知角A和角B的正弦值和余弦值，求角A-B的正弦值和余弦值。

（学生）根据两角差的余弦公式，代入已知条件，计算出角A-B的正弦值和余弦值。

（老师）例题二：已知角A和B的正弦值和余弦值，求角A+B的正弦值和余弦值。

（学生）同样地，根据两角差的余弦公式，代入已知条件，计算出角A+B的正弦值和余弦值。

（老师）通过这两个例题，我们可以看到两角差的余弦公式在求解三角函数值方面的应用。接下来，请同学们尝试完成课后练习题，巩固所学知识。

三、课堂小结

（老师）同学们，今天我们学习了两角差的余弦公式，并通过例题巩固了它的应用。希望大家能够掌握这个公式，并在今后的学习中灵活运用。

（学生）认真总结今天所学内容，思考如何将两角差的余弦公式应用于实际问题。

四、课后作业

（老师）请同学们完成以下课后作业：

1.完成课后练习题，巩固两角差的余弦公式。

2.尝试将两角差的余弦公式应用于实际问题，如求解三角形的边角关系。

（学生）认真阅读课后作业，思考如何完成作业内容。

五、课堂反思

（老师）在今天的课堂上，同学们表现出了积极的学习态度，通过小组讨论和个别辅导，大家都能较好地掌握了两角差的余弦公式。在今后的教学中，我将更加注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，让大家在学习中不断进步。

（学生）反思自己在课堂上的学习情况，总结经验教训，为今后的学习做好准备。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

（1）拓展材料一：《三角函数的几何意义》

内容概述：本材料详细介绍了三角函数的几何意义，包括正弦、余弦、正切等函数在直角坐标系中的几何解释。通过阅读本材料，学生可以更深入地理解三角函数的起源和含义。

（2）拓展材料二：《三角函数在物理中的应用》

内容概述：本材料介绍了三角函数在物理学科中的应用，如简谐运动、波动等。通过学习本材料，学生可以了解三角函数在实际问题中的重要性。

（3）拓展材料三：《三角函数在工程领域的应用》

内容概述：本材料介绍了三角函数在工程领域的应用，如建筑设计、机械设计等。通过学习本材料，学生可以认识到三角函数在工程技术中的广泛应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

（1）鼓励学生查阅相关书籍和资料，进一步了解三角函数的历史、发展和应用。

（2）引导学生思考如何将三角函数应用于解决实际问题，如求解几何问题、物理问题等。

（3）组织学生开展小组讨论，分享各自的学习心得和研究成果。

（4）鼓励学生参与数学竞赛和科技创新活动，将所学知识应用于实践。

3.拓展知识点：

（1）三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性等。

（2）三角函数的图像：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其特点。

（3）三角函数的应用：在几何、物理、工程等领域的应用。

（4）三角恒等式：和差化积公式、和差化积反公式、倍角公式等。

（5）三角函数的极限：求三角函数的极限、求三角函数的导数等。

4.实用性教学内容：

（1）通过实际案例，引导学生了解三角函数在生活中的应用，如建筑设计、建筑设计、电子工程等。

（2）结合具体问题，让学生尝试运用三角函数解决实际问题，如求解几何问题、物理问题等。

（3）通过小组合作，让学生共同探讨和解决复杂问题，提高团队协作能力和问题解决能力。

（4）组织学生参加数学竞赛和科技创新活动，激发学生的学习兴趣，培养创新思维。重点题型整理1.题型一：推导两角差的余弦公式

题目：已知角A的正弦值为sinA，余弦值为cosA，角B的正弦值为sinB，余弦值为cosB，求角A-B的余弦值。

解题思路：

（1）利用余弦定理，将角A和B的余弦值转换为它们的正弦和余弦的乘积。

（2）将角A的正弦值和余弦值与角B的正弦值和余弦值相乘或相除。

（3）利用两角差的正弦公式和余弦公式，将乘积转换为两角差的正弦或余弦形式。

答案：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。

2.题型二：运用两角差的余弦公式求解三角函数值

题目：已知sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，求cos(45°-30°)的值。

解题思路：

（1）直接代入两角差的余弦公式。

（2）将已知角的正弦和余弦值代入公式。

（3）计算得到结果。

答案：cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。

3.题型三：利用两角差的余弦公式解决几何问题

题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，求∠A-∠B的余弦值。

解题思路：

（1）首先，利用勾股定理求出BC的长度。

（2）然后，利用余弦定理求出角A和角B的余弦值。

（3）最后，利用两角差的余弦公式求出∠A-∠B的余弦值。

答案：BC=√(AB²-AC²)=√(10²-8²)=√(100-64)=√36=6cm。

cos(∠A-∠B)=cosAcosB+sinAsinB=(√(10²-6²)/(2*10)*√(6²-8²)/(2*6)+8/10*6/10。

4.题型四：求解两角差的余弦值在特定角度下的值

题目：求cos(π/4-π/3)的值。

解题思路：

（1）首先，将π/4和π/3转换为度数形式。

（2）然后，利用两角差的余弦公式进行计算。

（3）将结果转换为弧度或度数形式。

答案：cos(π/4-π/3)=cos(45°-60°)=cos45°cos60°+sin45°sin60°=(√2/2)(1/2)+(√2/2)(√3/2)=(√6+1)/4。

5.题型五：运用两角差的余弦公式解决三角恒等式问题

题目：已知sinθ+cosθ=1/√2，求sin(θ-π/4)的值。

解题思路：

（1）利用已知条件，将sinθ和cosθ的关系转换为sin(θ-π/4)的形式。

（2）将sin(θ-π/4)的正弦和余弦形式代入公式。

（3）利用三角恒等式求解sin(θ-π/4)的值。

答案：sin(θ-π/4)=sinθcos(π/4)-cosθsin(π/4)。

将sinθ和cosθ的关系代入得：sin(θ-π/4)=(1/√2-1/√2)cos(π/4)-(1/√2-1/√2)sin(π/4)。

化简得：sin(θ-π/4)=0。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第XX页至XX页的练习题，包括基础题和应用题，确保学生能够熟练掌握两角差的余弦公式的推导和应用。

2.选择一道与两角差的余弦公式相关的实际问题，尝试运用公式进行解答，并提交解题报告。

3.复习和总结本节课所学内容，包括公式推导过程、公式应用步骤和注意事项，撰写一篇简短的学习心得。

作业反馈：

1.及时批改学生的作业，确保每个学生的作业都能得到反馈。

2.对于基础题，关注学生是否能够正确应用公式进行计算，是否存在计算错误或概念混淆。

3.对于应用题，评估学生是否能够将公式应用于实际问题，解题过程是否合理，答案是否准确。

4.对于学习心得，鼓励学生表达自己的学习体会和收获，指出在学习过程中遇到的问题和解决方法。

5.针对作业中的错误和不足，给出具体的改进建议，如：

-对于计算错误，提供正确的计算步骤和答案，帮助学生纠正错误。

-对于概念混淆，解释相关概念，并提供实例帮助理解。

-对于解题思路不清晰，引导学生在解题报告中详细说明解题思路，